$R$ gerçek sayılar kümesinin rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluştuğunu zaten biliyoruz.

Rasyonel sayılar her zaman ondalık kesirler (sonlu veya sonsuz periyodik) olarak temsil edilebilir.

İrrasyonel sayılar sonsuz fakat periyodik olmayan ondalık kesirler olarak yazılır.

$R$ gerçek sayılar kümesi aynı zamanda $-\infty $ ve $+\infty $ öğelerini de içerir; bunlar için $-\infty eşitsizlikleri geçerlidir

Gerçek sayıları temsil etmenin yollarına bakalım.

Ortak kesirler

Ortak kesirler iki doğal sayı ve bir yatay kesir çizgisi kullanılarak yazılır. Kesir çubuğu aslında bölme işaretinin yerini alır. Çizginin altındaki sayı kesrin paydasını (bölen), üstündeki sayı ise payını (bölünen) gösterir.

Tanım

Bir kesirin payı paydasından küçükse bu kesirlere tam sayı denir. Tersine, payı paydadan büyük veya ona eşitse bir kesire uygunsuz kesir denir.

Sıradan kesirler için basit, neredeyse açık karşılaştırma kuralları vardır ($m$,$n$,$p$ - doğal sayılar):

paydaları aynı olan iki kesirden payı büyük olan daha büyüktür, yani $m>n$ için $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $;
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyüktür, yani $ m için $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $
uygun bir kesir her zaman birden küçüktür; uygunsuz bir kesir her zaman birden büyüktür; payın paydaya eşit olduğu bir kesir bire eşittir;
Her yanlış kesir, her doğru kesirden daha büyüktür.

Ondalık sayılar

Ondalık sayının (ondalık kesir) gösterimi şu şekildedir: tam sayı kısmı, ondalık nokta, kesirli kısım. Ortak bir kesrin ondalık gösterimi, payın paydaya “açı” ile bölünmesiyle elde edilebilir. Bu, sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir ile sonuçlanabilir.

Tanım

Kesirli kısmın rakamlarına ondalık sayı denir. Bu durumda, ondalık basamaktan sonraki ilk basamağa ondalık basamak, ikinciye yüzde birlik basamak, üçüncüye binde birlik basamak vb. denir.

Örnek 1

3,74 ondalık sayısının değerini belirleyin. Şunu elde ederiz: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Ondalık sayı yuvarlanabilir. Bu durumda yuvarlamanın yapılacağı rakamı belirtmeniz gerekir.

Yuvarlama kuralı aşağıdaki gibidir:

bu rakamın sağındaki tüm rakamlar sıfırlarla değiştirilir (eğer bu rakamlar virgülden önceyse) veya atılır (eğer bu rakamlar virgülden sonraysa);
Bir rakamdan sonraki ilk rakam 5'ten küçükse bu rakamın rakamı değişmez;
Bir rakamdan sonraki ilk rakam 5 veya daha fazla ise bu rakamın rakamı bir artırılır.

Örnek 2

17302 sayısını binliğe yuvarlayalım: 17000.
17378 sayısını yüze yuvarlayalım: 17400.
17378,45 sayısını onluğa yuvarlayalım: 17380.
378.91434 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım: 378.91.
378.91534 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım: 378.92.

Ondalık bir sayıyı kesire dönüştürün.

Durum 1

Ondalık sayı, sonlanan bir ondalık kesri temsil eder.

Aşağıdaki örnek dönüştürme yöntemini göstermektedir.

Örnek 2

Elimizde: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Bunu ortak bir paydaya indiririz ve şunu elde ederiz:

Kesir azaltılabilir: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Durum 2

Ondalık sayı sonsuz bir periyodik ondalık kesri temsil eder.

Dönüşüm yöntemi, periyodik bir ondalık kesirin periyodik kısmının, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı olarak değerlendirilebileceği gerçeğine dayanmaktadır.

Örnek 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. İlerlemenin ilk terimi $a=0.74$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.01$'dır.

Örnek 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . İlerlemenin ilk terimi $a=0.08$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.1$'dır.

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı $s=\frac(a)(1-q) $ formülüyle hesaplanır; burada $a$ ilk terimdir ve $q$ ilerlemenin paydasıdır $ \sol (0

Örnek 6

Sonsuz periyodik ondalık kesir $0,\left(72\right)$'ı normal kesir haline dönüştürelim.

