Eşitsizlikten eşitsizlik doğar. Çevrimiçi hesap makinesi

Antik çağlardan beri pratik problemlerin çözümünde nicelik ve niceliklerin karşılaştırılması gerekli olmuştur. Aynı zamanda, homojen miktarların karşılaştırılmasının sonuçlarını ifade eden daha fazla ve daha az, daha yüksek ve daha düşük, daha hafif ve daha ağır, daha sessiz ve daha yüksek, daha ucuz ve daha pahalı vb. kelimeler ortaya çıktı.

Az ve çok kavramları, nesnelerin sayılması, niceliklerin ölçülmesi ve karşılaştırılması ile bağlantılı olarak ortaya çıktı. Örneğin Antik Yunan matematikçileri, herhangi bir üçgenin bir kenarının diğer iki kenarın toplamından küçük olduğunu ve üçgende büyük kenarın, büyük açının karşısında yer aldığını biliyorlardı. Arşimed çevreyi hesaplarken, herhangi bir dairenin çevresinin çapın üç katına eşit olduğunu ve fazlalığın çapın yedide birinden az, ancak çapın on yetmiş katından fazla olduğunu tespit etti.

> ve b işaretlerini kullanarak sayılar ve nicelikler arasındaki ilişkileri sembolik olarak yazın. İki sayının işaretlerden biriyle bağlandığı kayıtlar: > (büyüktür), Daha düşük derecelerde de sayısal eşitsizliklerle karşılaştınız. Eşitsizliklerin doğru ya da yanlış olabileceğini biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) doğru bir sayısal eşitsizliktir, 0,23 > 0,235 ise yanlış bir sayısal eşitsizliktir.

Bilinmeyenleri içeren eşitsizlikler, bilinmeyenlerin bazı değerleri için doğru, bazıları için ise yanlış olabilir. Örneğin 2x+1>5 eşitsizliği x = 3 için doğru, x = -3 için yanlıştır. Bir bilinmeyenli bir eşitsizlik için görevi belirleyebilirsiniz: eşitsizliği çözün. Uygulamada, eşitsizlikleri çözme sorunları, denklem çözme sorunlarından daha az sıklıkta ortaya konulmaz ve çözülmez. Örneğin, birçok ekonomik sorun doğrusal eşitsizlik sistemlerinin incelenmesi ve çözümüne bağlıdır. Matematiğin birçok dalında eşitsizlikler denklemlerden daha yaygındır.

Bazı eşitsizlikler, örneğin bir denklemin kökü gibi belirli bir nesnenin varlığını kanıtlamanın veya çürütmenin tek yardımcı aracı olarak hizmet eder.

Sayısal eşitsizlikler

Tam sayıları ve ondalık kesirleri karşılaştırabilirsiniz. Paydaları aynı ancak payları farklı olan sıradan kesirleri karşılaştırma kurallarını öğrenin; payları aynı fakat paydaları farklı. Burada herhangi iki sayıyı farklarının işaretini bularak nasıl karşılaştıracağınızı öğreneceksiniz.

Sayıları karşılaştırmak pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, bir ekonomist planlanan göstergeleri gerçek olanlarla karşılaştırır, bir doktor hastanın ateşini normal ile karşılaştırır, bir tornacı işlenmiş bir parçanın boyutlarını bir standartla karşılaştırır. Tüm bu durumlarda bazı sayılar karşılaştırılır. Sayıların karşılaştırılması sonucunda sayısal eşitsizlikler ortaya çıkar.

Tanım. a-b farkı pozitif ise a sayısı b sayısından büyüktür. a-b farkı negatif ise a sayısı b sayısından küçüktür.

a, b'den büyükse şöyle yazarlar: a > b; a, b'den küçükse şunu yazarlar: a Dolayısıyla, a > b eşitsizliği, a - b farkının pozitif olduğu anlamına gelir, yani. a - b > 0. Eşitsizlik a Aşağıdaki üç ilişkiden herhangi iki a ve b sayısı için a > b, a = b, a a ve b sayılarını karşılaştırmak, >, = veya işaretlerinden hangisinin olduğunu bulmak anlamına gelir Teorem. a > b ve b > c ise a > c olur.

Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklerseniz eşitsizliğin işareti değişmeyecektir.
Sonuçlar. Herhangi bir terim, bu terimin işaretinin tersiyle değiştirilmesiyle eşitsizliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir.

Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti ters yönde değişir.
Sonuçlar. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı pozitif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti ters yönde değişir.

Sayısal eşitliklerin terim terim toplanıp çarpılabileceğini biliyorsunuz. Daha sonra eşitsizliklerle benzer eylemlerin nasıl gerçekleştirileceğini öğreneceksiniz. Eşitsizlikleri terim terim toplama ve çarpma yeteneği pratikte sıklıkla kullanılır. Bu eylemler, ifadelerin anlamlarını değerlendirme ve karşılaştırma sorunlarının çözülmesine yardımcı olur.

Çeşitli problemleri çözerken çoğu zaman eşitsizliklerin sol ve sağ taraflarını terim terim eklemek veya çarpmak gerekir. Aynı zamanda bazen eşitsizliklerin arttığı veya çoğaldığı da söylenir. Örneğin bir turist ilk gün 20 km'den fazla, ikinci gün 25 km'den fazla yürüdüyse iki günde 45 km'den fazla yürüdüğünü söyleyebiliriz. Benzer şekilde bir dikdörtgenin uzunluğu 13 cm'den ve genişliği 5 cm'den az ise bu dikdörtgenin alanının 65 cm2'den az olduğunu söyleyebiliriz.

Bu örnekleri değerlendirirken aşağıdakiler kullanıldı: Eşitsizliklerin toplanması ve çarpımı ile ilgili teoremler:

Teorem. Aynı işaretli eşitsizlikleri toplarken aynı işaretli bir eşitsizlik elde edilir: a > b ve c > d ise, o zaman a + c > b + d.

Teorem. Sol ve sağ tarafları pozitif olan aynı işaretli eşitsizlikleri çarparken aynı işaretli bir eşitsizlik elde edilir: a > b, c > d ve a, b, c, d pozitif sayılar ise, o zaman ac > bd.

> (büyüktür) ve 1/2, 3/4 b, c işaretli eşitsizlikler Tam eşitsizliklerin işaretleri ile birlikte > ve Aynı şekilde \(a \geq b \) eşitsizliği a sayısının şu olduğu anlamına gelir: b'den büyük veya ona eşit, yani b'den küçük değil.

\(\geq \) işaretini veya \(\leq \) işaretini içeren eşitsizliklere katı olmayan eşitsizlikler denir. Örneğin \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) katı eşitsizlikler değildir.

Katı eşitsizliklerin tüm özellikleri katı olmayan eşitsizlikler için de geçerlidir. Üstelik, katı eşitsizlikler için işaretler zıt kabul ediliyorsa ve bir dizi uygulamalı problemi çözmek için bir denklem veya denklem sistemi biçiminde bir matematiksel model oluşturmanız gerektiğini biliyorsanız. Daha sonra birçok problemin çözümüne yönelik matematiksel modellerin bilinmeyenli eşitsizlikler olduğunu öğreneceksiniz. Bir eşitsizliği çözme kavramı tanıtılacak ve belirli bir sayının belirli bir eşitsizliğin çözümü olup olmadığının nasıl test edileceği gösterilecektir.

Form eşitsizlikleri
a ve b'ye sayıların verildiği ve x'in bilinmeyen olduğu \(ax > b, \quad ax) denir bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler.

Tanım. Bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözümü, bu eşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüğü bilinmeyenin değeridir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbirinin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Denklemleri en basit denklemlere indirgeyerek çözdünüz. Benzer şekilde, eşitsizlikleri çözerken, özellikleri kullanarak bunları basit eşitsizlikler biçimine indirgemeye çalışırız.

