Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, derecesi üç veya daha yüksek olan bir polinomu çarpanlara ayırmak genellikle gereklidir. Bu yazımızda bunu yapmanın en kolay yoluna bakacağız.
Her zamanki gibi yardım için teoriye dönelim.
Bezout'un teoremi Bir polinomun bir binoma bölünmesinden kalanın olduğunu belirtir.
Fakat bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan çıkan sonuç:
Sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinom binom tarafından kalansız bölünebilir.
Bir şekilde polinomun en az bir kökünü bulma, ardından polinomu polinomun kökü olan 'ye bölme göreviyle karşı karşıyayız. Sonuç olarak, derecesi orijinalin derecesinden bir eksik olan bir polinom elde ederiz. Daha sonra gerekirse işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Bu görev ikiye ayrılır: bir polinomun kökü nasıl bulunur ve bir polinom bir binoma nasıl bölünür.
Bu noktalara daha yakından bakalım.
1. Bir polinomun kökü nasıl bulunur?
Öncelikle 1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olup olmadığını kontrol ediyoruz.
Aşağıdaki gerçekler burada bize yardımcı olacaktır:
Bir polinomun katsayılarının toplamı sıfır ise sayı polinomun köküdür.
Örneğin bir polinomda katsayıların toplamı sıfırdır: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.
Bir polinomun çift kuvvetlerdeki katsayılarının toplamı, tek kuvvetlerdeki katsayıların toplamına eşitse, o zaman sayı polinomun köküdür. a çift sayı olduğundan serbest terim çift derece için bir katsayı olarak kabul edilir.
Örneğin, bir polinomda çift kuvvetler için katsayıların toplamı: ve tek kuvvetler için katsayıların toplamı: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.
Polinomun kökleri ne 1 ne de -1 değilse devam ederiz.
İndirgenmiş bir derece polinomu için (yani, baş katsayı - katsayı - birliğe eşit olan bir polinom), Vieta formülü geçerlidir:
Polinomun kökleri nerede?
Polinomun kalan katsayılarıyla ilgili Vieta formülleri de var ama biz bununla ilgileniyoruz.
Bu Vieta formülünden şu sonuç çıkıyor: eğer bir polinomun kökleri tam sayıysa, o zaman bunlar yine bir tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.
Buna dayanarak, polinomun serbest terimini çarpanlara ayırmamız ve sırayla, en küçükten en büyüğe, çarpanlardan hangisinin polinomun kökü olduğunu kontrol etmemiz gerekir.
Örneğin polinomu düşünün
Serbest terimin bölenleri: ;
;
;
Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı eşittir, dolayısıyla 1 sayısı polinomun kökü değildir.
Çift güçler için katsayıların toplamı:
Tek güçler için katsayıların toplamı:
Dolayısıyla -1 sayısı da polinomun kökü değildir.
2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim: dolayısıyla 2 sayısı polinomun köküdür. Bu, Bezout teoremine göre polinomun kalansız bir binomla bölünebileceği anlamına gelir.
2. Bir polinomun binoma nasıl bölüneceği.
Bir polinom bir sütunla binoma bölünebilir.
Bir sütun kullanarak polinomu bir binoma bölün: Bir polinomu binomla bölmenin başka bir yolu daha vardır: Horner şeması.
Anlamak için bu videoyu izleyin
Bir polinomun sütunlu bir binomla nasıl bölüneceği ve Horner diyagramının kullanılması.
Bir sütuna bölerken, orijinal polinomda bilinmeyenin bir derecesi eksikse, onun yerine 0 yazacağımızı unutmayın - tıpkı Horner'ın şeması için bir tablo derlerken olduğu gibi. Dolayısıyla, bir polinomu bir binoma bölmemiz gerekiyorsa ve bölme sonucunda bir polinom elde edersek, Horner şemasını kullanarak polinomun katsayılarını bulabiliriz: Biz de kullanabiliriz
Horner şeması
Belirli bir sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol etmek için: eğer sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinomu bölerken kalan kısım sıfıra eşittir, yani ikinci satırın son sütununda. Horner diyagramında 0 elde ederiz. Horner'ın şemasını kullanarak "bir taşla iki kuş vuruyoruz": aynı anda sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve bu polinomu bir binoma bölüyoruz.
