Moivre-Laplace'ın yerel teoremi(1730 Moivre ve Laplace)

$A$ olayının oluşma $p$ olasılığı sabitse ve $p\ne 0$ ve $p\ne 1$ ise, o zaman $P_n (k)$ olasılığı $A$ olayının $k$ olarak ortaya çıkma olasılığıdır $n $ testlerindeki çarpım, $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot fonksiyonunun değerine yaklaşık olarak eşittir ($n$ ne kadar büyük olursa, o kadar doğru olur) \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ varphi (x)$

for $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $ fonksiyonunun değerlerini içeren tablolar vardır

yani \begin(denklem) \label ( eq2 ) P_n (k)\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,where\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(denklem)

function $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ çifttir.

Örnek. Bu olayın her denemede meydana gelme olasılığı $p=0,2$ ise, $A$ olayının 400 denemede tam olarak 80 kez meydana gelme olasılığını bulun.

Çözüm. Eğer $p=0.2$ ise $q=1-p=1-0.2=0.8$ olur.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,where\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(array) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot 0,2\cdot 0,8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0,16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0,3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\approx \frac ( 0,3989 ) ( 20\cdot 0,4 ) =\frac ( 0,3989 ) ( 8 ) =0,0498 \\ \end(array) $

Moivre-Laplace integral teoremi

Her denemede $A$ olayının meydana gelme olasılığı P sabittir ve $p\ne 0$ ve $p\ne 1$, o zaman $A$ olayının $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ olasılığı $n$ denemelerinde $k_ ( 1 ) $'dan $k_ ( 2 ) $ katına kadar meydana gelecektir, eşittir $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi) ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

burada $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ), x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot) q )) ) $,burada

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -tablolardan bulundu

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-odd

Garip fonksiyon. Tablodaki değerler $x=5$ için, $x>5,\Phi (x)=0.5$ için verilmiştir.

Örnek. Ürünlerin %10'unun muayene sırasında reddedildiği bilinmektedir. Kontrol için 625 ürün seçildi. Seçilenler arasında en az 550, en fazla 575 standart ürünün bulunma olasılığı nedir?

Çözüm. %10 kusur varsa %90 standart ürün vardır. Daha sonra koşula göre $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. $ \begin(array) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 )) ) )- \Phi ( elde ederiz ( \frac ( 550-562,5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0,9\cdot 0,1 ) ) ))\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end(array) $

Moivre-Laplace integral teoremi . Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve 0 ve 1'den farklıysa, o zaman A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının m'nin a'dan b'ye (dahil) aralığında olması olasılığı , yeterince büyük bir sayı ile n yaklaşık olarak eşittir

Nerede
- Laplace fonksiyonu (veya olasılık integrali);

,
.

Formüle Moivre-Laplace integral formülü denir. N ne kadar büyükse bu formül o kadar doğrudur. npq ≥ 20 koşulu karşılanırsa integral formülü
tıpkı yerel gibi, kural olarak, pratik için tatmin edici olasılıkların hesaplanmasında hata verir.

Ф(х) fonksiyonu tablo halinde verilmiştir (tabloya bakınız). Bu tabloyu kullanmak için bilmeniz gerekenler fonksiyon özellikleri :

Ф(х) fonksiyonu tektir, yani. Ф(-х) = -Ф(х).

Ф(х) fonksiyonu monoton olarak artmaktadır ve x → +∞ Ф(х) → 1 olduğundan (pratikte bunu zaten x > 4 için Ф(х) ≈ 1 olarak varsayabiliriz).

Örnek . Bazı bölgelerde her 100 aileden 80'inde buzdolabı bulunmaktadır. 400 aileden 300 ila 360 (dahil) ailenin buzdolabına sahip olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Moivre-Laplace integral teoremini uyguluyoruz (npq = 64 ≥ 20). Öncelikle tanımlayalım:

,

.

