Karmaşık bir radikal nasıl basitleştirilir? İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İlk bakışta, karekökü çarpanlara ayırma prosedürünün karmaşık ve erişilemez olduğu görülebilir. Ama bu doğru değil. Bu makalede size kareköklere ve çarpanlara nasıl yaklaşacağınızı ve kanıtlanmış iki yöntemi kullanarak karekökleri kolaylıkla çözmeyi göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir kökü çarpanlara ayırma

Öncelikle karekök çarpanlara ayırma işleminin amacını tanımlayalım. Hedef- karekökü basitleştirin ve hesaplamalara uygun bir biçimde yazın.

Tanım 1

Karekökü çarpanlara ayırmak, birbirleriyle çarpıldığında orijinal sayıya eşit bir sayı verecek iki veya daha fazla sayıyı bulmaktır. Örneğin: 4x4 = 16.

Çarpanları bulabilirseniz, karekök ifadesini kolayca basitleştirebilir veya tamamen ortadan kaldırabilirsiniz:

Örnek 1

Radikal sayı çift ise 2'ye bölün.

Herhangi bir asal sayı değeri asal çarpanlara ayrılabileceğinden, radikal sayı her zaman asal sayılara bölünmelidir. Tek bir sayınız varsa bunu 3'e bölmeyi deneyin. 3'e bölünemez misiniz? 5, 7, 9 vb. ile bölmeye devam edin.

İfadeyi iki sayının çarpımının kökü olarak yazın.

Örneğin 98'i şu şekilde sadeleştirebilirsiniz: = 98 ÷ 2 = 49. Buradan 2 × 49 = 98 çıkar, dolayısıyla sorunu şu şekilde yeniden yazabiliriz: 98 = (2 × 49).

İki özdeş sayı ile diğer sayıların çarpımı kökün altında kalana kadar sayıları ayrıştırmaya devam edin.

Örneğimizi ele alalım (2×49):

2 zaten maksimum düzeyde basitleştirilmiş olduğundan, 49'u basitleştirmek gerekir. 49'a bölünebilen bir asal sayı arıyoruz. Açıkçası ne 3 ne de 5 uygun değil. Geriye 7: 49 ÷ 7 = 7 kalıyor, yani 7 × 7 = 49.

Örneği şu şekilde yazıyoruz: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Karekök ifadesini basitleştirin.

Parantez içinde 2 ve iki özdeş sayının (7) çarpımı olduğundan, 7 sayısını kök işaretinden çıkarabiliriz.

Örnek 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Kökün altında iki özdeş sayı olduğu anda sayıları çarpanlarına ayırmayı bırakın. Tabii eğer tüm olasılıkları maksimumda kullandıysanız.

Unutmayın: Birçok kez basitleştirilebilecek kökler vardır.

Bu durumda kökün altından çıkardığımız sayılar ile onun önünde duran sayılar çarpılır.

Örnek 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

ancak 45 çarpanlara ayrılabilir ve kök yeniden basitleştirilebilir.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Kök işareti altında iki özdeş sayı elde etmek imkansız olduğunda, bu, böyle bir kökün basitleştirilemeyeceği anlamına gelir.

Radikal ifadeyi asal sayıların çarpımına ayırdıktan sonra iki özdeş sayı elde edemiyorsanız, böyle bir kök basitleştirilemez.

Örnek 4

70 = 35 × 2, yani 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, yani (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Gördüğünüz gibi her üç faktör de çarpanlarına ayrılamayan asal sayılardır. Aralarında birbirinin aynısı sayılar olmadığından kök altından bir tamsayıyı çıkarmak mümkün değildir. Basitleştir 70 yasaktır.

Tam kare

Asal sayıların bazı karelerini ezberleyin.

Bir sayının karesi, o sayının kendisi ile çarpılmasıyla elde edilir, yani. kare alırken. Asal sayıların on karesini hatırlarsanız, kökleri daha da basitleştirerek hayatınızı büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.

Örnek 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Eğer karekök işaretinin altında tam kare varsa o zaman kök işaretini kaldırıp bu tam karenin karekökünü yazmalısınız.

Zor? HAYIR:

Örnek 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Kök işaretinin altındaki sayıyı tam kare ile başka bir sayının çarpımına ayırmaya çalışın.

Radikal ifadenin tam kare ve bir sayının çarpımına ayrıştırıldığını görürseniz, birkaç örneği hatırlayarak zamandan ve sinirlerden önemli ölçüde tasarruf edeceksiniz:

Örnek 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Radikal sayı 25, 50 veya 75 ile bitiyorsa, bunu her zaman 25 ve herhangi bir sayının çarpımına ayırabilirsiniz.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Radikal sayı 00 ile bitiyorsa, bunu her zaman 100 ile bir sayının çarpımına ayırabilirsiniz.

72 = (9 × 8) = 3 8. Bir radikal sayının rakamlarının toplamı 9 ise, bunu her zaman 9 ile herhangi bir sayının çarpımına ayırabilirsiniz.

Radikal sayıyı birkaç tam karenin çarpımına ayırmaya çalışın: bunları kök işaretinin altından çıkarın ve çarpın.

Örnek 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Önceki derste karekökün ne olduğunu çözdük. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri ve tüm bunlarla ne yapılabilir?

Kök formülleri, köklerin özellikleri ve köklerle çalışma kuralları- bu aslında aynı şeydir. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...

En basitinden başlayalım. İşte:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Radikal ifade, bir kökün işareti (kare, kübik veya daha yüksek derece) altında olan cebirsel bir ifadedir. Bazen farklı ifadelerin anlamları aynı olabilir, örneğin 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Köklü ifadenin basitleştirilmesi, onu bazı kanonik gösterim biçimlerine getirmeyi amaçlamaktadır. Kanonik formda yazılan iki ifade hala farklı ise değerleri eşit değildir. Matematikte, radikal ifadelerin (köklü ifadelerin yanı sıra) kanonik yazma biçiminin aşağıdaki kurallara karşılık geldiğine inanılmaktadır:

• Mümkünse kök işaretinin altındaki kesirden kurtulun
• Kesirli üslü ifadelerden kurtulun
• Mümkünse paydadaki köklerden kurtulun
• Kökten köke çarpma işleminden kurtulun
• Kök işaretinin altında, yalnızca tamsayı kökü çıkarmanın imkansız olduğu terimleri bırakmanız gerekir.

Bu kurallar test görevlerine uygulanabilir. Örneğin, bir problemi çözdüyseniz ancak sonuç verilen cevapların hiçbiriyle eşleşmiyorsa sonucu kanonik biçimde yazın. Test görevlerine verilen cevapların kanonik formda verildiğini unutmayın, dolayısıyla sonucu aynı formda yazarsanız doğru cevabı kolayca belirleyebilirsiniz. Eğer bir problem “cevabın basitleştirilmesini” veya “radikal ifadelerin basitleştirilmesini” gerektiriyorsa sonucun kanonik formda yazılması gerekir. Üstelik kanonik form, denklem çözmeyi kolaylaştırır, ancak kanonik gösterimi bir süreliğine unutursanız bazı denklemlerin çözülmesi daha kolay olur.

Adımlar

Tam karelerden ve tam küplerden kurtulmak

Kesirli üssü olan bir ifadeden kurtulmak

Kesirli üslü ifadeyi köklü ifadeye dönüştürün. Veya gerekirse radikal ifadeyi kesirli bir ifadeye dönüştürün, ancak bu tür ifadeleri asla tek bir denklemde karıştırmayın, örneğin: √5 + 5^(3/2). Diyelim ki köklerle çalışmaya karar verdiniz; N'nin karekökünü √n olarak ve n'nin kübik kökünü küp√n olarak göstereceğiz.

Kök işareti altındaki kesirlerden kurtulmak

Kanonik gösterim biçimine göre, bir kesrin kökü, tamsayıların köklerinin bir bölümü olarak temsil edilmelidir.

Radikal ifadeye bakın. Kesirli ise bir sonraki adıma geçin.

Kesirin kökünü, aşağıdaki özdeşliğe göre iki kökün oranıyla değiştirin:√(a/b) = √a/√b.

• Payda negatifse veya negatif olabilecek bir değişken içeriyorsa bu kimliği kullanmayın. Bu durumda öncelikle kesri sadeleştirin.

1. Tam kareleri (varsa) basitleştirin.Örneğin, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Köklerin çoğaltılması işleminin ortadan kaldırılması

Tam kare olan faktörlerden kurtulmak

Radikal sayıyı çarpanlarına ayırın.Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren bazı sayılardır. Örneğin 5 ve 4, 20 sayısının iki çarpanıdır. Bir köklü sayıdan bir tamsayı kökü çıkarılamıyorsa, sayıyı olası çarpanlarına ayırın ve aralarında bir tam kare bulun.

• Örneğin, 45'in tüm çarpanlarını yazın: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9, 45'in çarpanıdır (9 x 5 = 45) ve tam karedir (9 = 3^2).

1. Tam kare olan çarpanı kök işaretinin ötesine alın. 9 tam karedir çünkü 3 x 3 = 9. Kök işaretinin altındaki 9'dan kurtulun ve kök işaretinin önüne 3 yazın; kök işaretinin altında 5 olacaktır. Kök işaretinin altına 3 sayısını koyarsanız kendisi ve 5 sayısı ile çarpılacaktır yani 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Yani 3 √ 5, √45 gösteriminin basitleştirilmiş bir biçimidir.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Değişkenli radikal ifadedeki tam kareyi bulun. Unutmayın: √(a^2) = |a|. Böyle bir ifade "a" şeklinde basitleştirilebilir, ancak bu yalnızca değişkenin pozitif değerler alması durumunda mümkündür. √(a^3), √a * √(a^2)'ye ayrıştırılabilir, çünkü aynı değişkenler çarpıldığında üsleri toplanır (a * a^2 = a^3).

   • Dolayısıyla a^3 ifadesinde tam kare a^2'dir.

3. Kök işaretinin dışında tam kare olan değişkeni çıkarın. Kök işaretinin altındaki a^2'den kurtulun ve kök işaretinin önüne "a" yazın. Böylece √(a^3) = a√a olur.

   Benzer terimler verin ve rasyonel ifadeleri basitleştirin.

Paydadaki köklerden kurtulmak (paydanın rasyonelleştirilmesi)

1. Kanonik forma göre payda mümkünse yalnızca tam sayıları (veya değişken varsa bir polinomu) içermelidir.

   • Payda [pay]/√5 gibi köklü bir tek terimli ise, payı ve paydayı bu kökle çarpın: ([pay] * √5)/(√5 * √5) = ([pay] * √5 )/5.
     • Küp kök veya daha büyük kök için, pay ve paydayı kökle, paydayı rasyonelleştirmek için uygun kuvvete kadar kökle çarpın. Örneğin payda √5'in küpü ise pay ve paydayı √(5^2)'nin küpüyle çarpın.
   • Payda, √2 + √6 gibi kareköklerin toplamı veya farkı ise, pay ve paydayı eşlenikle, yani terimleri arasında zıt işaret bulunan ifadeyle çarpın. Örneğin: [pay]/(√2 + √6) = ([pay] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Daha sonra paydayı rasyonelleştirmek için kareler farkı formülünü ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) kullanın: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Kareler farkı formülü 5 + √3 formundaki bir ifadeye de uygulanabilir çünkü herhangi bir tam sayı başka bir tam sayının kareköküdür. Örneğin: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Bu yöntem √5 - √6 + √7 gibi kareköklerin toplamına uygulanabilir. Bu ifadeyi (√5 - √6) + √7 şeklinde gruplayıp (√5 - √6) - √7 ile çarparsanız köklerden kurtulmazsınız ancak formun ifadesini elde edersiniz. a + b * √30, burada " a" ve "b" kökü olmayan tek terimlidir. Daha sonra ortaya çıkan ifade eşleniğiyle çarpılabilir: (a + b * √30)(a - b * √30) köklerden kurtulmak için. Yani eşlenik bir ifade belirli sayıda kökten kurtulmak için bir kez kullanılabiliyorsa, o zaman tüm köklerden kurtulmak için gerektiği kadar kullanılabilir.
     • Bu yöntem aynı zamanda "3'ün 4'üncü kökü artı 9'un 7'nci kökü" ifadesi gibi daha yüksek derecelerdeki kökler için de geçerlidir. Bu durumda pay ve paydayı paydanın eşlenik ifadesi ile çarpın. Ancak burada eşlenik ifade yukarıda açıklananlarla karşılaştırıldığında biraz farklı olacaktır. Bu durumu cebir ders kitaplarında okuyabilirsiniz.
2. Açıklanan yöntemler bazı basit problemlere uygulanamaz. Bazı karmaşık problemlerde bu yöntemlerin birden fazla kez uygulanması gerekir. Ortaya çıkan ifadeleri adım adım basitleştirin ve ardından nihai cevabın, kriterleri bu makalenin başında verilen kanonik formda yazılıp yazılmadığını kontrol edin. Cevap kanonik biçimde sunulursa sorun çözülür; aksi takdirde açıklanan yöntemlerden birini tekrar kullanın.
3. Kural olarak, kanonik gösterim biçimi karmaşık sayılara da uygulanır (i = √(-1)). Karmaşık sayı kök yerine i olarak yazılsa bile paydadaki i'den kurtulmak daha iyidir.
4. Burada açıklanan yöntemlerden bazıları kareköklerle çalışmayı içerir. Genel prensipler küp kökler veya daha yüksek kökler için aynıdır, ancak bazı yöntemlerin (özellikle payda rasyonelleştirme yönteminin) bunlara uygulanması oldukça zor olabilir. Ayrıca öğretmeninize köklerin doğru gösterimini (küp√4 veya küp√(2^2)) sorun.
5. Bu makalenin bazı bölümlerinde "kanonik biçim" kavramı yanlış kullanılmıştır; asıl konuşmamız gereken şey notasyonun "standart biçimi"dir. Aradaki fark, kanonik formun 1 + √2 veya √2 +1 yazmayı gerektirmesidir; standart form, farklı şekilde yazılsa bile her iki ifadenin de (1 + √2 ve √2 +1) şüphesiz eşit olduğunu ima eder. Burada "kesinlikle" cebirsel özelliklerden (√2 ​​x^2-2'nin negatif olmayan bir köküdür) ziyade aritmetik (toplama değişmeli) anlamına gelir.
6. Açıklanan yöntemler belirsiz görünüyorsa veya birbiriyle çelişiyorsa, tutarlı ve açık matematiksel işlemler yapın ve cevabı öğretmenin gerektirdiği veya ders kitabında belirtildiği şekilde yazın.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Karekökü basitleştirmenin amacı, onu hesaplamalarda kullanımı daha kolay bir biçimde yeniden yazmaktır.

Bir sayıyı çarpanlara ayırmak, çarpıldığında orijinal sayıyı verecek iki veya daha fazla sayıyı bulmaktır, örneğin 3 x 3 = 9. Çarpanları bularak karekökü basitleştirebilir veya tamamen ortadan kaldırabilirsiniz. Örneğin, √9 = √(3x3) = 3. Radikal sayı çift ise 2'ye bölün.

Radikal sayı tekse, onu 3'e bölmeyi deneyin (sayı 3'e bölünemiyorsa, asal sayılar listesinde 5'e, 7'ye vb. bölün). Herhangi bir sayı asal çarpanlara ayrılabileceğinden, radikal sayıyı yalnızca asal sayılara bölün. Örneğin, radikali 4'e bölmenize gerek yok çünkü 4, 2'ye bölünebilir ve siz zaten radikali 2'ye bölmüşsünüz. Sorunu iki sayının çarpımının kökü olarak yeniden yazın.