İlerlemenin ilk terimi $a=0.72$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.01$'dır. Şunu elde ederiz: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) $. Böylece, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Örnek 7

Sonsuz periyodik ondalık kesir $0,5\left(3\right)$'ı normal kesre dönüştürelim.

İlerlemenin ilk terimi $a=0.03$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.1$'dır. Şunu elde ederiz: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Böylece, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Gerçek sayılar sayı eksenindeki noktalarla temsil edilebilir.

Bu durumda, sayı eksenini, üzerinde kökenin ($O$ noktası), pozitif yönün (bir okla gösterilen) ve ölçeğin (değerleri görüntülemek için) seçildiği sonsuz bir düz çizgi olarak adlandırırız.

Tüm reel sayılar ile sayı eksenindeki tüm noktalar arasında birebir bir ilişki vardır: her nokta tek bir sayıya, her sayı da tek bir noktaya karşılık gelir. Sonuç olarak, tıpkı sayı doğrusunun sürekli ve sonsuz olması gibi, reel sayılar kümesi de sürekli ve sonsuzdur.

Reel sayılar kümesinin bazı alt kümelerine sayısal aralıklar denir. Sayısal bir aralığın elemanları, belirli bir eşitsizliği karşılayan $x\in R$ sayılarıdır. $a\in R$, $b\in R$ ve $a\le b$ olsun. Bu durumda aralık türleri şu şekilde olabilir:

Aralık $\left(a,\; b\right)$. Aynı zamanda $a
$\left$ segmentine ayırın. Üstelik $a\le x\le b$.
Yarım segmentler veya yarım aralıklar $\left$. Üstelik $ a \le x
Sonsuz aralıklar, örneğin $a

Bir noktanın komşuluğu adı verilen aralık türü de önemlidir. Belirli bir $x_(0) \in R$ noktasının komşuluğu, bu noktayı kendi içinde içeren rastgele bir $\left(a,\; b\right)$ aralığıdır, yani $a 0$ onun yarıçapıdır.

Bir sayının mutlak değeri

$x$ gerçek sayısının mutlak değeri (veya modülü), negatif olmayan bir gerçek sayı $\left|x\right|$ olup, şu formülle belirlenir: $\left|x\right|=\left\(\ begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Geometrik olarak $\left|x\right|$, sayı doğrusunda $x$ ile 0 noktaları arasındaki mesafe anlamına gelir.

Mutlak değerlerin özellikleri:

tanımdan şu sonuç çıkıyor: $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
iki sayının toplamının modülü ve farkının modülü için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, ayrıca $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
çarpımın modülü ve iki sayının bölümünün modülü için aşağıdaki eşitlikler doğrudur: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ ve $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Rastgele bir $a>0$ sayısı için mutlak değerin tanımına dayanarak, aşağıdaki eşitsizlik çiftlerinin denkliği de kurulabilir:

if $\sol|x\sağ|
eğer $\left|x\right|\le a$ ise $-a\le x\le a$;
eğer $\left|x\right|>a$ ise, o zaman ya $xa$;
$\left|x\right|\ge a$ ise, o zaman ya $x\le -a$ ya da $x\ge a$.

Örnek 8

$\left|2\cdot x+1\right| eşitsizliğini çözün

Bu eşitsizlik $-7 eşitsizliğine eşdeğerdir.

Buradan şunu elde ederiz: $-8

1 numara. Rasyonel sayıların özellikleri.

 Düzenlilik . Herhangi bir rasyonel sayı için, aralarında üçten yalnızca birinin benzersiz bir şekilde tanımlanmasına izin veren bir kural vardır. ilişkiler: "", "" veya "". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: iki pozitif sayı ve iki tam sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı, negatif olmayan iki sayıyla aynı ilişkiyle ilişkilidir; aniden olumsuz değil de olumsuz olursa, o zaman.

Kesirleri Ekleme

 Ekleme işlemi . toplama kuralı bu da onları bazı rasyonel sayılarla eşleştirir. Bu durumda sayının kendisi çağrılır. miktar sayılar ve gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .

 Çarpma işlemi . Herhangi bir rasyonel sayı için sözde bir şey vardır. çarpma kuralı bu da onları bazı rasyonel sayılarla eşleştirir. Bu durumda sayının kendisi çağrılır. iş sayılar ve gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma. Çarpma kuralı şuna benzer: .

