Örneğin \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... aritmetik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden üç kat farklıdır (bir öncekinden üç ekleyerek elde edilebilir):

Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\'e eşittir) ve dolayısıyla her bir sonraki terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.

Ancak \(d\) negatif bir sayı da olabilir. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.

Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Bu ilerlemelere denir azalan.

Aritmetik ilerleme gösterimi

İlerleme küçük bir Latin harfiyle gösterilir.

Bir dizi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).

Aritmetik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki öğenin numarasına eşit bir sayısal indeksle gösterilirler.

Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik ilerlemesi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.

Başka bir deyişle, ilerleme için \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetik ilerleme problemlerini çözme

Prensip olarak, yukarıda sunulan bilgiler hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini (OGE'de sunulanlar dahil) çözmek için zaten yeterlidir.

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme \(b_1=7; d=4\) koşullarıyla belirtilir. \(b_5\) bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_5=23\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu ilerlemenin ilk negatif teriminin değerini bulun.
Çözüm:

Cevap: \(-3\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik dizinin ardışık birkaç elemanı verildiğinde: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:

Cevap: \(7,5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullarla tanımlanır: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(S_6=9\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(d=7\).

Aritmetik ilerleme için önemli formüller

Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeyle ilgili birçok problem, asıl meselenin anlaşılmasıyla çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayı zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, aynı sayının bir öncekine eklenmesiyle elde edildiği ( ilerleme farkı).

Ancak bazen "kafa kafaya" karar vermenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci elementi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini düşünün. Dört \(385\) kez mi eklememiz gerekiyor? Veya sondan bir önceki örnekte ilk yetmiş üç elementin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymaktan yorulacaksınız...

Dolayısıyla bu gibi durumlarda işleri “birdenbire” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve bunların başlıcaları ilerlemenin n'inci terimi formülü ve \(n\) ilk terimin toplamı formülüdür.

\(n\)'inci terimin formülü: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk terimidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\) – \(n\) sayısıyla ilerlemenin terimi.

Bu formül, yalnızca ilkini ve ilerlemenin farkını bilerek üç yüzüncü veya milyonuncu elementi bile hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.

Örnek. Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)'ı bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_(246)=1850\).

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son toplanan terim;

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme \(a_n=3.4n-0.6\) koşullarıyla belirtilir. Bu ilerlemenin ilk \(25\) teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(S_(25)=1090\).

İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: sadece \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \'ye ihtiyacınız var (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine \(a_n=a_1+(n-1)d\) formülünü kullanın. Şunu elde ederiz:

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) ilk elemanın gerekli toplamı;
\(a_1\) – ilk toplanan terim;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) – toplam öğe sayısı.

Örnek. Aritmetik ilerlemenin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Çözüm:

Cevap: \(S_(33)=-231\).

Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri

Artık hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, biraz da düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu işinize yarayabilir ☺)

Örnek (OGE). İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Çözüm:

Cevap: \(S_(65)=-630.5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)'ncı elemandan \(42\) elemanına kadar olan toplamı bulun.
Çözüm:

Cevap: \(S=1683\).

Aritmetik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle bu makalede dikkate almadığımız birkaç formül daha var. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.

Ortaokulda (9. sınıf) cebir çalışırken önemli konulardan biri geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayısal dizilerin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.

Aritmetik veya her bir üyesi bir öncekinden sabit bir değerle farklı olan sıralı rasyonel sayılar kümesidir. Bu değere fark denir. Yani, sıralı bir sayı serisinin herhangi bir üyesini ve farkı bilerek, tüm aritmetik ilerlemeyi geri yükleyebilirsiniz.

Bir örnek verelim. Aşağıdaki sayı dizisi aritmetik bir ilerleme olacaktır: 4, 8, 12, 16, ..., çünkü bu durumda fark 4'tür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ancak 3, 5, 8, 12, 17 sayı kümesi artık söz konusu ilerleme türüne atfedilemez, çünkü bunun farkı sabit bir değer değildir (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Önemli Formüller

Şimdi aritmetik ilerlemeyi kullanarak problemleri çözmek için ihtiyaç duyacağımız temel formülleri sunalım. Dizinin n'inci üyesini a n sembolüyle gösterelim; burada n bir tam sayıdır. Farkı Latin harfi d ile belirtiyoruz. O halde aşağıdaki ifadeler geçerlidir:

1. N'inci terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formül uygundur: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. İlk n terimin toplamını belirlemek için: S n = (a n +a 1)*n/2.

