VIII tipi okulda öğrencilere kesirlerin dönüşümleri öğretilir: kesirleri daha büyük kesirlerle ifade etme (6. sınıf), uygunsuz bir kesri tam veya karışık sayı olarak ifade etme (6. sınıf), kesirleri benzer kesirlerle ifade etme (7. sınıf) , karışık bir sayıyı uygunsuz kesir olarak ifade etme (7. sınıf).

Yanlış Bir Kesirin Bir Bütünle İfade Edilmesiveya karışık sayı

I Bu materyalin incelenmesi şu görevle başlamalıdır: 2 dikilmiş daire alın ve her birini 4 eşit paya bölün, dördüncü payı sayın (Şekil 25). Daha sonra bu miktarın kesir (t) olarak yazılması önerilir. Daha sonra dördüncü kısımlar birbirine eklenir ve öğrenciler sonucun olduğuna ikna edilir.

1. daire. Buradan, -t= 1. Dört çeyreğe art arda bir tane daha ekler -T, ve öğrenciler şunu yazarlar: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Öğretmen öğrencilerin dikkatini, ele alınan tüm durumlarda yanlış kesir aldıklarına ve dönüşüm sonucunda ya tam ya da karışık sayı aldıklarına, yani yanlış kesri bir bütün olarak ifade ettiklerine çeker. veya karışık sayı. Daha sonra, öğrencilerin bu dönüşümün hangi aritmetik işlemle gerçekleştirilebileceğini bağımsız olarak belirlemelerini sağlamak için çaba göstermeliyiz. Canlı örnekler cevaba yol açar.

4.

8 0 5 .1 7 .3 „ Uzun " soruya göre: -2-=! ve t = 2,4" = 1t ve t T YV : °D

ile

Uygun olmayan bir kesri tam veya karışık sayı olarak ifade etmek için kesrin payını paydaya bölmeniz, bölümü tam sayı olarak yazmanız, kalanı paya yazıp paydayı aynı bırakmanız gerekir. Kural hantal olduğundan öğrencilerin bunu ezberlemeleri hiç de gerekli değildir. Belirli bir dönüşümün gerçekleştirilmesiyle ilgili adımları tutarlı bir şekilde iletebilmelidirler.

Öğrencilere tam veya karışık sayı ile uygunsuz bir kesir ifade etmeyi öğretmeden önce, onlarla bir tam sayının kalanlı bir tam sayıya bölünmesini gözden geçirmeniz önerilir.

Öğrenciler için yeni bir dönüşümün pekiştirilmesi, pratik nitelikteki sorunların çözülmesiyle kolaylaştırılır, örneğin:

“Bir vazoda bir portakalın dörtte dokuzu vardır. Skol| Bu parçalardan bütün portakal yapılabilir mi? Geriye kaç çeyrek kalacak?

35, 16 eşit paya bölünüyor. Kabul edilmiş -^. Kaç tanesi sağlam!

kartonları kestiniz mi? Kesim on altıda kaç! bir sonraki parçadan mı? Vesaire.

Tam sayıları ve karışık sayıları ifade etmeuygunsuz kesir

Öğrencileri bu yeni dönüşümle tanıştırmadan önce problemlerin çözülmesi gerekir, örneğin:

“Kare şeklinde, eşit uzunlukta 2 parça kumaş. > 4 eşit parçaya bölün. Bu parçaların her birinden bir eşarp dikildi. Kaç tane eşarp aldın? Kaydediyorum: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

şarabı aldın mı? Yazın: 1 * daire vardı, şimdi * daire var, yani

Bu nedenle, görsel ve pratik bir temele dayanarak birkaç örnek daha ele alıyoruz. İncelenen örneklerde öğrencilerden orijinal sayıyı (karışık veya tam sayı) ve dönüşümden sonra elde edilen sayıyı (uygunsuz kesir) karşılaştırmaları istenir.

Öğrencilere tam sayıyı ve karışık sayıyı uygunsuz kesir olarak ifade etme kuralını tanıtmak için, onların dikkatini karışık sayının paydaları ile uygunsuz kesrin karşılaştırılmasına ve ayrıca payın nasıl elde edildiğine çekmeniz gerekir; :

1 2"=?, 1 = 2" ve ayrıca ^, toplam ^ 3 ^=?, 3=-^- ve ayrıca ^, toplam

-^- olacak. Sonuç olarak, kural formüle edilmiştir: böylece karışık bir sayı

bileşik kesir olarak ifade etmek için paydayı bir tam sayı ile çarpmanız, payı çarpıma eklemeniz ve toplamı pay olarak yazmanız ve paydayı değiştirmemeniz gerekir.