İkinci derece eşitsizlikleri tek değişkenle çözme

Form eşitsizlikleri
\(ax^2+bx+c >0 \) ve \(ax^2+bx+c, burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \), denir tek değişkenli ikinci dereceden eşitsizlikler.

Eşitsizliğin çözümü
\(ax^2+bx+c >0 \) veya \(ax^2+bx+c, \(y= ax^2+bx+c \) fonksiyonunun pozitif veya negatif aldığı aralıkların bulunması olarak düşünülebilir değerler Bunu yapmak için, \(y= ax^2+bx+c\) fonksiyonunun grafiğinin koordinat düzleminde nasıl konumlandığını analiz etmek yeterlidir: parabolün dallarının yönlendirildiği yer - yukarı veya aşağı, ister yukarı ister aşağı parabol x eksenini kesiyor ve eğer öyleyse hangi noktalarda.

Tek değişkenli ikinci derece eşitsizlikleri çözme algoritması:
1) kare üç terimli \(ax^2+bx+c\)'nin diskriminantını bulun ve üç terimlinin kökleri olup olmadığını bulun;
2) Üç terimlinin kökleri varsa, bunları x ekseni üzerinde işaretleyin ve işaretli noktalar aracılığıyla dalları a > 0 için yukarıya veya 0 için aşağıya veya 3) için aşağıya doğru yönlendirilen şematik bir parabol çizin. x ekseni üzerinde, nokta parabollerinin x ekseninin üzerinde (eğer eşitsizliği \(ax^2+bx+c >0\) çözüyorlarsa) veya x ekseninin altında (eğer eşitsizliği çözüyorlarsa) bulunduğu aralıkları bulun. eşitsizlik
\(ax^2+bx+c Eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme

İşlevi düşünün
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Bu fonksiyonun tanım kümesi tüm sayılar kümesidir. Fonksiyonun sıfırları -2, 3, 5 sayılarıdır. Fonksiyonun tanım tanım kümesini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( aralıklarına bölerler. 3; 5) \) ve \( (5; +\infty)\)

Belirtilen aralıkların her birinde bu fonksiyonun işaretlerinin ne olduğunu bulalım.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifadesi üç faktörün çarpımıdır. Bu faktörlerin her birinin söz konusu aralıklardaki işareti tabloda belirtilmiştir:

Genel olarak fonksiyon formülle verilsin
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
burada x bir değişkendir ve x 1, x 2, ..., x n birbirine eşit olmayan sayılardır. x 1 , x 2 , ..., xn sayıları fonksiyonun sıfırlarıdır. Tanım kümesinin fonksiyonun sıfırlarına bölündüğü aralıkların her birinde fonksiyonun işareti korunur ve sıfırdan geçerken işareti değişir.

Bu özellik formdaki eşitsizlikleri çözmek için kullanılır
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) burada x 1, x 2, ..., x n birbirine eşit olmayan sayılardır

Dikkate alınan yöntem eşitsizliklerin çözümüne aralık yöntemi denir.

Eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak çözülmesine örnekler verelim.

Eşitsizliği çözün:

Fonksiyonun sıfırlarını sayı eksenine çizeriz ve her aralığın işaretini hesaplarız:

Fonksiyonun sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu aralıkları seçip cevabı yazıyoruz.

Cevap:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Örneğin eşitsizlik \(x>5\) ifadesidir.

Eşitsizlik türleri:

Eğer \(a\) ve \(b\) sayılar veya ise eşitsizliğe denir sayısal. Aslında bu sadece iki sayıyı karşılaştırmaktır. Bu tür eşitsizlikler aşağıdakilere ayrılmıştır: sadık Ve sadakatsiz.

Örneğin:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) yanlış bir sayısal eşitsizliktir, çünkü \(17+3=20\) ve \(20\) \(115\)'ten küçüktür (ve ondan büyük veya ona eşit değildir) .