9. sınıftaki çözümlerle ilgili herhangi bir aritmetik ilerleme örneğini anlamak için, bu iki formülü hatırlamak yeterlidir, çünkü söz konusu türdeki herhangi bir problem bunların kullanımına dayanmaktadır. İlerleme farkının şu formülle belirlendiğini de unutmamalısınız: d = a n - a n-1.

Örnek 1: Bilinmeyen bir terimi bulma

Aritmetik ilerlemeye ve onu çözmek için kullanılması gereken formüllere basit bir örnek verelim.

10, 8, 6, 4, ... dizisi verilsin, içinde beş terim bulmanız gerekiyor.

Problemin koşullarından ilk 4 terimin zaten bilindiği sonucu çıkıyor. Beşincisi iki şekilde tanımlanabilir:

1. Önce farkı hesaplayalım. Elimizde: d = 8 - 10 = -2. Benzer şekilde, yan yana duran herhangi iki üyeyi de alabilirsiniz. Örneğin d = 4 - 6 = -2. D = a n - a n-1 olduğu bilindiğinden, d = a 5 - a 4 olur ve bundan şunu elde ederiz: a 5 = a 4 + d. Bilinen değerleri yerine koyarız: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci yöntem de söz konusu ilerlemenin farkının bilinmesini gerektirir, bu nedenle öncelikle bunu yukarıda gösterildiği gibi belirlemeniz gerekir (d = -2). İlk terimin a 1 = 10 olduğunu bilerek dizinin n sayısı için formülü kullanıyoruz. Elimizde: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Son ifadede n = 5'i yerine koyarsak şunu elde ederiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüğünüz gibi her iki çözüm de aynı sonuca yol açtı. Bu örnekte ilerleme farkı d'nin negatif bir değer olduğuna dikkat edin. Bu tür dizilere azalan diziler denir, çünkü sonraki her terim bir öncekinden daha küçüktür.

Örnek #2: ilerleme farkı

Şimdi sorunu biraz karmaşıklaştıralım, aritmetik ilerlemenin farkını nasıl bulacağımıza dair bir örnek verelim.

Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.

Diziyi 7. terime geri döndürmek için cebirsel ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması

Sorunu daha da karmaşık hale getirelim. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel bir sayıdır, dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakışıyor Sorunun koşulları ile.

Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi

Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri vermeye devam edelim. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.

Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.

Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).

D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk olarak: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Elde edilen sonuçtan şüpheniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek No. 5: tutar

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.

Aşağıdaki formun sayısal ilerlemesi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu problemin “Gaussian” olarak adlandırılması ilginçtir çünkü 18. yüzyılın başında, henüz 10 yaşında olan ünlü Alman, bu problemi birkaç saniye içinde kafasında çözebilmiştir. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti; yani 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.

Örnek No. 6: n'den m'ye kadar terimlerin toplamı

Aritmetik ilerlemenin toplamının bir başka tipik örneği şudur: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, 8'den 14'e kadar olan terimlerin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir. .

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Ancak bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:

1. S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
2. S n = n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılır), probleme gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini net bir şekilde anlamanız ve ancak bundan sonra çözüme devam etmeniz önerilir.

Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve genel problemi ayrı alt görevlere bölün (bu durumda önce a n ve a m terimlerini bulun).

Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.

Çevrimiçi hesap makinesi.
Aritmetik ilerlemeyi çözme.
Verilen: a n , d, n
Bul: a 1

Bu matematik programı, kullanıcı tarafından belirlenen \(a_n, d\) ve \(n\) sayılarına dayalı bir aritmetik ilerlemenin \(a_1\) değerini bulur.
\(a_n\) ve \(d\) sayıları yalnızca tam sayı olarak değil aynı zamanda kesir olarak da belirtilebilir. Ayrıca kesirli sayı, ondalık kesir (\(2,5\)) ve sıradan kesir (\(-5\frac(2)(7)\)) biçiminde girilebilir.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm bulma sürecini de gösteriyor.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, ortaokullardaki lise öğrencileri için testlere ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları
\(a_n\) ve \(d\) sayıları yalnızca tam sayı olarak değil aynı zamanda kesir olarak da belirtilebilir.

