1.1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden
Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.
Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu.
Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler
Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, arsa alanlarının bulunması ve askeri nitelikteki kazı çalışmaları ile ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından da kaynaklanmıştır. astronomi ve matematiğin gelişmesinde olduğu gibi. Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 civarında çözebildiler. Modern cebirsel gösterimi kullanarak, çivi yazılı metinlerinde eksik olanlara ek olarak, örneğin tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz:
Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.
Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalarla birlikte sunulan ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.
Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.
Örneğin, görevlerinden biri burada.
Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”
Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eğer eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani 10 + x. Diğeri daha azdır, yani 10 - x. Aralarındaki fark 2x. Dolayısıyla denklem:
(10+x)(10-x) =96,
Dolayısıyla x = 2. Gerekli sayılardan biri 12, diğeri 8'dir. Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir.
Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:
Diophantus'un gerekli sayıların yarı farkını bilinmeyen olarak seçerek çözümü basitleştirdiği açıktır; sorunu tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başarır.
Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler
İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:
ax 2 + bx = c, a> 0. (1)
Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.
Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.
Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.
Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.
Problem 3'e karşılık gelen denklem:
Bhaskara kisvesi altında yazıyor:
x 2 - 64x = - 768
ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 32 2 eklenir ve şunu elde edilir:
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x 1 = 16, x 2 = 48.
El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri
El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:
1) “Kareler köklere eşittir” yani ax 2 = bx.
2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax 2 = c.
3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c.
4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax 2 + c = bx.
5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax 2 + bx = c.
6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax 2.
Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi, sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi belirli sayısal örnekleri ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak çözüm kurallarını ortaya koyuyor.
Bir örnek verelim.
Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun” (x 2 + 21 = 10x denkleminin kökü anlamına gelir).
Çözüm: Kök sayısını ikiye bölün, 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle çarpın, sonuçtan 21 çıkarın, kalan 4 olur. 4'ten kökü alın, 2 elde edersiniz. 5'ten 2 çıkarın, 3 elde edersiniz, bu aradığınız kök olacak. Veya 2'yi 5'e ekleyin, bu da 7'yi verir, bu da bir köktür.
El-Khorezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.
12.-17. yüzyıllarda Avrupa'da ikinci dereceden denklemler.
Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu.
Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x 2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544 yılında M. Stiefel tarafından formüle edildi.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Vieth'te mevcuttur, ancak Vieth yalnızca pozitif kökleri tanımıştır. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir şekil alıyor.
Pratik problemlerin çözümüne yönelik cebirsel yöntemlerin kökenleri, antik dünyanın bilimiyle ilişkilidir. Matematik tarihinden bilindiği gibi, Mısırlı, Sümerli, Babilli katip-hesapçıların (MÖ XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematiksel nitelikteki problemlerin önemli bir kısmı hesaplamalı nitelikteydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin Babil hesap makineleri, modern sınıflandırma açısından ikinci derece denklemlere indirgenebilecek problemleri çözebildiler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.
Bu çalışma başka bir dönemde, ilk olarak denklemlerin standart bir forma getirilmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi: benzer terimleri getirmek, terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarmak. işaret değişikliği. Ve daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.
Dolayısıyla denklem kavramıyla ilgili materyalin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, modern matematik yöntemlerinde incelenmesi, kökeni ve işleyişinin üç ana alanıyla ilişkilidir.
Araştırma çalışması
Konu hakkında
"İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri"
Tamamlanmış:
grup 8 "G" sınıfı
İşin başı:
Benkovskaya Maria Mihaylovna
Projenin amaç ve hedefleri.
1. Diğer bilimler gibi matematiğin de çözülmemiş gizemleri olduğunu gösterin.
2. Matematikçilerin standart dışı düşünmeyle ayırt edildiğini vurgulayın. Ve bazen iyi bir matematikçinin yaratıcılığı ve sezgisi sizi hayrete düşürür!
3. İkinci dereceden denklemleri çözme girişiminin matematikte yeni kavram ve fikirlerin geliştirilmesine katkıda bulunduğunu gösterin.
4. Çeşitli bilgi kaynaklarıyla çalışmayı öğrenin.
5. Matematikte araştırma çalışmalarına devam edin
Araştırma aşamaları
1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi.
2. İkinci dereceden denklemin tanımı ve çeşitleri.
3. İkinci dereceden denklemlerin diskriminant formülünü kullanarak çözülmesi.
4. François Viète ve teoremi.
5. İkinci dereceden bir denklemin köklerini hızlı bir şekilde bulmak için katsayıların özellikleri.