 Geçişlilik ilişkileri düzenler. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için, daha az ve daha azsa daha az, eşitse eşit demektir.

 Değişebilirlik ek. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

 çağrışımsallık ek.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

 Kullanılabilirliksıfır . Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.

 Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.

 Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

 Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.

 Kullanılabilirlikbirimler . Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.

 Kullanılabilirlikkarşılıklı sayılar . Sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.

 Dağıtıcılık toplamaya göre çarpma.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:

 Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir.

 Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki bağlantı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları aynı pozitif rasyonel sayıyla çarpılabilir.

 Arşimed Aksiyomu . Rasyonel sayı ne olursa olsun, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz.

2 numara. Bir reel sayının modülü.

Tanım . Negatif olmayan bir gerçel sayı x'in modülü sayının kendisidir: | x | = x; Negatif bir gerçel sayı olan x'in modülü ters sayıdır: I x | = - x.

Kısaca şu şekilde yazılmıştır:

2. Bir reel sayının modülünün geometrik anlamı

Reel sayılar kümesi R'ye ve onun geometrik şekline dönelim. modeller- sayı doğrusu. Düz bir çizgi üzerinde iki a ve b noktasını (iki gerçek sayı a ve b) işaretleyelim ve a ve b noktaları arasındaki mesafeyi (Yunan alfabesindeki “rho” harfi) (a, b) ile gösterelim. Bu mesafe b > a ise b - a'ya (Şekil 101), a > b ise a - b'ye (Şekil 102) ve son olarak a = b ise sıfıra eşittir.

Her üç durum da tek bir formül kapsamındadır:

b) Denklem | x + 3,2 | = 2 şeklinde yeniden yazıyoruz | x - (- 3.2) | = 2 ve daha fazlası (x, - 3.2) = 2. Koordinat çizgisi üzerinde - 3.2 noktasından 2'ye eşit bir mesafeyle kaldırılan iki nokta vardır. Bunlar - 5.2 ve - 1.2 noktalarıdır (Şekil 104) . Yani denklemin iki tane var kök: -5,2 ve - 1,2.

№4.GERÇEK SAYILAR SETİ

Bir rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine küme denir geçerli (veya gerçek ) sayılar . Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir R. Açıkça, .

Gerçek sayılar gösterilmektedir sayı ekseni Ah noktalar (Şek.). Bu durumda her reel sayı, sayısal eksen üzerinde belirli bir noktaya, eksen üzerindeki her nokta ise belirli bir reel sayıya karşılık gelir.

Bu nedenle “gerçek sayı” kelimesi yerine “nokta” diyebilirsiniz.

5 numara. Sayısal aralıklar.

Boşluk türü	Geometrik görseller	Tanım	Eşitsizlikleri kullanarak yazma
Aralık

Yarım aralık
Yarım aralık


Açık ışın
Açık ışın

6 numara. Sayısal işlev.

Bir sayı seti verilsin Her sayı tek bir sayıyla ilişkilendiriliyorsa sen, sonra sette bunu söylüyorlar D verilen sayısal işlev :

sen = F (X),

Birçok D isminde fonksiyonun alanı ve belirlenmiş D (F (X)). Tüm elemanlardan oluşan bir küme F (X), burada denir fonksiyon aralığı ve belirlenmiş e (F (X)).

Sayı X sıklıkla denir fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken ve sayı sen– bağımlı değişken veya aslında işlev değişken X. Değere karşılık gelen sayıya denir fonksiyon değeri bir noktada ve belirtmek

Bir işlevi ayarlamak için F belirtmeniz gerekir:

1) tanım alanı D (F (X));

2) kuralı belirtin F her değerin belirli bir değerle ilişkilendirildiği sen = F (X).

№7. Ters fonksiyon,

Ters fonksiyon

Eğer argüman ve fonksiyonun rolleri tersine çevrilirse, o zaman X bir fonksiyonu haline gelecek sen. Bu durumda, adı verilen yeni bir fonksiyondan bahsediyoruz. ters fonksiyon. Diyelim ki bir fonksiyonumuz var:

v = sen 2 ,

Nerede sen- argüman, bir v- işlev. Rollerini değiştirirsek, sen bir fonksiyon olarak v :

Her iki fonksiyondaki argümanı şu şekilde belirtirsek: X ve işlev – aracılığıyla sen, o zaman iki fonksiyonumuz var:

bunların her biri diğerinin tersidir.