Eğer \(a\) ve \(b\) bir değişken içeren ifadelerse, o zaman elimizde değişkenli eşitsizlik. Bu tür eşitsizlikler içeriğe bağlı olarak türlere ayrılır:

Eşitsizliğin çözümü nedir?

Bir eşitsizliğin yerine bir değişken yerine bir sayı koyarsanız, eşitsizlik sayısal bir eşitliğe dönüşecektir.

Eğer x için verilen bir değer orijinal eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe çeviriyorsa buna denir. eşitsizliğin çözümü. Aksi takdirde bu değer bir çözüm değildir. Ve böylece eşitsizliği çöz– tüm çözümlerini bulmanız (veya hiçbir çözüm olmadığını göstermeniz) gerekir.

Örneğin,\(7\) sayısını doğrusal eşitsizlik \(x+6>10\) yerine koyarsak, doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz: \(13>10\). Ve eğer \(2\) yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik \(8>10\) olacaktır. Yani, \(7\) orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür, ancak \(2\) değildir.

Ancak \(x+6>10\) eşitsizliğinin başka çözümleri de vardır. Aslında, \(5\), \(12\) ve \(138\)'i yerine koyarken doğru sayısal eşitsizlikleri elde edeceğiz... Peki tüm olası çözümleri nasıl bulabiliriz? Bunun için kullanıyorlar. Bizim durumumuz için elimizde:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Yani dörtten büyük herhangi bir sayı bize uyacaktır. Şimdi cevabı yazmanız gerekiyor. Eşitsizliklerin çözümleri genellikle sayısal olarak yazılır ve ayrıca gölgelendirmeyle sayı ekseninde işaretlenir. Bizim durumumuz için elimizde:

Cevap: \(x\in(4;+\infty)\)

Bir eşitsizliğin işareti ne zaman değişir?

Eşitsizliklerde öğrencilerin düşmeyi gerçekten "sevdiği" büyük bir tuzak var:

Bir eşitsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığında (veya bölündüğünde) ters çevrilir ("daha fazla" "daha az", "daha fazla veya eşit" "küçük veya eşit" vb.)

Bu neden oluyor? Bunu anlamak için, \(3>1\) sayısal eşitsizliğinin dönüşümlerine bakalım. Doğrudur, üç gerçekten de birden büyüktür. Öncelikle bunu herhangi bir pozitif sayıyla, örneğin ikiyle çarpmaya çalışalım:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Gördüğümüz gibi çarpma sonrasında eşitsizlik aynı kalıyor. Ve hangi pozitif sayıyla çarparsak çarpalım her zaman doğru eşitsizliği elde ederiz. Şimdi negatif bir sayıyla, örneğin eksi üçle çarpmayı deneyelim:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Sonuç yanlış bir eşitsizliktir çünkü eksi dokuz eksi üçten küçüktür! Yani eşitsizliğin doğru olması için (ve dolayısıyla çarpmanın negatife dönüşümü “yasaldı”), karşılaştırma işaretini şu şekilde tersine çevirmeniz gerekir: \(−9<− 3\).
Bölme işleminde de aynı şekilde çalışacaktır, kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Yukarıda yazılan kural sadece sayısal eşitsizlikler için değil, her türlü eşitsizlik için geçerlidir.

Cevap: \(x\in(-1;\infty)\)

Eşitsizlikler ve engellilik

Eşitsizliklerin de tıpkı denklemler gibi, yani x'in değerleri üzerinde kısıtlamaları olabilir. Buna göre DZ'ye göre kabul edilemez olan değerlerin çözüm aralığının dışında tutulması gerekir.

