Matematiksel beklenti için güven aralığı - bu, bilinen bir olasılıkla genel popülasyonun matematiksel beklentisini içeren verilerden hesaplanan bir aralıktır. Matematiksel beklentinin doğal tahmini, gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalamasıdır. Bu nedenle ders boyunca “ortalama” ve “ortalama değer” terimlerini kullanacağız. Güven aralığı hesaplama problemlerinde en sık ihtiyaç duyulan cevap şuna benzer: "Ortalamanın [belirli bir problemdeki değerin] güven aralığı [daha küçük değerden] [daha büyük değere] kadardır." Bir güven aralığı kullanarak yalnızca ortalama değerleri değil, aynı zamanda genel popülasyonun belirli bir özelliğinin oranını da değerlendirebilirsiniz. Yeni tanım ve formüllere ulaşacağımız ortalama değerler, dağılım, standart sapma ve hata derste tartışılıyor. Örneklem ve popülasyonun özellikleri .

Ortalamanın nokta ve aralık tahminleri

Nüfusun ortalama değeri bir sayı (nokta) ile tahmin ediliyorsa, o zaman bir gözlem örneğinden hesaplanan belirli bir ortalama, nüfusun bilinmeyen ortalama değerinin bir tahmini olarak alınır. Bu durumda, örneklem ortalamasının değeri (rastgele bir değişken) genel popülasyonun ortalama değeriyle örtüşmez. Bu nedenle örnek ortalamasını belirtirken aynı zamanda örnekleme hatasını da belirtmelisiniz. Örnekleme hatasının ölçüsü, ortalamayla aynı birimlerle ifade edilen standart hatadır. Bu nedenle sıklıkla aşağıdaki gösterim kullanılır: .

Ortalamanın tahmininin belirli bir olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa, popülasyondaki ilgilenilen parametrenin bir sayıyla değil, bir aralıkla tahmin edilmesi gerekir. Güven aralığı, belirli bir olasılıkla P tahmini nüfus göstergesinin değeri bulunur. Olası olduğu güven aralığı P = 1 - α rastgele değişken bulunur ve şu şekilde hesaplanır:

,

α = 1 - P, istatistik üzerine hemen hemen her kitabın ekinde bulunabilir.

Uygulamada, popülasyon ortalaması ve varyansı bilinmediğinden, popülasyon varyansının yerine örnek varyansı ve popülasyon ortalamasının yerine örnek ortalaması konulur. Bu nedenle çoğu durumda güven aralığı şu şekilde hesaplanır:

.

Güven aralığı formülü aşağıdaki durumlarda popülasyon ortalamasını tahmin etmek için kullanılabilir:

• popülasyonun standart sapması biliniyor;
• veya popülasyonun standart sapması bilinmiyor ancak örneklem büyüklüğü 30'dan büyük.

Örnek ortalama, popülasyon ortalamasının tarafsız bir tahminidir. Buna karşılık, örneklem varyansı popülasyon varyansının tarafsız bir tahmini değildir. Örneklem varyansı formülünde popülasyon varyansının tarafsız bir tahminini elde etmek için örneklem büyüklüğü N tarafından değiştirilmeli N-1.

Örnek 1. Belirli bir şehirdeki rastgele seçilen 100 kafeden, buralardaki ortalama çalışan sayısının 4,6 standart sapma ile 10,5 olduğu bilgisi toplanmıştır. Kafe çalışanlarının sayısı için %95 güven aralığını belirleyiniz.

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Böylece ortalama kafe çalışanı sayısı için %95 güven aralığı 9,6 ile 11,4 arasında değişmektedir.

Örnek 2. 64 gözlemden oluşan popülasyondan rastgele bir örnek için aşağıdaki toplam değerler hesaplandı:

gözlemlerdeki değerlerin toplamı,

değerlerin ortalamadan kare sapmalarının toplamı .

Matematiksel beklenti için %95 güven aralığını hesaplayın.

Standart sapmayı hesaplayalım:

,

Ortalama değeri hesaplayalım:

.

Değerleri güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu örneklemin matematiksel beklentisinin %95 güven aralığı 7,484 ile 11,266 arasında değişmektedir.