ÖRNEKLER. Bu işlevler birbirinin tersidir:

1) günah X ve Arcsin Xçünkü eğer sen= günah X, O X= Arksin sen;

2)çünkü X ve Arccos Xçünkü eğer sen=çünkü X, O X= Arccos sen;

3) bronzlaşmak X ve Arktan Xçünkü eğer sen= ten rengi X, O X= Arktan sen;

4) e X ve ln Xçünkü eğer sen= e X, O X= günlük y.

Ters trigonometrik fonksiyonlar- trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar. Altı fonksiyon genellikle ters trigonometrik fonksiyonlar olarak sınıflandırılır:

arksinüs(sembol: arksin)

ark kosinüs(sembol: arccos)

arktanjant(tanım: arctg; yabancı literatürde arctan)

arkkotanjant(tanım: arcctg; yabancı literatürde arccotan)

arksekant(sembol: yay saniyesi)

arkkozekant(tanım: arccosec; yabancı literatürde arccsc)

№8. Temel temel işlevler. Temel işlevler

Ters trigonometrik fonksiyonların çok değerli (sonsuz derecede önemli) olduğunu ve onlarla çalışırken temel değerlerin kullanıldığını belirtmekte fayda var.

№9. Karmaşık sayılar

şeklinde yazılır: a+ bi. Burada A Ve B – gerçek sayılar, A Ben – hayali birim, yani Ben 2 = –1. Sayı A isminde apsis, A B – koordine etmek karmaşık sayı a+ bi. İki karmaşık sayı a+ bi Ve A – bi denir birleşik karmaşık sayılar.

Gerçek sayılar şekilde gösterildiği gibi düz bir çizgi üzerindeki noktalarla temsil edilebilir; burada A noktası 4 sayısını ve B noktası -5 sayısını temsil eder. Aynı sayılar, yalnızca uzunlukları değil aynı zamanda yönleri de dikkate alınarak OA, OB bölümleriyle de temsil edilebilir.

Sayı doğrusundaki her M noktası bir gerçek sayıyı temsil eder (OM segmenti bir uzunluk birimiyle orantılıysa rasyoneldir, ölçülemezse irrasyoneldir). Bu, sayı doğrusunda karmaşık sayılara yer bırakmaz.

Ancak karmaşık sayılar sayı düzleminde gösterilebilir. Bunu yapmak için düzlemde her iki eksende aynı ölçeğe sahip dikdörtgen bir koordinat sistemi seçiyoruz.

Karmaşık sayı a + b ben apsisi x apsisine eşit olan bir M noktası ile temsil edilir A karmaşık sayı ve y'nin ordinatı, ordinatına eşittir B karmaşık sayı.

GERÇEK SAYILAR II

§ 44 Gerçek sayıların geometrik gösterimi

Geometrik olarak gerçek sayılar, rasyonel sayılar gibi, bir çizgi üzerindeki noktalarla temsil edilir.

İzin vermek ben keyfi bir düz çizgidir ve O onun bazı noktalarıdır (Şekil 58). Her pozitif gerçek sayı α O'nun sağında, uzaklıkta bulunan A noktasını ilişkilendirelim. α uzunluk birimleri.

Örneğin, α = 2,1356..., o zaman

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

vb. Açıkçası, bu durumda A noktası düz çizgi üzerinde olmalıdır ben sayılara karşılık gelen noktaların sağında

2; 2,1; 2,13; ... ,

ancak sayılara karşılık gelen noktaların solunda

3; 2,2; 2,14; ... .

Bu koşulların düz bir çizgide tanımlandığı gösterilebilir. ben bir gerçel sayının geometrik görüntüsü olarak kabul ettiğimiz tek A noktası α = 2,1356... .

Aynı şekilde her negatif reel sayı için β O'nun solunda | uzaklıkta bulunan B noktasını ilişkilendirelim. β | uzunluk birimleri. Son olarak “sıfır” sayısını O noktasıyla ilişkilendiriyoruz.

Yani 1 sayısı düz bir çizgide gösterilecek ben O'nun sağında bir birim uzunlukta bir mesafede bulunan A noktası (Şekil 59), O'nun solunda √2 birim uzunlukta bir mesafede bulunan B noktasına göre - √2 - sayısı vb. .