Örnek.
Denklemi çözün:
1. Serbest terimin bölenlerini yazalım ve serbest terimin bölenleri arasında polinomun köklerini arayalım.
24'ün bölenleri:
2. 1 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim.
Bir polinomun katsayılarının toplamı dolayısıyla 1 sayısı polinomun köküdür.
3. Orijinal polinomu Horner şemasını kullanarak bir binoma bölün.
A) Orijinal polinomun katsayılarını tablonun ilk satırına yazalım.
Son sütunda beklendiği gibi sıfır elde ettik; orijinal polinomu kalansız bir binoma böldük. Bölme sonucu elde edilen polinomun katsayıları tablonun ikinci satırında mavi renkle gösterilmiştir:
1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olmadığını kontrol etmek kolaydır
B) Tabloya devam edelim. 2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim:
Yani bire bölme sonucu elde edilen polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinden küçüktür, dolayısıyla katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksiktir.
Son sütunda -40 - sıfıra eşit olmayan bir sayı elde ettik, bu nedenle polinom kalanlı bir binom ile bölünebilir ve 2 sayısı polinomun kökü değildir.
C) -2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim. Önceki deneme başarısız olduğundan, katsayılarla ilgili karışıklığı önlemek için bu girişime karşılık gelen satırı sileceğim:
Harika! Kalan olarak sıfır elde ettik, dolayısıyla polinom kalansız bir binoma bölündü, dolayısıyla -2 sayısı polinomun köküdür. Bir polinomun bir binoma bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayıları tabloda yeşil renkle gösterilmiştir.
Bölme sonucunda ikinci dereceden bir trinomial elde ederiz 
kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabilen:
Dolayısıyla orijinal denklemin kökleri şöyledir:
{
}
Cevap: ( 
}
Ne oldu çarpanlara ayırma? Bu, uygunsuz ve karmaşık bir örneği basit ve sevimli bir örnek haline getirmenin bir yoludur.) Çok güçlü bir teknik! Hem temel hem de yüksek matematiğin her adımında bulunur.
Matematik dilinde bu tür dönüşümlere ifadelerin özdeş dönüşümleri denir. Bilmeyenler için linke bir göz atın. Orada çok az şey var, basit ve kullanışlı.) Herhangi bir kimlik dönüşümünün anlamı, ifadenin kaydedilmesidir. başka bir biçimdeözünü korurken.
Anlam çarpanlara ayırma son derece basit ve net. Adından itibaren. Çarpanın ne olduğunu unutabilirsiniz (ya da bilmiyor olabilirsiniz), ancak bu kelimenin “çarpma” kelimesinden geldiğini anlayabilirsiniz.) Faktoring şu anlama gelir: bir şeyi bir şeyle çarpma biçimindeki bir ifadeyi temsil eder. Matematik ve Rus dili beni affetsin...) Bu kadar.
Örneğin 12 sayısını genişletmeniz gerekiyor. Güvenle yazabilirsiniz:
Bu yüzden 12 sayısını 3'ün 4'le çarpımı olarak sunduk. Sağdaki sayıların (3 ve 4) soldakilerden (1 ve 2) tamamen farklı olduğunu lütfen unutmayın. Ama 12 ve 3 4'ün çok iyi anlıyoruz bir ve aynı. 12 sayısının dönüşümden özü değişmedi.
12'yi farklı şekilde ayrıştırmak mümkün mü? Kolayca!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Ayrıştırma seçenekleri sonsuzdur.
Sayıları çarpanlarına ayırmak yararlı bir şeydir. Örneğin köklerle çalışırken çok yardımcı olur. Ancak cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak yalnızca yararlı olmakla kalmaz, aynı zamanda gerekli!Örnek olarak:
Basitleştirin:
Bir ifadeyi nasıl çarpanlara ayıracağını bilmeyenler kenarda durur. Nasıl yapılacağını bilenler - basitleştirin ve elde edin:
Etkisi muhteşem, değil mi?) Bu arada çözüm oldukça basit. Aşağıda kendiniz göreceksiniz. Veya örneğin bu görev:
Denklemi çözün:
x 5 - x 4 = 0
Bu arada, akılla karar verilir. Çarpanlara ayırmanın kullanılması. Bu örneği aşağıda çözeceğiz. Cevap: x1 = 0; x 2 = 1.