Örnek 3. 100 gözlemden oluşan rastgele bir popülasyon örneği için hesaplanan ortalama 15,2 ve standart sapma 3,2'dir. Beklenen değer için %95 güven aralığını, ardından %99 güven aralığını hesaplayın. Örneklem gücü ve değişimi değişmezse ve güven katsayısı artarsa ​​güven aralığı daralır mı yoksa genişler mi?

Bu değerleri güven aralığı ifadesine koyarız:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

.

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %95 güven aralığı 14,57 ile 15,82 arasında değişmektedir.

Bu değerleri yine güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,01 .

Şunu elde ederiz:

.

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %99 güven aralığı 14,37 ile 16,02 arasında değişmektedir.

Görüldüğü gibi güven katsayısı arttıkça standart normal dağılımın kritik değeri de artmakta ve buna bağlı olarak aralığın başlangıç ​​ve bitiş noktaları ortalamadan daha uzakta yer almakta ve dolayısıyla matematiksel beklentiye ilişkin güven aralığı da artmaktadır. .

Özgül ağırlığın nokta ve aralık tahminleri

Bazı örnek niteliklerin payı, payın nokta tahmini olarak yorumlanabilir. P genel popülasyonda aynı özelliğe sahiptir. Bu değerin olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa özgül ağırlığın güven aralığı hesaplanmalıdır. P popülasyondaki olasılıklı karakteristik P = 1 - α :

.

Örnek 4. Bazı şehirlerde iki aday var A Ve B belediye başkanlığına aday oluyorlar. 200 şehir sakinine rastgele anket uygulandı ve bunların %46'sı adaya oy vereceğini söyledi A, %26 - aday için B%28'i ise kime oy vereceğini bilmiyor. Adayı destekleyen şehir sakinlerinin oranı için %95 güven aralığını belirleyin A.

Bu makalede formül söz dizimi ve işlev kullanımı açıklanmaktadır GÜVEN Microsoft Excel'de.

Tanım

Normal dağılmış bir popülasyon ortalaması için güven aralığını döndürür.

Güven aralığı bir değer aralığıdır. Örnek ortalama x bu aralığın orta noktasıdır, dolayısıyla güven aralığı x ± GÜVEN olarak tanımlanır. Örneğin, eğer x, postayla sipariş edilen malların teslimat sürelerinin örnek ortalaması ise, o zaman nüfus beklentisi x ± GÜVEN aralığında olacaktır. Bu aralıktaki popülasyon beklentisi μ0'ın herhangi bir değeri için, örnek ortalamasının μ0'dan x'ten daha fazla farklı olma olasılığı alfa anlamlılık düzeyini aşar. Bu aralığın dışındaki herhangi bir μ0 beklentisi için, örnek ortalamasının μ0'dan x'ten daha fazla farklı olma olasılığı alfa anlamlılık düzeyini aşmaz. Örneğin, örneklem ortalaması x, popülasyon standart sapması ve örneklem büyüklüğü göz önüne alındığında, beklenen değerin μ0 olduğu hipotezini test etmek için alfa anlamlılık düzeyinde iki örnekli bir test oluşturmak istediğinizi varsayalım. Bu durumda, μ0 güven aralığına aitse hipotez reddedilmez, μ0 güven aralığına ait değilse reddedilir. Güven aralığı, (1 - alfa) olasılıkla bir sonraki paketin teslim süresinin güven aralığı içinde olacağını varsaymamıza izin vermez.

Önemli: Bu özelliğin yerini, daha fazla doğruluk sağlayan ve amacını daha iyi yansıtan adlara sahip bir veya daha fazla yeni özellik almıştır. Bu özellik geriye dönük uyumluluk için hâlâ kullanılıyor olsa da Excel'in gelecek sürümlerinde artık kullanılamayabilir; bu nedenle yeni özellikleri kullanmanızı öneririz.

Yeni işlevler hakkında daha fazla bilgi edinmek için bkz. GÜVEN NORMU İşlevi ve GÜVEN ÖĞRENCİ İşlevi.