İlk olarak, öğrencilere önce birini bileşik kesir olarak, sonra paydayı belirten herhangi bir tam sayıyı, sonra da karışık sayıyı ifade etme konusunda eğitim vermelisiniz:

Bir kesrin temel özelliği 1

[bir kesrin artarken değişmezliği kavramı

Üyelerinin 1 azaltılması, yani pay ve payda, VIII tipi okulun öğrencileri tarafından büyük zorluklarla öğrenilecektir. Bu anlayışın görsel ve didaktik materyaller kullanılarak tanıtılması,

“ve öğrencilerin yalnızca öğretmenin faaliyetlerini gözlemlemeleri değil, aynı zamanda didaktik materyalle aktif olarak çalışmaları ve gözlemlere ve pratik faaliyetlere dayanarak belirli sonuçlara ve genellemelere varmaları önemlidir.

Örneğin öğretmen bir şalgamın tamamını alıp 2 eşit parçaya böler ve sorar: “Bir şalgamın tamamını böldüğünüzde ne elde ettiniz?

yarıda mı? (2 yarım.) Şalgamları gösterin. Keselim (bölelim)

şalgamın yarısını 2 eşit parçaya daha bölün. Ne alacağız? -y. Hadi yazalım:

tt=-t- Bu kesirlerin pay ve paydalarını karşılaştıralım. ne zaman

pay kaç kez arttı? Payda kaç kat arttı? Hem pay hem de payda kaç kez arttı? Kesir değişti mi? Neden değişmedi? Hisseler nasıl oluştu: büyüdü mü, küçüldü mü? Sayı arttı mı azaldı mı

Daha sonra tüm öğrenciler daireyi 2 eşit parçaya bölerler, her yarım 2 eşit parçaya daha bölünür, her çeyrek diğerine bölünür

2 eşit parça vb. ve şunu yazın: “o^A^tr^tgg ve m - L- Sonra kesrin payının ve paydasının kaç kez arttığını, kesrin değişip değişmediğini belirlerler. Sonra bir doğru parçası çizin ve. sırayla 3, 6, 12 eşit parçaya bölün ve şunu yazın:

1 21 4 -^ ve -^, -^ ve -^ kesirleri karşılaştırıldığında şunu buluruz:

Tg fraksiyonunun payı ve paydası aynı sayıda artar, kesir bundan değişmez.

Bir dizi örnek incelendikten sonra öğrencilerden şu soruyu cevaplamaları istenmelidir: “Pay değişirse kesir değişir mi? “Sıradan kesirler” konusundaki bazı bilgiler VIII. tip ıslah okullarında matematik müfredatından çıkarılır, ancak bunlar iletilir. Zihinsel engelli çocuklara yönelik okullardaki öğrencilere, matematik öğrenmekte zorluk çeken çocuklara yönelik seviyelendirme sınıflarında. Bu ders kitabında bu materyali inceleme metodolojisinin verildiği paragraflar vardır,

yıldız işaretiyle (*) gösterilir.

Pay ve paydanın aynı sayıda azaltılması (pay ve paydanın aynı sayıya bölünmesi) düşünüldüğünde de benzer örnekler verilmektedir. Örneğin cr>"

( 4 \ 8 eşit parçaya bölünür, I -o- çemberinin sekizde 4'ünü alırız ]

Payları büyüttükten sonra dördüncüyü alırlar, payları büyüterek 2 tane olur.

4 2 1 ikinciyi alır. 1 tane olacak : ~inci = -D--%- Takipçileri karşılaştır!I

bu kesirlerin pay ve paydaları şu soruları yanıtlıyor:<>Pay ve payda kaç kez azalır?

Kesir değişecek mi?

İyi bir kılavuz, 12, 6, 3 eşit parçaya bölünmüş şeritlerdir (Şek. 26).

