Bu dersimizde irrasyonel eşitsizliklerin çözümüne bakacağız ve çeşitli örnekler vereceğiz.
Konu: Denklemler ve eşitsizlikler. Denklem ve eşitsizlik sistemleri
Ders:İrrasyonel eşitsizlikler
İrrasyonel eşitsizlikleri çözerken genellikle eşitsizliğin her iki tarafını da bir dereceye kadar yükseltmek gerekir; bu oldukça sorumlu bir işlemdir. Özelliklerini hatırlayalım.
Her ikisi de negatif değilse eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınabilir, ancak o zaman gerçek bir eşitsizlikten gerçek bir eşitsizlik elde edebiliriz.
Her durumda eşitsizliğin her iki tarafının küpü alınabilir; eğer orijinal eşitsizlik doğruysa, o zaman küpü aldığımızda gerçek eşitsizliği elde ederiz.
Formun bir eşitsizliğini düşünün:
Radikal ifade negatif olmamalıdır. Fonksiyon herhangi bir değeri alabilir; iki durumun dikkate alınması gerekir.
İlk durumda eşitsizliğin her iki tarafı da negatif değil, bunun karesini alma hakkımız var. İkinci durumda sağ taraf negatiftir ve onun karesini alma hakkımız yoktur. Bu durumda eşitsizliğin anlamına bakmak gerekir: burada pozitif ifade (karekök) negatif ifadeden büyüktür, bu da eşitsizliğin her zaman karşılandığı anlamına gelir.
Yani, aşağıdaki çözüm şemasına sahibiz:
Birinci sistemde radikal ifadeyi ayrıca korumuyoruz, çünkü sistemin ikinci eşitsizliği sağlandığında radikal ifadenin otomatik olarak pozitif olması gerekir.
Örnek 1 - eşitsizliği çözün:
Diyagrama göre, iki eşitsizlik sisteminin eşdeğer bir kümesine geçiyoruz:
Örnekleyelim:
Pirinç. 1 - örnek 1'in çözümünün gösterimi
Gördüğümüz gibi mantıksızlıktan kurtulduğumuzda, örneğin karesini alırken bir dizi sistem elde ederiz. Bazen bu karmaşık tasarım basitleştirilebilir. Ortaya çıkan kümede, ilk sistemi basitleştirme ve eşdeğer bir küme elde etme hakkına sahibiz:
Bağımsız bir uygulama olarak bu kümelerin denkliğini kanıtlamak gerekir.
Formun bir eşitsizliğini düşünün:
Önceki eşitsizliğe benzer şekilde iki durumu ele alıyoruz:
İlk durumda eşitsizliğin her iki tarafı da negatif değil, bunun karesini alma hakkımız var. İkinci durumda sağ taraf negatiftir ve onun karesini alma hakkımız yoktur. Bu durumda eşitsizliğin anlamına bakmak gerekir: Burada pozitif ifade (karekök) negatif ifadeden küçüktür, bu da eşitsizliğin çelişkili olduğu anlamına gelir. İkinci sistemi düşünmeye gerek yok.
Eşdeğer bir sistemimiz var:
Bazen irrasyonel eşitsizlikler grafiksel olarak çözülebilir. Bu yöntem, karşılık gelen grafiklerin oldukça kolay bir şekilde oluşturulabildiği ve kesişme noktalarının bulunabildiği durumlarda uygulanabilir.
Örnek 2 - eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün:
A) 
B) 
İlk eşitsizliği zaten çözdük ve cevabı biliyoruz.
Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözmek için, sol tarafta fonksiyonun grafiğini ve sağ tarafta fonksiyonun grafiğini oluşturmanız gerekir.
Pirinç. 2. Fonksiyonların grafikleri ve
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için parabolü bir parabole dönüştürmek (bunu y eksenine göre yansıtmak) ve elde edilen eğriyi 7 birim sağa kaydırmak gerekir. Grafik, bu fonksiyonun tanım alanında monoton bir şekilde azaldığını doğrulamaktadır.
Bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve oluşturulması kolaydır. Y ekseniyle kesişme noktası (0;-1)'dir.
Birinci fonksiyon monoton olarak azalır, ikincisi ise monoton olarak artar. Denklemin bir kökü varsa, o zaman tek kök budur; bunu grafikten tahmin etmek kolaydır: .
Argümanın değeri kökten küçük olduğunda parabol düz çizginin üzerindedir. Argümanın değeri üç ile yedi arasında olduğunda düz çizgi parabolün üzerinden geçer.
Cevabımız var:
İrrasyonel eşitsizlikleri çözmenin etkili bir yöntemi aralık yöntemidir.
Örnek 3 - eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözün:
A)
B)
Aralık yöntemine göre geçici olarak eşitsizlikten uzaklaşmak gerekiyor. Bunu yapmak için, verilen eşitsizlikteki her şeyi sol tarafa taşıyın (sağda sıfır olsun) ve sol tarafa eşit bir fonksiyon tanıtın:
Şimdi ortaya çıkan fonksiyonu incelememiz gerekiyor.
ODZ: 
Bu denklemi zaten grafiksel olarak çözdük, bu yüzden kökü belirleme üzerinde durmuyoruz.
Şimdi sabit işaretli aralıkları seçmek ve her aralıkta fonksiyonun işaretini belirlemek gerekir:
Pirinç. 3. İşaret sabitliği aralıkları örneğin 3
Bir aralıktaki işaretleri belirlemek için bir deneme noktası alıp onu fonksiyona koymak gerektiğini, sonuçta ortaya çıkan işaretin tüm aralık boyunca fonksiyon tarafından tutulacağını hatırlayalım.
Sınır noktasındaki değeri kontrol edelim:
Cevap açıktır:
Aşağıdaki eşitsizlik türlerini göz önünde bulundurun:
İlk önce ODZ'yi yazalım:
Kökler mevcut, negatif değiller, her iki tarafın karesini alabiliriz. Şunu elde ederiz:
Eşdeğer bir sistemimiz var:
Ortaya çıkan sistem basitleştirilebilir. İkinci ve üçüncü eşitsizlikler sağlandığında birinci eşitsizlik otomatik olarak doğrudur. Sahibiz:: 
Örnek 4 - eşitsizliği çözün:
Şemaya göre hareket ediyoruz - eşdeğer bir sistem elde ediyoruz.
Kökün altında bir fonksiyon içeren herhangi bir eşitsizliğe denir mantıksız. Bu tür eşitsizliklerin iki türü vardır:
İlk durumda kök, g(x) fonksiyonundan küçüktür, ikinci durumda ise daha büyüktür. Eğer g(x) - devamlı eşitsizlik büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Lütfen unutmayın: görünüşte bu eşitsizlikler çok benzer, ancak çözüm şemaları temelde farklıdır.
Bugün birinci türden irrasyonel eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz - bunlar en basit ve en anlaşılır olanlardır. Eşitsizlik işareti katı veya katı olmayabilir. Onlar için şu ifade doğrudur:
Teorem. Formun herhangi bir irrasyonel eşitsizliği
Eşitsizlik sistemine eşdeğer:
Zayıf değil mi? Bu sistemin nereden geldiğine bakalım:
- f (x) ≤ g 2 (x) - burada her şey açık. Bu orijinal eşitsizliğin karesidir;
- f(x) ≥ 0 kökün ODZ'sidir. Size hatırlatmama izin verin: aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılar;
- g(x) ≥ 0 kökün aralığıdır. Eşitsizliğin karesini alarak negatifleri yakıyoruz. Sonuç olarak ekstra kökler görünebilir. g(x) ≥ 0 eşitsizliği bunları keser.
Birçok öğrenci sistemin ilk eşitsizliğine "takılıyor": f (x) ≤ g 2 (x) - ve diğer ikisini tamamen unutuyor. Sonuç tahmin edilebilir: Yanlış karar, kaybedilen puanlar.
İrrasyonel eşitsizlikler oldukça karmaşık bir konu olduğundan gelin 4 örneğe aynı anda bakalım. Temelden gerçekten karmaşığa. Tüm problemler Moskova Devlet Üniversitesi giriş sınavlarından alınır. M. V. Lomonosov.
Problem çözme örnekleri
Görev. Eşitsizliği çözün:
Önümüzde bir klasik irrasyonel eşitsizlik: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - sabit. Sahibiz:
Çözümün sonunda üç eşitsizlikten yalnızca ikisi kaldı. Çünkü 2 ≥ 0 eşitsizliği her zaman geçerlidir. Kalan eşitsizlikleri geçelim:
Yani x ∈ [−1,5; 0,5]. Tüm noktalar gölgelidir çünkü eşitsizlikler katı değil.
Görev. Eşitsizliği çözün:
Teoremi uyguluyoruz:
İlk eşitsizliği çözelim. Bunu yapmak için farkın karesini ortaya çıkaracağız. Sahibiz:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. Orada da ikinci dereceden üç terimli:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