Sözdizimi

GÜVEN(alfa; standart_kapalı; boyut)

TRUST fonksiyonunun argümanları aşağıda açıklanmıştır.

Alfa- gerekli argüman. Güven düzeyini hesaplamak için kullanılan anlamlılık düzeyi. Güven düzeyi yüzde 100*(1 - alfa)'dır, yani 0,05'lik bir alfa değeri yüzde 95'lik bir güven düzeyidir.

Standart_kapalı- gerekli argüman. Bir dizi veri için popülasyon standart sapmasının bilindiği varsayılır.

Boyut- gerekli argüman. Örnek boyutu.

Notlar

Örnek

Aşağıdaki tablodaki örnek verileri kopyalayıp yeni bir Excel çalışma sayfasının A1 hücresine yapıştırın. Formüllerin sonuçlarını görüntülemek için bunları seçin ve F2'ye, ardından Enter'a basın. Gerekirse tüm verileri görmek için sütunların genişliğini değiştirin.

Zeka sadece bilgiden değil aynı zamanda bilgiyi pratikte uygulama yeteneğinden de oluşur. (Aristo)

Güven aralıkları

Genel bakış

Popülasyondan bir örnek alarak ilgilenilen parametrenin nokta tahminini elde ederiz ve tahminin kesinliğini belirtmek için standart hatayı hesaplarız.

Ancak çoğu durumda standart hata kabul edilemez. Bu doğruluk ölçüsünü popülasyon parametresi için bir aralık tahminiyle birleştirmek çok daha faydalıdır.

Bu, parametre için bir güven aralığı (CI - Güven Aralığı, CI - Güven Aralığı) hesaplamak amacıyla örnek istatistiğinin (parametre) teorik olasılık dağılımı bilgisi kullanılarak yapılabilir.

Genel olarak, bir güven aralığı tahminleri her iki yönde de standart hatanın (belirli bir parametrenin) belirli bir katı kadar genişletir; aralığı tanımlayan iki değer (güven sınırları) genellikle virgülle ayrılır ve parantez içine alınır.

Ortalama için güven aralığı

Normal Dağılımı Kullanma

Örnek boyutu büyükse örnek ortalaması normal olarak dağıtılır; böylece örnek ortalamasını değerlendirirken normal dağılım bilgisini uygulayabilirsiniz.

Spesifik olarak, örnek ortalamalarının dağılımının %95'i popülasyon ortalamasının 1,96 standart sapması (SD) dahilindedir.

Yalnızca bir örneğimiz olduğunda buna ortalamanın standart hatası (SEM) diyoruz ve ortalama için %95 güven aralığını şu şekilde hesaplıyoruz:

Bu deneyi birkaç kez tekrarlarsak, aralık %95 oranında gerçek popülasyon ortalamasını içerecektir.

Tipik olarak bu, gerçek popülasyon ortalamasının (genel ortalama) %95 güven olasılığına sahip olduğu değer aralığı gibi bir güven aralığıdır.

Bir güven aralığını bu şekilde yorumlamak tam olarak kesin olmasa da (nüfus ortalaması sabit bir değerdir ve bu nedenle ona bağlı bir olasılık olamaz), kavramsal olarak anlaşılması daha kolaydır.

Kullanım T- dağıtım

Popülasyondaki varyansın değerini biliyorsanız normal dağılımı kullanabilirsiniz. Ayrıca, örneklem büyüklüğü küçük olduğunda, temel popülasyon verileri normal olarak dağılıyorsa örneklem ortalaması normal bir dağılım izler.

Popülasyonun temelini oluşturan veriler normal şekilde dağılmıyorsa ve/veya genel varyans (popülasyondaki varyans) bilinmiyorsa, örnek ortalaması buna uyar Öğrencinin t-dağılımı.

Genel nüfus ortalaması için %95 güven aralığını şu şekilde hesaplıyoruz:

Yüzde noktası nerede (yüzdelik) T-İki taraflı olasılığı 0,05 veren (n-1) serbestlik derecesine sahip Öğrenci t dağılımı.

