Bir düzleme dik bir doğru nasıl oluşturulur? Belirli bir düzleme dik bir düzlem oluşturmak için algoritma

KARŞILIKLI DÜZ VE DÜZLEMLERİN İNŞAATI

Bir düzlemle kesişen bir çizginin tüm olası konumları arasında, çizginin düzleme dik olduğu durumu not ediyoruz ve böyle bir çizginin izdüşümlerinin özelliklerini dikkate alıyoruz.

Şek. 185'e, kesişen iki düz çizgi AN ve AM ile tanımlanan bir düzlem verilmiştir; AN bu düzlemin yatay ve AM ön kısmıdır. Aynı çizimde gösterilen AB düz çizgisi AN ve AM'ye diktir ve dolayısıyla onlar tarafından tanımlanan düzleme de diktir.

Bir düzleme dik olan nokta, o düzlemde çizilen herhangi bir çizgiye diktir. Ancak genel bir düzleme dik olan izdüşümün, bu düzlemin herhangi bir düz çizgisi üzerindeki aynı adı taşıyan izdüşümüne dik olması için, düz çizginin yatay veya önden veya profil düz bir düzlem olması gerekir. Bu nedenle, bir düzleme dik bir çizgi oluşturmak istediklerinde, genel durumda bu tür iki düz çizgi alırlar (örneğin, Şekil 185'te gösterildiği gibi yatay ve önden).

Yani, bir düzleme dik olarak, yatay izdüşümü yatayın yatay izdüşümüne diktir, önden izdüşüm önden izdüşümüne diktir, profil izdüşümü bunun profil çizgisinin profil izdüşümüne diktir. uçak.

Açıkçası, düzlemin izlerle ifade edilmesi durumunda (Şekil 186), şu sonuca varırız: eğer düz bir çizgi düzleme dikse, o zaman bu çizginin yatay izdüşümü düzlemin yatay izine diktir. ve önden projeksiyon düzlemin ön izine diktir.

Dolayısıyla, π 1 p 2 sisteminde çizginin yatay izdüşümü yatay ize dik ise ve çizginin ön izdüşümü düzlemin ön izdüşümüne dik ise, o zaman genel konum düzlemleri durumunda (Şekil 186), yatay ve önden çıkıntılı olduğu gibi, çizgi düzleme diktir. Ancak profil çıkıntılı bir düzlem için, düz çizginin izdüşümleri düzlemin yatay ve ön izlerine uygun şekilde dik olmasına rağmen, bu düzleme giden düz çizginin dik olmadığı ortaya çıkabilir. Bu nedenle, bir profil çıkıntılı düzlem söz konusu olduğunda, bir düz çizginin profil izdüşümünün göreceli konumunu ve belirli bir düzlemin profil izini de dikkate almak ve ancak bundan sonra verilen düz çizginin ve düzlemin olup olmadığını belirlemek gerekir. birbirine dik olacaktır.

Açıkçası (Şekil 187), dikin düzleme yatay izdüşümü, düzlemde dikin tabanı boyunca çizilen eğim çizgisinin yatay izdüşümü ile birleşir.

Şek. 186 A noktasından kareye bir dik çiziliyor. a (А"С" ⊥ f" 0a, А"С" ⊥ h" 0a) ve AC dikinin pl ile kesiştiği E noktasının yapısını gösterir. A. İnşaat yatay olarak çıkıntı yapan bir kare kullanılarak yapıldı. β dik AE boyunca çizilir.

Şek. Şekil 188, ABC üçgeni tarafından tanımlanan düzleme dik olanın yapımını göstermektedir. A noktasından geçen bir dikme çiziliyor.

Düzleme dik olanın önden izdüşümü, düzlemin ön kısmının önden izdüşümüne dik olması gerektiğinden ve yatay izdüşümü, yatayın yatay izdüşümüne dik olduğundan, o zaman A noktasından geçen düzlemde A çıkıntıları olan bir önden "D" ve A"D" ve yatay bir A"E ", A"E" çizilir. Elbette bu çizgilerin tam olarak A noktasından çizilmesi gerekmiyor.

Dikey projeksiyonlar şunlardır: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ A"E". Şekil 2'deki projeksiyonlar neden A"N" ve A"M" bölümlerindeki 188 kesikli çizgilerle gösteriliyor mu? Çünkü burada sadece bu üçgeni değil, ABC üçgeni tarafından tanımlanan düzlemi düşünüyoruz: dik düzlemin bir kısmı düzlemin önünde, bir kısmı da arkasındadır.

Şek. Şekil 189 ve 190, BC düz çizgisine dik olarak A noktasından geçen bir düzlemin yapısını göstermektedir. Şek. 189 düzlem izlerle ifade edilmektedir. İnşaat, istenen düzlemin yatay çizgisinin A noktasından çizilmesiyle başladı: Düzlemin yatay izinin B "C"ye dik olması gerektiğinden, yatay çizginin yatay izdüşümünün B "C"ye dik olması gerekir. Bu nedenle, A"N" ⊥ B"C. Yatayda olması gerektiği gibi x ekseninin A"N" || izdüşümü. Daha sonra N" noktasından çizin (N", x ekseninin ön izinin ön izdüşümüdür). yatay AN) izi f" 0a ⊥ B "C", X a noktası elde edilir ve h" 0a || A"N" (h" 0a ⊥ B"C") izi çizilir.

Şek. 190'da düzlem, ön AM ve yatay AN ile tanımlanır. Bu çizgiler BC'ye diktir (А"М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С); tanımladıkları düzlem güneşe diktir.

Bir düzleme dik olan bir çizgi, bu düzlemde çizilen her düz çizgiye dik olduğundan, bir düz çizgiye dik bir düzlem çizmeyi öğrendikten sonra, bunu belirli bir A noktasından genel bir BC çizgisine bir dik çizmek için kullanabilirsiniz. Açıkçası, istenen çizginin projeksiyonlarını oluşturmak için aşağıdaki planı özetleyebiliriz:

1) A noktasından BC'ye dik bir düzlem çizin (buna ϒ diyelim);

2) BC düz çizgisinin kareyle kesiştiği K noktasını belirleyin. ϒ;

3) A ve K noktalarını düz bir çizgi parçasıyla birleştirin.

AK ve BC doğruları birbirine diktir.

Yapılışın bir örneği Şekil 2'de verilmiştir. 191. A noktasından BC'ye dik bir (ϒ) düzlemi çizilmektedir. Bu, ön projeksiyonu A"F" ön projeksiyonu B"C" ön projeksiyonuna dik olan bir ön projeksiyon ve yatay projeksiyonu B"C"ye dik olan bir yatay kullanılarak yapılır.

Daha sonra BC düz çizgisinin kareyle kesiştiği K noktası bulunur. ϒ. Bunu yapmak için, BC düz çizgisi boyunca yatay olarak çıkıntı yapan bir β düzlemi çizilir (çizimde bu yalnızca yatay iz β ile belirtilir). β karesi, ϒ karesini 1"2' ve 1"2 çıkıntılarıyla düz bir çizgide keser. ". Bu doğrunun BC düz çizgisiyle kesiştiği noktada, BC'ye dik olan AK düz çizgisi elde edilir. Aslında AK düz çizgisi BC düz çizgisiyle kesişir ve kare şeklindedir. ϒ, BC düz çizgisine dik; dolayısıyla AK ⊥ BC.

Şek. Şekil 192, A noktasından geçen a genel konumundaki bir düzlemi ve bu düzleme dik olan, düzlemle kesişme noktasına kadar uzanan bir AM'yi göstermektedir. n 1, B noktasında".

pl arasındaki f 1 açısı. a ve pl. n 1 ve AM düz çizgisi ile kare arasındaki f açısı. p 1, B "AM" dik üçgeninin dar açılarıdır ve bu nedenle φ 1 + φ = 90°'dir. Aynı şekilde, eğer pl. ve pl tutarındadır. p 2 açısı σ 2 ve a'ya dik olan AM düz çizgisi c pl'yi yapar. n 2 açı σ, bu durumda σ 2 + σ = 90°. Bundan öncelikle pl'ye eşit olması gereken genel konum düzlemi çıkar. pl ile p 1 açısı f 1 a. n 2 açısı σ 2 yalnızca 180° > Ф 1 + σ2 > 90° ise oluşturulabilir.

Gerçekten de, terimi terim bazında Ф 1 + Ф = 90° ve σ 2 + σ = 90° ekleyerek, Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, yani Ф 1 + σ 2 elde ederiz.< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90°. Ф 1 + σ 2 =90° alırsanız profil çıkıntılı bir düzlem elde edersiniz ve Ф 1 + σ 2 = 180° alırsanız bir profil düzlemi elde edersiniz, yani her iki durumda da düzlem genel bir konum, ancak belirli bir konum.

KARŞILIKLI DİK DÜZLEMLERİN İNŞAATI

A düzlemine dik olan β düzleminin inşası iki şekilde yapılabilir: 1) pl. β kareye dik bir çizgi boyunca çizilir. A; 2) pl. β kare içinde uzanan çizgiye dik olarak çizilir. a veya bu düzleme paralel. Benzersiz bir çözüm elde etmek için ek koşullar gereklidir.

Şek. Şekil 193, CDE üçgeni tarafından tanımlanan düzleme dik bir düzlemin yapısını göstermektedir. Burada ek bir koşul da istenilen düzlemin A B doğrusundan geçmesi gerektiğidir. Sonuç olarak istenilen düzlem AB düz çizgisi ve üçgen düzlemine dik olan çizgi tarafından belirlenir. Bunu kareye dik olarak çizmek için. İçinde CDE ön CN ve yatay CM alınır: eğer B"F" ⊥ C“N" ve B"F"⊥C"M" ise, o zaman BF⊥ kare CDE.

Kesişen AB ve BF düz çizgilerinin oluşturduğu düzlem kareye diktir. COE, bu düzleme dik olarak geçtiği için. Şek. 194 yatay olarak çıkıntı yapan β düzlemi, ABC üçgeni ile tanımlanan düzleme dik olan K noktasından geçiyor. Burada ek bir koşul, istenen düzlemin aynı anda iki düzleme, yani kareye dik olmasıydı. ABC ve pl'ye. s. 1. Bu nedenle cevap yatay projeksiyon düzlemidir. Ve AD yatay çizgisine, yani pl'ye ait düz bir çizgiye dik olarak çizildiği için. ABC, sonra pl. β kareye diktir. ABC.

Aynı isimli düzlem izlerinin dikliği, düzlemlerin dikliğinin bir işareti olarak hizmet edebilir mi?

Durumun böyle olduğu bariz durumlar arasında, yatay izlerin karşılıklı olarak dik olduğu, yatay olarak çıkıntı yapan iki düzlemin karşılıklı dikliği yer alır. Bu aynı zamanda önden çıkıntı yapan düzlemlerin ön izleri karşılıklı olarak dik olduğunda da meydana gelir; bu düzlemler karşılıklı olarak diktir.

Genel a düzlemine dik, yatay olarak çıkıntı yapan bir β düzlemini ele alalım (Şekil 195).

Eğer pl. β kareye diktir. l, s 1 pl. a, sonra a alanı ile p 1 alanının kesişme çizgisine göre β⊥h" 0a. Dolayısıyla h" 0a ⊥ β ve dolayısıyla β alanındaki doğrulardan birine göre h" 0a ⊥ β olur.

Yani genel düzlemin yatay izlerinin ve yatay olarak çıkıntı yapan düzlemin dikliği, bu düzlemlerin karşılıklı dikliğine karşılık gelir.

Açıkçası, önden çıkıntı yapan düzlemin ve genel konum düzleminin ön izlerinin dikliği aynı zamanda bu düzlemlerin karşılıklı dikliğine de karşılık gelir.

Ancak genel konumdaki aynı isimli iki düzlemin izleri karşılıklı olarak dik ise, bu bölümün başında belirtilen koşulların hiçbiri burada karşılanmadığından düzlemlerin kendileri birbirine dik değildir.

Sonuç olarak, Şekil 2'ye bakalım. 196. Burada, hem çiftlerinde hem de düzlemlerin dikliklerinde aynı isimli izlerin karşılıklı dikliği durumu vardır: her iki özel (özel) konum düzlemi - profil ϒ ve profil çıkıntısı a.

Sözlü biçim	Grafik formu
1. Bir düzleme dik bir düz çizgi çizmek için düzlemde bir yatay ve bir de ön çizgi çizmenin gerekli olduğu bilinmektedir. a) Q(D ABC) düzleminin kenarları düz düz çizgiler olduğundan dikmenin yapısının basitleştirildiğine dikkat edin: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – ön AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – yatay . b) Düz bir çizgi alın
ben keyfi nokta K 2. Doğruya ait olan K noktasından ben, doğrudan yürütüyoruz a) Q(D ABC) düzleminin kenarları düz düz çizgiler olduğundan dikmenin yapısının basitleştirildiğine dikkat edin: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – ön AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – yatay . N ben,^Q, yani a) Q(D ABC) düzleminin kenarları düz düz çizgiler olduğundan dikmenin yapısının basitleştirildiğine dikkat edin: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – ön AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – yatay . n 1 ^ A 1 C 1 ve n 2 ^ A 2 B 2 .

İstenilen düzlem, biri verilen iki kesişen çizgiyle belirlenecektir -

ve diğeri -

verilen düzleme diktir: P(

n)^Q (D ABC)

İşin sonu -

Bu konu şu bölüme aittir:

Bu bölümdeki tüm konular:

AÇIKLAMALI GEOMETRİ
Uzak Doğu Bölgesel Eğitim ve Metodoloji Merkezi tarafından 210700 “Otomasyon, telemekanik ve demiryolu iletişimi” uzmanlık öğrencileri için ders kitabı olarak tavsiye edilmiştir.

Geometrik görseller
1. Projeksiyon düzlemi: p – isteğe bağlı;

p1 – yatay;
p2 – önden;

p3 – profil;
S – merkez projeksiyonu

Küme teorik gösterimi
Projeksiyon yönteminin özü, bazı geometrik görüntülerin Ap projeksiyonunun

Projeksiyon merkezi
Merkez, projeksiyon merkezi adı verilen bir S noktasından çıkan tüm ışınların çıktığı bir projeksiyondur. Şek. 1.3, p'nin düz olduğu merkezi projeksiyonun bir örneğini verir

Paralel projeksiyon
Paralel projeksiyon, projeksiyon yapan tüm ışınların birbirine paralel olduğu bir projeksiyondur.

Paralel çıkıntılar eğik (Şekil 1.7) ve dikdörtgen (Şekil 1.8) olabilir.
Ortogonal projeksiyonların özellikleri

1. Bir noktanın izdüşümü bir noktadır (Şekil 1.9).
Pirinç. 1.9 2. Genel olarak bir çizginin izdüşümü

Çizimin tersine çevrilebilirliği. Monge yöntemi
§ 2 ve § 3'te tartışılan projeksiyonları bir düzleme yansıtma yöntemi, doğrudan problemin çözülmesini mümkün kılar (bir nesneye sahipseniz, onun projeksiyonunu bulabilirsiniz), ancak ters problemin çözülmesine izin vermez (bir nesneye sahipseniz, onun projeksiyonunu bulabilirsiniz)

Karşılıklı iki dik düzlemden oluşan sistem
Çizimin tersine çevrilebilirliği, daha önce de belirtildiği gibi, yani uzaydaki bir noktanın konumunun izdüşümlerine göre kesin olarak belirlenmesi, karşılıklı olarak dik iki yüzeye izdüşüm ile sağlanabilir.

Karşılıklı üç dik düzlemden oluşan sistem
Uygulamada, araştırma ve görüntülemede, birbirine dik iki düzlemden oluşan bir sistem her zaman kesin bir çözüm olanağı sağlamaz. Örneğin, A noktasını eksen boyunca hareket ettirirseniz

I-IV oktantlarındaki bir noktanın karmaşık çizimi ve görsel temsili
Çeşitli oktanlarda A, B, C, D noktalarının oluşturulmasına ilişkin bir örneği ele alalım (Tablo 2.4).

Tablo 2.4 Octant Görsel temsili
Örneğimizde ilk çeyrekte genel hat yapımını ele alacağız (Tablo 3.3).

Tablo 3.3 Sözlü biçim
Sağ üçgen yöntemi. Düz bir çizgi parçasının doğal boyutunun ve düz çizginin projeksiyon düzlemlerine eğim açılarının belirlenmesi

Genel olarak bir düz çizgi parçasının projeksiyonlarının ve belirli bir konumun oluşturulması, yalnızca konumsal sorunların (projeksiyon düzlemlerine göre konum) değil, aynı zamanda metrik sorunların da çözülmesini mümkün kılar - uzunluğun belirlenmesi
Genel konumdaki bir çizgi parçasının doğal değerinin belirlenmesi

Karşılıklı iki dik düzlemden oluşan sistem
Bir düz çizgi parçasının genel konumdaki doğal değerini projeksiyonlarından belirlemek için dik açılı üçgen yöntemi kullanılır.

Bu konumun sırasını ele alalım (Tablo.
Uzayda iki düz çizgi farklı konumlara sahip olabilir: kesişir (aynı düzlemde uzanır). Özel bir kesişme durumu dik açıdır; paralel olabilir

Projeksiyon düzlemlerine göre çizgilerin görünürlüğünün belirlenmesi
Çizgilerin projeksiyon düzlemlerine göre görünürlüğünü belirlemek için yarışan noktalar kullanılır. Kesişen düz çizgiler a ve b'nin karmaşık bir çizimini ele alalım (Şekil 4.1 ve Şekil 4.2). hangisi olduğunu belirleyelim

Kesişen çizgiler oluşturmak için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. K noktasından geçen bir h|| düz çizgisi çizin p1 ve kesişen çizgi a

Projeksiyon uçakları
Tanım Görsel görüntü Karmaşık çizim Yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlem, dik bir düzlemdir

Seviye düzlemleri
Özellikler Görsel gösterim Diyagram Ön düzlem p2 düzlemine paralel bir düzlemdir. Bu

Düzlemde özel konumdaki düz çizgiler
Düzlemde özel konumdaki çizgiler yatay h, ön f ve projeksiyon düzlemlerine en büyük eğime sahip çizgilerdir. Bu çizgilerin grafiksel gösterimine bakalım (Tablo 5.6).

Ta
Ön inşaat algoritması

Sözel biçim Grafik biçim Bir a (a|| b) düzlemi verildiğinde, dolayısıyla a1 || b1; a2
K noktasının ikinci projeksiyonunu oluşturmak için algoritma

Sözel biçim Grafik biçim Düzlem a – düz bir şekil a (D ABC) ile tanımlanır, K2 – K noktasının önden izdüşümü
Belirli bir düzleme paralel bir düzlem oluşturmak için algoritma

Bir düzleme paralel düz bir çizgi oluşturmak için algoritma
Sözel biçim Grafik biçimi 1. P(D ABC) düzleminde P düzlemine ait bir A1 düz çizgisi çizelim.

Düz bir çizginin genel bir düzlemle kesişimi için algoritma
Sözlü form Grafik formu 1. Düz bir l çizgisinin bir düzlemle kesişme noktasını oluşturmak

Bir düzleme dik oluşturmak için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. P(D ABC) düzlemine D noktasından geçen bir dik oluşturmak için önce şunları yapmalısınız:

3. Bölüme
1. AB çizgisinin izdüşümünü (Şekil 3) aşağıdaki durumlarda oluşturun: a) p1'e paralelse;

b) p2'ye paralel;
c) OX'a paralel;

d) p1'e dik
5. Bölüme

İki paralel düz çizgiyle tanımlanan düzlemde, ön kısmı p1'den 15 mm uzaklıkta oluşturun (Şekil 9):
6. Bölüme

1. Bir P(a|| b) düzlemi ve D noktasından geçen bir m çizgisinin önden izdüşümü m2 verilsin. m1 çizgisinin yatay izdüşümünü m çizgisi bu düzleme paralel olacak şekilde oluşturun.
3. Bölüm Testleri

AB segmentinin tanımı ile görüntüsü arasındaki yazışmayı seçin (Şekil 6): 1. AB || s. 1 2. AB || s 2 3. AB ^ s 1 4.
6. Bölüm Testleri

1. Çizimlerin hangisinde (Şekil 12), P(m Cn) düzlemine paralel olan S (D ABC) düzlemi görülmektedir.

Önerilen kaynakça

1. GOST 2.001-70. Genel hükümler // Koleksiyonda. Birleşik tasarım dokümantasyon sistemi. Temel hükümler. – M.: Standartlar Yayınevi, 1984. – S. 3–5.

Sorunun yalnızca bir (yani benzersiz) çözümü vardır. Aslında tam tersini varsayalım. Daha sonra, a düzlemine ek olarak, a düz çizgisine dik olan başka bir P düzlemi A noktasından geçer (Şekil 2.18). A noktasından geçen ve a düzleminde yer almayan herhangi bir doğruyu P düzlemini alalım. a ve ile kesişen doğrulardan y düzlemini çizelim. Y düzlemi a düzlemini q düz çizgisi boyunca kesiyor. q çizgisi, çizgisiyle çakışmaz çünkü q, a'nın içinde yer alır ve yatmaz. Bu çizgilerin her ikisi de y düzleminde yer alır, A noktasından geçer ve ve'den bu yana ve benzer şekilde a doğrusuna diktir. Ancak bu, bir düzlemde belirli bir düz çizgiye dik olan her noktadan yalnızca bir düz çizginin geçtiğini söyleyen iyi bilinen planimetri teoremi ile çelişir.

Dolayısıyla, A noktasından geçen bir çizgiye dik iki düzlemin olduğunu varsayarak bir çelişkiye ulaştık. Bu nedenle sorunun benzersiz bir çözümü vardır.

Problem 2. Belirli bir a çizgisi üzerinde yer almayan belirli bir A noktası üzerinden, bu çizgiye dik bir düzlem çizin.

A noktasından a çizgisine dik bir b çizgisi çiziyoruz. a ve b'nin kesişme noktası B olsun. B noktasından geçerek a düz çizgisine dik bir c düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 2.19). Her iki çizilen çizgiden geçen bir düzlem, diklik kriterine göre (Teorem 2) a'ya dik olacaktır.

Problem 1'de olduğu gibi, inşa edilen düzlem benzersizdir. Aslında, A noktasından a düz çizgisine dik geçen herhangi bir düzlemi ele alalım. Böyle bir düzlemde a doğrusuna dik ve A noktasından geçen bir doğru vardır. Ancak böyle bir doğru vardır. Bu, B noktasından geçen bir b doğrusudur. Bu, A'dan geçen ve a doğrusuna dik olan düzlemin B noktasını içermesi gerektiği ve B noktasından a doğrusuna dik olan yalnızca bir düzlemin geçtiği anlamına gelir (problem 1). Böylece, bu inşaat problemlerini çözüp çözümlerinin benzersizliğini kanıtladıktan sonra aşağıdaki önemli teoremi kanıtlamış olduk.

Teorem 3 (bir çizgiye dik bir düzlem hakkında). Her noktadan belirli bir çizgiye dik bir düzlem geçer, üstelik yalnızca bir tane.

Sonuç (dik açıların düzlemi hakkında). Belirli bir noktada belirli bir çizgiye dik olan çizgiler aynı düzlemde bulunur ve onu kaplar.

A verilen bir doğru ve A da onun üzerindeki herhangi bir nokta olsun. İçinden bir uçak geçiyor. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin tanımı gereği,

A noktasındaki a düz çizgisine dik düz çizgilerle kaplıdır; a düzleminin her noktasından a doğrusuna dik bir doğru geçmektedir.

Düz bir çizginin A noktasından geçtiğini ve a düzleminde bulunmadığını varsayalım. Üzerinden bir P düzlemi çizelim ve a düzlemi a'yı belirli bir c düz çizgisi boyunca kesecektir (Şekil 2.20). Ve P düzlemindeki A noktasından a düz çizgisine dik iki b ve c düz çizgisinin geçtiği ortaya çıktı. Bu imkansız. Bu, A noktasında a çizgisine dik olan ve a düzleminde yer almayan hiçbir çizginin olmadığı anlamına gelir. Hepsi bu düzlemde yatıyor.

Teorem 3'ün sonucunun bir örneği, bir tekerleğin kendi eksenine dik olan tekerlek telleri tarafından verilmektedir: dönerken, dönme eksenine dik tüm konumları alarak bir düzlem (daha kesin olarak bir daire) çizerler.

Teorem 2 ve 3, aşağıdaki probleme basit bir çözüm sağlamaya yardımcı olur.

Problem 3. Verilen bir düzlem üzerinde bu düzleme dik bir noktadan geçen düz bir çizgi çizin.

Bir a düzlemi ve a düzleminde bir A noktası verilsin. a düzleminde A noktasından geçen bir a çizgisi çizelim. A noktasından a çizgisine dik bir düzlem çiziyoruz (problem 1). Düzlem a düzlemiyle düz bir b çizgisi boyunca kesişecektir (Şekil 2.21). P düzleminde A noktasından b çizgisine dik bir c çizgisi çizelim. Çünkü (c düzlemde olduğundan

Ve), sonra Teorem 2'ye göre. Çözümünün benzersizliği bölüm 2.1'de belirtilmiştir.

Yorum. Uzaydaki yapılar hakkında. Bölüm 1'de “yapısal geometri”yi incelediğimizi hatırlayalım. Ve bu noktada uzayda inşaatla ilgili üç problemi çözdük. Stereometride “inşa etmek”, “çizmek”, “yazmak” vb. terimleriyle ne kastedilmektedir? Öncelikle, bir düzlemdeki yapıları hatırlayalım. Örneğin, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin nasıl oluşturulacağını göstererek, böylece onun varlığını kanıtlarız. Genel olarak, bir inşaat problemini çözerken, belirli özelliklere sahip bir şeklin varlığına ilişkin bir teoremi kanıtlarız. İstenilen sonuca götüren en basit işlemleri gerçekleştirmek. En basit işlemler dairelerin çizilmesi ve bunların kesişme noktalarının bulunmasıdır. Daha sonra çizim araçları kullanılarak şekil doğrudan kağıt üzerinde veya tahta üzerinde oluşturulur.

Yani planimetride inşaat probleminin çözümünün iki tarafı vardır: teorik - inşaat algoritması - ve pratik - bu algoritmanın örneğin bir pusula ve cetvelle uygulanması.

Stereometrik inşaat görevinin yalnızca bir tarafı kaldı - teorik, çünkü uzayda inşaat için pusula ve cetvel gibi hiçbir araç yok.

Uzaydaki temel yapılar, düz çizgilerin ve düzlemlerin varlığına ilişkin aksiyomlar ve teoremlerin sağladığı yapılar olarak alınır. Bu, iki noktadan geçen bir çizgi çizmek, bir düzlem çizmek (madde 1.1'in önermeleri ve madde 1.4'ün aksiyom 1'i) ve aynı zamanda inşa edilmiş herhangi iki düzlemin bir kesişme çizgisinin inşa edilmesidir (madde 1.4'ün aksiyom 2'si). Ayrıca doğal olarak halihazırda inşa edilmiş düzlemlerde planimetrik yapıların gerçekleştirilmesinin mümkün olduğunu varsayacağız.

Uzayda bir inşaat problemini çözmek, istenen şekli veren temel inşaatların sırasını belirtmek anlamına gelir. Genellikle tüm temel yapılar açıkça belirtilmez, ancak halihazırda çözülmüş inşaat sorunlarına atıflarda bulunulur; Bu tür yapıların olasılığı hakkında zaten kanıtlanmış önermeler ve teoremler üzerine.

Stereometride yapılara (varlık teoremleri) ek olarak, yapılarla ilgili iki tür problem daha mümkündür.

İlk olarak görevler resimde veya çizimdedir. Bunlar çokyüzlülerin veya diğer cisimlerin kesilmesiyle ilgili sorunlardır. Aslında kesitin kendisini inşa etmiyoruz, sadece onu tasvir ediyoruz.

Zaten sahip olduğumuz çizim veya çizim. Bu tür yapılar, stereometri aksiyomları ve teoremleri ve görüntü kuralları dikkate alınarak planimetrik olarak gerçekleştirilir. Bu tür problemler çizim ve tasarım uygulamalarında sürekli olarak çözülmektedir.

İkincisi, yüzeylerde cisim inşa etme görevleri. Görev: "Bir küpün yüzeyinde belirli bir tepe noktasından belirli bir mesafede uzakta olan noktalar oluşturma" - bir pusula kullanılarak çözülebilir (nasıl?). Görev: "Bir topun yüzeyinde, belirli bir mesafedeki belirli bir noktadan uzak noktalar oluşturma" - pusula kullanılarak da çözülebilir (nasıl?). Bu tür problemler geometri derslerinde çözülmez - elbette, araçlarının elde etmesine izin verdiği doğrulukla, elbette kalem tarafından sürekli olarak çözülürler. Ancak bu tür problemleri çözerken geometriye güvenir.

Bir düzlemle kesişen bir çizginin tüm olası konumları arasında, çizginin düzleme dik olduğu durumu not ediyoruz ve böyle bir çizginin izdüşümlerinin özelliklerini dikkate alıyoruz.

Şek. 185'e, kesişen iki düz çizgi AN ve AM ile tanımlanan bir düzlem verilmektedir; burada AN yataydır ve AM bu düzleme öndendir. Aynı çizimde gösterilen AB düz çizgisi AN ve AM'ye diktir ve dolayısıyla onlar tarafından tanımlanan düzleme de diktir.

Bu yüzden, düzleme dik olarak, yatay çıkıntısı yatayın yatay çıkıntısına diktir, önden çıkıntı önden çıkıntıya diktir, profil çıkıntısı bu düzlemin profil çizgisinin profil çıkıntısına diktir.

Açıkçası, düzlemin izlerle ifade edilmesi durumunda (Şekil 186), aşağıdaki sonuca varırız: bir çizgi düzleme dik ise, bu çizginin yatay izdüşümü düzlemin yatay izine diktir ve önden izdüşümü düzlemin ön izine diktir.

Dolayısıyla, π 1, π 2 sisteminde çizginin yatay izdüşümü yatay ize dik ise ve çizginin ön izdüşümü düzlemin ön izdüşümüne dik ise, o zaman genel konum düzlemleri durumunda (Şekil 186), ayrıca yatay ve önden çıkıntı yapan düz çizgi düzleme diktir. Ancak profil çıkıntılı bir düzlem için bu düzleme giden düz çizginin dik olmadığı ortaya çıkabilir;

düz çizginin çıkıntıları sırasıyla düzlemin yatay ve ön izlerine diktir. Bu nedenle, profil çıkıntılı bir düzlem söz konusu olduğunda, düz çizginin profil çıkıntısının göreceli konumunu ve verilen düzlemin profil izini de dikkate almak ve ancak bundan sonra verilen düz çizginin ve düzlemin birbirine bağlı olup olmayacağını belirlemek gerekir. birbirine dik olmak,

Açıkçası (Şekil 187), dikin düzleme yatay izdüşümü, düzlemde dikin tabanı boyunca çizilen eğim çizgisinin yatay izdüşümü ile birleşir.

Şek. 186 A noktasından kareye bir dik çiziliyor. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) ve AC dikinin pl ile kesiştiği E noktasının yapısını gösterir. α. İnşaat yatay olarak çıkıntı yapan bir kare kullanılarak yapıldı. β dik AE boyunca çizilir.

Şek. Şekil 188, ABC üçgeni tarafından tanımlanan düzleme dik olanın yapımını göstermektedir. A noktasından geçen bir dikme çiziliyor.

Düzleme dik olanın önden izdüşümü, düzlemin ön kısmının önden izdüşümüne dik olması gerektiğinden ve yatay izdüşümü, yatayın yatay izdüşümüne dik olduğundan, o zaman A noktasından geçen düzlemde A çıkıntıları olan bir önden "D" ve A"D" ve yatay bir A"E" çizilir ", A"E". Elbette bu çizgilerin tam olarak A noktasından çizilmesi gerekmez.

Dikey projeksiyonlar şunlardır: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". Şekil 2'deki projeksiyonlar neden A"N" ve A"M" bölümlerindeki 188 kesikli çizgilerle gösteriliyor mu? Çünkü burada sadece bu üçgeni değil, ABC üçgeni tarafından tanımlanan düzlemi düşünüyoruz: dik düzlemin bir kısmı düzlemin önünde, bir kısmı da arkasındadır.

Şek. Şekil 189 ve 190, BC düz çizgisine dik olarak A noktasından geçen bir düzlemin yapısını göstermektedir. Şek. 189 düzlem izlerle ifade edilmektedir. İnşaat, istenen düzlemin yatay çizgisinin A noktasından çizilmesiyle başladı: Düzlemin yatay izinin B "C"ye dik olması gerektiğinden, yatay çizginin yatay izdüşümünün B "C"ye dik olması gerekir. Bu nedenle A"N"⊥B"C". A"N"||x ekseninin yatayda olması gerektiği gibi izdüşümü. Daha sonra f" 0α ⊥B"C izi N"(N" - AN yatay çizgisinin ön izinin ön izdüşümü) noktası boyunca çizilir, X α noktası elde edilir ve h" 0α ||A izi elde edilir "N" (h" 0α ⊥B" İLE çizilir").

Şek. 190'da düzlem, ön AM ve yatay AN ile tanımlanır. Bu çizgiler BC'ye diktir (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C"); tanımladıkları düzlem güneşe diktir.

1) A noktasından BC'ye dik bir düzlem çizin (buna γ diyelim);

2) BC düz çizgisinin kareyle kesiştiği K noktasını belirleyin. γ;

3) A ve K noktalarını düz bir çizgi parçasıyla birleştirin.

AK ve BC doğruları birbirine diktir.

Yapılışın bir örneği Şekil 2'de verilmiştir. 191. A noktasından BC'ye dik bir düzlem (γ) çiziliyor. Bu, ön projeksiyonu A"F" ön projeksiyonu B"C" ön projeksiyonuna dik olan bir ön projeksiyon ve yatay projeksiyonu B"C"ye dik olan bir yatay kullanılarak yapılır.

Daha sonra BC düz çizgisinin kareyle kesiştiği K noktası bulunur. γ. Bunu yapmak için, BC düz çizgisi boyunca yatay olarak çıkıntı yapan bir β düzlemi çizilir (çizimde yalnızca yatay iz (β") ile belirtilir). β karesi, 1"2" ve 1" çıkıntılarıyla düz bir çizgi boyunca γ karesiyle kesişir. 2". Bu düz çizginin ВС düz çizgisiyle kesiştiği noktada K noktası bulunur. АК düz çizgisi ВС'ye gerekli olan dik çizgidir. Aslında, АК düz çizgisi ВС düz çizgisiyle kesişir ve γ alanındadır, dolayısıyla , AK⊥ВС.

§ 15'te bir noktadan bir çizgiye nasıl dik çizilebileceği gösterilmiştir (Şekil 92). Ancak orada bu, π 1, π 2 sistemine ek bir düzlem eklenerek ve böylece pl'nin olduğu bir π 3, π 1 sistemi oluşturularak gerçekleştirildi. π 3 belirli bir düz çizgiye paralel olarak çizilir. Şekil 2'de verilen yapıları karşılaştırmanızı öneririz. 92 ve 191.

Şek. Şekil 192, A noktasından geçen genel konum -a'daki bir düzlemi ve bu düzleme dik olan, kare ile kesişme noktasına kadar uzanan bir AM'yi göstermektedir. B noktasında π 1".

Kareler arasındaki açı φ 1. α, ve pl.π 1 ve AM ile pl düz çizgisi arasındaki açı φ. π 1, B"AM" dik üçgeninin dar açılarıdır ve dolayısıyla φ 1 +φ=90° olur. Benzer şekilde, pl.α pl'ye eşitse. π 2, σ 2 açısıdır ve α'ya dik AM düz çizgisi karedir. π 2 açısı σ, sonra σ 2 +σ=90°. Bundan, her şeyden önce, düzlemin pl.π 1 ve pl ile φ 1 açısı yapması gereken genel konumda olduğu sonucu çıkar. π 2 açısı σ 2 ancak 180° > φ 1 +σ 2 >90° ise oluşturulabilir.

Aslında, terimi terim terim φ 1 + φ=90° ve σ 2 +σ=90°'ye ekleyerek φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, yani φ 1 +σ 2 90° elde ederiz. φ 1 +σ 2 =90° alırsanız profil çıkıntılı bir düzlem elde edersiniz ve φ 1 +σ 2 =180° alırsanız bir profil düzlemi elde edersiniz, yani. her iki durumda da düzlem genel bir konumda değil, özel bir konumdadır.