Veya aynı şey, ancak daha yaşlı olanlar için):
Denklemi çözün:
Bu örneklerde gösterdim asıl amaççarpanlara ayırma: kesirli ifadeleri basitleştirme ve bazı denklem türlerini çözme. İşte hatırlamanız gereken temel bir kural:
Eğer önümüzde korkutucu bir kesirli ifade varsa pay ve paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Çoğu zaman kesir azaltılır ve basitleştirilir.
Önümüzde sağda sıfır ve solda ne olduğunu anlamıyorum, sol tarafı çarpanlara ayırmayı deneyebiliriz. Bazen yardımcı olur).
Temel çarpanlara ayırma yöntemleri.
İşte en popüler yöntemler:
4. İkinci dereceden bir üç terimlinin genişletilmesi.
Bu yöntemlerin hatırlanması gerekir. Tam olarak bu sırayla. Karmaşık örnekler kontrol edilir tüm olası ayrıştırma yöntemleri için. Ve kafanızın karışmaması için sırayla kontrol etmekte fayda var... O halde sırayla başlayalım.)
1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.
Basit ve güvenilir bir yol. Ondan kötü bir şey gelmez! Ya iyi olur ya da hiç olmaz.) Bu yüzden önce o gelir. Hadi çözelim.
Herkes şu kuralı biliyor (inanıyorum!):
a(b+c) = ab+ac
Veya daha genel olarak:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Tüm eşitlikler hem soldan sağa hem de sağdan sola doğru çalışır. Şunları yazabilirsiniz:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmanın asıl amacı budur.
Sol tarafta A - ortak çarpan tüm şartlar için. Var olan her şeyle çarpılır). En sağdaki A zaten yer alıyor parantezlerin dışında.
Örnekleri kullanarak yöntemin pratik uygulamasını ele alacağız. İlk başta seçenek basit, hatta ilkeldir.) Ancak bu seçenekte, herhangi bir çarpanlara ayırma için çok önemli noktaları (yeşil) işaretleyeceğim.
Çarpanlara ayırın:
ah+9x
Hangi genelçarpan her iki terimde de görünüyor mu? Tabii ki X! Bunu parantezlerden çıkaracağız. Hadi bunu yapalım. Hemen parantezlerin dışına X yazıyoruz:
balta+9x=x(
Ve parantez içinde bölme sonucunu yazıyoruz her dönem tam da bu X'te. Sırayla:
İşte bu. Tabi bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bu iş akılla yapılıyor. Ancak neyin ne olduğunu anlamanız tavsiye edilir). Belleğe kaydediyoruz:
Ortak çarpanı parantezlerin dışına yazıyoruz. Tüm terimleri bu ortak faktöre bölmenin sonuçlarını parantez içinde yazıyoruz. Sırayla.
Yani ifadeyi genişlettik ah+9xçarpanlara göre. Bunu x ile çarpmaya dönüştürdüm (a+9). Orijinal ifadede ayrıca bir çarpım olduğunu, hatta iki olduğunu not ediyorum: a·x ve 9·x. Ama o çarpanlara ayrılmamıştı!Çünkü bu ifadede çarpmanın yanı sıra toplama yani “+” işareti de vardı! Ve ifadede x(a+9) Çarpmadan başka bir şey yok!
Nasıl yani!? - İnsanların öfkeli sesini duyuyorum - Ve parantez içinde!?)
Evet parantez içinde ekleme var. Ancak işin püf noktası şu ki, parantezler açılmadığı sürece onları dikkate alıyoruz bir harf gibi. Ve tüm eylemleri tamamen parantezlerle yapıyoruz, tek harfle olduğu gibi. Bu anlamda ifadede x(a+9)Çarpma dışında hiçbir şey yoktur. Çarpanlara ayırmanın asıl amacı budur.
Bu arada, her şeyi doğru yapıp yapmadığımızı bir şekilde kontrol etmek mümkün mü? Kolayca! Çıkardığınızı (x) parantezle çarpmanız ve işe yarayıp yaramadığını görmeniz yeterlidir. orijinal ifade? Eğer işe yararsa, her şey harika!)
x(a+9)=ax+9x
İşe yaradı.)