Genel olarak normal dağılımı kullanmaktan daha geniş bir aralık sağlar çünkü popülasyon standart sapmasını tahmin etmenin getirdiği ek belirsizliği ve/veya küçük örneklem boyutundan dolayı ortaya çıkan ek belirsizliği hesaba katar.

Örneklem büyüklüğü büyük olduğunda (100 veya daha fazla), iki dağılım arasındaki fark ( t-Öğrenci ve normal) önemsizdir. Ancak her zaman kullanırlar T-örneklem büyüklüğü büyük olsa bile güven aralıkları hesaplanırken dağılım.

Tipik olarak %95 GA rapor edilir. Ortalama için %99 GA gibi diğer güven aralıkları hesaplanabilir.

Standart hatanın ve tablo değerinin çarpımı yerine T- 0,05'lik iki taraflı olasılığa karşılık gelen dağılım, bunu (standart hata) 0,01'lik iki taraflı olasılığa karşılık gelen değerle çarpın. Bu, %95 güven aralığından daha geniş bir güven aralığıdır çünkü aralığın aslında popülasyon ortalamasını içerdiğine dair artan güveni yansıtır.

Orantı için güven aralığı

Oranların örnekleme dağılımı binom dağılımına sahiptir. Ancak örneklem büyüklüğü N oldukça büyükse, oranın örnekleme dağılımı ortalamaya göre yaklaşık olarak normaldir.

Seçici bir tavırla değerlendiriyoruz p=r/n(Nerede R- örnekteki ilgimizi çeken karakteristik özelliklere sahip bireylerin sayısı) ve standart hata tahmin edilir:

Oran için %95 güven aralığı tahmin edilmektedir:

Örnek boyutu küçükse (genellikle n.p. veya n(1-p) az 5 ), o zaman doğru güven aralıklarını hesaplamak için binom dağılımını kullanmak gerekir.

şunu unutmayın: P yüzde olarak ifade edilirse, (1-p) tarafından değiştirildi (100-p).

Güven aralıklarının yorumlanması

Bir güven aralığını yorumlarken aşağıdaki sorularla ilgileniriz:

Güven aralığı ne kadar geniş?

Geniş bir güven aralığı tahminin kesin olmadığını gösterir; dar doğru bir tahmine işaret eder.

Güven aralığının genişliği standart hatanın boyutuna bağlıdır ve bu da örneklem büyüklüğüne bağlıdır ve sayısal bir değişken göz önüne alındığında, verilerin değişkenliği, az sayıda değişkenden oluşan büyük bir veri seti ile yapılan çalışmalardan daha geniş güven aralıkları üretir. .

CI özel olarak ilgi çekici herhangi bir değer içeriyor mu?

Bir popülasyon parametresinin olası değerinin güven aralığı dahilinde olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Eğer öyleyse, sonuçlar bu olası değerle tutarlıdır. Değilse, parametrenin bu değere sahip olması pek olası değildir (%95'lik bir güven aralığı için şans neredeyse %5'tir).

Ve diğerleri, bunların hepsi, bir örnek olmasa da genel bir popülasyon mevcut olsaydı elde edilebilecek teorik analoglarının tahminleridir. Ancak ne yazık ki genel nüfus çok pahalı ve çoğu zaman erişilemiyor.

Aralık tahmini kavramı

Herhangi bir örnek tahmininin bir miktar yayılması vardır, çünkü belirli bir örnekteki değerlere bağlı rastgele bir değişkendir. Bu nedenle, daha güvenilir istatistiksel sonuçlar için, yalnızca nokta tahmini değil, aynı zamanda yüksek olasılıklı aralık da bilinmelidir. γ (gama) değerlendirilen göstergeyi kapsar θ (teta).

Resmi olarak bunlar böyle iki değerdir (istatistik) T 1 (X) Ve T 2 (X), Ne T 1< T 2 , bunun için belirli bir olasılık seviyesinde γ koşul yerine getirildi:

Kısacası büyük ihtimalle γ veya daha fazlası gerçek gösterge noktaların arasındadır T 1 (X) Ve T 2 (X) alt ve üst sınırlar olarak adlandırılan güven aralığı.

