Lagrange enterpolasyon formülü. Bir fonksiyonun Lagrange polinomlarıyla enterpolasyonu Lagrange enterpolasyon polinomunu bulun

Regresyon, enterpolasyon ve yumuşatma kullanarak eğrileri ve yüzeyleri verilere uydurma

Curve Fitting Toolbox™, eğrileri ve yüzeyleri verilere uydurmak için uygulama ve işlevsellik sağlar. Araç kutusu, keşfedici veri analizi, işlem öncesi ve işlem sonrası verileri gerçekleştirmenize, aday modelleri karşılaştırmanıza ve aykırı değerleri kaldırmanıza olanak tanır. Sağlanan doğrusal ve doğrusal olmayan model kitaplığını kullanarak regresyon analizi yapabilir veya kendi denklemlerinizi tanımlayabilirsiniz. Kitaplık, uyumlarınızın kalitesini artırmak için optimize edilmiş çözücü parametreleri ve başlangıç ​​koşulları sağlar. Araç kutusu ayrıca spline, enterpolasyon ve yumuşatma gibi parametrik olmayan modelleme tekniklerini de destekler.

Uyum oluşturulduktan sonra çizim, enterpolasyon ve ekstrapolasyon için çeşitli işlem sonrası teknikler uygulanabilir; güven aralıklarının değerlendirilmesi; ve integrallerin ve türevlerin hesaplanması.

Başlarken

Eğri Uydurma Araç Kutusunun temellerini öğrenin

Doğrusal ve doğrusal olmayan regresyon

Doğrusal ve doğrusal olmayan kitaplık modelleri ve özel modellerle eğrileri veya yüzeyleri sığdırın

Enterpolasyon

Enterpolasyon eğrilerini veya yüzeylerini sığdırın, bilinen veri noktaları arasındaki değerleri tahmin edin

Pürüzsüzleştirme

Uygun yumuşatma, slot ve yerelleştirilmiş regresyonu, hareketli ortalamayla düzeltilmiş verileri ve diğer filtreleri kullanır

Uygun işlem sonrası

Grafiksel çıktı, aykırı değerler, artıklar, güven aralıkları, doğrulama verileri, integraller ve türevler, MATLAB ® kodu üretir

Spline'lar

Verili veya verisiz spline'lar oluşturun; ppform, B-formu, tensör çarpımı, rasyonel ve stform ince plaka spline'ları

Lagrange polinomu

Lagrange enterpolasyon polinomu- belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. İçin N+ 1 çift sayı, burada her şey X Ben farklıdır, benzersiz bir polinom vardır L(X) derece artık yok N, bunun için L(X Ben) = sen Ben .

En basit durumda ( N= 1), grafiği verilen iki noktadan geçen düz bir çizgi olan doğrusal bir polinomdur.

Tanım

Bu örnek, dört nokta (-9,5), (-4,2), (-1,-2) ve (7,9)'un yanı sıra polinomlar için Lagrange enterpolasyon polinomunu gösterir. y j l j (x), her biri seçilen noktalardan birinden geçer, geri kalanında sıfır değeri alır x ben

Fonksiyon için izin ver F(X) değerleri biliniyor sen J = F(X J) bazı noktalarda. Daha sonra bu fonksiyonu şu şekilde enterpolasyona tabi tutabiliriz:

özellikle,

İntegrallerin değerleri ben J bağlı değil F(X) ve sırayı bilerek önceden hesaplanabilirler X Ben .

Bir segment üzerinde enterpolasyon düğümlerinin düzgün dağılımı durumu için

Bu durumda ifade edebiliriz X Ben enterpolasyon düğümleri h ile başlangıç ​​noktası arasındaki mesafe boyunca X 0 :

ve bu nedenle

Bu ifadeleri temel polinom formülünde yerine koyarak ve pay ve paydadaki çarpım işaretlerinden h'yi çıkararak şunu elde ederiz:

Artık değişken bir değişiklik uygulayabilirsiniz

ve bir polinom elde edin sen yalnızca tamsayı aritmetiği kullanılarak oluşturulur. Bu yaklaşımın dezavantajı, sayıların çok baytlı gösterimi ile algoritmaların kullanılmasını gerektiren pay ve paydanın faktöriyel karmaşıklığıdır.