N

Ele alınan örneklere dayanarak öğrenciler şu sonuca varabilirler: Kesirin payı ve paydası aynı sayıya bölünürse (aynı sayıda azaltılırsa) kesir değişmez. Daha sonra genelleştirilmiş bir sonuç verilir - bir kesirin ana özelliği: kesirin payı ve paydası aynı sayıda artırılır veya azaltılırsa kesir değişmeyecektir.

Kesirler
Dikkat!
Ek var
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.

Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesir türleri nelerdir?

Kesir türleri. Dönüşümler.

Üç tür kesir vardır.

1. Ortak kesirler , Örneğin:

Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)

Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Hepsi bu! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.

Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.

32/8 = 32: 8 = 4

"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

2. Ondalık Sayılar , Örneğin:

Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.

3. Karışık sayılar , Örneğin:

Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Bir anda. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.

En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!

Bir kesrin temel özelliği.

Öyleyse gidelim! Başlangıç ​​olarak sizi şaşırtacağım. Kesir dönüşümlerinin tüm çeşitliliği tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:

Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.

Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Evet! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç ​​olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Bu basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.

Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.

Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Tipik bir hatanın, deyim yerindeyse, bir gafın gizlendiği yer burasıdır.

Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:

Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:

Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.

ve tekrar al

Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşılmadı! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!

Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatlice beşe, beşe daha ve hatta kısaltılırken... kısaltırsanız, kısacası. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?

Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara ve bunun tersini dönüştürmenize olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?

Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?

Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.

Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payda 317, paydada 100 yazarsak 317/100 elde ederiz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. İlköğretim, Watson! Bütün söylenenlerden, yararlı bir sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .

Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.

Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...

Haydi hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. İşte bu.

Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşacaksınız. 16'yı neyle çarparak 100 veya 1000 olacağını bulmaya çalışın... İşe yaramıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.

Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme edilmedi. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !

Bu arada, bu kendi kendini test etmek için yararlı bir bilgidir. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönün ve çözümü kontrol edin.

Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye kalan tek şey karışık sayılarla uğraşmak. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Bu nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.

Diyelim ki problemdeki sayıyı görünce dehşete düştünüz:

Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesirli kısım 3/7'dir. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile çarpıyoruz (tamsayı kısmı) ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 elde ederiz. Bu, ortak bir kesrin payı olacaktır. İşte bu. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:

Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Peki öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.

Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için bunu yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?

Cevap veriyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman herhangi bir çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !

Eğer görev tamamen ondalık kesirlerden oluşuyorsa, ama um... bazı kötü olanlar, sıradan olanlara gidin ve deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Peki ya sıradan bir kesire geçersek?

0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alabiliriz (aklımızda!) ve 1/64 elde edebiliriz. Tüm!

Bu dersi özetleyelim.

1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.

2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil olası

3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. Bir görevde farklı kesir türleri varsa en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.

Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):

Burada bitirelim. Bu dersimizde kesirlerle ilgili önemli noktalarda hafızamızı tazeledik. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anla başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bu makale kesir içeren ifadeleri dönüştürmeye genel bir bakış sunmaktadır. Burada kesirli ifadeler için tipik olan temel dönüşümlere bakacağız.

Sayfada gezinme.

Kesirli ifadeler ve kesirli ifadeler

Öncelikle ne tür bir ifade dönüşümüyle ilgileneceğimize açıklık getirelim.

Yazının başlığında açıklayıcı bir ifade yer alıyor: kesirli ifadeler" Yani aşağıda sayısal ifadelerin ve ifadelerin en az bir kesir içeren değişkenlere dönüştürülmesinden bahsedeceğiz.

“Kesirleri dönüştürmek: genel bir bakış” makalesinin yayınlanmasından sonra artık bireysel kesirlerle ilgilenmediğimizi hemen belirtelim. Böylece, yalnızca en az bir kesirin varlığıyla birleştirilen toplamları, farklılıkları, çarpımları, kökleri, kuvvetleri, logaritmalarıyla kısmi ve daha karmaşık ifadeleri ele alacağız.

Ayrıca rezervasyon yaptıralım kesirli ifadeler. Bunlar kesirli ifadelerle aynı şey değildir. Kesirli ifadeler daha genel bir kavramdır. Kesirli her ifade kesirli ifade değildir. Örneğin ifade bir kesir ifadesi değildir, her ne kadar kesir içerse de tam bir rasyonel ifadedir. Bu nedenle, kesirli bir ifadeye, onun bir olduğundan tam olarak emin olmadan, kesirli bir ifade dememelisiniz.