Güven aralıkları oluşturmanın koşullarından biri maksimum darlığıdır, yani. mümkün olduğu kadar kısa olmalıdır. Arzu oldukça doğal, çünkü... araştırmacı istenen parametrenin konumunu daha doğru bir şekilde lokalize etmeye çalışır.

Buradan güven aralığının dağılımın maksimum olasılıklarını kapsaması gerektiği sonucu çıkar. ve değerlendirmenin kendisi merkezde olmalıdır.

Yani, (gerçek göstergenin tahminden) yukarıya doğru sapma olasılığı aşağı doğru sapma olasılığına eşittir. Asimetrik dağılımlarda sağdaki aralığın soldaki aralığa eşit olmadığını da belirtmek gerekir.

Yukarıdaki şekil, güven olasılığı ne kadar yüksekse aralığın da o kadar geniş olduğunu, doğrudan bir ilişki olduğunu açıkça göstermektedir.

Bu, bilinmeyen parametrelerin aralık tahmini teorisine kısa bir girişti. Matematiksel beklenti için güven sınırlarını bulmaya geçelim.

Matematiksel beklenti için güven aralığı

Orijinal veriler üzerinden dağıtılırsa ortalama normal bir değer olacaktır. Bu, normal değerlerin doğrusal bir kombinasyonunun da normal dağılıma sahip olduğu kuralından kaynaklanır. Bu nedenle olasılıkları hesaplamak için normal dağılım yasasının matematiksel aygıtını kullanabiliriz.

Ancak bu, genellikle bilinmeyen iki parametrenin (beklenti ve varyans) bilinmesini gerektirir. Elbette parametreler (aritmetik ortalama ve ) yerine tahminler kullanabilirsiniz, ancak bu durumda ortalamanın dağılımı tamamen normal olmayacak, aşağıya doğru hafifçe düzleşecektir. Bu gerçek, keşfini Biometrica dergisinin Mart 1908 sayısında yayınlayan İrlandalı vatandaş William Gosset tarafından akıllıca not edildi. Gizlilik amacıyla Gosset kendisini Öğrenci olarak imzaladı. Öğrenci t dağılımı bu şekilde ortaya çıktı.

Ancak K. Gauss'un astronomik gözlemlerdeki hataları analiz ederken kullandığı verilerin normal dağılımı, dünya yaşamında son derece nadirdir ve tespit edilmesi oldukça zordur (yüksek doğruluk için yaklaşık 2 bin gözleme ihtiyaç vardır). Bu nedenle normallik varsayımını bir kenara bırakıp orijinal verilerin dağılımına bağlı olmayan yöntemleri kullanmak en iyisidir.

Şu soru ortaya çıkıyor: Bilinmeyen bir dağılımın verilerinden hesaplanırsa aritmetik ortalamanın dağılımı nedir? Cevap olasılık teorisinde iyi bilinenler tarafından verilmektedir. Merkezi limit teoremi(CPT). Matematikte bunun birkaç çeşidi vardır (formülasyonlar yıllar içinde geliştirilmiştir), ancak bunların hepsi, kabaca konuşursak, çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının normal dağılım yasasına uyduğu ifadesine indirgenir.

Aritmetik ortalama hesaplanırken rastgele değişkenlerin toplamı kullanılır. Buradan aritmetik ortalamanın, beklentinin orijinal verinin beklentisi olduğu ve varyansın olduğu normal bir dağılıma sahip olduğu ortaya çıkıyor.

Akıllı insanlar CLT'yi nasıl kanıtlayacaklarını biliyorlar, ancak bunu Excel'de yapılan bir deney yardımıyla doğrulayacağız. 50 eşit şekilde dağıtılmış rastgele değişkenden oluşan bir örneği simüle edelim (RASTGELE ARASINDA Excel işlevini kullanarak). Daha sonra bu tür 1000 örnek oluşturacağız ve her birinin aritmetik ortalamasını hesaplayacağız. Bunların dağılımına bakalım.

Ortalamanın dağılımının normal yasaya yakın olduğu görülmektedir. Örneklem büyüklüğü ve sayısı daha da büyütülürse benzerlik daha da iyi olacaktır.