Dış bağlantılar

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Lagrange polinomunun” ne olduğuna bakın: Belirli bir f(x) fonksiyonunun x 0, x1,..., x n düğümlerinde enterpolasyonu ile n dereceli bir polinomun (Lagrange enterpolasyon polinomu) gösterim şekli: x i değerlerinin eşit uzaklıkta olması durumunda, yani (x x0)/h=t formülü (1) gösterimini kullanarak… …

Matematik Ansiklopedisi

Matematikte, tek değişkenli polinomlar veya polinomlar, ci'nin sabit katsayılar ve x'in bir değişken olduğu formun fonksiyonlarıdır. Polinomlar temel fonksiyonların en önemli sınıflarından birini oluşturur. Polinom denklemleri ve çözümlerinin incelenmesi... ... Vikipedi

Hesaplamalı matematikte Bernstein polinomları, temel Bernstein polinomlarının doğrusal bir kombinasyonu olan cebirsel polinomlardır. Bernstein formundaki polinomları hesaplamak için kararlı bir algoritma algoritmadır... ... Vikipedi

Belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. Hepsi farklı olan sayı çiftleri için, en fazla bunun için benzersiz bir derece polinomu vardır. En basit durumda (... Vikipedi

Belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. Hepsi farklı olan sayı çiftleri için, en fazla bunun için benzersiz bir derece polinomu vardır. En basit durumda (... Vikipedi

Fonksiyon hakkında bkz.: İnterpolant. Hesaplamalı matematikte enterpolasyon, mevcut ayrı bir bilinen değerler kümesinden bir miktarın ara değerlerini bulma yöntemidir. Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarıyla uğraşanların çoğu sıklıkla... Vikipedi

Fonksiyon hakkında bkz.: İnterpolant. Hesaplamalı matematikte enterpolasyon, enterpolasyon, mevcut ayrı bir bilinen değerler kümesinden bir miktarın ara değerlerini bulma yöntemidir. Bilimsel ve... ... Vikipedi ile karşılaşanların çoğu

Formda bir enterpolasyon polinomu oluşturacağız

dereceden daha yüksek olmayan polinomlar nerede P, aşağıdaki özelliğe sahip:

Aslında bu durumda her düğümdeki polinom (4.9) x j, j=0,1,…n, karşılık gelen fonksiyon değerine eşittir y j yani interpolatiftir.

Böyle polinomlar oluşturalım. x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n olduğundan, aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz

burada c bir sabittir. Bunu elde ettiğimiz koşuldan

İnterpolasyon polinomu (4.1), şeklinde yazılmıştır

Lagrange interpolasyon polinomu denir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki yaklaşık değeri X* Lagrange polinomu kullanılarak hesaplanan , artık hataya (4.8) sahip olacaktır. Fonksiyon değerleri ise sen ben enterpolasyon düğümlerinde x ben yaklaşık olarak aynı mutlak hatayla verilirse, kesin değer yerine yaklaşık değer hesaplanacak ve

Lagrange enterpolasyon polinomunun hesaplamalı mutlak hatası nerede. Son olarak, yaklaşık değerin toplam hatasına ilişkin aşağıdaki tahmine sahibiz.

Özellikle birinci ve ikinci dereceden Lagrange polinomları şu şekilde olacaktır:

ve x noktasındaki toplam hataları *

Aynı enterpolasyon polinomunu (4.1) yazmanın başka biçimleri de vardır; örneğin Newton'un bölünmüş farklara sahip enterpolasyon formülü ve aşağıda ele alınan çeşitleri. Değeri doğru bir şekilde hesaplarken Pn(x*) Aynı düğümler kullanılarak oluşturulan farklı enterpolasyon formüllerinden elde edilen , çakışıyor. Hesaplama hatasının varlığı bu formüllerden elde edilen değerlerde farklılıklara yol açmaktadır. Bir polinomun Lagrange formunda yazılması genellikle daha küçük bir hesaplama hatasına yol açar.

Enterpolasyon sırasında ortaya çıkan hataları tahmin etmek için formüllerin kullanılması problemin formülasyonuna bağlıdır. Örneğin, düğümlerin sayısı biliniyorsa ve fonksiyon yeterince fazla sayıda doğru işaretle verilmişse, o zaman hesaplama görevini ayarlayabiliriz. f(x*) Mümkün olan en yüksek doğrulukla. Aksine, doğru işaretlerin sayısı az ve düğümlerin sayısı büyükse, o zaman hesaplama problemini ortaya koyabiliriz. f(x*) Fonksiyonun tablo değerinin izin verdiği doğrulukta ve bu sorunu çözmek için tablonun hem seyrekleştirilmesi hem de sıkıştırılması gerekebilir.

§4.3. Ayrılmış farklar ve özellikleri.