Pirinç. 4.17 Şek. 4.18

Düzlem kesişen düz çizgilerle tanımlanmışsa (Şekil 4.17), o zaman problemin çözümü noktadan çizime indirgenir A verilenlere paralel doğru çiftleri.

Düzlem izlerle (4.18) verilmişse, inşaat aşağıdaki algoritma kullanılarak gerçekleştirilebilir:

1. Bir noktadan geçerek Aörneğin istenen düzlem Q'nun yatayını, verilen düzlemin yataylarına paralel olarak çizin R.

2. Bu yatay çizgi üzerinden istenen düzlemi verilen düzleme paralel olarak çiziyoruz. Ön izleme Soru Vönden projeksiyon aracılığıyla gerçekleştirilen P"ön parça, yola paralel yatay PV; yatay iz Hızlı Yardım- bir noktadan geçerek Soru X yola paralel RN.

Görev 2. Nokta yoluyla A(bir, bir") bir uçak çiz Q, çizgiye dik (Şekil 4.19).

a) İstenilen düzlemin kesişen çizgilerle gösterilmesi gerekmektedir. Bu durumda bir uçak inşa etmek en kolay yoldur Q ana çizgiler - noktadan geçen yatay ve ön bir (bir, bir").

Pirinç. 4.19 Şek. 4.20

b) İstenilen düzlemin izlerle gösterilmesi gerekmektedir. İnşaat aşağıdaki algoritma kullanılarak gerçekleştirilebilir. Nokta yoluyla A yatay düzlemi çiz Qçizgi parçasına dik Güneş. Daha sonra bu yatay çizgi üzerinden istenen düzlemi düz çizgiye dik olarak çizeriz. Güneş.Ön izleme Soru Vönden projeksiyon aracılığıyla gerçekleştirilen P"ön iz yatay dikey b"с′; yatay iz Hızlı Yardım- bir noktadan geçerek Soru X dik M.Ö.

Sorun 3. Nokta aracılığıyla bir (bir, bir") bir uçak çiz Q, belirli bir düzleme dik R ve rayların ufuk noktasından geçerek Soru X eksende X(Şekil 4.20).

Biliniyor ki uçağın Q Verilen düzleme dik olacak R, kendisine dik bir çizgiden veya bir düzlemde uzanan bir çizgiye dik olarak geçiyorsa R.

Şek. 4.20 Sorunun çözümü, bu koşullardan ilkinin kullanıldığı bir plana göre gerçekleştirilir:

1. Belirli bir noktadan A düzleme dik R(am+PH , a′m′+P V).

2. Bu dikme ve belirli bir noktadan Soru X gerekli düzlem çizilir Q. Aynı zamanda iz Soru-N yatay projeksiyonla çizilmiş T dikey ve noktanın yatay izi Soru X; izlemek Soru V— önden projeksiyon yoluyla P' dik ve noktanın önden izi Soru X.

İstenilen düzlem, eğer bir noktadan geçiyorsa, düz çizgilerin kesişmesiyle de oluşturulabilir. Soru X Bir dikme ile ortak noktası olan bir doğru çizin.

Görev 4. Nokta yoluyla A (bir, bir")çizgiye dik bir çizgi çizin Güneş.

Gerekli dik, verilen çizgiye dik olan düzlemde bulunur Güneş.

Bu nedenle sorun aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülebilir:

1. Bir noktadan geçerek A bir uçak çiz Q, çizgiye dik Güneş.

2. Noktayı belirleyin K(k,k") düz bir çizginin kesişimi Güneş uçakla Q yatay projeksiyon düzlemi kullanma S.

3. Noktaları birleştirmek A Ve İLE.

Diyagramda, bu algoritmayı kullanarak sorunu çözerken, kesişen iki ana çizgiyle düzlemi gösterebilirsiniz ( h×f) (Şek. 4.21) veya izler (Şek. 4.22).

Pirinç. 4.21 Şek. 4.22

Görev 5. Düzlemlerin kesişim hattını oluşturun ABC Ve DEF.

Bu problem bir doğru ile bir düzlemin kesişimi problemi kullanılarak çözülebilir. Şek. Şekil 4.23 üçgenlerle tanımlanan düzlemlerin kesişim çizgisinin yapısını göstermektedir ABC Ve DEF. Dümdüz MN kenarların bulunan kesişme noktalarına göre inşa edilmiştir DF Ve E.F.üçgen DEFüçgen düzlem ile ABC.

Örneğin bir nokta bulmak için M kenarları geçmek DF uçakla ABC, düz bir çizgi boyunca DFönden projeksiyon düzlemi çizin R ABC düz bir çizgide ben II df Ve 12 M istenilen nokta M. Daha sonra ön projeksiyonu bulun M"noktalar M. Tam durak N düz bir çizginin kesişimi E.F. uçakla ABCönden çıkıntılı bir düzlem kullanılarak bulundu Qüçgenin düzlemini kesen ABC düz bir çizgide III IV. Yatay çıkıntıların kesiştiği noktada ef Ve 34 yatay bir projeksiyon elde edin ben, istenilen nokta N.

Noktaları çiftler halinde birleştirme M" Ve ben,", M Ve ben,, kesişim çizgisinin izdüşümlerini elde edin MN uçaklar ABC Ve DEF.

Düzlem bölümlerinin parçalarının görünürlüğü, rekabet eden noktalar yöntemiyle belirlenir.