Şimdi formüle göre
Ф(х)'un özelliklerini dikkate alarak şunu elde ederiz:

(tabloya göre F(2.50) = 0,9876, F(5.0) ≈ 1)

1. Moivre-Laplace integral teoreminin sonuçları (sonuçla birlikte). Örnekler.

Moivre-Laplace integral teoreminin bir sonucunu ele alalım.

Sonuçlar. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve 0 ve 1'den farklıysa, o zaman yeterince büyük sayıda n bağımsız denemeyle olasılık:

a) A olayının meydana gelme sayısı m, nр çarpımından ε değerinden daha fazla farklılık göstermez >
;

b) frekans A olayı α ila β (dahil) aralığında yer alır, yani.
, Nerede
,
.

frekans A olayı, p olasılığından Δ > 0 (mutlak değer olarak) kadar farklılık göstermez;
.

□ 1) Eşitsizlik
pr - E ~ m ~ pr + E çift eşitsizliğine eşdeğerdir. Dolayısıyla integral formülüne göre
:

.

2) Eşitsizlik
a = nα ve b = nβ için a ≤ m ≤ b eşitsizliğine eşdeğerdir. Formüllerde yerine koyma
Ve
,
a ve b değerleri elde edilen ifadeleri kullanarak kanıtlanacak formülleri elde ederiz
Ve
,
.

3) Eşitsizlik
eşitsizlikle eşdeğer
. Formülde yerine koyma

kanıtlanacak formülü elde ederiz
.

Örnek . İstatistiklere göre yeni doğanların ortalama %87'si 50 yaşına kadar yaşıyor. 1000 yeni doğan arasında 50 yaşına kadar hayatta kalanların oranının (sıklığının) aşağıdaki olasılıkları bulun: a) 0,9 ila 0,95 aralığında olması; b) bu ​​olayın olasılığından 0,04'ten (mutlak değer olarak) fazla farklılık göstermeyecek mi?

Çözüm. a) Yeni doğmuş bir bebeğin 50 yaşına kadar yaşama olasılığı p 0,87'dir. Çünkü n = 1000 büyüktür (npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 koşulu sağlanır), o zaman Moivre-Laplace integral teoreminin bir sonucunu kullanırız. Öncelikle tanımlayalım:

,
. Şimdi formüle göre
:

B) Formüle göre
:

Eşitsizlikten bu yana
eşitsizlikle eşdeğer
Elde edilen sonuç, 1000 yeni doğan bebekten 0,83 ila 0,91'inin 50 yaşına kadar yaşayacağının neredeyse kesin olduğu anlamına geliyor.

Rastgele değişken kavramı ve tanımı. ayrık rastgele değişken ve onun dağılım yasası (seri).

Bağımsız rastgele değişkenler. Örnekler. Altında

rastgele değişken test sonucunda duruma bağlı olarak olası değer kümelerinden birini (hangisi önceden bilinmiyor) alan bir değişken olarak anlaşılmaktadır.

Rastgele değişken örnekleri : 1) Moskova'da gün içinde doğan çocukların sayısı; 2) belirli bir partideki kusurlu ürünlerin sayısı; 3) ilk vuruştan önce yapılan atışların sayısı; 4) bir top mermisinin uçuş menzili; 5) tesiste aylık elektrik tüketimi. Rastgele değişken denir

Bağımsız ayrık (süreksiz) , eğer değerleri kümesi sonlu veya sonsuz ise ancak sayılabilir.

sürekli rastgele değişken

Sonsuz sayılamayan değerler kümesi sayı ekseninin belirli bir aralığı (sonlu veya sonsuz) olan bir miktarı anlayacağız. Dolayısıyla, yukarıdaki 1-3. örneklerde ayrık rastgele değişkenlerimiz var (örnek 1 ve 2'de - sonlu bir değer kümesiyle; örnek 3'te - sonsuz ama sayılabilir bir değer kümesiyle); ve örnekler 4 ve 5'te - sürekli rastgele değişkenler.İçin ayrık rastgele değişken
birçok rastgele değişkenin olası değerleri, yani. işlevler için sonlu veya sayılabilir

Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleri X, Y, Z,... ile gösterilir ve değerleri ise karşılık gelen küçük harfler x, y, z,... ile gösterilir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir dağıtım yasasına göre "dağıtıldığı" veya bu dağıtım yasasına "tabi olduğu" söylenir.