Bu ilkel örnekte hiçbir sorun yoktur. Ancak birkaç terim varsa ve hatta farklı işaretlerle... Kısacası her üç öğrenciden biri başarısız olur). Öyleyse:
Gerekirse ters çarpma yoluyla çarpanlara ayırmayı kontrol edin.
Çarpanlara ayırın:
3ax+9x
Ortak bir faktör arıyoruz. Peki, X ile her şey açık, çıkarılabilir. Daha fazlası var mı genel faktör? Evet! Bu bir üç. İfadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:
3ax+3 3x
Burada ortak faktörün olacağı hemen açıktır. 3x. İşte onu çıkarıyoruz:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Yayıldık.
çıkarsan ne olur sadece x mi?Özel bir şey yok:
3ax+9x=x(3a+9)
Bu aynı zamanda bir çarpanlara ayırma olacaktır. Ancak bu büyüleyici süreçte, fırsat varken her şeyi sınırlarına kadar ortaya koymak gelenekseldir. Burada parantez içinde üç koyma fırsatı var. Ortaya çıkacak:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Aynı şey, yalnızca ekstra bir eylemle.) Unutmayın:
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken, çıkarmaya çalışıyoruz maksimum ortak çarpan.
Eğlenceye devam edelim mi?)
İfadeyi çarpanlarına ayırın:
3ah+9х-8а-24
Neyi götüreceğiz? Üç, X? Hayır... Yapamazsın. Sana sadece dışarı çıkabileceğini hatırlatırım genelçarpan yani hepsinde ifadenin şartları. Bu yüzden o genel. Burada öyle bir çarpan yok... Ne yani genişletmene gerek yok!? Evet, çok mutluyduk... Tanışın:
2. Gruplandırma.
Aslında gruplamaya bağımsız bir çarpanlara ayırma yöntemi denemez. Bu daha ziyade karmaşık bir örnekten kurtulmanın bir yoludur.) Her şeyin yolunda gitmesi için terimleri gruplamanız gerekir. Bu ancak örnek olarak gösterilebilir. Yani, şu ifadeye sahibiz:
3ah+9х-8а-24
Bazı ortak harf ve sayıların olduğu görülebilir. Ancak... Genel her açıdan olacak bir çarpan yoktur. Kalbimizi kaybetmeyelim ve ifadeyi parçalara ayırın. Gruplanalım. Yani her parçanın ortak bir faktörü var, çıkarılacak bir şey var. Nasıl kırarız? Evet, sadece parantez koyduk.
Parantezlerin istediğiniz yere ve istediğiniz şekilde yerleştirilebileceğini hatırlatmama izin verin. Sadece örneğin özü değişmedi.Örneğin şunu yapabilirsiniz:
3ah+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Lütfen ikinci parantezlere dikkat edin! Önlerinde bir eksi işareti bulunur ve 8a Ve 24 pozitif çıktı! Kontrol etmek için parantezleri tekrar açarsak işaretler değişecek ve şunu elde edeceğiz: orijinal ifade. Onlar. parantez içindeki ifadenin özü değişmedi.
Ancak işaret değişikliğini hesaba katmadan parantez eklediyseniz, örneğin şu şekilde:
3ah+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
bu bir hata olurdu. Sağda - zaten diğer ifade. Parantezleri açın ve her şey görünür hale gelecektir. Daha fazla karar vermenize gerek yok, evet…)
Ama çarpanlara ayırmaya dönelim. İlk parantezlere bakalım (3ax+9x) ve çıkarabileceğimiz bir şey var mı diye düşünüyoruz? Peki bu örneği yukarıda çözdük, alabiliriz 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
İkinci parantezleri inceleyelim, oraya bir sekiz ekleyebiliriz:
(8a+24)=8(a+3)
İfademizin tamamı şu şekilde olacaktır:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktoringli mi? HAYIR. Ayrıştırmanın sonucu şu şekilde olmalıdır: sadece çarpma ama bizde eksi işareti her şeyi bozar. Ama... Her iki terimin de ortak bir çarpanı var! Bu (a+3). Tüm parantezlerin sanki tek harf olduğunu söylemem boşuna değildi. Bu, bu braketlerin braketlerin dışına çıkarılabileceği anlamına gelir. Evet, kulağa tam olarak böyle geliyor.)