Artık CLT'nin geçerliliğini kendi gözlerimizle gördüğümüze göre, belirli bir olasılıkla gerçek ortalamayı veya matematiksel beklentiyi kapsayan aritmetik ortalama için güven aralıklarını kullanarak hesaplayabiliriz.

Üst ve alt limitleri belirlemek için normal dağılımın parametrelerini bilmeniz gerekir. Kural olarak hiçbiri yoktur, bu nedenle tahminler kullanılır: aritmetik ortalama Ve örnek varyans. Tekrar ediyorum, bu yöntem yalnızca büyük örneklerde iyi bir yaklaşım sağlar. Örnekler küçük olduğunda genellikle Öğrenci dağılımının kullanılması önerilir. İnanmayın! Ortalamaya ilişkin Öğrenci dağılımı yalnızca orijinal veriler normal şekilde dağıtıldığında oluşur, yani neredeyse hiçbir zaman gerçekleşmez. Bu nedenle, gerekli veri miktarı için hemen bir minimum çubuk belirlemek ve asimptotik olarak doğru yöntemleri kullanmak daha iyidir. 30 gözlemin yeterli olduğunu söylüyorlar. 50 alın - yanılmayacaksınız.

T 1.2– güven aralığının alt ve üst sınırları

– örnek aritmetik ortalama

0– numunenin standart sapması (tarafsız)

N – numune boyutu

γ – güven olasılığı (genellikle 0,9, 0,95 veya 0,99'a eşittir)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– standart normal dağılım fonksiyonunun ters değeri. Basitçe söylemek gerekirse, bu, aritmetik ortalamadan alt veya üst sınıra kadar olan standart hataların sayısıdır (bu üç olasılık, 1,64, 1,96 ve 2,58 değerlerine karşılık gelir).

Formülün özü, aritmetik ortalamanın alınması ve ardından belirli bir miktarın ayrılmasıdır ( γ ile) standart hatalar ( s 0 /√n). Her şey biliniyor, alın ve düşünün.

Kişisel bilgisayarların yaygınlaşmasından önce normal dağılım fonksiyonu ve bunun tersinin değerleri elde ediliyordu. Günümüzde hala kullanılmaktadırlar ancak hazır Excel formüllerini kullanmak daha etkilidir. Yukarıdaki formüldeki ( , ve ) tüm öğeler Excel'de kolayca hesaplanabilir. Ancak güven aralığını hesaplamak için hazır bir formül var - GÜVEN NORMU. Sözdizimi aşağıdaki gibidir.

GÜVENİLİRLİK.NORM(alfa;standart_kapalı;boyut)

alfa- yukarıda benimsenen gösterimde 1- γ'ya eşit olan anlamlılık düzeyi veya güven düzeyi, yani. matematiksel olasılığıbeklenti güven aralığının dışında olacaktır. 0,95 güven düzeyiyle alfa 0,05'tir vb.

standart_kapalı– örnek verilerin standart sapması. Standart hatayı hesaplamaya gerek yoktur; Excel'in kendisi n'nin köküne bölünür.

boyut– örneklem büyüklüğü (n).

GÜVEN NORMU fonksiyonunun sonucu, güven aralığını hesaplama formülündeki ikinci terimdir; yarım aralık Buna göre alt ve üst noktalar ortalama ± elde edilen değerdir.

Böylece, aritmetik ortalama için güven aralıklarının hesaplanmasına yönelik, orijinal verilerin dağılımına bağlı olmayan evrensel bir algoritma oluşturmak mümkündür. Evrenselliğin bedeli asimptotik doğasıdır, yani. nispeten büyük numunelerin kullanılması ihtiyacı. Ancak modern teknoloji çağında gerekli miktarda veriyi toplamak genellikle zor değildir.