Kesirli ifadelerin temel kimlik dönüşümleri

Örnek.

İfadeyi basitleştir .

Çözüm.

Bu durumda ifadeyi veren parantezleri açabilirsiniz. , benzer terimler içerir ve ve ayrıca −3 ve 3 . Bunları bir araya getirdiğimizde kesri elde ederiz.

Çözümü yazmanın kısa bir biçimini gösterelim:

Cevap:

.

Bireysel kesirlerle çalışma

Dönüştürmekten bahsettiğimiz ifadeler, esas olarak kesirlerin varlığında diğer ifadelerden farklılık gösterir. Ve kesirlerin varlığı onlarla çalışacak araçlar gerektirir. Bu paragrafta, belirli bir ifadenin gösteriminde yer alan bireysel kesirlerin dönüşümünü tartışacağız ve bir sonraki paragrafta, orijinal ifadeyi oluşturan kesirlerle eylemler gerçekleştirmeye geçeceğiz.

Orijinal ifadenin ayrılmaz bir parçası olan herhangi bir kesirle, kesirleri dönüştürme makalesinde belirtilen dönüşümlerden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Yani ayrı bir kesir alabilir, pay ve paydasıyla çalışabilir, azaltabilir, yeni bir paydaya indirgeyebilirsiniz vb. Bu dönüşümle seçilen kesrin yerini eşit eşit bir kesir alacağı ve orijinal ifadenin de eşit eşit bir ifadeyle değiştirileceği açıktır. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

Bir ifadeyi kesirli olarak dönüştürme daha basit bir forma.

Çözüm.

Kesirle çalışarak dönüşüme başlayalım. Öncelikle parantezleri açalım ve kesrin payında benzer terimleri sunalım: . Şimdi paydaki ortak x faktörünü ve ardından cebirsel kesirin azaltılmasını parantezlerden çıkarmak için yalvarıyoruz: . Geriye kalan tek şey, kesir yerine elde edilen sonucu orijinal ifadeye koymaktır; bu da şunu verir: .

Cevap:

.

Kesirlerle işler yapmak

Kesirli ifadeleri dönüştürme sürecinin bir kısmı genellikle şunları yapmayı içerir: kesirlerle işlemler. Kabul edilen eylem sırasına uygun olarak gerçekleştirilirler. Ayrıca herhangi bir sayının veya ifadenin her zaman paydası 1 olan kesirlerle ifade edilebileceğini akılda tutmakta fayda var.

Örnek.

İfadeyi basitleştir .

Çözüm.

Sorunun çözümüne farklı açılardan yaklaşılabilir. Ele aldığımız konu bağlamında kesirlerle işlemler yaparak ilerleyeceğiz. Kesirleri çarpmakla başlayalım:

Şimdi ürünü paydası 1 olan kesir şeklinde yazacağız, ardından kesirleri çıkaracağız:

İstenirse ve gerekliyse, yine de paydadaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarabilirsiniz. , dönüşümü tamamlayabileceğiniz yer.

Cevap:

Köklerin, kuvvetlerin, logaritmaların vb. özelliklerinin uygulanması.

Kesirli ifadelerin sınıfı oldukça geniştir. Bu tür ifadeler, kesirlerin yanı sıra kökleri, çeşitli üslü kuvvetleri, modülleri, logaritmaları, trigonometrik fonksiyonları vb. içerebilir. Doğal olarak, bunları dönüştürürken karşılık gelen özellikler uygulanır.

Kesirler için geçerli olmak üzere, bir kesrin kökünün özelliğini, bir kesrin bir kuvvete göre özelliğini, bölümün modülünün özelliğini ve farkın logaritmasının özelliğini vurgulamakta fayda var. .

Açıklık sağlamak için, burada birkaç örnek var. Örneğin, ifadede Derecenin özelliklerine bağlı olarak, ilk kesirin derece ile değiştirilmesi yararlı olabilir; bu, daha sonra ifadeyi kare farkı biçiminde sunmanıza olanak tanır. Logaritmik bir ifadeyi dönüştürürken bir kesrin logaritmasını logaritma farkıyla değiştirebilirsiniz; bu daha sonra benzer terimleri getirmenize ve böylece ifadeyi basitleştirmenize olanak tanır: . Trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi, aynı açının sinüs/kosinüs oranının bir teğet ile değiştirilmesini gerektirebilir. Uygun formülleri kullanarak yarım argümandan tam argümana geçmek, böylece kesir argümanından kurtulmak da gerekli olabilir, örneğin: .