\(n\) sayısı yalnızca pozitif bir tam sayı olabilir.
Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.

Örneğin 2,5 veya 2,5 gibi ondalık kesirleri girebilirsiniz.
Sıradan kesirleri girme kuralları.

Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz. /
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır:
Giriş:

Sonuç: \(-\frac(2)(3)\) &
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır:
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır:

1'i bul
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Numara dizisi

Günlük uygulamada, çeşitli nesnelerin numaralandırılması genellikle bunların düzenlenme sırasını belirtmek için kullanılır. Örneğin her sokaktaki evler numaralandırılmıştır. Kütüphanede okuyucuların abonelikleri numaralandırılmakta ve daha sonra özel kart dosyalarında atanan numara sırasına göre düzenlenmektedir.

Bir tasarruf bankasında, mevduat sahibinin kişisel hesap numarasını kullanarak bu hesabı kolayca bulabilir ve içinde ne kadar mevduat olduğunu görebilirsiniz. 1 No'lu hesap a1 ruble depozito içersin, 2 No'lu hesap a2 ruble depozito içersin vb. sayı dizisi
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
burada N, tüm hesapların sayısıdır. Burada, 1'den N'ye kadar her doğal sayı n, bir n sayısıyla ilişkilendirilir.

Ayrıca matematik okudu sonsuz sayı dizileri:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n , ... .
1 denilen sayıya dizinin ilk terimi, a numarası 2 - dizinin ikinci terimi, a numarası 3 - dizinin üçüncü terimi vesaire.
a n sayısına denir Dizinin n'inci (n'inci) üyesi ve n doğal sayısı onun sayı.

Örneğin doğal sayıların kareleri dizisinde 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ve 1 = 1 dizinin ilk terimidir; ve n = n2 dizinin n'inci terimidir; a n+1 = (n + 1) 2, dizinin (n + 1)'inci (n artı birinci) terimidir. Çoğunlukla bir dizi, n'inci teriminin formülüyle belirtilebilir. Örneğin, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) formülü \(1, \; \frac(1)(2) , \; dizisini tanımlar) \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetik ilerleme

Yılın uzunluğu yaklaşık 365 gündür. Daha doğru bir değer \(365\frac(1)(4)\) gündür, dolayısıyla her dört yılda bir bir günlük hata birikir.

Bu hatayı telafi etmek için her dördüncü yıla bir gün eklenir ve uzatılan yıla artık yıl adı verilir.

Örneğin, üçüncü bin yılda artık yıllar 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Bu dizide, ikinciden başlayarak her üye bir öncekine eşittir ve aynı sayı olan 4'e eklenir. Bu tür dizilere denir. aritmetik ilerlemeler.

Tanım.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... sayı dizisine denir aritmetik ilerleme, eğer her şey için doğal bir eşitlik varsa
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
burada d bir sayıdır.

Bu formülden a n+1 - a n = d sonucu çıkar. d sayısına fark denir aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin tanımı gereği elimizde:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Neresi
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), burada \(n>1 \)

Böylece, ikinciden başlayarak bir aritmetik ilerlemenin her terimi, bitişik iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu, "aritmetik" ilerleme adını açıklar.

a 1 ve d verilirse, aritmetik ilerlemenin geri kalan terimlerinin a n+1 = a n + d yinelenen formülü kullanılarak hesaplanabileceğini unutmayın. Bu şekilde ilerlemenin ilk birkaç terimini hesaplamak zor değildir, ancak örneğin 100 zaten çok fazla hesaplama gerektirecektir. Tipik olarak bunun için n'inci terim formülü kullanılır. Aritmetik ilerlemenin tanımı gereği
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
vesaire.
Kesinlikle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
Çünkü bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi, ilk terimden d sayısının (n-1) katıyla eklenmesiyle elde edilir.
Bu formül denir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

1'den 100'e kadar tüm doğal sayıların toplamını bulun.
Bu miktarı iki şekilde yazalım:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu eşitlikleri terim terim toplayalım:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu toplamın 100 terimi var
Dolayısıyla 2S = 101 * 100, dolayısıyla S = 101 * 50 = 5050.