Güven aralıklarını kullanarak istatistiksel hipotezleri test etme

(modül 111)

İstatistikte çözülen temel sorunlardan biri. Özü kısaca şu şekildedir. Örneğin genel nüfusun beklentisinin bir değere eşit olduğu varsayımı yapılır. Daha sonra belirli bir beklenti için gözlemlenebilecek örnek ortalamaların dağılımı oluşturulur. Daha sonra, bu koşullu dağılımda gerçek ortalamanın nerede bulunduğuna bakarlar. Kabul edilebilir sınırların ötesine geçerse, böyle bir ortalamanın ortaya çıkması pek olası değildir ve deney bir kez tekrarlanırsa neredeyse imkansızdır; bu, başarılı bir şekilde reddedilen hipotezle çelişir. Ortalama kritik seviyenin ötesine geçmezse, hipotez reddedilmez (ama aynı zamanda kanıtlanmaz!).

Dolayısıyla, beklenti durumumuzda güven aralıklarının yardımıyla bazı hipotezleri de test edebilirsiniz. Bunu yapmak çok kolaydır. Diyelim ki belirli bir örneklem için aritmetik ortalama 100'e eşit. Hipotez, beklenen değerin örneğin 90 olduğu test ediliyor. Yani soruyu ilkel olarak sorarsak, kulağa şu şekilde geliyor: doğru olabilir mi? Ortalamanın değeri 90'a eşit olduğunda gözlenen ortalamanın 100 olduğu ortaya çıktı mı?

Bu soruyu cevaplamak için ayrıca standart sapma ve örneklem büyüklüğü hakkında bilgiye ihtiyacınız olacak. Standart sapmanın 30 ve gözlem sayısının 64 olduğunu varsayalım (kökü kolayca çıkarabilmek için). O halde ortalamanın standart hatası 30/8 veya 3,75'tir. %95 güven aralığını hesaplamak için ortalamanın her iki tarafına iki standart hata (daha kesin olarak 1,96) eklemeniz gerekir. Güven aralığı yaklaşık 100±7,5 veya 92,5 ile 107,5 arasında olacaktır.

Daha fazla gerekçe aşağıdaki gibidir. Test edilen değer güven aralığı dahilindeyse hipotezle çelişmez çünkü rastgele dalgalanmaların sınırları dahilindedir (%95 olasılıkla). Kontrol edilen nokta güven aralığının dışındaysa, böyle bir olayın olasılığı çok düşüktür, her halükarda kabul edilebilir seviyenin altındadır. Bu, gözlemlenen verilerle çeliştiği için hipotezin reddedildiği anlamına gelir. Bizim durumumuzda beklenen değere ilişkin hipotez güven aralığının dışındadır (test edilen 90 değeri 100±7,5 aralığına dahil değildir), dolayısıyla reddedilmelidir. Yukarıdaki ilkel soruyu yanıtlayarak şunu söylemek gerekir: hayır, olamaz, her halükarda bu çok nadiren olur. Genellikle, hipotezin hatalı bir şekilde reddedilmesinin spesifik olasılığını (p-seviyesi) gösterirler ve güven aralığının oluşturulduğu belirtilen seviyeyi değil, daha fazlasını başka bir zamanda belirtirler.

Gördüğünüz gibi ortalama (veya matematiksel beklenti) için bir güven aralığı oluşturmak zor değildir. Önemli olan özü kavramak, sonra işler yoluna girecek. Uygulamada çoğu durumda, ortalamanın her iki tarafında yaklaşık iki standart hata genişliğinde olan %95'lik bir güven aralığı kullanılır.

Şimdilik bu kadar. Herşey gönlünce olsun!

Güven aralığı

Güven aralığı- Örnek boyutu küçük olduğunda tercih edilen, istatistiksel parametrelerin aralık (nokta yerine) tahmini için matematiksel istatistikte kullanılan bir terim. Güven aralığı, belirli bir güvenilirliğe sahip bilinmeyen bir parametreyi kapsayan aralıktır.

Güven aralıkları yöntemi, İngiliz istatistikçi Ronald Fisher'ın fikirlerine dayanarak Amerikalı istatistikçi Jerzy Neumann tarafından geliştirildi.

Tanım

Parametrenin güven aralığı θ rastgele değişken dağılımı X güven seviyesi 100 ile P%, örnek tarafından oluşturulan ( X 1 ,…,X n), sınırları olan bir aralık olarak adlandırılır ( X 1 ,…,X n) ve ( X 1 ,…,X n), bunlar rastgele değişkenlerin gerçekleşmesidir L(X 1 ,…,X n) ve sen(X 1 ,…,X n), öyle ki

Güven aralığının sınır noktalarına denir güven sınırları.