Ayrık bir rastgele değişken için dağıtım kanunu m.b. tablo halinde, analitik (formül halinde) ve grafiksel olarak verilmiştir.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasasını belirlemenin en basit biçimi, rastgele değişkenin tüm olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları artan sırada listeleyen bir tablodur (matris), yani.

Bu tabloya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılımına yakın .

X=x 1, X=x 2,...,X=x n olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in x 1, x 2, ... değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur. , x n sırasıyla tutarsızdır ve mümkün olan tek şeydir (çünkü tabloda rastgele değişkenin tüm olası değerleri listelenir), yani. tam bir grup oluşturuyoruz. Dolayısıyla olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Dolayısıyla herhangi bir ayrık rastgele değişken için
.

Dağıtım serisi m.b. Rastgele bir değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunlara karşılık gelen olasılıklar ordinat ekseni boyunca çizilirse grafiksel olarak gösterilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, adı verilen kesikli bir çizgi oluşturur. çokgen veya olasılık dağılım çokgeni .

İki rastgele değişken denir bağımsız Bunlardan birinin dağılım kanunu, diğer miktarın hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa. Yani, eğer ayrık bir rastgele değişken X, x i (i = 1, 2, ..., n) değerlerini alabiliyorsa ve bir rastgele değişken Y, y j (j = 1, 2, ..., m), bu durumda X ve Y ayrık rastgele niceliklerinin bağımsızlığı, herhangi bir i = 1, 2, ... , n ve j = 1, 2, ... için X = x i ve Y = y olaylarının bağımsızlığı anlamına gelir, M. Aksi takdirde rastgele değişkenler çağrılır. bağımlı .

Örneğin , eğer iki farklı para piyango için bilet varsa, o zaman her bir bilet için kazancı (para birimi cinsinden) ifade eden sırasıyla X ve Y rastgele değişkenleri şu şekilde olacaktır: bağımsız, Çünkü bir piyango biletindeki herhangi bir kazanç için (örneğin, X = x i olduğunda), kazançların başka bir bilete (Y) dağıtılması yasası değişmeyecektir.

X ve Y rastgele değişkenleri bir para piyangosunun biletlerindeki kazançları ifade ediyorsa, bu durumda X ve Y bağımlıdır, çünkü bir biletteki herhangi bir kazanç (X = x i), diğer bir biletteki kazanma olasılıklarında bir değişikliğe yol açar. (Y), yani e. ABD'nin dağıtım kanununda bir değişiklik.

Ayrık rastgele nesneler üzerinde matematiksel işlemler kişilikler ve dağıtım yasalarının oluşturulmasına ilişkin örnekler KH, X" 1 , X +K, XV bağımsız vakaların verilen dağılımları sayısal miktarlar X Ve U.

Hadi tanımlayalım matematiksel işlemler ayrık rastgele değişkenler üzerinden.

İki rastgele değişken verilsin:

Bir X rastgele değişkeninin kX ürünü ile sabit bir k değeri arasındaki çarpımı aynı olasılıklarla p i (i = 1,2,...,n) kx i değerlerini alan rastgele bir değişkendir.

M rastgele değişken X'in derecesi, yani.
, değerleri alan rastgele bir değişkendir aynı olasılıklarla p i (i = 1,2,...,n).