Bölünmüş fark kavramı, türevin genelleştirilmiş bir kavramıdır. Fonksiyonların değerleri x 0 , x 1 ,…x n noktalarında verilsin f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Birinci dereceden bölünmüş farklar eşitliklerle tanımlanır

ikinci dereceden farkları eşitliklerle ayırdı,

ve bölünmüş farklılıklar k sıra aşağıdaki yinelenen formülle belirlenir:

Bölünmüş farklar genellikle aşağıdaki gibi bir tabloya yerleştirilir:

Bölünmüş farkların aşağıdaki özelliklerini göz önünde bulundurun.

1. Tüm mertebelerin bölünmüş farkları değerlerin doğrusal birleşimidir f(xi) yani aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu formülün geçerliliğini farklar sırasına göre tümevarımla kanıtlayalım. Birinci dereceden farklar için

Formül (4.12) doğrudur. Şimdi bunun tüm sıra farklılıkları için geçerli olduğunu varsayalım.

Daha sonra (4.11) ve (4.12)'ye göre sıra farklılıkları için k=n+1 sahibiz

Aşağıdakileri içeren terimler f(x0) Ve f(xn +1), gerekli forma sahip olun. içeren terimleri ele alalım. f(xi), i=1, 2, …,n. Birinci ve ikinci toplamlardan böyle iki terim vardır:

onlar. formül (4.12) sıra farkı için geçerlidir k=n+1, kanıt tamamlandı.

2. Bölünmüş fark, x 0 , x 1 ,…x n argümanlarının simetrik bir fonksiyonudur (yani herhangi bir yeniden düzenlemeyle değişmez):

Bu özellik doğrudan eşitlikten (4.12) kaynaklanır.

3. Basit bölünmüş fark ilişkisi F ve türev f(n)(x) aşağıdaki teoremi verir.

x 0 , x 1 ,…x n düğümleri segmente ait olsun ve işlev f(x) bu aralıkta mertebenin sürekli bir türevi vardır N. O zaman böyle bir nokta var xÎ, Ne

İlk önce ilişkinin geçerliliğini kanıtlayalım

(4.12)’ye göre köşeli parantez içindeki ifade;

F.

Kalan terim için (4.14) ifadesinin (4.7) karşılaştırmasından R n (x)=f(x)-L n (x)(4.13)’ü elde ettiğimizde teorem kanıtlanmıştır.

Bu teoremden basit bir sonuç çıkar. Bir polinom için N derece

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

türev siparişi N belli ki var

ve ilişki (4.13) bölünmüş fark için değeri verir

Yani her polinomun dereceleri vardır N ayrılmış sıra farklılıkları N sabit bir değere eşittir - polinomun en yüksek derecesinin katsayısı. Daha yüksek derecelerin ayrılmış farkları
(Daha N), açıkça sıfıra eşittir. Ancak bu sonuç ancak ayrılan farklarda herhangi bir hesaplama hatasının olmaması durumunda geçerlidir.

§4.4. Newton'un bölünmüş fark enterpolasyonu polinomu

Lagrange enterpolasyon polinomunu aşağıdaki biçimde yazalım:

Nerede L 0 (x) = f(x 0)=y 0, A Lk(x)– Derecenin Lagrange interpolasyon polinomu k, düğümler tarafından oluşturulmuş x 0 , x 1 , …,x k. O zaman bir derece polinomu vardır k kökleri noktalar olan x 0 , x 1 , …,x k -1. Bu nedenle çarpanlara ayrılabilir

burada A k bir sabittir.

(4.14)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

(4.16) ve (4.17)'yi karşılaştırdığımızda (4.15)'in aynı zamanda şu formu aldığını görüyoruz:

buna Newton'un bölünmüş fark enterpolasyonu polinomu denir.

Enterpolasyon polinomunun bu şekilde kaydedilmesi daha görseldir (bir düğümün eklenmesi bir terimin görünümüne karşılık gelir) ve matematiksel analizin temel yapılarıyla yürütülen yapıların analojisini daha iyi izlememize olanak tanır.

Newton enterpolasyon polinomunun artık hatası formül (4.8) ile ifade edilir, ancak (4.13) dikkate alınarak başka bir biçimde yazılabilir.

onlar. artık hata polinomda atılan ilk terimin modülü ile tahmin edilebilir Nn(x*).

