İkinci dereceden eşitsizlik – “FROM ve TO”.Bu yazıda ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümüne, dedikleri gibi, inceliklerine kadar bakacağız. Makaledeki materyali hiçbir şeyi kaçırmadan dikkatlice incelemenizi tavsiye ederim. Makaleye hemen hakim olamayacaksınız, bunu birkaç yaklaşımla yapmanızı öneririm, çok fazla bilgi var.
İçerik:
Giriiş. Önemli!
Giriiş. Önemli!
İkinci dereceden bir eşitsizlik, formun bir eşitsizliğidir:
İkinci dereceden bir denklem alıp eşit işaretini yukarıdakilerden herhangi biriyle değiştirirseniz ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edersiniz. Bir eşitsizliği çözmek, bu eşitsizliğin hangi x değerleri için doğru olacağı sorusunu yanıtlamak anlamına gelir. Örnekler:
10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0
2 X 2 + 5 X –500 > 0
– 15 X 2 – 2 X+13 > 0
8 X 2 – 15 X+45≠ 0
İkinci dereceden eşitsizlik örtülü olarak belirtilebilir, örneğin:
10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56
2 X 2 > 36
8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13
0> – 15 X 2 – 2 X+13
Bu durumda cebirsel dönüşümlerin yapılarak standart forma getirilmesi gerekmektedir (1).
*Katsayılar kesirli ve irrasyonel olabilir, ancak bu tür örnekler okul müfredatında nadirdir ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde hiç bulunmaz. Ancak örneğin aşağıdakilerle karşılaşırsanız paniğe kapılmayın:
Bu aynı zamanda ikinci dereceden bir eşitsizliktir.
İlk olarak, ikinci dereceden bir fonksiyonun ne olduğunu ve grafiğinin koordinat eksenlerine göre koordinat düzleminde nasıl göründüğünü anlamayı gerektirmeyen basit bir çözüm algoritmasını ele alalım. Eğer bilgiyi sağlam ve uzun süre hatırlayabilir ve düzenli olarak pratik yaparak pekiştirebilirseniz algoritma size yardımcı olacaktır. Ayrıca, eğer dedikleri gibi, böyle bir eşitsizliği "bir kerede" çözmeniz gerekiyorsa, algoritma size yardımcı olacaktır. Bunu takip ederek çözümü kolayca uygulayacaksınız.
Okulda okuyorsanız, çözümün tüm anlamını anlatan ikinci bölümden itibaren makaleyi incelemeye başlamanızı şiddetle tavsiye ederim (aşağıdaki - noktasından bakın). Özünü anlarsanız, belirtilen algoritmayı öğrenmenize veya ezberlemenize gerek kalmayacak; herhangi bir ikinci dereceden eşitsizliği kolayca çözebilirsiniz.
Tabii ki açıklamaya hemen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğiyle ve anlamın açıklamasıyla başlamalıydım ama makaleyi bu şekilde "inşa etmeye" karar verdim.
Başka bir teorik nokta! İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülüne bakın:
burada x 1 ve x 2 ikinci dereceden denklem ax 2'nin kökleridir+ bx+c=0
*İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için ikinci dereceden trinomialin çarpanlara ayrılması gerekecektir.
Aşağıda sunulan algoritmaya aralık yöntemi de denir. Formdaki eşitsizlikleri çözmek için uygundur F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 veF(X)≤0 . Lütfen ikiden fazla çarpan olabileceğini unutmayın; örneğin:
(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0
Çözüm algoritması. Aralık yöntemi. Örnekler.
Verilen eşitsizlik balta 2 + bx+ c > 0 (herhangi bir işaret).
1. İkinci dereceden bir denklem yazın balta 2 + bx+ c = 0 ve çöz. Aldık x 1 ve x 2– ikinci dereceden bir denklemin kökleri.
2. Katsayıyı formül (2)'de değiştirin A ve kökleri. :
a(x – X 1 )(X – x2)>0
3. Sayı doğrusunda aralıkları tanımlayın (denklemin kökleri sayı doğrusunu aralıklara böler):
4. Ortaya çıkan her aralıktan rastgele bir "x" değerini ifadeye koyarak aralıklardaki (+ veya -) "işaretleri" belirleyin:
a(x – X 1 )(X – x2)
ve onları kutlayın.