Güven aralığının sezgiye dayalı bir yorumu şu şekilde olacaktır: P büyükse (örneğin 0,95 veya 0,99), bu durumda güven aralığı neredeyse kesin olarak gerçek değeri içerir θ .

Güven aralığı kavramının başka bir yorumu: parametre değerlerinin aralığı olarak düşünülebilir θ Deneysel verilerle uyumlu ve onlarla çelişmeyen.

Örnekler

• Normal bir numunenin matematiksel beklentisi için güven aralığı;
• Normal örnek varyansı için güven aralığı.

Bayes güven aralığı

Bayes istatistiklerinde, güven aralığının benzer ancak bazı temel ayrıntılarda farklı tanımı vardır. Burada, tahmin edilen parametrenin kendisi, belirli bir ön dağılıma sahip (en basit durumda, tekdüze) rastgele bir değişken olarak kabul edilir ve örnek sabittir (klasik istatistikte her şey tam tersidir). Bayesian güven aralığı, parametre değerini sonsal olasılıkla kapsayan bir aralıktır:

Genel olarak klasik ve Bayes güven aralıkları farklıdır. İngiliz dili literatüründe Bayes güven aralığına genellikle terim denir. güvenilir aralık ve klasik olanı - güven aralığı.

Notlar

Wikimedia Vakfı.

• 2010.
• Çocuklar (film)

sömürgeci

Güven aralığı Diğer sözlüklerde “Güven aralığı”nın ne olduğuna bakın: - belirli bir olasılıkla (güvenle) tahmini dağılım parametresinin bilinmeyen gerçek değerini kapsayan, örnek verilerden hesaplanan bir aralık. Kaynak: GOST 20522 96: Topraklar. Sonuçların istatistiksel olarak işlenmesine yönelik yöntemler...

Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı güven aralığı - popülasyonun skaler bir parametresi için bu, büyük olasılıkla bu parametreyi içeren bir segmenttir. Bu ifade daha fazla detaylandırılmadıkça anlamsızdır. Güven aralığının sınırları örneklemden tahmin edildiği için doğaldır... ...

Sosyolojik İstatistik Sözlüğü GÜVEN ARALIĞI - nokta tahmininden farklı olan parametreleri tahmin etme yöntemi. Örnek x1 olsun, . . ., xn olasılık yoğunluğuna sahip bir dağılımdan f(x, α) ve a*=a*(x1, . ., xn) tahmin α, g(a*, α) olasılık yoğunluk tahmini. Arıyoruz... ...

Sosyolojik İstatistik Sözlüğü Jeolojik ansiklopedi - (güven aralığı) Bir örneklem araştırması temelinde elde edilen evren için parametre değerinin güvenilirliğinin, örneğin kendisinden kaynaklanan belirli bir olasılık derecesine (örneğin %95) sahip olduğu aralık. Genişlik… …

Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı Ekonomik sözlük - – belirli bir güven olasılığı ile belirlenen miktarın gerçek değerinin bulunduğu aralıktır. Genel kimya: ders kitabı / A. V. Zholnin ...

Kimyasal terimler Güven aralığı CI Genetik. Ansiklopedik Sözlük

Sosyolojik İstatistik Sözlüğü- istatistiksel bir parametreyi tahmin ederken ortaya çıkan bir kavram. değer aralığına göre dağılım. D. ve. q parametresi için bu katsayıya karşılık gelir. Güven P, öyle bir aralığa (q1, q2) eşittir ki, eşitsizliğin herhangi bir olasılık dağılımı için... ... Fiziksel ansiklopedi

Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı- - Telekomünikasyon konuları, temel kavramlar EN güven aralığı... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı- Pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ve metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato verė. atitikmenys: İngilizce. güven aralığı vok. Vertrauensbereich, Rusya.… … Metrologijos terminų žodynas'ın kullanımı

Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı- Pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų verė. atitikmenys: İngilizce. güven aralığı rusça güven alanı; güven aralığı... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas