Üçgen ilkokulda aşina olduğumuz en yaygın geometrik şekillerden biridir. Geometri derslerinde her öğrenci üçgenin alanının nasıl bulunacağı sorusuyla karşı karşıya kalır. Peki, belirli bir şeklin alanını bulmanın hangi özellikleri tanımlanabilir? Bu yazıda böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formüllere bakacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.

Üçgen türleri

Bir üçgenin alanını tamamen farklı şekillerde bulabilirsiniz çünkü geometride üç açıyı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:

• Geniş.
• Eşkenar (doğru).
• Sağ üçgen.
• İkizkenar.

Mevcut üçgen türlerinin her birine daha yakından bakalım.

Bu geometrik şekil, geometrik problemleri çözerken en yaygın olanı olarak kabul edilir. Rastgele bir üçgen çizme ihtiyacı ortaya çıktığında bu seçenek kurtarmaya gelir.

Dar üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180°'ye eşittir.

Bu tür üçgen de çok yaygındır, ancak dar açılı olandan biraz daha az yaygındır. Örneğin, üçgenleri çözerken (yani, birkaç kenarı ve açısı biliniyor ve geri kalan elemanları bulmanız gerekiyor), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekir. Kosinüs negatif bir sayıdır.

B, açılardan birinin değeri 90°'yi aştığı için geri kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin 15° hatta 3°).

Bu tür bir üçgenin alanını bulmak için daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekir.

Düzenli ve ikizkenar üçgenler

Düzenli çokgen, n tane açı içeren ve tüm kenarları ve açıları eşit olan bir şekildir. Normal üçgen budur. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan her üç açısı da 60° olur.

Özelliği nedeniyle düzenli üçgene eşkenar şekil de denir.

Ayrıca normal bir üçgenin içine yalnızca bir daire yazılabileceğini, çevresinde yalnızca bir dairenin tanımlanabileceğini ve merkezlerinin aynı noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.

Eşkenar tipine ek olarak, ondan biraz farklı olan ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende iki kenar ve iki açı birbirine eşit olup, (eşit açıların komşu olduğu) üçüncü kenar tabandır.

Şekilde D ve F açıları eşit ve DF tabanı olan DEF ikizkenar üçgeni gösterilmektedir.

Sağ üçgen

Dik üçgen, açılarından biri dik, yani 90°'ye eşit olduğu için bu şekilde adlandırılmıştır. Diğer iki açının toplamı 90° olur.

Böyle bir üçgenin 90°'lik açının karşısında yer alan en büyük tarafı hipotenüs, geri kalan iki tarafı ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:

Bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Şekilde AC hipotenüsü ve AB ve BC kenarları olan bir BAC dik üçgeni gösterilmektedir.

Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bacaklarının sayısal değerlerini bilmeniz gerekir.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.

Alanı bulmak için temel formüller

Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun iki formül vardır; yani dar, geniş, düzenli ve ikizkenar üçgenler için. Her birine bakalım.

Yan ve yüksekliğe göre

Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:

burada A belirli bir üçgenin kenarıdır ve H üçgenin yüksekliğidir.

Örneğin, dar açılı bir ACB üçgeninin alanını bulmak için, AB kenarını CD yüksekliğiyle çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.

Ancak üçgenin alanını bu şekilde bulmak her zaman kolay olmuyor. Örneğin, bu formülü geniş bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birini uzatmanız ve ancak bundan sonra ona bir yükseklik çizmeniz gerekir.

Pratikte bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.

Her iki tarafta ve köşede

Bu formül, önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamında, bir üçgenin alanını ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani söz konusu formül bir önceki formülden kolaylıkla türetilebilir. Formülasyonu şuna benzer:

S = ½*sinO*A*B,

burada A ve B üçgenin kenarlarıdır ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.

Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V. M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görülebileceğini hatırlayalım.

Şimdi yalnızca istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.

Dik üçgenin alanı

Bir üçgende yüksekliği bulma ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarından bulunabilir.

Böylece, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarının çarpımının yarısı kadardır veya:

burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.