Düz bir çizgide nasıl olduğunu gösterelim ben bir pusula ve cetvel kullanarak √2, √3, √4, √5 vb. gerçek sayılara karşılık gelen noktaları bulabilirsiniz. Bunu yapmak için öncelikle uzunlukları ifade edilen parçaları nasıl oluşturabileceğinizi göstereceğiz. bu sayılara göre. AB'nin uzunluk birimi olarak alınan bir doğru parçası olmasına izin verin (Şekil 60).

A noktasında bu doğru parçasına dik bir çizgi çiziyoruz ve üzerine AB doğru parçasına eşit bir AC doğru parçası çiziyoruz. Daha sonra Pisagor teoremini ABC dik üçgenine uygulayarak şunu elde ederiz; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Bu nedenle BC doğru parçasının uzunluğu √2'dir. Şimdi BC doğru parçasına C noktasında dik bir çizgi çizelim ve bunun üzerindeki D noktasını seçelim ki CD doğru parçası AB uzunluğunun bir birimine eşit olsun. Sonra BCD dik üçgeninden şunu buluruz:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Bu nedenle BD doğru parçasının uzunluğu √3'tür. Açıklanan işlemi daha da sürdürürsek, uzunlukları √4, √5 vb. sayılarla ifade edilen BE, BF, ... segmentlerini elde edebiliriz.

Şimdi düz bir çizgide ben √2, √3, √4, √5 vb. sayıların geometrik temsili görevi gören noktaları bulmak kolaydır.

Örneğin BC parçasını O noktasının sağına bırakarak (Şekil 61), √2 sayısının geometrik görüntüsü görevi gören C noktasını elde ederiz. Aynı şekilde BD doğru parçasını O noktasının sağına koyarak √3 sayısının geometrik görüntüsü olan D" noktasını elde ederiz.

Ancak sayı doğrusunda pusula ve cetvel kullanmanın ben verilen herhangi bir gerçek sayıya karşılık gelen nokta bulunabilir. Örneğin, elinizde yalnızca bir pusula ve bir cetvel varken, uzunluğu sayıyla ifade edilen bir doğru parçası oluşturmanın imkansız olduğu kanıtlanmıştır. π = 3,14... . Bu nedenle sayı doğrusunda ben bu tür yapıların yardımıyla bu sayıya karşılık gelen noktayı belirtmek imkansızdır. Ancak böyle bir nokta mevcuttur.

Yani her gerçek sayı için α iyi tanımlanmış bir noktayı düz bir çizgiyle ilişkilendirmek mümkündür ben . Bu nokta | α | uzunluk birimleri ve eğer O'nun sağında olun α > 0 ve O'nun solunda ise α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ben . Aslında sayıyı bırakalım α A noktası karşılık gelir ve sayı β - B noktası. O halde, eğer α > β , o zaman A, B'nin sağında olacaktır (Şekil 62, a); eğer α < β , o zaman A, B'nin solunda uzanacaktır (Şekil 62, b).

Rasyonel sayıların geometrik görüntüsü hakkında § 37'de konuşurken şu soruyu sorduk: bir çizgi üzerindeki herhangi bir nokta, bazı sayıların geometrik görüntüsü olarak düşünülebilir mi? akılcı sayılar? O zaman bu soruya cevap veremedik; Artık buna kesin olarak cevap verebiliriz. Doğru üzerinde irrasyonel sayıların (örneğin √2) geometrik temsili görevi gören noktalar vardır. Bu nedenle bir doğru üzerindeki her nokta bir rasyonel sayıyı temsil etmez. Ancak bu durumda başka bir soru ortaya çıkıyor: Sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta, bir sayının geometrik görüntüsü olarak düşünülebilir mi? geçerli sayılar? Bu sorun zaten olumlu bir şekilde çözüldü.

Aslında A doğru üzerinde keyfi bir nokta olsun ben , O'nun sağında yer alır (Şek. 63).

OA segmentinin uzunluğu bazı pozitif gerçek sayılarla ifade edilir. α (bkz. § 41). Bu nedenle A noktası sayının geometrik görüntüsüdür. α . Benzer şekilde, O'nun solunda yer alan her B noktasının, negatif bir gerçek sayının geometrik görüntüsü olarak değerlendirilebileceği tespit edilmiştir - β , Nerede β - VO segmentinin uzunluğu. Son olarak O noktası sıfır sayısının geometrik temsili olarak hizmet eder. Bir doğru üzerinde iki farklı noktanın olduğu açıktır. ben aynı reel sayının geometrik görüntüsü olamaz.

Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı, üzerinde belirli bir O noktasının (belirli bir uzunluk birimi için) “başlangıç” noktası olarak belirtildiği düz bir çizgiye denir. sayı doğrusu.

Çözüm. Tüm gerçel sayılar kümesi ile sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar kümesi bire bir karşılık gelir.

Bu, her gerçek sayının, sayı doğrusu üzerinde iyi tanımlanmış bir noktaya karşılık geldiği ve bunun tersine, sayı doğrusu üzerindeki her noktaya, böyle bir yazışma ile, iyi tanımlanmış bir gerçek sayıya karşılık geldiği anlamına gelir.

Egzersizler

320. Sayı doğrusunda iki noktadan hangisinin solda, hangisinin sağda olduğunu, eğer bu noktalar sayılara karşılık geliyorsa, bulun:

a) 1,454545... ve 1,455454...; c) 0 ve - 1,56673...;

b) - 12.0003... ve - 12.0002...; d) 13.24... ve 13.00....

321. Bu noktalar sayılara karşılık geliyorsa, iki noktadan hangisinin sayı doğrusunda O başlangıç noktasından daha uzakta bulunduğunu bulun:

a) 5,2397... ve 4,4996...; .. c) -0,3567... ve 0,3557... .

d) - 15,0001 ve - 15,1000...;

322. Bu bölümde √ uzunluğunda bir doğru parçasının nasıl oluşturulacağı gösterilmiştir. N bir pergel ve bir cetvel kullanarak şu şekilde ilerleyebilirsiniz: √ uzunluğunda bir parçaya ulaşana kadar önce √2 uzunluğunda bir parça, ardından √3 uzunluğunda bir parça vb. oluşturun. N . Ama her sabit için N > 3 bu süreç hızlandırılabilir. Örneğin uzunluğu √10 olan bir parçayı oluşturmaya nasıl başlarsınız?

323*. Sayı doğrusunda 1 / sayısına karşılık gelen noktayı bulmak için pusula ve cetvel nasıl kullanılır? α , eğer sayıya karşılık gelen noktanın konumu α , biliniyor mu?

Modüllü denklemler, çözüm yöntemleri. Bölüm 1.

Bu tür denklemleri çözme tekniklerini doğrudan incelemeye başlamadan önce modülün özünü ve geometrik anlamını anlamak önemlidir. Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemleri, modülün tanımını ve geometrik anlamını anlamaktır. Modüler parantezleri açarken aralıkların sözde yöntemi o kadar etkilidir ki, onu kullanarak herhangi bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle kesinlikle çözmek mümkündür. Bu bölümde iki standart yöntemi ayrıntılı olarak inceleyeceğiz: aralık yöntemi ve popülasyon değiştirme yöntemi.

Ancak göreceğimiz gibi, bu yöntemler her zaman etkilidir, ancak her zaman kullanışlı değildir ve doğal olarak çözmek için daha fazla zaman gerektiren uzun ve hatta çok uygun olmayan hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle belirli denklem yapılarının çözümünü önemli ölçüde kolaylaştıran yöntemleri bilmek önemlidir. Bir denklemin her iki tarafının karesi, yeni bir değişken ekleme yöntemi, grafiksel yöntem, modül işareti altında modül içeren denklemlerin çözümü. Bir sonraki bölümde bu yöntemlere bakacağız.

Bir sayının modülünün belirlenmesi. Modülün geometrik anlamı.

Öncelikle modülün geometrik anlamını tanıyalım:

Sayıların modülü a (|a|) sayı doğrusunda başlangıç noktasından (0 noktası) noktaya olan mesafeyi arayın A(a).

Bu tanımdan yola çıkarak bazı örneklere bakalım:

|7| - bu 0'dan 7 noktasına olan mesafedir, elbette 7'ye eşittir. → | 7 |=7

|-5|- bu 0'dan noktaya uzaklık -5 ve şuna eşittir: 5. → |-5| = 5

Hepimiz mesafenin negatif olamayacağını anlıyoruz! Bu nedenle |x| ≥ 0 her zaman!