X ve Y rastgele değişkenlerinin toplamı (fark veya çarpım) xi+yj (xj-yj veya xj·yj) formundaki tüm olası değerleri alan rastgele bir değişkendir; burada i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, pij olasılıkları ile rastgele değişken X'in xi değerini alması ve y'nin yj değerini alması:

Rastgele değişkenler X ve Y bağımsızsa; X=xi, Y=yj olaylarından herhangi biri bağımsızdır, bu durumda bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre

3not . Ayrık rastgele değişkenler üzerindeki işlemlerin yukarıdaki tanımlarının açıklığa kavuşturulması gerekir: çünkü bazı durumlarda aynı değerler ,
,
pi, pij olasılıkları ile farklı xi, yj için farklı şekillerde elde edilebilir, daha sonra bu tür tekrar eden değerlerin olasılıkları, elde edilen pi veya pij olasılıklarının eklenmesiyle bulunur.

Laplace'ın integral teoremi

Teorem. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve sıfır ve birden farklıysa, o zaman A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının m'nin a'dan b'ye (dahil) aralığında olması olasılığı , yeterince fazla sayıda denemeyle n yaklaşık olarak eşittir

Laplace'ın integral formülü ve Moivre-Laplace'ın yerel formülü ne kadar doğru olursa o kadar fazla olur. N ve değer 0,5'e yaklaştıkça P Ve Q. Bu formül kullanılarak yapılan hesaplama, koşul karşılanırsa önemsiz bir hata verir npq≥ 20, ancak koşulun yerine getirilmesi kabul edilebilir olarak değerlendirilebilir npq > 10.

Fonksiyon Ф( X) tablolaştırılmıştır (bkz. Ek 2). Bu tabloyu kullanmak için Ф( fonksiyonunun özelliklerini bilmeniz gerekir. X):

1. Fonksiyon Ф( X) – tuhaf, yani F(- X) = – Ф( X).

2. Fonksiyon Ф( X) – monoton olarak artan ve x → +∞ Ф( X) → 0,5 (pratik olarak bunu zaten varsayabiliriz X≥ 5F( X) ≈ 0,5).

Örnek 3.4.Örnek 3.3'ün koşullarını kullanarak, 300 ila 360 (dahil) öğrencinin sınavı ilk seferde başarıyla geçme olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Laplace'ın integral teoremini uyguluyoruz ( npq≥ 20). Hesaplıyoruz:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ M≤ 360) = Ф(5,0) – Ф(–2,5).

Ф( fonksiyonunun özellikleri dikkate alınarak X) ve değerler tablosunu kullanarak şunu buluruz: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938.

Aldık P 400 (300 ≤ M ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Laplace integral teoreminin sonuçlarını yazalım.

Sonuç 1. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve sıfır ve birden farklıysa, o zaman yeterince büyük sayıda n bağımsız denemeyle, A olayının meydana gelme sayısının m sayısının np çarpımından farklı olma olasılığı en fazla ε > 0

.

(3.8)

Örnek 3.5.Örnek 3.3'ün koşulları altında, 280 ila 360 öğrencinin olasılık teorisi sınavını ilk seferde başarıyla geçme olasılığını bulun.

Çözüm. Olasılığı hesapla R 400 (280 ≤ M≤ 360), Laplace'ın temel integral formülü kullanılarak önceki örneğe benzer olabilir. Ancak 280 ve 360 ​​aralığının sınırlarının değere göre simetrik olduğunu fark ederseniz bunu yapmak daha kolaydır. n.p.=320. Daha sonra, Sonuç 1'e dayanarak şunu elde ederiz:

= = ≈

≈ = 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,

onlar. İlk seferde 280 ile 360 ​​arasında öğrencinin sınavı başarıyla geçeceği neredeyse kesindir. ◄

Sonuç 2. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve sıfır ve birden farklıysa, o zaman yeterince büyük sayıda n bağımsız denemeyle, A olayının m/n frekansının α aralığında yer alma olasılığı β (dahil) eşittir

,

(3.9)

Örnek 3.6.İstatistiklere göre yeni doğanların ortalama %87'si 50 yaşına kadar yaşıyor. 1000 yeni doğan bebekten 50 yaşına kadar hayatta kalanların oranının (sıklığının) 0,9 ile 0,95 arasında olması olasılığını bulun.