Hesaplama hatası Nn(x*) ayrılan farkların hataları ile belirlenecektir. Enterpolasyonlu değere en yakın enterpolasyon düğümleri X*, enterpolasyon polinomu üzerinde daha büyük bir etkiye sahip olacak, daha uzakta bulunanlar ise daha az etkiye sahip olacaktır. Bu nedenle, eğer mümkünse, tavsiye edilir. x 0 Ve x 1 en yakın olanı al X* enterpolasyon düğümleri ve ilk önce bu düğümler boyunca doğrusal enterpolasyon gerçekleştirin. Daha sonra aşağıdaki düğümleri yavaş yavaş çekin, böylece birbirlerine göre mümkün olduğunca simetrik olarak yerleşsinler. X*, mutlak değerdeki bir sonraki terim, kendisine dahil edilen bölünmüş farkın mutlak hatasından küçük olana kadar.

Hesaplama pratiğinde, bazı sonlu değerler kümesi için değerlerinin tabloları tarafından belirtilen işlevlerle sıklıkla uğraşmak gerekir. X : .

Sorunu çözme sürecinde değerleri kullanmak gerekir.
ara argüman değerleri için. Bu durumda, hesaplamalar için yeterince basit olan ve verilen noktalarda F(x) fonksiyonunu oluşturun. X 0 , X 1 ,...,X N , enterpolasyon düğümleri olarak adlandırılır, değerleri alır ve tanım alanına ait olan segmentin (x 0 ,x n) geri kalan noktalarında
, yaklaşık olarak işlevi temsil eder
değişen derecelerde doğrulukla.

Bu durumda sorunu çözerken işlev yerine
Ф(x) fonksiyonuyla çalıştırın. Böyle bir F(x) fonksiyonunu oluşturma problemine enterpolasyon problemi denir. Çoğu zaman, enterpolasyon fonksiyonu Ф(x) cebirsel bir polinom biçiminde bulunur.

1. Enterpolasyon polinomu

Her fonksiyon için
, [ üzerinde tanımlı a,b] ve herhangi bir düğüm kümesi X 0 , X 1 ,....,X N (X Ben
[a,b], X Ben X J bende j) derecesi n'den yüksek olmayan cebirsel polinomlar arasında, şu şekilde yazılabilen benzersiz bir enterpolasyon polinomu Ф(x) vardır:

, (3.1)

Nerede
- aşağıdaki özelliğe sahip n'inci dereceden bir polinom:

Bir enterpolasyon polinomu için polinom
şu forma sahiptir:

Bu polinom (3.1) enterpolasyon problemini çözer ve Lagrange enterpolasyon polinomu olarak adlandırılır.

Örnek olarak formun bir fonksiyonunu düşünün
aralıkta
tablo halinde belirtilir.

Fonksiyonun değerinin x-2.5 noktasında belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için Lagrange polinomunu kullanalım. Formüllere (3.1 ve 3.3) dayanarak, bu polinomu açık biçimde yazıyoruz:

(3.4).

Daha sonra tablomuzdaki başlangıç ​​değerlerini formül (3.4)'e değiştirerek şunu elde ederiz:

Elde edilen sonuç teoriye karşılık gelir; .

1. Lagrange enterpolasyon formülü

Lagrange enterpolasyon polinomu başka bir biçimde yazılabilir:

(3.5)

Bir polinomun (3.5) formunda yazılması programlama için daha uygundur.

İnterpolasyon problemini çözerken miktar N enterpolasyon polinomunun sırası denir. Bu durumda (3.1) ve (3.5) formüllerinden de görülebileceği gibi enterpolasyon düğümlerinin sayısı her zaman şuna eşit olacaktır: n+1 ve anlamı X, bunun için değer belirlenir
, enterpolasyon düğümlerinin tanım alanı içinde yer almalıdır onlar.

. (3.6)

Bazı pratik durumlarda, enterpolasyon düğümlerinin bilinen toplam sayısı M enterpolasyon polinomunun mertebesinden daha büyük olabilir N.

Bu durumda, formül (3.5)'e göre enterpolasyon prosedürünü uygulamadan önce, (3.6) koşulunun geçerli olduğu enterpolasyon düğümlerinin belirlenmesi gerekir. Değeri bulurken en küçük hatanın elde edildiği unutulmamalıdır. X enterpolasyon alanının merkezinde. Bunu sağlamak için aşağıdaki prosedür önerilmektedir:

Enterpolasyonun temel amacı, düğümsel olmayan (ara) argüman değerleri için tablolanmış bir fonksiyonun değerlerini hesaplamaktır; bu nedenle enterpolasyona genellikle "satırlar arasındaki tabloları okuma sanatı" denir.