5. Geriye kalan tek şey bizi ilgilendiren aralıkları yazmaktır, bunlar işaretlenmiştir:
- eşitsizlik “>0” veya “≥0” içeriyorsa “+” işaretiyle.
- eşitsizlik “ içeriyorsa “–” işareti koyun<0» или «≤0».
DİKKAT ETMEK!!! Eşitsizlikteki işaretler şunlar olabilir:
katı - bu “>”, “<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Bu kararın sonucunu nasıl etkiler?
Kesin eşitsizlik işaretleriyle aralığın sınırları çözüme DAHİL DEĞİLDİR, cevapta ise aralığın kendisi şu şekilde yazılır ( X 1 ; X 2 ) – yuvarlak parantez.
Zayıf eşitsizlik işaretleri için aralığın sınırları çözüme dahil edilir ve cevap şu şekilde yazılır: X 1 ; X 2 ] – köşeli parantezler.
*Bu yalnızca ikinci dereceden eşitsizlikler için geçerli değildir. Köşeli parantez, aralık sınırının kendisinin çözüme dahil edildiği anlamına gelir.
Bunu örneklerde göreceksiniz. Bununla ilgili tüm soruları açıklığa kavuşturmak için birkaçına bakalım. Teorik olarak algoritma biraz karmaşık görünebilir, ancak gerçekte her şey basittir.
ÖRNEK 1: Çöz X 2 – 60 X+500 ≤ 0
İkinci dereceden denklem çözme X 2 –60 X+500=0
D = B 2 –4 klima = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Kökleri bulmak:
Katsayıyı değiştir A
X 2 –60 X+500 = (x–50)(x–10)
Eşitsizliği forma yazıyoruz (x–50)(x–10) ≤ 0
Denklemin kökleri sayı doğrusunu aralıklara böler. Bunları sayı doğrusunda gösterelim:
Üç aralık aldık (–∞;10), (10;50) ve (50;+∞).
Aralıklardaki “işaretleri” belirliyoruz; bunu, ortaya çıkan her aralığın keyfi değerlerini (x–50)(x–10) ifadesine koyarak yapıyoruz ve ortaya çıkan “işaretin” işarete uygunluğuna bakıyoruz. eşitsizlik (x–50)(x–10) ≤ 0:
x=2'de (x–50)(x–10) = 384 > 0 yanlış
x=20'de (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно
x=60'da (x–50)(x–10) = 500 > 0 yanlış
Çözüm aralık olacaktır.
Bu aralıktaki x'in tüm değerleri için eşitsizlik doğru olacaktır.
*Köşeli parantezleri dahil ettiğimizi unutmayın.
x = 10 ve x = 50 için eşitsizlik de doğru olacaktır, yani sınırlar çözüme dahil olacaktır.
Cevap: x∊
Tekrar:
— Koşul ≤ veya ≥ (katı olmayan eşitsizlik) işaretini içerdiğinde aralığın sınırları eşitsizliğin çözümüne DAHİLDİR. Bu durumda, ortaya çıkan kökleri bir HASHED daire ile bir çizimde görüntülemek gelenekseldir.
— Koşul işareti içerdiğinde aralığın sınırları eşitsizliğin çözümüne DAHİL DEĞİLDİR< или >(katı eşitsizlik). Bu durumda, çizimdeki kökün KARIŞILMAMIŞ bir daire olarak görüntülenmesi gelenekseldir.
ÖRNEK 2: Çöz X 2 + 4 X–21 > 0
İkinci dereceden denklem çözme X 2 + 4 X–21 = 0
D = B 2 –4 klima = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Kökleri bulmak:
Katsayıyı değiştir A ve formül (2)'deki kökler, şunu elde ederiz:
X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)
Eşitsizliği forma yazıyoruz (x–3)(x+7) > 0.
Denklemin kökleri sayı doğrusunu aralıklara böler. Bunları sayı doğrusunda işaretleyelim:
*Eşitsizlik kesin değildir, dolayısıyla köklerin gösterimleri gölgeli DEĞİLDİR. Üç aralık elde ettik (–∞;–7), (–7;3) ve (3;+∞).