Yukarıda anlatıldığı gibi yapıyoruz. Ortak çarpanı yazıyoruz (a+3) ikinci parantez içine terimleri bölmenin sonuçlarını yazıyoruz (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Tüm! Sağda çarpma dışında hiçbir şey yok! Bu, çarpanlara ayırmanın başarıyla tamamlandığı anlamına gelir!) İşte:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Grubun özünü kısaca tekrarlayalım.
Eğer ifade yoksa genel için çarpan herkes ifadeyi parantezlere ayırıyoruz, böylece parantezlerin içindeki ortak faktör öyleydi. Onu çıkarıyoruz ve ne olacağını görüyoruz. Şanslıysanız ve parantez içinde tamamen aynı ifadeler kaldıysa bu parantezleri parantezlerin dışına taşıyoruz.
Gruplamanın yaratıcı bir süreç olduğunu ekleyeceğim). Her zaman ilk seferde işe yaramaz. Önemli değil. Bazen başarılı bir seçenek bulana kadar terimleri değiştirmeniz ve farklı gruplandırma seçeneklerini düşünmeniz gerekir. Buradaki en önemli şey cesaretinizi kaybetmemek!)
Örnekler.
Artık kendinizi bilgiyle zenginleştirdikten sonra zor örnekleri çözebilirsiniz.) Dersin başında bunlardan üçü vardı...
Basitleştirin:
Aslında bu örneği zaten çözdük. Kendimizden habersiz.) Size şunu hatırlatayım: Eğer bize çok kötü bir kesir verilirse, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Diğer basitleştirme seçenekleri sadece hayır.
Yani buradaki payda genişletilmemiş ama pay... Derste zaten pay'ı genişletmiştik! Bunun gibi:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Açılımın sonucunu kesrin payına yazıyoruz:
Kesirleri azaltma kuralına göre (bir kesrin temel özelliği), payı ve paydayı (aynı anda!) aynı sayıya veya ifadeye bölebiliriz. Bundan kesir değişmez. Yani pay ve paydayı ifadeye böleriz (3x-8). Ve orada burada birer tane alacağız. Sadeleştirmenin nihai sonucu:
Özellikle vurgulamak isterim ki, bir kesri azaltmak, ifadeleri çarpmanın yanı sıra, ancak pay ve paydada ise mümkündür. bir şey yok. Toplamın (farkın) dönüştürülmesinin nedeni budur. çarpma basitleştirme açısından çok önemlidir. Tabii eğer ifadeler farklı, o zaman hiçbir şey azalmayacaktır. Bu olacak. Fakat çarpanlara ayırma şans verir. Ayrışma olmadan bu şans kesinlikle mevcut değil.
Denklemli örnek:
Denklemi çözün:
x 5 - x 4 = 0
Ortak çarpanı çıkarıyoruz x 4 parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:
x 4 (x-1)=0
Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğunu biliyoruz o zaman ve ancak o zaman, bunlardan herhangi biri sıfır olduğunda. Eğer şüpheniz varsa, bana çarpıldığında sıfır verecek birkaç sıfır olmayan sayı bulun.) O halde ilk olarak ilk çarpanı yazıyoruz:
Böyle bir eşitlik varken ikinci faktör bizi ilgilendirmiyor. Herkes olabilir, ama sonunda yine de sıfır olacaktır. Sıfırın dördüncü kuvveti kaç sayıyı verir? Sadece sıfır! Ve başkası yok... Bu nedenle:
İlk faktörü bulduk ve bir kök bulduk. İkinci faktöre bakalım. Şimdi ilk çarpanı umursamıyoruz.):
Burada bir çözüm bulduk: x1 = 0; x 2 = 1. Bu köklerden herhangi biri denklemimize uyuyor.