Formda bir enterpolasyon polinomu arayacağız

VANDERMOND ALEXANDER THEOPHILE (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796) - Ana çalışmaları cebirle ilgili olan Fransız matematikçi. V., determinantlar teorisinin (Vandermonde determinantı) temellerini attı ve mantıksal bir sunumunu yaptı ve ayrıca onu doğrusal denklemler teorisinden izole etti. İkinci dereceden küçükleri kullanarak determinantların genişletilmesi kuralını tanıttı.

Burada 1.(x)- koşulu karşılayan LAGRANG ETKİSİ POLİNOMLARI olarak adlandırılan n dereceli polinomlar

Son koşul herhangi bir polinomun olduğu anlamına gelir l t (x) her biri için sıfıra eşittir x-y hariç X. en yani x 0 y x v ...» x ( _ v x i + v ...» xn bu polinomun kökleridir. Bu nedenle Lagrangian polinomları Eğerjx) gibi görünmek

Koşul gereği 1.(x.) = 1, o zaman

Böylece Lagrangian etki polinomları şu şekilde yazılacaktır:

ve enterpolasyon polinomu (2.5) şu şekilde yazılacaktır:

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (Lagrange Joseph Louis; 1736-1813) - en önemli çalışmaları varyasyonlar hesabı, analitik ve teorik mekanik ile ilgili olan seçkin bir Fransız matematikçi ve tamirci. L.'nin statiği olası (sanal) hareketler ilkesine dayanıyordu. Genelleştirilmiş koordinatları tanıttı ve mekanik bir sistemin hareket denklemlerine kendi adını verdiği biçimi verdi. L. analiz alanında bir dizi önemli sonuç elde etti (Taylor serisinin geri kalanı için formül, sonlu artışlar formülü, koşullu ekstrema teorisi); teoride sayılar(Lagrange teoremi); cebirde (ikinci dereceden formu karelerin toplamına indirgeyen sürekli kesirler teorisi); diferansiyel denklemler teorisinde (bölümü bulma çözümler istenen fonksiyonun türevine bağlı olarak değişken katsayılı, istenen fonksiyona ve bağımsız değişkene göre doğrusal olan birinci dereceden adi diferansiyel denklemin incelenmesi); enterpolasyon teorisinde (Lagrange enterpolasyon formülü).

(2.6) formundaki enterpolasyon polinomuna LAGRANGE ENTERPOLASYON POLİNOMİ adı verilir. Enterpolasyon polinomunu yazmanın bu biçiminin ana avantajlarını sıralayalım.

• Bir Lagrange polinomunu oluşturmak için gereken aritmetik işlemlerin sayısı aşağıdakilerle orantılıdır: n 2 ve tüm gösterim formları için en küçüğüdür.
• Formül (2.6), özellikle sayısal entegrasyon formülleri oluştururken bazı hesaplamalar için uygun olan enterpolasyon düğümlerindeki fonksiyonların değerlerini açıkça içerir.
• Formül (2.6) hem eşit aralıklı hem de eşit olmayan aralıklı düğümler için geçerlidir.
• Lagrange enterpolasyon polinomu, birçok deneysel çalışmada olduğu gibi, fonksiyon değerleri değiştiğinde ancak enterpolasyon düğümleri değişmeden kaldığında özellikle kullanışlıdır.

Bu kayıt şeklinin dezavantajları arasında düğüm sayısı değiştiğinde tüm hesaplamaların yeniden yapılması gerekmesi yer almaktadır. Bu, doğrulukla ilgili sonradan tahminler yapmayı zorlaştırır (hesaplama işlemi sırasında elde edilen tahminler).

ω l f , = (x - x 0)(x - Xj)...(x -) fonksiyonunu tanıtalım. xp)=fl(*“*;)

Dikkat w n + : (x) eşittir derece polinomu n + 1. Daha sonra formül (2.6) şu şekilde yazılabilir:

Lagrange'a göre doğrusal ve ikinci dereceden enterpolasyon formülleri şunlardır:

Lagrange polinomu formül (2.8)'de 1. dereceden bir polinom ve formül (2.9)'da 2. dereceden bir polinomdur.

Bu formüller pratikte en sık kullanılır. Verelim (n + 1) enterpolasyon ünitesi. Bu düğümlerde bir enterpolasyon polinomu oluşturulabilir N derece, (P - 1) birinci dereceden bir polinom ve daha az dereceden büyük bir polinom seti P, bu düğümlerin bazılarına dayanmaktadır. Teorik olarak yüksek dereceli polinomlar maksimum doğruluk sağlar. Bununla birlikte, pratikte, polinomun büyük dereceleri için katsayılar hesaplanırken hataları önlemek için çoğunlukla düşük dereceli polinomlar kullanılır.