Düzenli üçgen

Bu tür geometrik şekil, alanının yalnızca bir tarafının belirtilen değeriyle bulunabilmesiyle ayırt edilir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Dolayısıyla, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma" göreviyle karşı karşıya kaldığınızda aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = A 2 *√3 / 4,

burada A eşkenar üçgenin kenarıdır.

Heron'un formülü

Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron formülüdür. Bunu kullanabilmek için şeklin üç tarafının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

burada a, b ve c belirli bir üçgenin kenarlarıdır.

Bazen problem şu şekilde verilir: "Düzenli bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunu bulmaktır." Bu durumda, normal bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmamız ve bundan kenarın (veya karesinin) değerini çıkarmamız gerekir:

bir 2 = 4S / √3.

Sınav görevleri

Matematikte GIA problemlerinde birçok formül bulunmaktadır. Ek olarak, çoğu zaman kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak gerekir.

Bu durumda, şeklin kenarlarından birinin yüksekliğini çizmek, hücrelerden uzunluğunu belirlemek ve alanı bulmak için evrensel formülü kullanmak en uygunudur:

Yani makalede sunulan formülleri inceledikten sonra herhangi bir üçgenin alanını bulmakta herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmaya uygundur. Formüller, uygulanmalarına ilişkin açıklamalar veya doğruluklarının gerekçeleri ile birlikte bir resim şeklinde sunulur. Ayrıca ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembolleri ile çizimdeki grafik sembolleri arasındaki yazışmayı gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan ek özel formülleri de kullanabilirsiniz:

• "Eşkenar üçgenin alanı formülü"

Üçgen alan formülleri

Formüllere ilişkin açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
R- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β - üçgenin b kenarının karşısındaki açı
γ - üçgenin c kenarının karşısındaki açı
H A, H B , H C- a, b, c kenarlarına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen gösterimlerin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın; böylece gerçek bir geometri problemini çözerken, doğru değerleri formülde doğru yerlere yerleştirmeniz görsel olarak daha kolay olacaktır.

• Üçgenin alanı Üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin alçaltıldığı kenar uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, rastgele bir üçgeni iki dikdörtgene bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgen haline getirirseniz, o zaman açıkçası bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problemi çözme örneğine bakın). Öncekinden farklı gibi görünse de kolaylıkla ona dönüştürülebilir. Yüksekliği B açısından b kenarına indirirsek, dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a tarafının ve γ açısının sinüsünün çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. , bu bize önceki formülü verir
• Keyfi bir üçgenin alanı bulunabilir başından sonuna kadar iş içine yazılan dairenin yarıçapının yarısı, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı kadardır(Formül 3), basitçe söylemek gerekirse, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapıyla çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımının, etrafını çevreleyen dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmaktır (tüm kenarların toplamının yarısı)
• Heron'un formülü(6) aynı formülün yarı çevre kavramı kullanılmadan, yalnızca kenarların uzunlukları boyunca gösterimidir
• Keyfi bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin çarpımına ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin bu tarafın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, her bir açısının sinüsleri tarafından çevrelenen dairenin iki karesinin çarpımı olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir tarafın uzunluğu ve bitişik iki açının değerleri biliniyorsa, üçgenin alanı bu tarafın karesinin bu açıların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
• Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanıza olanak tanır köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için (x;y) değerleri olarak belirtilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler bölgesinde olabileceğinden, elde edilen değerin modülo olarak alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıda bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleri verilmiştir. Buraya benzer olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Çözümlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılabilir; burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen basit radikal ifadeler için sembol kullanılabilir. √

Görev. İki kenar verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm olup aralarındaki açı 60 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmındaki iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunabilir ve şuna eşit olacaktır:
S=1/2 abs sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuzdan (formüle göre), yalnızca problem koşullarındaki değerleri formüle koyabiliriz:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda sinüs 60 derecenin değerini bulup ifadeye koyacağız. Üç çarpı ikinin köküne eşit olacak.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7,5 √3 (öğretmenin isteğine bağlı olarak muhtemelen 15 √3/2 bırakabilirsiniz)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Bir kenarı 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulun.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan eşkenar üçgenin alanı formülü şu şekli alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarları 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutları bizim tarafımızdan bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra problemin sorusunu cevaplamak için verilen üçgenin alanını bulacağız, ardından kenarları dört kat daha büyük olan üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize problemin cevabını verecektir.

Aşağıda sorunun çözümünün metinsel açıklamasını adım adım sunuyoruz. Ancak en sonunda aynı çözüm daha uygun bir grafiksel formda sunulmaktadır. İlgilenenler hemen çözümlere inebilirler.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıdaki dersin teorik kısmına bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Herhangi bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c değişkenleriyle belirtilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimde ikinci satıra bakınız)

Gördüğünüz gibi 4, matematiğin genel kurallarına göre dört ifadeden de parantez dışına alınabilecek ortak bir faktördür.
Daha sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısının karekökü mükemmel bir şekilde çıkarıldı, o yüzden onu kökün altından çıkaralım
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 metrekare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin beşinci satırına bakınız)

Problemde sorulan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinal üçgenin alanına bölmemiz yeterli.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyelim.

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolaylıkla tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak da yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne 2'ye bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve şuna bölmeniz gerekir: 4.

Okul geometri müfredatından hatırlayacağınız gibi üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın birbirine bağladığı üç parçadan oluşan bir şekildir. Bir üçgen üç açı oluşturur, dolayısıyla şeklin adı budur. Tanım farklı olabilir. Bir üçgene üç açılı çokgen de denilebilir, cevap da doğru olacaktır. Şekillerde üçgenler eşit kenar sayısına ve açıların büyüklüğüne göre bölünmüştür. Böylece üçgenler sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar, ayrıca dikdörtgen, dar ve geniş olarak ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını seçin; Hangi formülü kullanacağınız size kalmış. Ancak bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan gösterimlerden yalnızca bazılarına dikkat etmek önemlidir. Yani şunu unutmayın:

S üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersinizi tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonları burada bulabilirsiniz. Aşağıda bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler bulunmaktadır. Zor değildir ve hem evinizin ihtiyaçları hem de çocuklarınıza yardım etmek açısından faydalı olacaktır. Bir üçgenin alanının mümkün olduğunca kolay nasıl hesaplanacağını hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Alanın santimetre kare (sqcm) cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Dik üçgen, bir açının 90 dereceye eşit olduğu (bu nedenle dik olarak adlandırılır) bir üçgendir. Bir dik açı iki dik çizgiden oluşur (üçgen durumunda iki dik bölüm). Bir dik üçgende yalnızca bir dik açı olabilir çünkü... Herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Diğer 2 açının kalan 90 dereceyi, örneğin 70 ve 20, 45 ve 45 vb. paylaşması gerektiği ortaya çıktı. Yani asıl meseleyi hatırlıyorsunuz, geriye kalan tek şey dik üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmak. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve onun S alanını bulmamız gerektiğini hayal edelim.

1. Dik üçgenin alanını belirlemenin en basit yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda dik üçgenin alanı: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Prensip olarak üçgenin alanını başka yollarla doğrulamaya artık gerek yok çünkü Sadece bu faydalı olacak ve günlük yaşamda yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüsler, sinüsler ve teğetlerden oluşan bir tablonuz olmalıdır. Kendinize hakim olun, işte hala kullanılabilecek bir dik üçgenin alanını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü kullanmaya karar verdik ve bazı küçük lekelerle (bunu bir deftere çizdik ve eski bir cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Şu sonuçları elde ettik: 3,6=3,7, ancak hücrelerin değişimini hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama göreviyle karşı karşıya kalırsanız, en kolay yol ana olanı ve üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilen şeyi kullanmaktır.

Ama önce ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce onun nasıl bir şekil olduğunu bulalım. İkizkenar üçgen, iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu bir üçgendir. Bu iki tarafa yan, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın; üç tarafı eşit olan düzgün bir üçgen. Böyle bir üçgende açılara veya daha doğrusu boyutlarına ilişkin özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz; ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Üçgen, üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekildir. Basitliği nedeniyle üçgen eski çağlardan beri çeşitli ölçümler yapmak için kullanılmıştır ve bugün bu şekil pratik ve günlük sorunların çözümünde yararlı olabilir.

Bir üçgenin özellikleri

Şekil eski çağlardan beri hesaplamalar için kullanılmaktadır; örneğin, kadastrocular ve gökbilimciler alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özelliklerini kullanırlar. Herhangi bir n-gon'un alanını bu şeklin alanı aracılığıyla ifade etmek kolaydır ve bu özellik eski bilim adamları tarafından çokgenlerin alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Üçgenlerle, özellikle de dik üçgenle sürekli çalışma, tüm matematik dalının - trigonometrinin temeli haline geldi.

Üçgen geometrisi

Geometrik şeklin özellikleri eski çağlardan beri araştırılmaktadır: Üçgenle ilgili en eski bilgi 4.000 yıl öncesine ait Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra şekil Antik Yunan'da incelenmiş ve üçgen geometrisine en büyük katkılar Öklid, Pisagor ve Heron tarafından yapılmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, bir şeklin diklik merkezi ve Euler dairesi kavramını ortaya attı. 19. ve 20. yüzyılların başında, üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği bir zamanda, Frank Morley açı trisektörleri teoremini formüle etti ve Waclaw Sierpinski fraktal üçgeni önerdi.

Okul geometri derslerinden bize tanıdık gelen birkaç tür düz üçgen vardır:

• akut - şeklin tüm köşeleri akut;
• geniş - şeklin bir geniş açısı vardır (90 dereceden fazla);
• dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
• ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
• eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
• Gerçek hayatta her türlü üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.

Bir üçgenin alanı

Alan, bir şeklin düzlemin ne kadarını kapsadığına dair bir tahmindir. Bir üçgenin alanı, yazılı veya çevrelenmiş dairenin kenarlarını, yüksekliğini, açılarını, yarıçapını kullanarak, ayrıca Heron formülünü kullanarak veya düzlemi sınırlayan çizgiler boyunca çift katlı integrali hesaplayarak altı şekilde bulunabilir. Bir üçgenin alanını hesaplamak için en basit formül:

a üçgenin kenarı, h ise yüksekliğidir.

Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak bizim için her zaman uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:

• üç taraf;
• iki kenar ve aralarındaki açı;
• bir tarafı ve iki köşesi.

Üç kenar boyunca alanı belirlemek için Heron formülünü kullanırız:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

burada p üçgenin yarı çevresidir.

İki taraftaki alan ve bir açı klasik formül kullanılarak hesaplanır:

S = a × b × sin(alfa),

burada alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.

Alanı bir kenar ve iki açı cinsinden belirlemek için şu ilişkiyi kullanırız:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Basit bir orantı kullanarak ikinci kenarın uzunluğunu belirleriz ve ardından S = a × b × sin(alfa) formülünü kullanarak alanı hesaplarız. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve yalnızca belirtilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız gerekir. Birkaç örneğe bakalım.

Hayattan örnekler

Kaldırım levhaları

Diyelim ki zemini üçgen fayanslarla döşemek istiyorsunuz ve ihtiyaç duyulan malzeme miktarını belirlemek için bir fayansın alanını ve zeminin alanını bilmeniz gerekiyor. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzeyi işlemeniz gerektiğini varsayalım. Açıkçası, bir üçgenin alanını hesaplamak için hesap makinesi Heron formülünü kullanıyor ve şunu veriyor: sonuç:

Böylece bir karo elemanının alanı 0,021 metrekare olacak ve zemin iyileştirmesi için 6/0,021 = 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları Pisagor üçlüsünü oluşturur. Doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.

Okul görevi

Bir okul probleminde, a tarafının = 5 cm olduğunu ve alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek bir üçgenin alanını bulmanız gerekir. Bu sorunu manuel olarak çözmek için önce en boy oranının ve karşıt açıların sinüslerinin oranını kullanarak b tarafının değerini buluruz ve ardından S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girelim ve anında yanıt alalım

Hesap makinesini kullanırken açıları ve kenarları doğru belirtmek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.

Çözüm

Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda bulunan eşsiz bir figürdür. Herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.