Köklerin, kuvvetlerin vb. özelliklerinin uygulanması. İfadelerin dönüşümü şu makalelerde daha ayrıntılı olarak ele alınmaktadır:

• İrrasyonel ifadelerin köklerin özelliklerinden yararlanılarak dönüştürülmesi,
• Üslerin özelliklerini kullanarak ifadeleri dönüştürme,
• Logaritmik ifadelerin logaritmanın özelliklerini kullanarak dönüştürülmesi,
• Trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir.

Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır).

Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.

Bunu güçlendirmek için birkaç örneği kendiniz çözün:

Örnekler:

Çözümler:

1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:

İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:

4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.

Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız.

Hatırlayalım:

Cevaplar:

1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:

2. Burada ortak payda:

3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan şemaya göre:

Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:

Basit bir şeyle başlayalım:

a) Paydalar harf içermez

Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:

Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlarına ayırabilirsiniz:

Kendiniz deneyin:

Cevaplar:

b) Paydalar harflerden oluşur

Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:

· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;

· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;

· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:

Ortak faktörleri vurgulayalım:

Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:

Bu ortak paydadır.

Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:

· paydaları çarpanlara ayırın;

· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;

· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;

· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Yani sırasıyla:

1) paydaları çarpanlara ayırın:

2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:

3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (vurgulanmamış) faktörlerle çarpın:

Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:

Bu arada, bir hile var:

Örneğin: .

Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar.

Görevi karmaşıklaştıralım:

Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?

Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:

Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!

Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?

İşte sarsılmaz bir kural daha:

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!

Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?

Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:

Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz.

Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.

Peki ya ifade? Temel mi?

Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:

(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).

Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.

Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).

Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:

Harika! Daha sonra:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:

Görünüşe göre hiçbir ortak faktör yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:

Öyleyse yazalım:

Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.

Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:

Anladım? Şimdi kontrol edelim.

Bağımsız çözüm için görevler:

Cevaplar:

Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:

Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .

A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Toplamın kısmi karesi, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:

Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?

Evet, aynı şey! Öncelikle paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olalım:

Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz, kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.

İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:

Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?

Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:

Tam da ihtiyacın olan şey!

5. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:

Prosedür

Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:

Saydın mı?

İşe yaramalı.

O halde hatırlatmama izin verin.

İlk adım dereceyi hesaplamaktır.

İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.

Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.

Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!

Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.

Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.

Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):

Tamam, her şey çok basit.

Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?

Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.

Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.

Örneğin:

İfadeyi sadeleştirelim.

1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:

Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).

2) Şunu elde ederiz:

Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?

3) Artık kısaltabilirsiniz:

İşte hepsi bu. Karmaşık bir şey yok, değil mi?

Başka bir örnek:

İfadeyi basitleştirin.

Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.

Çözüm:

Öncelikle eylem sırasını belirleyelim.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz.

Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim.

Adımları şematik olarak numaralandıracağım:

Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:

1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.

2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.

İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:

Ve en başında vaat edilen şey:

Cevaplar:

Çözümler (kısa):

En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.

Şimdi öğrenmeye geçelim!

İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Temel basitleştirme işlemleri:

• Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
• Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
• Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
  1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
  2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.

  ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!

• Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
  ;
• Kesirlerle çarpma ve bölme:
  ;

Okul cebir dersinden ayrıntılara geçiyoruz. Bu makalede özel bir rasyonel ifade türünü ayrıntılı olarak inceleyeceğiz - rasyonel kesirler ve ayrıca hangi özelliğin aynı olduğunu düşünün rasyonel kesirlerin dönüşümleri gerçekleşecek.

Aşağıda tanımladığımız anlamdaki rasyonel kesirlerin bazı cebir ders kitaplarında cebirsel kesirler olarak adlandırıldığını hemen belirtelim. Yani bu yazıda rasyonel ve cebirsel kesirlerin aynı anlama geldiğini anlayacağız.