Şimdi keyfi bir aritmetik ilerlemeyi ele alalım
a 1 , a 2 , a 3 , ..., bir n , ...
Bu ilerlemenin ilk n teriminin toplamı S n olsun:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Daha sonra bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı şuna eşittir:
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) olduğundan, bu formülde bir n'yi değiştirerek, bulmak için başka bir formül elde ederiz. bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Talimatlar

Aritmetik ilerleme a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d biçimindeki bir dizidir. D adımı ilerleme Aritmetiğin keyfi bir n'inci teriminin genelinin ilerlemeşu formdadır: An = A1+(n-1)d. O zaman üyelerden birini tanıyorum ilerleme, üye ilerleme ve adım ilerleme, yani ilerleme üyesinin sayısını yapabilirsiniz. Açıkçası, n = (An-A1+d)/d formülüyle belirlenecektir.

Şimdi m'inci terim bilinsin ilerleme ve başka bir üye ilerleme- n'inci, ancak n , önceki durumda olduğu gibi, ancak n ve m'nin çakışmadığı bilinmektedir. ilerlemeşu formül kullanılarak hesaplanabilir: d = (An-Am)/(n-m). O halde n = (An-Am+md)/d.

Bir aritmetik denklemin birkaç elemanının toplamı biliniyorsa ilerleme, ilk ve sonuncusunun yanı sıra, bu elemanların sayısı da aritmetiğin toplamı belirlenebilir. ilerlemeşuna eşit olacaktır: S = ((A1+An)/2)n. O zaman n = 2S/(A1+An) - chdenov ilerleme. An = A1+(n-1)d gerçeğini kullanarak bu formül şu şekilde yeniden yazılabilir: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Buradan ikinci dereceden bir denklem çözerek n'yi ifade edebiliriz.

Aritmetik dizi, birincisi dışında her bir üyesi bir öncekinden aynı miktarda farklı olan sıralı bir sayı kümesidir. Bu sabit değere ilerlemenin farkı veya adımı denir ve aritmetik ilerlemenin bilinen terimlerinden hesaplanabilir.

Talimatlar

Birinci ve ikinci veya başka herhangi bir bitişik terim çiftinin değerleri problemin koşullarından biliniyorsa, farkı hesaplamak için (d) basitçe önceki terimi sonraki terimden çıkarın. Ortaya çıkan değer pozitif ya da negatif bir sayı olabilir; ilerlemenin artıp artmadığına bağlıdır. Genel formda, ilerlemenin komşu terimlerinin keyfi bir çifti (aᵢ ve aᵢ₊₁) için çözümü şu şekilde yazın: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri ilk (a₁) ve diğeri keyfi olarak seçilen herhangi bir terim olan böyle bir ilerlemenin bir çift terimi için, farkı (d) bulmak için bir formül oluşturmak da mümkündür. Ancak bu durumda diziden rastgele seçilen bir üyenin seri numarasının (i) bilinmesi gerekir. Farkı hesaplamak için her iki sayıyı da toplayın ve elde edilen sonucu, rastgele bir terimin sıra numarasının bir eksiltilmesiyle bölün. Genel olarak bu formülü şu şekilde yazın: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Sıra numarası i olan bir aritmetik ilerlemenin rastgele bir üyesine ek olarak sıra numarası u olan başka bir üye biliniyorsa, önceki adımdaki formülü buna göre değiştirin. Bu durumda ilerlemenin farkı (d), bu iki terimin toplamının sıra sayıları farkına bölünmesiyle elde edilecektir: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farkı (d) hesaplama formülü, problem koşulları ilk teriminin (a₁) değerini ve aritmetik dizinin ilk terimlerinin belirli bir sayısının (i) toplamını (Sᵢ) verirse biraz daha karmaşık hale gelir. İstenilen değeri elde etmek için, toplamı onu oluşturan terim sayısına bölün, dizideki ilk sayının değerini çıkarın ve sonucu ikiye katlayın. Ortaya çıkan değeri bir azaltılmış toplamı oluşturan terim sayısına bölün. Genel olarak diskriminant hesaplama formülünü şu şekilde yazın: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).