Örnek: \(\sqrt(x+1) eşitsizliğini çözün<3\)

Çözüm: Sol tarafın \(3\)'ten küçük olması için radikal ifadenin \(9\)'dan küçük olması gerektiği açıktır (sonuçta \(9\)'dan sadece \(3\)). Şunu elde ederiz:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tüm? \(8\)'den küçük herhangi bir x değeri bize uyar mı? HAYIR! Çünkü örneğin gereksinime uygun görünen \(-5\) değerini alırsak, bu bizi negatif bir sayının kökünü hesaplamaya götüreceği için orijinal eşitsizliğin çözümü olmayacaktır.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Bu nedenle, X'in değerine ilişkin kısıtlamaları da dikkate almalıyız - kökün altında negatif bir sayı olacak şekilde olamaz. Böylece x için ikinci şartımız var:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ve x'in nihai çözüm olabilmesi için, her iki gereksinimi de aynı anda karşılaması gerekir: \(8\)'den küçük (çözüm olması için) ve \(-1\)'den büyük olması gerekir (prensipte kabul edilebilir olması için). Bunu sayı doğrusunda çizersek son cevabı buluruz:

Cevap: \(\sol[-1;8\sağ)\)

Reel sayılar alanı sıralama özelliğine sahiptir (Bölüm 6, s. 35): herhangi bir a, b sayısı için üç ilişkiden biri ve yalnızca biri geçerlidir: veya . Bu durumda a > b girişi farkın pozitif, giriş farkının ise negatif olduğu anlamına gelir. Gerçek sayılar alanının aksine, karmaşık sayılar alanı sıralı değildir: karmaşık sayılar için "daha fazla" ve "daha az" kavramları tanımlanmamıştır; Bu nedenle bu bölümde yalnızca reel sayılar ele alınacaktır.

İlişkilere eşitsizlikler diyoruz, a ve b sayıları eşitsizliğin terimleridir (veya parçalarıdır), > (büyüktür) işaretleri ve a > b ve c > d eşitsizliklerine aynının (veya bir ve aynının) eşitsizlikleri denir. Anlam; eşitsizlikler a > b ve c Eşitsizliğin tanımından hemen şu sonuç çıkar:

1) sıfırdan büyük herhangi bir pozitif sayı;

2) herhangi bir negatif sayı sıfırdan küçüktür;

3) herhangi bir pozitif sayı herhangi bir negatif sayıdan büyüktür;

4) Negatif iki sayıdan mutlak değeri küçük olan büyüktür.

Bütün bu ifadeler basit bir geometrik yorumu kabul etmektedir. Sayı ekseninin pozitif yönü başlangıç ​​noktasının sağına olsun; o halde sayıların işaretleri ne olursa olsun, büyük olanı, küçük sayıyı temsil eden noktanın sağında bulunan bir nokta ile temsil edilir.

Eşitsizlikler aşağıdaki temel özelliklere sahiptir.

1. Asimetri (geri döndürülemezlik): eğer ise, o zaman ve tam tersi.

Aslında fark pozitifse, fark negatiftir. Bir eşitsizliğin terimleri yeniden düzenlenirken eşitsizliğin anlamının tersine değiştirilmesi gerektiğini söylüyorlar.

2. Geçişlilik: eğer , o zaman . Aslında, farklılıkların olumluluğundan şu sonuç çıkıyor:

Eşitsizlik işaretlerinin yanı sıra eşitsizlik işaretleri de kullanılır. Bunlar şu şekilde tanımlanır: giriş, ya da anlamına gelir. Bu nedenle, örneğin, ve de yazabilirsiniz. Tipik olarak, işaretler kullanılarak yazılan eşitsizliklere katı eşitsizlikler, işaretler kullanılarak yazılanlara ise katı olmayan eşitsizlikler denir. Buna göre, işaretlerin kendilerine katı veya katı olmayan eşitsizliğin işaretleri denir. Yukarıda tartışılan özellikler 1 ve 2 katı olmayan eşitsizlikler için de geçerlidir.

Şimdi bir veya daha fazla eşitsizlik üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemleri ele alalım.