Aralıkların “işaretlerini” belirliyoruz, bunu bu aralıkların keyfi değerlerini (x–3)(x+7) ifadesine koyarak yapıyoruz ve eşitsizliğe uygunluk arıyoruz (x–3)(x+7)> 0:
x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 doğru
x= 0'da (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно
x=10'da (10–3)(10 +7) = 119 > 0 doğru
Çözüm iki aralık (–∞;–7) ve (3;+∞) olacaktır. Bu aralıklardaki x'in tüm değerleri için eşitsizlik doğru olacaktır.
*Parantezleri dahil ettiğimizi unutmayın. x = 3 ve x = –7'de eşitsizlik yanlış olacaktır; sınırlar çözüme dahil edilmemiştir.
Cevap: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)
ÖRNEK 3: Çöz – X 2 –9 X–20 > 0
İkinci dereceden denklem çözme – X 2 –9 X–20 = 0.
A = –1 B = –9 C = –20
D = B 2 –4 klima = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Kökleri bulmak:
Katsayıyı değiştir A ve formül (2)'deki kökler, şunu elde ederiz:
– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)
Eşitsizliği forma yazıyoruz –(x+5)(x+4) > 0.
Denklemin kökleri sayı doğrusunu aralıklara böler. Sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim:
*Eşitsizlik kesindir, dolayısıyla köklere ait semboller gölgelenmez. Üç aralığımız var (–∞;–5), (–5; –4) ve (–4;+∞).
Aralıklarda “işaretler” tanımlarız, bunu ifadenin yerine koyarak yaparız –(x+5)(x+4) bu aralıkların keyfi değerleri ve eşitsizlikle olan yazışmalarına bakın –(x+5)(x+4)>0:
x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30'da< 0 неверно
x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 doğru
x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20'de< 0 неверно
Çözüm aralığı (–5,–4) olacaktır. Kendisine ait olan “x”in tüm değerleri için eşitsizlik doğru olacaktır.
*Sınırların çözümün bir parçası olmadığını lütfen unutmayın. x = –5 ve x = –4 için eşitsizlik doğru olmayacaktır.
YORUM!
İkinci dereceden bir denklemi çözerken tek köklü veya hiç kökü olmayan bir denklemle karşılaşabiliriz, bu durumda bu yöntemi körü körüne kullandığımızda çözümü belirlemekte zorluklar ortaya çıkabilir.
Küçük bir özet! Yöntemin kullanımı iyi ve kullanışlıdır, özellikle ikinci dereceden fonksiyona aşinaysanız ve grafiğinin özelliklerini biliyorsanız. Değilse, lütfen bir göz atın ve bir sonraki bölüme geçin.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini kullanma. Ben tavsiye ediyorum!
İkinci dereceden formun bir fonksiyonudur:
Grafiği bir paraboldür, parabolün dalları yukarı veya aşağı doğru yönlendirilir:
Grafik şu şekilde konumlandırılabilir: x eksenini iki noktada kesebilir, bir noktada (tepe noktasında) dokunabilir veya kesişemez. Bu konuda daha sonra daha fazla bilgi vereceğiz.
Şimdi bu yaklaşıma bir örnekle bakalım. Çözüm sürecinin tamamı üç aşamadan oluşmaktadır. Eşitsizliği çözelim X 2 +2 X –8 >0.
İlk aşama
Denklemin çözümü X 2 +2 X–8=0.
D = B 2 –4 klima = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Kökleri bulmak:
x 1 = 2 ve x 2 = – 4 elde ettik.
İkinci aşama
Bir parabol inşa etmek y=X 2 +2 X–8 puanlara göre:
4 ve 2 noktaları parabol ile x ekseninin kesişim noktalarıdır. Çok basit! Ne yaptın? İkinci dereceden denklemi çözdük X 2 +2 X–8=0. Onun gönderisine şu şekilde göz atın:
0 = x 2+2x – 8
Bizim için sıfır “y”nin değeridir. Y = 0 olduğunda parabolün x ekseniyle kesişme noktalarının apsisini elde ederiz. Sıfır değeri olan “y”nin x ekseni olduğunu söyleyebiliriz.