Her zamanki gibi bir tanım ve örneklerle başlayalım. Daha sonra rasyonel bir kesri yeni bir paydaya getirmekten ve kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmekten bahsedeceğiz. Bundan sonra kesirlerin nasıl azaltılacağına bakacağız. Son olarak, rasyonel bir kesri birkaç kesirin toplamı olarak temsil etmeye bakalım. Tüm bilgileri örneklerle ve çözümlerin ayrıntılı açıklamalarıyla sunacağız.

Sayfada gezinme.

Rasyonel kesirlerin tanımı ve örnekleri

8.sınıf cebir derslerinde rasyonel kesirler işlenmektedir. Yu N. Makarychev ve diğerleri tarafından 8. sınıf cebir ders kitabında verilen rasyonel kesir tanımını kullanacağız.

Bu tanım, rasyonel bir kesirin pay ve paydasındaki polinomların standart formda polinomlar olması gerekip gerekmediğini belirtmez. Bu nedenle rasyonel kesirlerin notasyonlarının hem standart hem de standart olmayan polinomlar içerebileceğini varsayacağız.

İşte birkaçı rasyonel kesir örnekleri. Yani, x/8 ve - rasyonel kesirler. Ve kesirler ve rasyonel bir kesirin belirtilen tanımına uymuyor, çünkü birincisinde pay bir polinom içermiyor ve ikincisinde hem pay hem de payda polinom olmayan ifadeler içeriyor.

Rasyonel Bir Kesrin Payını ve Paydasını Dönüştürme

Herhangi bir kesirin payı ve paydası kendi kendine yeten matematiksel ifadelerdir; rasyonel kesirler söz konusu olduğunda bunlar polinomlardır, tek terimli sayılar ve sayılardır; Dolayısıyla herhangi bir ifadede olduğu gibi rasyonel bir kesrin pay ve paydasında da aynı dönüşümler yapılabilir. Başka bir deyişle, rasyonel bir kesirin payındaki ifade, tıpkı payda gibi, tamamen eşit bir ifadeyle değiştirilebilir.

Rasyonel bir kesirin pay ve paydasında aynı dönüşümleri gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin, payda benzer terimleri gruplandırabilir ve azaltabilirsiniz ve paydada birkaç sayının çarpımını değeriyle değiştirebilirsiniz. Ve rasyonel bir kesirin payı ve paydası polinomlar olduğundan, polinomların karakteristik dönüşümlerini onlarla gerçekleştirmek mümkündür, örneğin standart bir forma indirgemek veya bir ürün biçiminde temsil etmek mümkündür.

Açıklık sağlamak için birkaç örneğin çözümlerini ele alalım.

Örnek.

Rasyonel kesri dönüştür böylece pay standart biçimde bir polinom içerir ve payda polinomların çarpımını içerir.

Çözüm.

Rasyonel kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi esas olarak rasyonel kesirlerin toplanmasında ve çıkarılmasında kullanılır.

Bir kesrin önündeki ve pay ve paydadaki işaretleri değiştirme

Bir kesrin temel özelliği, kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Aslında rasyonel bir kesrin payını ve paydasını -1 ile çarpmak, işaretlerini değiştirmekle eşdeğerdir ve sonuç, verilen kesirle tamamen aynı olan bir kesirdir. Rasyonel kesirlerle çalışırken bu dönüşümün oldukça sık kullanılması gerekir.

Böylece, bir kesrin pay ve paydasının işaretlerini aynı anda değiştirirseniz, orijinaline eşit bir kesir elde edersiniz. Bu ifadeye eşitlikle cevap verilir.

Bir örnek verelim. Rasyonel bir kesir, formun pay ve paydasının işaretleri değiştirilmiş, aynı şekilde eşit bir kesirle değiştirilebilir.

Kesirlerle, payın veya paydanın işaretinin değiştiği başka bir özdeş dönüşüm gerçekleştirebilirsiniz. İlgili kuralı belirtelim. Bir kesrin işaretini pay veya paydanın işaretiyle değiştirirseniz, orijinal kesirle tamamen aynı olan bir kesir elde edersiniz. Yazılı beyan eşitliklere karşılık gelir ve .

Bu eşitlikleri kanıtlamak zor değil. İspat sayıların çarpımının özelliklerine dayanmaktadır. Bunlardan ilkini kanıtlayalım: . Benzer dönüşümler kullanılarak eşitlik kanıtlanır.