3. Bir eşitsizliğin terimlerine aynı sayının eklenmesi eşitsizliğin anlamını değiştirmez.

Kanıt. Bir eşitsizlik ve keyfi bir sayı verilsin. Tanım gereği fark olumludur. Bu sayıya onu değiştirmeyecek iki zıt sayıyı ekleyelim, yani.

Bu eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bundan, farkın pozitif olduğu sonucu çıkar, yani.

ve kanıtlanması gereken de buydu.

Bu, eşitsizliğin herhangi bir üyesinin bir parçadan diğerine zıt işaretle çarpık olma ihtimalinin temelidir. Örneğin eşitsizlikten

şu şekildedir

4. Bir eşitsizliğin terimleri aynı pozitif sayıyla çarpıldığında eşitsizliğin anlamı değişmez; Bir eşitsizliğin terimleri aynı negatif sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin anlamı ters yönde değişir.

Kanıt. Pozitif sayıların çarpımı pozitif olduğundan o zaman If o zaman olsun. Son eşitsizliğin sol tarafındaki parantezleri açarak şunu elde ederiz: Dava da aynı şekilde değerlendiriliyor.

Eşitsizliğin bölümlerinin sıfır dışında herhangi bir sayıya bölünmesiyle ilgili olarak da aynı sonuç çıkarılabilir; çünkü bir sayıya bölmek, bir sayıyla çarpmaya eşdeğerdir ve sayılar aynı işaretlere sahiptir.

5. Eşitsizliğin terimleri pozitif olsun. O halde terimleri aynı pozitif kuvvete yükseltildiğinde eşitsizliğin anlamı değişmez.

Kanıt. Bu durumda geçişlilik özelliğine göre ve . Daha sonra, güç fonksiyonunun pozitif ve monoton artması nedeniyle,

Özellikle, doğal sayı nerede ise, o zaman şunu elde ederiz:

yani pozitif terimlerle bir eşitsizliğin her iki tarafından da kök çıkarıldığında eşitsizliğin anlamı değişmez.

Eşitsizliğin terimleri negatif olsun. O halde terimleri tek doğal kuvvete yükseltildiğinde eşitsizliğin anlamının değişmediğini, ancak çift doğal kuvvete yükseltildiğinde tersine değiştiğini kanıtlamak zor değildir. Negatif terimli eşitsizliklerden tek derecenin kökü de çıkarılabilir.

Ayrıca eşitsizliğin terimlerinin farklı işaretleri olsun. O zaman tek kuvvete yükseltildiğinde eşitsizliğin anlamı değişmez, ancak çift kuvvete yükseltildiğinde genel durumda ortaya çıkan eşitsizliğin anlamı hakkında kesin bir şey söylenemez. Aslında bir sayı tek kuvvete yükseltildiğinde sayının işareti korunur ve dolayısıyla eşitsizliğin anlamı değişmez. Bir eşitsizlik eşit bir güce yükseltildiğinde, pozitif terimlerle bir eşitsizlik oluşur ve anlamı, orijinal eşitsizliğin terimlerinin mutlak değerlerine bağlı olacaktır; orijinalle aynı anlama sahip bir eşitsizlik; tam tersi anlamına gelir ve hatta eşitlik bile elde edilebilir!

Aşağıdaki örneği kullanarak, kuvvetlerdeki eşitsizliklerin arttırılması hakkında söylenen her şeyi kontrol etmek faydalı olacaktır.

Örnek 1. Gerekirse eşitsizlik işaretini zıt veya eşittir işaretiyle değiştirerek aşağıdaki eşitsizlikleri belirtilen kuvvete yükseltin.

a) 3 > 2 üzeri 4; b) 3. dereceye kadar;

c) 3. dereceye kadar; d) 2. dereceye kadar;

e) 5'in kuvveti; e) 4 dereceye kadar;

g) 2 > -3 üssü 2; h) 2'nin kuvveti,

6. Bir eşitsizlikten, eşitsizliğin terimlerinin her ikisinin de pozitif veya her ikisinin de negatif olması durumunda, bunların karşılıklıları arasında zıt anlamda bir eşitsizlik olduğu arasındaki eşitsizliğe geçebiliriz:

Kanıt. Eğer a ve b aynı işaretli ise çarpımları pozitiftir. Eşitsizliğe bölme

yani elde edilmesi gereken şey.