Şimdi ifadenin x'in hangi değerlerine bakın X 2 +2 X – 8 sıfırdan büyük (ya da küçük)? Bunu parabol grafiğinden belirlemek zor değil; dedikleri gibi, her şey görünürdedir:
1. x'te< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 olumlu olacaktır.
2. –4'te< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 olumsuz olacaktır.
3. x > 2 için parabolün dalı x ekseninin üzerinde yer alır. Belirtilen x için üç terimli X 2 +2 X –8 olumlu olacaktır.
Üçüncü aşama
Parabolden ifadenin hangi x'te olduğunu hemen görebiliriz. X 2 +2 X–8 sıfırdan büyük, sıfıra eşit, sıfırdan küçük. Çözümün üçüncü aşamasının özü de budur; yani çizimdeki olumlu ve olumsuz alanları görmek ve tanımlamak. Elde edilen sonucu orijinal eşitsizlikle karşılaştırıp cevabı yazıyoruz. Örneğimizde ifadenin geçerli olduğu tüm x değerlerinin belirlenmesi gerekmektedir. X 2 +2 X–8 sıfırdan fazla. İkinci aşamada bunu yaptık.
Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.
Cevap: x∊(–∞;–4) U (2;∞).
Özetleyelim: İlk adımda denklemin köklerini hesapladıktan sonra ortaya çıkan noktaları x ekseni üzerinde işaretleyebiliriz (bunlar parabolün x ekseni ile kesiştiği noktalardır). Daha sonra şematik olarak bir parabol oluşturuyoruz ve çözümü zaten görebiliyoruz. Neden şematik? Matematiksel olarak doğru bir programa ihtiyacımız yok. Ve örneğin, köklerin 10 ve 1500 olduğunu hayal edin, böyle bir değer aralığına sahip bir kağıt üzerinde doğru bir grafik oluşturmaya çalışın. Soru ortaya çıkıyor! Kökleri aldık, onları o ekseni üzerinde işaretledik, ancak parabolün konumunu, dalları yukarı mı aşağı mı olacak şekilde çizmeli miyiz? Burada her şey basit! x 2 katsayısı size şunu söyleyecektir:
- sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
- sıfırdan küçükse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.
Örneğimizde bire eşittir, yani pozitiftir.
*Not! Eşitsizlik katı olmayan bir işaret içeriyorsa, yani ≤ veya ≥, o zaman sayı doğrusundaki kökler gölgelenmelidir, bu geleneksel olarak aralığın sınırının eşitsizliğin çözümüne dahil edildiğini gösterir. Bu durumda, eşitsizliğimiz katı olduğundan (">" işareti vardır) kökler gölgelenmez (delinmez). Üstelik bu durumda cevapta kare yerine parantez kullanılır (kenarlıklar çözüme dahil edilmez).
Çok şey yazıldı, muhtemelen birinin kafasını karıştırdım. Ancak parabol kullanarak en az 5 eşitsizliği çözerseniz hayranlığınız sınır tanımayacaktır. Çok basit!
Yani kısaca:
1. Eşitsizliği yazıp standart olana indiriyoruz.
2. İkinci dereceden bir denklem yazın ve çözün.
3. X eksenini çizin, ortaya çıkan kökleri işaretleyin, şematik olarak, x 2 katsayısı pozitifse dalları yukarıya veya negatifse aşağıya dalları olan bir parabol çizin.
4. Olumlu veya olumsuz alanları görsel olarak belirleyin ve orijinal eşitsizliğin cevabını yazın.
Örneklere bakalım.
ÖRNEK 1: Çöz X 2 –15 X+50 > 0
İlk aşama.
İkinci dereceden denklem çözme X 2 –15 X+50=0
D = B 2 –4 klima = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Kökleri bulmak:
İkinci aşama.
O eksenini inşa ediyoruz. Ortaya çıkan kökleri işaretleyelim. Eşitsizliğimiz katı olduğu için onları gölgelemeyeceğiz. Şematik olarak bir parabol inşa ediyoruz, x 2 katsayısı pozitif olduğu için dalları yukarıda olacak şekilde konumlandırılmış:
Üçüncü aşama.
Görsel olarak olumlu ve olumsuz alanları tanımlıyoruz, burada netlik açısından farklı renklerle işaretledik, bunu yapmanıza gerek yok.
Cevabını yazıyoruz.
Cevap: x∊(–∞;5) U (10;∞).
*U işareti birleştirme çözümünü belirtir. Mecazi anlamda konuşursak, çözüm “bu” VE “bu” aralıktır.
ÖRNEK 2: Çöz – X 2 + X+20 ≤ 0
İlk aşama.
İkinci dereceden denklem çözme – X 2 + X+20=0
D = B 2 –4 klima = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Kökleri bulmak:
İkinci aşama.
O eksenini inşa ediyoruz. Ortaya çıkan kökleri işaretleyelim. Eşitsizliğimiz katı olmadığından köklerin işaretlerini gölgeliyoruz. Şematik olarak bir parabol inşa ediyoruz, x 2 katsayısı negatif olduğundan (-1'e eşittir) dalları aşağıda olacak şekilde konumlandırılmıştır:
Üçüncü aşama.
Olumlu ve olumsuz alanları görsel olarak belirliyoruz. Bunu orijinal eşitsizlikle karşılaştırıyoruz (işaretimiz ≤ 0). Eşitsizlik x ≤ – 4 ve x ≥ 5 için geçerli olacaktır.
Cevabını yazıyoruz.
Cevap: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Negatif ve sıfır diskriminantlı ikinci dereceden eşitsizlikler
Yukarıdaki algoritma, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda, yani \(2\) kökü olduğunda çalışır. Diğer durumlarda ne yapmalı? Örneğin, bunlar:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Eğer \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Yani ifade:
\(x^2+2x+9\) – herhangi bir \(x\) için pozitif, çünkü \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - herhangi bir \(x\ için) negatif, çünkü \(a=-1<0\)
Eğer \(D=0\), o zaman bir değer için ikinci dereceden trinomial \(x\) sıfıra eşittir ve diğer tüm değerler için \(a\) katsayısının işaretiyle çakışan sabit bir işarete sahiptir.
Yani ifade:
\(x^2+6x+9\) \(x=-3\) için sıfıra eşit ve diğer tüm x'ler için pozitiftir, çünkü \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - \(x=-2\) için sıfıra eşit ve diğerleri için negatiftir, çünkü \(a=-1<0\).
İkinci dereceden trinomialin sıfıra eşit olduğu x nasıl bulunur? İlgili ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerekiyor.
Bu bilgiler ışığında ikinci dereceden eşitsizlikleri çözelim:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Eşitsizliğin bize şu soruyu sorduğu söylenebilir: "Soldaki ifade hangi \(x\) için sıfırdan büyüktür?" Yukarıda herhangi biri için bunu öğrendik. Cevapta “herhangi bir \(x\) için” yazabilirsiniz, ancak aynı fikri matematik dilinde ifade etmek daha iyidir. |
|
|
Cevap: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Eşitsizlikle ilgili soru: "Hangi \(x\) için soldaki ifade sıfırdan küçük veya sıfıra eşit?" Sıfırdan küçük olamaz ama sıfıra eşit olabilir. Bunun hangi iddiada gerçekleşeceğini öğrenmek için ilgili ikinci dereceden denklemi çözelim. |
|
|
İfademizi \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)'ye göre derleyelim. |
||
|
Artık bizi durduran tek şey meydan. Birlikte düşünelim; hangi sayının karesi sıfıra eşittir? Sıfır! Bu, bir ifadenin karesinin yalnızca ifadenin kendisi sıfıra eşitse sıfıra eşit olacağı anlamına gelir. |
||
|
\(x+3=0\) |
Bu sayı cevap olacaktır. |
|
|
Cevap: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Soldaki ifade ne zaman sıfırdan büyüktür? Yukarıda da söylediğimiz gibi soldaki ifade ya negatiftir ya da sıfıra eşittir; pozitif olamaz. Yani cevap asla. Matematik dilinde “boş küme” sembolünü - \(∅\) kullanarak “asla” yazalım. |
|
|
Cevap: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Soldaki ifade ne zaman sıfırdan küçüktür? Her zaman. Bu, eşitsizliğin herhangi bir \(x\) için geçerli olduğu anlamına gelir. |
|
|
Cevap: \(x∈(-∞;∞)\) |
İkinci dereceden eşitsizliğin tanımı
Not 1
Eşitsizliğe ikinci dereceden denir çünkü değişkenin karesi alınır. İkinci dereceden eşitsizliklere aynı zamanda denir ikinci dereceden eşitsizlikler.
Örnek 1
Örnek.
$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – ikinci dereceden eşitsizlikler.
Örnekte görülebileceği gibi $ax^2+bx+c > 0$ formundaki eşitsizliğin tüm elemanları mevcut değildir.
Örneğin, $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ eşitsizliğinde serbest terim yoktur ($с$ terimi) ve $11z^2+8 eşitsizliğinde \le 0$ $b$ katsayısına sahip bir terim yoktur. Bu tür eşitsizlikler de ikinci derecedendir, ancak bunlara aynı zamanda denir. tamamlanmamış ikinci dereceden eşitsizlikler. Bu sadece $b$ veya $c$ katsayılarının sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
İkinci dereceden eşitsizlikleri çözme yöntemleri
İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki temel yöntemler kullanılır:
- grafik;
- aralık yöntemi;
- bir binomun karesini yalnız bırakmak.
Grafik yöntemi
Not 2
İkinci dereceden $ax^2+bx+c > 0$ (veya $ işaretiyle) eşitsizliklerini çözmek için grafiksel yöntem
Bu aralıklar ikinci dereceden eşitsizliği çözme.
Aralık yöntemi
Not 3
$ax^2+bx+c > 0$ formundaki ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için aralık yöntemi (eşitsizlik işareti ayrıca $ olabilir)
İkinci dereceden eşitsizliklerin çözümleri$""$ işaretiyle - pozitif aralıklar, $"≤"$ ve $"≥"$ işaretleriyle - trinomiyalin sıfırlarına karşılık gelen noktalar dahil olmak üzere negatif ve pozitif aralıklar (sırasıyla).
Bir binomun karesini ayırma
İkinci dereceden bir eşitsizliği binomun karesini izole ederek çözmenin yöntemi, $(x-n)^2 > m$ biçiminde (veya $ işaretiyle) eşdeğer bir eşitsizliğe geçmektir.
İkinci dereceden ifadeye indirgenen eşitsizlikler
Not 4
Çoğu zaman, eşitsizlikleri çözerken, bunların $ax^2+bx+c > 0$ biçimindeki ikinci dereceden eşitsizliklere indirgenmesi gerekir (eşitsizlik işareti aynı zamanda ikinci dereceden olanlara indirgenen $ eşitsizlikleri de olabilir).
Not 5
Eşitsizlikleri ikinci dereceden olanlara indirmenin en basit yolu, orijinal eşitsizlikteki terimleri yeniden düzenlemek veya bunları örneğin sağ taraftan sola aktarmaktır.
Örneğin, $7x > 6-3x^2$ eşitsizliğinin tüm terimlerini sağ taraftan sola aktardığımızda, $3x^2+7x-6 > 0$ formunda ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ederiz.
$1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ eşitsizliğinin sol tarafındaki terimleri $y$ değişkeninin derecesine göre azalan sırada yeniden düzenlersek, bu $5.3 formunda eşdeğer ikinci dereceden bir eşitsizliğe yol açacaktır. x^2+1,5y-2 \ge 0$.
Rasyonel eşitsizlikleri çözerken, bunlar genellikle ikinci dereceden eşitsizliklere indirgenir. Bu durumda tüm terimleri sol tarafa aktarmak ve ortaya çıkan ifadeyi ikinci dereceden bir trinomial formuna dönüştürmek gerekir.
Örnek 2
Örnek.
$7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ eşitsizliğini ikinci dereceden bire düşürün.
Çözüm.
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşıyalım:
$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.
Kısaltılmış çarpma formüllerini ve açılan parantezleri kullanarak eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi basitleştiriyoruz:
$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;
$x^2-21,5x-19 > 0$.
Cevap: $x^2-21,5x-19 > 0$.