Çözüm. Yeni doğmuş bir bebeğin 50 yaşına kadar yaşama olasılığı R= 0,87. Çünkü N= 1000 büyüktür (yani koşul npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 tatmin edici), o zaman Laplace integral teoreminin Sonuç 2'sini kullanırız. Bulduk:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Sonuç 3. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sabitse ve sıfır ve birden farklıysa, o zaman yeterince büyük sayıda n bağımsız denemeyle, A olayının m/n frekansının p olasılığından farklı olma olasılığı en fazlaΔ > 0 (mutlak değer olarak) eşittir

.

(3.11)

Örnek 3.7.Önceki problemin koşullarına göre, 1000 yenidoğandan 50 yıla kadar hayatta kalanların oranının (sıklığının) bu olayın olasılığından 0,04'ten (mutlak değer olarak) fazla farklı olmayacağı olasılığını bulun.

Çözüm. Laplace integral teoreminin Sonuç 3'ünü kullanarak şunları buluruz:

= 2F(3,76) = 2·0,4999 = 0,9998.

Eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğer olduğundan bu sonuç, yeni doğan 1000 bebekten %83 ila %91'inin 50 yaşına kadar yaşayacağının neredeyse kesin olduğu anlamına geliyor. ◄

Daha önce, bağımsız denemeler için sayının olasılığını belirlemiştik. M olayın meydana gelişleri A V N Bernoulli formülü kullanılarak test bulunur. Eğer N büyükse Laplace'ın asimptotik formülünü kullanın. Ancak olayın olasılığı küçükse bu formül uygun değildir ( R≤ 0,1). Bu durumda ( N Harika, R küçük) Poisson teoremini uygulayın

Poisson formülü

Teorem. Her denemede A olayının meydana gelme olasılığı p sıfıra yaklaşıyorsa (p → 0) n deneme sayısında (n → ∞) sınırsız bir artış varsa ve np çarpımı sabit bir λ (np → λ) sayısına yöneliyorsa, bu durumda A olayının n'de m kez ortaya çıkma olasılığı P n (m) olur. bağımsız denemeler sınır eşitliğini karşılıyor

Teorem 2 (Moivre-Laplace (yerel)). A her birinde N bağımsız testler eşittir R N test olayı A bir kez meydana gelecektir, yaklaşık olarak eşittir (ne kadar çok N fonksiyonun değeri ne kadar doğru olursa

,

Nerede , . Fonksiyon değerleri tablosu ekte verilmiştir. 1.

Örnek 6.5. Diğerleri arasında porçini mantarı bulma olasılığı eşittir. 300 porcini mantarından 75 tanesinin olma olasılığı nedir?

Çözüm. Sorunun koşullarına göre , . Buluyoruz . Bulduğumuz tablodan .

.

Cevap: .

Teorem 3 (Moivre-Laplace (integral)). Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise A her birinde N bağımsız testler eşittir R ve sıfır ve birden farklıysa ve test sayısı yeterince büyükse, o zaman olasılık N başarı sayısını test eder M ve arasındadır, yaklaşık olarak eşittir (ne kadar çoksa) N, daha doğru)

,

Nerede R- Her testte başarı olasılığı, , değerler ekte verilmiştir. 2.

Örnek 6.6. 768 karpuzdan oluşan bir partideki her bir karpuzun olgunlaşmamış olma ihtimali yüksektir. Olgun karpuz sayısının 564 ile 600 arasında olma olasılığını bulun.

Çözüm. Koşula göre Laplace integral teoremine göre

Cevap:

Örnek 6.7. Kenti her gün gün içinde öğle yemeği için dışarı çıkan 1.000 turist ziyaret ediyor. Her biri öğle yemeği için iki şehir restoranından birini eşit olasılıklarla ve birbirinden bağımsız olarak seçer. Restoranlardan birinin sahibi, yaklaşık 0,99 olasılıkla restoranına gelen tüm turistlerin aynı anda orada yemek yiyebilmesini istemektedir. Bunun için restoranında kaç koltuk olmalı?