Bir eşitsizliğin terimleri zıt işaretlere sahipse, karşıtların işaretleri niceliklerin işaretleriyle aynı olduğundan, karşılıklıları arasındaki eşitsizlik aynı anlama gelir.

Örnek 2. Aşağıdaki eşitsizlikleri kullanarak son özellik 6'yı kontrol edin:

7. Eşitsizliklerin logaritması yalnızca eşitsizlik koşullarının pozitif olması durumunda yapılabilir (negatif sayılar ve sıfır logaritma yoktur).

İzin vermek . Sonra olacak

ve ne zaman olacak

Bu ifadelerin doğruluğu, taban ile artan ve ile azalan logaritmik fonksiyonun monotonluğuna dayanmaktadır.

Yani pozitif terimlerden oluşan bir eşitsizliğin logaritması birden büyük bir tabana alındığında, verilenle aynı anlamda bir eşitsizlik, logaritması birden küçük bir pozitif tabana alındığında ise zıt anlam oluşur.

8. Eğer, öyleyse eğer, ama, o zaman.

Bu, üstel fonksiyonun (Bölüm 42) monotonluk özelliklerinden hemen kaynaklanır; bu durum durumda artar ve aşağıdaki durumlarda azalır:

Aynı anlama gelen terimsel eşitsizlikler toplandığında verilerle aynı anlama gelen bir eşitsizlik oluşur.

Kanıt. Bu ifadeyi, eklenen herhangi bir sayıda eşitsizlik için doğru olmasına rağmen, iki eşitsizlik için kanıtlayalım. Eşitsizlikler verilsin

Tanım gereği sayılar pozitif olacaktır; o zaman bunların toplamı da pozitif çıkıyor, yani.

Terimleri farklı şekilde gruplandırırsak,

ve bu nedenle

ve kanıtlanması gereken de buydu.

Farklı anlamlara sahip iki veya daha fazla eşitsizliğin eklenmesiyle elde edilen bir eşitsizliğin anlamı hakkında genel durumda kesin bir şey söylemek mümkün değildir.

10. Bir eşitsizlikten, terim terim, zıt anlamdaki başka bir eşitsizliği çıkarırsak, o zaman ilkiyle aynı anlama sahip bir eşitsizlik oluşur.

Kanıt. Farklı anlamlara sahip iki eşitsizlik verilsin. Bunlardan ikincisi tersinmezlik özelliğine göre şu şekilde yeniden yazılabilir: d > c. Şimdi aynı anlama gelen iki eşitsizliği toplayalım ve eşitsizliği elde edelim.

aynı anlam. İkincisinden şunu buluyoruz

ve kanıtlanması gereken de buydu.

Bir eşitsizlikten aynı anlama sahip başka bir eşitsizlik çıkarılarak elde edilen bir eşitsizliğin anlamı hakkında genel durumda kesin bir şey söylemek mümkün değildir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Eşitsizliklere doğrusal denir sol ve sağ tarafları bilinmeyen niceliğe göre doğrusal fonksiyonlardır. Bunlar arasında örneğin eşitsizlikler yer alır:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Kesin eşitsizlikler: balta +b>0 veya balta+b<0

2) Kesin olmayan eşitsizlikler: balta +b≤0 veya balta+b≫ 0

Bu görevi analiz edelim. Paralelkenarın bir kenarı 7 cm'dir. Paralelkenarın çevresinin 44 cm'den büyük olması için diğer kenarın uzunluğu ne kadar olmalıdır?