6. Pratik yönelim.
Denklemler, teoremler aracılığıyla
Bir çok problemi çözdüm.
(Chaucer, İngiliz şair, Orta Çağ.)
sahne. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi.
Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, askeri nitelikteki arazi ve hafriyat alanlarının yanı sıra astronomi ve matematiğin kendisinin gelişimi.
Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 yıllarında çözebildiler. Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern olanlarla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kuralı nasıl buldukları bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor.
Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.
Diophantus'un Aritmetiği, açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir, ancak cebirin sistematik bir sunumunu içermez.
İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, 499'da derlenen "Aryabhattiam" astronomi incelemelerinde zaten bulunmaktadır. Hintli matematikçi ve astronom Aryabhatta. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:
El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem listeliyor. Negatif sayıları bilmeyen El-Harizmi için her denklemin terimleri çıkarılabilir değil, toplamadır. Aynı zamanda, pozitif çözümü olmayan denklemler açıkça dikkate alınmaz; eksik ikinci dereceden bir denklemi çözerken, el-Khorezmi, 17. yüzyıla kadar tüm bilim adamları gibi sıfır çözümünü hesaba katmaz.
El-Harizmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını ve bunların çözümüne yönelik formülleri sistematik olarak ortaya koyan, bize ulaşan ilk kitaptır.
Avrupa'da Harizmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı Abaküs Kitabı'nda ortaya konmuştur. Bu hacimli çalışma, sunumunun bütünlüğü ve netliği ile öne çıkıyor. Yazar bağımsız olarak problemlerin çözümü için bazı yeni cebirsel yöntemler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. “Abaküs Kitabı”ndaki pek çok problem, 16. - 17. ve kısmen 18. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarına aktarılmıştır.
Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel kural 
b, c katsayılarının tüm olası işaret kombinasyonları için Avrupa'da yalnızca 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Vieth'te mevcuttur, ancak Vieth yalnızca pozitif kökleri tanımıştır. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli, 16. yüzyılda yalnızca olumlu değil, aynı zamanda olumsuz kökleri de hesaba katan ilk kişiler arasındaydı. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemi ancak 17. yüzyılda Girrard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde modern şeklini aldı.
ÇIKTI:
İkinci dereceden denklemleri içeren problemlerle 499 gibi erken bir tarihte karşılaşıldı.
Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı - OLİMPİYATLAR .
©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2016-04-11
Kopyevskaya kırsal orta öğretim okulu
İkinci Dereceden Denklemleri Çözmenin 10 Yolu
Başkan: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
matematik öğretmeni
köy Kopevo, 2007
1. İkinci dereceden denklemlerin gelişiminin tarihi
1.1 Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler
1.2 Diophantus ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdü?
1.3 Hindistan'da ikinci dereceden denklemler
1.4 El-Khorezmi'nin ikinci dereceden denklemleri
1.5 Avrupa XIII - XVII yüzyıllarda ikinci dereceden denklemler
1.6 Vieta teoremi hakkında
2. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
Çözüm
Edebiyat
1. İkinci dereceden denklemlerin gelişiminin tarihi
1.1 Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler
Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, arsa alanlarının bulunması ve askeri nitelikteki kazı çalışmaları ile ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından da kaynaklanmıştır. astronomi ve matematiğin gelişmesinde olduğu gibi. İkinci dereceden denklemler MÖ 2000 civarında çözülebildi. e. Babilliler.
Modern cebirsel gösterimi kullanarak, çivi yazılı metinlerinde eksik olanlara ek olarak, örneğin tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor.
Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.
1.2 Diophantus ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdü.
Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalarla birlikte sunulan ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.
Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.
Örneğin, görevlerinden biri burada.
Sorun 11.“Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun”
Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani . 10 + x, diğeri daha azdır, yani. 10'lar. Aralarındaki fark 2x .
Dolayısıyla denklem:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Buradan x = 2. Gerekli sayılardan biri eşittir 12 , diğer 8 . Çözüm x = -2 Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için mevcut değildir.
Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözersek denklemin çözümüne ulaşmış oluruz.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Diophantus'un gerekli sayıların yarı farkını bilinmeyen olarak seçerek çözümü basitleştirdiği açıktır; sorunu tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başarır (1).
1.3 Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler
İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:
ah 2 + B x = c, a > 0. (1)
Denklem (1)'de katsayılar hariç A, aynı zamanda negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.
Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.
Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.
Sorun 13.
"Bir sürü oynak maymun ve sarmaşıklar boyunca on iki tane...
Yemek yiyen yetkililer eğlendi. Zıplamaya, asılmaya başladılar...
Meydanda onlar var, sekizinci bölüm. Orada kaç tane maymun vardı?
Açıklıkta eğleniyordum. Söyle bana, bu pakette mi?
Bhaskara'nın çözümü, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini göstermektedir (Şekil 3).
Problem 13'e karşılık gelen denklem:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara kisvesi altında yazıyor:
x 2 - 64x = -768
ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da ekleriz 32 2 , ardından şunu alıyorum:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 El - Khorezmi'de ikinci dereceden denklemler
El-Khorezmi'nin cebirsel eserinde doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırması verilmektedir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:
1) “Kareler köklere eşittir” yani. balta 2 + c = B X.
2) “Kareler sayılara eşittir”, yani. balta 2 = c.
3) “Kökler sayıya eşittir” yani. ah = s.
4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani. balta 2 + c = B X.
5) “Kareler ve kökler sayılara eşittir” yani. ah 2 + bx = s.
6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani. bx + c = eksen 2 .
Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan el-Harezmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri toplamadır, çıkarılamaz. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, bu denklemlerin çözümü için el-cebr ve el-mukabele tekniklerini kullanarak yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararları elbette bizimkilerle tamamen örtüşmüyor. Bunun tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken şunu belirtmek gerekir:
el-Khorezmi, 17. yüzyıldan önceki tüm matematikçiler gibi, sıfır çözümü hesaba katmıyor, çünkü muhtemelen belirli pratik problemlerde bunun bir önemi yok. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, el-Khorezmi belirli sayısal örnekler ve ardından geometrik ispatlar kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyuyor.
Sorun 14.“Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun" (x 2 + 21 = 10x denkleminin kökü anlamına gelir).
Yazarın çözümü şuna benziyor: kök sayısını ikiye bölerseniz 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle çarpın, sonuçtan 21 çıkarın, geriye 4 kalır. 4'ten kökü alın, 2 elde edersiniz. 5'ten 2 çıkarın. 3 elde edersiniz, bu istenen kök olacaktır. Veya 2'yi 5'e ekleyin, bu da 7'yi verir, bu da bir köktür.
El-Harezmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.
1.5 Avrupa'da ikinci dereceden denklemler XIII - XVII bb
Avrupa'da ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk kez 1202 yılında İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından yazılan Abaküs Kitabı'nda El-Harezmi'ye göre ortaya konmuştur. Hem İslam ülkelerinden hem de antik Yunan'dan matematik etkisini yansıtan bu hacimli eser, sunumunun bütünlüğü ve netliği ile öne çıkıyor. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Abaküs Kitabı'ndaki pek çok problem, 16. - 17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanıldı. ve kısmen XVIII.
Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı:
x 2 + bx = c,
katsayı işaretlerinin tüm olası kombinasyonları için B , İle Avrupa'da yalnızca 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Vieth'te mevcuttur, ancak Vieth yalnızca pozitif kökleri tanımıştır. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir biçim alıyor.
1.6 Vieta teoremi hakkında
İkinci dereceden bir denklemin katsayıları ile kökleri arasındaki ilişkiyi ifade eden Vieta adını taşıyan teorem, ilk kez 1591 yılında kendisi tarafından şu şekilde formüle edilmiştir: “Eğer B + D, ile çarpıldı A - A 2 , eşittir BD, O A eşittir İÇİNDE ve eşit D ».
Vieta'yı anlamak için şunu hatırlamalıyız A Herhangi bir sesli harf gibi, bilinmeyen anlamına geliyordu (bizim X), sesli harfler İÇİNDE, D- bilinmeyene ait katsayılar. Modern cebir dilinde yukarıdaki Vieta formülasyonu şu anlama gelir: eğer varsa
(bir + B )x - x 2 = ab ,
x 2 - (bir + B )x + a B = 0,
x 1 = bir, x 2 = B .
Denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi semboller kullanılarak yazılan genel formüllerle ifade eden Viète, denklem çözme yöntemlerinde tekdüzelik kurdu. Ancak Viet'in sembolizmi hala modern biçiminden uzaktır. Negatif sayıları tanımıyordu ve bu nedenle denklemleri çözerken yalnızca tüm köklerin pozitif olduğu durumları dikkate alıyordu.
2. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
İkinci dereceden denklemler cebirin görkemli yapısının dayandığı temeldir. İkinci dereceden denklemler trigonometrik, üstel, logaritmik, irrasyonel ve aşkın denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünde yaygın olarak kullanılır. Okuldan (8. sınıftan) mezuniyete kadar ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini hepimiz biliyoruz.
Çeşitli medeniyetlerin temsilcileri: Eski Mısır, Eski Babil, Antik Yunanistan, Eski Hindistan, Eski Çin, Orta Çağ Doğu, Avrupa, ikinci dereceden denklemleri çözme tekniklerinde uzmanlaştı.
İlk defa, Eski Mısırlı matematikçiler ikinci dereceden bir denklemi çözmeyi başardılar. Matematiksel papirüslerden biri aşağıdaki sorunu içeriyor:
"Alanı 12 ve uzunluğu genişliğine eşit olan dikdörtgen şeklindeki bir alanın kenarlarını bulun." Papirüs "Alanın uzunluğu 4" diyor.
Bin yıl geçti ve negatif sayılar cebire girdi. x²= 16 denklemini çözerek iki sayı elde ederiz: 4, –4.
Elbette Mısır probleminde X = 4'ü alırdık çünkü alanın uzunluğu yalnızca pozitif bir miktar olabilir.
Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bilinmeyen niceliklerdeki problemleri çözmek için bazı genel teknikleri olduğunu gösteriyor. İkinci dereceden denklemleri çözmek için Babil metinlerinde ortaya konan kural, esas olarak modern kuralla aynıdır, ancak Babillilerin "bu noktaya nasıl geldikleri" bilinmemektedir. Ancak bulunan hemen hemen tüm papirüs ve çivi yazılı metinlerde yalnızca çözümleriyle birlikte sorunlar verilmektedir. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına şu gibi kısa yorumlar eklemişlerdir: "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun!"
Yunan matematikçi Diophantus ikinci dereceden denklemleri oluşturup çözdü. Onun Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturarak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.
İkinci dereceden denklemlerin oluşturulmasına ilişkin problemler, 499 yılında Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından derlenen “Aria-bhatiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır.
Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), ax² + bx = c formundaki ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin genel kuralın ana hatlarını çizdi.
Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Bu tür yarışmalarla ilgili eski Hint kitaplarından biri şunu söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.
Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar:
Bir sürü hareketli maymun
Doyduğuma göre yemek yiyerek eğlendim.
Sekizinci kısım meydandaki açıklıkta oynuyordu.
Ve sarmaşıkların üzerindeki on iki kişi... zıplamaya, asılı kalmaya başladı...
Kaç tane maymun vardı?
Söyle bana, bu pakette mi?
Bhaskara'nın çözümü, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.
Bize ulaşan en eski Çin matematik metinleri 1. yüzyılın sonlarına kadar uzanıyor. M.Ö. II.Yüzyılda. M.Ö. Dokuz Kitapta Matematik yazıldı. Daha sonra 7. yüzyılda yüzyıllar boyunca üzerinde çalışılan “On Klasik Risale” koleksiyonuna dahil edilmiştir. Dokuz Kitaptaki Matematik, iki sayının toplamının karesi formülünü kullanarak karekökün nasıl bulunacağını açıklıyor.
Yönteme "tian-yuan" (kelimenin tam anlamıyla "cennetsel element") adı verildi - Çinliler bilinmeyen bir miktarı bu şekilde tanımladı.
Yaygın olarak bilinen sorunların çözümüne yönelik ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Zamanla "el-cebr" kelimesi iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el-Harezmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişmesinde başlangıç noktası oldu. El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar altı tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:
-kareler eşit kökler yani, ah ² = bх;
-kareler eşit sayı yani, ah ² = s;
-kökler sayıya eşittir yani ax = c;
-kareler ve sayılar köklere eşittir yani, ah ²+ с = bх;
-kareler ve kökler sayıya eşittir yani, ah ² + bх = с;
-kökler ve sayılar karelere eşittir yani bx + c = ax ²;
El-Harizmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.
Avrupa'da Harizmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı Abaküs Kitabı'nda ortaya konmuştur. Yazar bağımsız olarak problemlerin çözümüne yönelik bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıları tanıtan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. “Abaküs Kitabı”ndaki pek çok problem, 16.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında yer alıyordu. ve kısmen 18. yüzyıla ait.
Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel kural x ² + bх = с, b ve с katsayılarının işaretlerinin tüm olası kombinasyonları için Avrupa'da yalnızca 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.
Vieta ikinci dereceden bir denklemin çözümüne ilişkin formülün genel bir türetmesine sahipti, ancak aynı zamanda yalnızca pozitif kökleri de tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu ve olumsuz köklerin yanı sıra bunlar da dikkate alınır. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemi ancak 17. yüzyılda Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde modern şeklini aldı.