Çözüm.İzin vermek A= “turist ilgili sahibiyle yemek yedi.” Olay oluşumu A Bunu bir "başarı" olarak kabul edelim , . Bu en küçük sayıyla ilgileniyoruz k gerçekleşme ihtimalinin daha az olmaması k Başarı olasılığı olan bir dizi bağımsız denemede "başarılı" R= 0,5 yaklaşık olarak 1 – 0,99 = 0,01'e eşittir. Bu tam olarak restoranın aşırı kalabalık olma olasılığıdır. Dolayısıyla bu en küçük sayıyla ilgileniyoruz k, Ne . Moivre-Laplace integral teoremini uygulayalım

Buradan şu sonuç çıkıyor

.

Tablonun kullanılması F(X) (Ek 2), buluyoruz , Araç . Bu nedenle restoranın 537 sandalyeye sahip olması gerekiyor.

Cevap: 537 yer.

Laplace'ın integral teoreminden şu formülü elde edebiliriz:

.

Örnek 6.8. 625 bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,8'dir. Bir olayın göreceli oluşma sıklığının, mutlak değerdeki olasılığından 0,04'ten fazla sapmaması olasılığını bulun.

Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının p(0) olduğu n bağımsız denemede olasılık< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Fonksiyon değerleri tablosu φ(x); x'in negatif değerleri için aynı tabloyu kullanın (φ (x) fonksiyonu çifttir: φ(-x) = φ(x)).

Örnek No.1. 700 bağımsız denemenin her birinde, A olayı 0,35 sabit olasılıkla gerçekleşir. A olayının gerçekleşme olasılığını bulun: a) tam olarak 270 kez; b) 270'den az ve 230'dan fazla; c) 270'den fazla kez.
Çözüm. Deney sayısı n=700 oldukça fazla olduğundan Laplace formüllerini kullanıyoruz.
a) Verilen: n = 700, p = 0,35, k = 270.
P 700'ü (270) bulalım. Laplace'ın yerel teoremini kullanıyoruz.
Bulduk:

φ(x) fonksiyonunun değerini tablodan buluyoruz:

b) Verilen: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
P 700'ü bulalım (230)< k < 270).
Laplace'ın integral teoremini (23), (24) kullanıyoruz. Bulduk:

Ф(x) fonksiyonunun değerini tablodan buluyoruz:

c) Verilen: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
P 700'ü (k > 270) bulalım.
Sahibiz:

Örnek No.2. Bir dokuma fabrikasındaki kararlı durum teknolojik prosesinde, saatte 100 iğ başına 10 iplik kopması meydana gelir. Aşağıdakileri belirleyin: a) bir saat içinde 80 iğde 7 iplik kopmasının meydana gelme olasılığı; b) bir saat içinde 80 iğdeki en olası iplik kopması sayısı.
Çözüm. Bir saat içinde bir ipliğin kopmasının istatistiksel olasılığı p = 10/100 = 0,1'dir ve dolayısıyla q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
n büyük olduğundan yerel Laplace teoremi (23) kullanılır. Hesaplıyoruz:

φ(-x) = φ(x) özelliğini kullanalım, φ(0,37) ≈ 0,3726'yı bulalım ve ardından istenilen olasılığı hesaplayalım:

Yani bir saat içinde 80 iğde 7 iplik kopması olasılığı yaklaşık 0,139'dur.
Tekrarlanan testler sırasında bir olayın en olası k0 sayısı formül (14) ile belirlenecektir. Bulduğumuz: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Örnek No. 3. Bir parçanın birinci sınıf olma olasılığı 0,4'tür. 150 parça üretildi. Bunların arasında 68 adet birinci sınıf parçanın olma olasılığını bulun.

Örnek No. 4. Bağımsız denemelerin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı p'dir.
m test yapılırsa olayın n kez meydana gelme olasılığını bulun.
Üç önemli rakama yanıtınızı verin.
р=0,75, n=87, m=120