İstenilen taraf olsun X cm Bu durumda paralelkenarın çevresi (14 + 2x) cm ile temsil edilecektir. 14 + 2x > 44 eşitsizliği bir paralelkenarın çevre probleminin matematiksel bir modelidir. Bu eşitsizlikteki değişkeni değiştirirsek Xörneğin 16 sayısı üzerinde doğru sayısal eşitsizlik olan 14 + 32 > 44'ü elde ederiz. Bu durumda 16 sayısının 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümü olduğunu söylerler.

Eşitsizliği çözmek Bir değişkenin değerini gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren değere isim verin.

Dolayısıyla sayıların her biri 15,1; 20;73, 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümüdür, ancak örneğin 10 sayısı bunun çözümü değildir.

Eşitsizliği çözün tüm çözümlerini oluşturmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Eşitsizliğin çözümünün formülasyonu denklemin kökünün formülasyonuna benzer. Ancak yine de "eşitsizliğin kökenini" belirlemek alışılmış bir şey değil.

Sayısal eşitliklerin özellikleri denklemleri çözmemize yardımcı oldu. Benzer şekilde sayısal eşitsizliklerin özellikleri de eşitsizliklerin çözümüne yardımcı olacaktır.

Bir denklemi çözerken, onu daha basit, ancak verilene eşdeğer başka bir denklemle değiştiririz. Eşitsizliklerin cevabı da benzer şekilde bulunur. Bir denklemi eşdeğer bir denklemle değiştirirken, terimleri denklemin bir tarafından diğer tarafına aktarmak ve denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak ile ilgili teoremi kullanırlar. Bir eşitsizliği çözerken, onunla bir denklem arasında önemli bir fark vardır; bu, bir denklemin herhangi bir çözümünün basitçe orijinal denklemin yerine konulmasıyla doğrulanabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Eşitsizliklerde bu yöntem yoktur çünkü sayısız çözümü orijinal eşitsizliğin yerine koymak mümkün değildir. Dolayısıyla önemli bir kavram var, bu oklar<=>eşdeğer veya eşdeğer dönüşümlerin bir işaretidir. Dönüşüm denir eş değer, veya eş değer eğer çözüm kümesini değiştirmezlerse.

Eşitsizliklerin çözümü için benzer kurallar.

Herhangi bir terimi eşitsizliğin bir kısmından diğerine taşırsak, işaretini zıttı ile değiştirirsek, buna eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa (bölülürse) buna eşdeğer bir eşitsizlik elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa (bölülürse), eşitsizlik işaretinin tersi ile değiştirilirse, verilene eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Bunları kullanmak tüzük Aşağıdaki eşitsizlikleri hesaplayalım.

1) Eşitsizliği analiz edelim 2x - 5 > 9.

Bu doğrusal eşitsizlik, çözümünü bulacağız ve temel kavramları tartışacağız.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5, ters işaretle sola kaydırıldı), sonra her şeyi 2'ye böldük ve şunu elde ettik: x > 7. Çözüm kümesini eksen üzerinde çizelim X

Pozitif yönlü bir ışın elde ettik. Çözüm kümesini eşitsizlik biçiminde not ediyoruz x > 7 veya x(7; ∞) aralığı biçimindedir. Bu eşitsizliğin özel çözümü nedir? Örneğin, x = 10 bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür, x = 12- bu aynı zamanda bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür.

Pek çok kısmi çözüm var ama bizim görevimiz tüm çözümleri bulmak. Ve genellikle sayısız çözüm vardır.

Hadi halledelim örnek 2:

2) Eşitsizliği çözün 4a - 11 > a + 13.

Hadi çözelim: A onu bir tarafa taşı 11 diğer tarafa kaydırırsak 3a elde ederiz< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 eşitsizlik şu şekildedir A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Ayrıca seti gösterelim A< 8 , ama zaten eksende A.

Cevabı ya eşitsizlik a şeklinde yazarız< 8, либо A(-∞;8), 8 açılmıyor.