Örneğin, bir kesir veya ifadesi ile değiştirilebilir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için iki kullanışlı eşitlik daha sunuyoruz ve . Yani sadece payın veya sadece paydanın işaretini değiştirirseniz kesrin işareti değişecektir. Örneğin, Ve .

Bir kesrin terimlerinin işaretini değiştirmeye izin veren dikkate alınan dönüşümler, kesirli rasyonel ifadeleri dönüştürürken sıklıkla kullanılır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması

Rasyonel kesirlerin indirgenmesi olarak adlandırılan aşağıdaki dönüşüm, bir kesrin aynı temel özelliğine dayanmaktadır. Bu dönüşüm, a, b ve c'nin bazı polinomlar olduğu ve b ve c'nin sıfır olmadığı eşitliğe karşılık gelir.

Yukarıdaki eşitlikten, rasyonel bir kesri azaltmanın, pay ve paydasındaki ortak faktörden kurtulmak anlamına geldiği açıkça ortaya çıkıyor.

Örnek.

Rasyonel bir kesri iptal edin.

Çözüm.

Ortak faktör 2 hemen görülebilir, hadi onunla bir azaltma yapalım (yazarken azaltılan ortak faktörlerin üzerini çizmek uygundur). Sahibiz . x 2 =x·x ve y 7 =y 3 ·y 4 olduğundan (gerekirse bakın), x'in, y 3 gibi, elde edilen kesrin pay ve paydasının ortak bir çarpanı olduğu açıktır. Bu faktörleri azaltalım: . Bu azalmayı tamamlar.

Yukarıda rasyonel kesirlerin indirgenmesini sırayla gerçekleştirdik. Veya indirgemeyi tek adımda gerçekleştirmek, kesri hemen 2 x y 3 oranında azaltmak mümkündü. Bu durumda çözüm şöyle görünecektir: .

Cevap:

.

Rasyonel kesirleri azaltırken asıl sorun pay ve paydanın ortak faktörünün her zaman görünmemesidir. Üstelik her zaman mevcut değildir. Ortak bir faktör bulmak veya yokluğunu doğrulamak için rasyonel bir kesrin payını ve paydasını çarpanlara ayırmanız gerekir. Ortak bir faktör yoksa, orijinal rasyonel kesirin azaltılmasına gerek yoktur, aksi takdirde azaltma yapılır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması sürecinde çeşitli nüanslar ortaya çıkabilir. Makalede cebirsel kesirlerin azaltılmasının ana incelikleri örnekler kullanılarak ve ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması hakkındaki konuşmayı sonlandırırken, bu dönüşümün aynı olduğunu ve uygulanmasındaki ana zorluğun pay ve paydadaki polinomları çarpanlara ayırmada yattığını not ediyoruz.

Rasyonel bir kesirin kesirlerin toplamı olarak gösterimi

Oldukça spesifik, ancak bazı durumlarda çok yararlı olan, birkaç kesirin toplamı veya tüm ifadenin ve kesirin toplamı olarak temsil edilmesinden oluşan rasyonel bir kesirin dönüşümüdür.

Payı birkaç tek terimlinin toplamını temsil eden bir polinom içeren rasyonel bir kesir, her zaman payları karşılık gelen tek terimlileri içeren aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, . Bu gösterim, benzer paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplanması ve çıkarılması kuralıyla açıklanmaktadır.

Genel olarak herhangi bir rasyonel kesir, kesirlerin toplamı olarak birçok farklı şekilde ifade edilebilir. Örneğin, a/b fraksiyonu iki fraksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir - keyfi bir c/d fraksiyonu ve a/b ve c/d fraksiyonları arasındaki farka eşit bir fraksiyon. Bu ifade doğrudur çünkü eşitlik geçerlidir . Örneğin, rasyonel bir kesir, kesirlerin toplamı olarak çeşitli şekillerde temsil edilebilir: Orijinal kesri bir tam sayı ifadesi ile bir kesrin toplamı olarak düşünelim. Payı paydaya bir sütunla bölerek eşitliği elde ederiz . Herhangi bir n tamsayısı için n 3 +4 ifadesinin değeri bir tamsayıdır. Ve bir kesrin değeri ancak ve ancak paydası 1, −1, 3 veya −3 ise tam sayıdır. Bu değerler sırasıyla n=3, n=1, n=5 ve n=−1 değerlerine karşılık gelmektedir.

Cevap:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referanslar.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 13. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.