Denklemi çözelim: |x |=4

Bu denklem şu şekilde okunabilir: 0 noktasından x noktasına olan mesafe 4'tür. Evet, 0'dan itibaren hem sola hem de sağa hareket edebileceğimiz ortaya çıktı, bu da eşit mesafede sola hareket etmek anlamına geliyor 4'te -4 noktasına ulaşacağız ve sağa doğru ilerleyerek 4 noktasına ulaşacağız. |-4 |=4 ve |4 |=4.

Dolayısıyla cevap x=±4'tür.

Önceki denklemi dikkatlice incelerseniz şunu fark edeceksiniz: sayı doğrusu boyunca 0'dan noktaya kadar sağa olan mesafe noktanın kendisine eşittir ve 0'dan sayıya kadar sola olan mesafe tam tersidir. sayı! 0'ın sağındaki sayıların pozitif, 0'ın solundaki sayıların ise negatif olduğunu anlayarak aşağıdaki formülü formüle ederiz: bir sayının modülünün tanımı: bir sayının modülü (mutlak değeri) X(|x|) sayının kendisidir X, eğer x ≥0 ise ve sayı – X, eğer x<0.

Burada sayı doğrusu üzerinde 0'a uzaklığı 3'ten küçük olacak bir dizi nokta bulmamız gerekiyor, bir sayı doğrusu hayal edelim, üzerinde 0 noktası olsun, sola gidip bir (-1), iki saymamız gerekiyor. (-2) ve üç (-3), dur. Daha sonra 3'ten uzakta olan noktalar veya 0'dan 3'ten büyük olan mesafe olacak, şimdi sağa gidiyoruz: bir, iki, üç, tekrar dur. Şimdi tüm noktalarımızı seçip x: (-3;3) aralığını elde ediyoruz.

Bunu açıkça görmeniz önemlidir, eğer hala göremiyorsanız, kağıda çizin ve bu illüstrasyonun sizin için tamamen anlaşılır olması için bakın, tembel olmayın ve aşağıdaki görevlerin çözümlerini aklınızda görmeye çalışın. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

İkinci sütundaki garip görevleri fark ettiniz mi? Aslında uzaklık negatif olamaz dolayısıyla: |x|=-5-'nin çözümü yoktur, elbette 0'dan küçük olamaz, dolayısıyla: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3'ün hepsi sayıdır.

Çözümlü resimleri hızlı bir şekilde görmeyi öğrendikten sonra okumaya devam edin.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

Ekipman: projektör, ekran, kişisel bilgisayar, multimedya sunumu

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

2. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi.

2.1. Öğrencilerin ev ödevleriyle ilgili sorularını yanıtlayın.

2.2. Bulmacayı çözün (teorik materyalin tekrarı) (Slayt 2):

Bir şeyi ifade eden matematiksel sembollerin birleşimi

ifade. ( Formül.)
Sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirler. ( mantıksız sayılar)

Sonsuz bir ondalık sayıyla tekrarlanan bir rakam veya rakam grubu. ( Dönem.)

Nesneleri saymak için kullanılan sayılar. ( Doğal sayılar.)

Sonsuz ondalık periyodik kesirler. (Akılcı sayılar .)

Rasyonel sayılar + irrasyonel sayılar = ? sayılar .)

(Geçerli – Bulmacayı çözdükten sonra, vurgulanan dikey sütunda bugünkü dersin konusunun adını okuyun.

(Slayt 3, 4)

3. Yeni bir konunun açıklanması. A 3.1. – Arkadaşlar modül kavramıyla zaten tanıştınız, notasyonu kullandınız |

| . Daha önce sadece rasyonel sayılardan bahsediyorduk. Şimdi herhangi bir reel sayı için modül kavramını tanıtmamız gerekiyor.

Her gerçek sayı, sayı doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir ve bunun tersine, sayı doğrusu üzerindeki her nokta, tek bir gerçek sayıya karşılık gelir. Rasyonel sayılarla ilgili işlemlerin tüm temel özellikleri gerçek sayılar için korunur. Reel sayının modülü kavramı tanıtıldı.

(Slayt 5). X Tanım. Negatif olmayan bir gerçek sayının modülü X| = X bu numaranın kendisini arayın: | X; negatif bir gerçek sayının modülü X| = – X .

– karşı numarayı arayın: |