Çok önemli bir not. Lütfen denklemi çözdüğümüzü unutmayın. parça parça! Her faktör sıfıra eşitti, diğer faktörlerden bağımsız olarak. Bu arada, böyle bir denklemde bizimki gibi iki değil, üç, beş, istediğiniz kadar faktör varsa çözeceğiz. tamamen aynı. Parça parça. Örneğin:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Parantezleri açıp her şeyi çarpan kişi sonsuza kadar bu denklemde takılıp kalacaktır.) Doğru bir öğrenci, solda çarpma dışında hiçbir şey olmadığını, sağda ise sıfırın olmadığını hemen görecektir. Ve (zihninde!) tüm parantezleri sıfıra eşitlemeye başlayacak. Ve (10 saniye içinde!) doğru çözümü elde edecek: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.
Harika, değil mi?) Denklemin sol tarafında ise böylesine zarif bir çözüm mümkün olabilir. çarpanlara ayrılmış.İpucunu aldın mı?)
Büyükler için son bir örnek):
Denklemi çözün:
Biraz öncekine benziyor değil mi?) Elbette. Yedinci sınıf cebirinde sinüslerin, logaritmaların ve diğer her şeyin harflerin altında gizlenebileceğini hatırlamanın zamanı geldi! Faktoring matematik boyunca çalışır.
Ortak çarpanı çıkarıyoruz lg4x parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:
günlük 4 x=0
Bu bir kök. İkinci faktöre bakalım.
İşte son cevap: x1 = 1; x 2 = 10.
Umarım kesirleri basitleştirmede ve denklem çözmede çarpanlara ayırmanın gücünü fark etmişsinizdir.)
Bu dersimizde ortak çarpanlara ayırma ve gruplandırmayı öğrendik. Kısaltılmış çarpma ve ikinci dereceden üç terimli formüllerle ilgilenmeye devam ediyor.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Bu derste, bir polinomu çarpanlara ayırmanın daha önce incelenen tüm yöntemlerini hatırlayacağız ve bunların uygulama örneklerini ele alacağız, ayrıca yeni bir yöntemi inceleyeceğiz - tam bir kareyi ayırma yöntemini ve bunun çeşitli problemleri çözmede nasıl kullanılacağını öğreneceğiz .
Ders:Polinomları çarpanlara ayırma
Ders:Polinomların çarpanlarına ayrılması. Tam bir kare seçme yöntemi. Yöntemlerin kombinasyonu
Daha önce incelenen bir polinomu çarpanlara ayırmanın temel yöntemlerini hatırlayalım:
Ortak bir faktörü, yani polinomun tüm terimlerinde mevcut olan bir faktörü parantezlerin dışına çıkarma yöntemi. Bir örneğe bakalım:
Tek terimlinin kuvvetlerin ve sayıların çarpımı olduğunu hatırlayın. Örneğimizde her iki terimin de bazı ortak, aynı unsurları vardır.
O halde, ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:
;
Çıkarılan faktörün doğruluğunu parantez ile çarparak, çıkarılan faktörün doğruluğunu kontrol edebileceğinizi hatırlatalım.
Gruplandırma yöntemi. Bir polinomda ortak bir faktör çıkarmak her zaman mümkün değildir. Bu durumda, üyelerini gruplara öyle bir şekilde ayırmanız gerekir ki, her grupta ortak bir faktör çıkarıp onu parçalara ayırmaya çalışabilirsiniz, böylece gruplardaki faktörler çıkarıldıktan sonra, grupta ortak bir faktör ortaya çıkar. ifadenin tamamını ve ayrıştırmaya devam edebilirsiniz. Bir örneğe bakalım:
Birinci terimi dördüncüyle, ikinciyi beşinciyle ve üçüncüyü altıncıyla gruplayalım:
Gruplardaki ortak faktörleri çıkaralım:
İfadenin artık ortak bir çarpanı var. Hadi çıkaralım:
Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Bir örneğe bakalım:
;
İfadeyi ayrıntılı olarak yazalım:
Açıkça önümüzde kare farkının formülü var, çünkü bu iki ifadenin karelerinin toplamıdır ve bunların çift çarpımı bundan çıkarılır. Formülü kullanalım:
Bugün başka bir yöntem öğreneceğiz; tam kare seçme yöntemini. Toplamın karesi ve farkın karesi formüllerine dayanmaktadır. Onlara şunu hatırlatalım:
Toplamın karesi formülü (fark);
Bu formüllerin özelliği, iki ifadenin karelerini ve bunların çift çarpımını içermeleridir. Bir örneğe bakalım:
İfadeyi yazalım:
Yani ilk ifade , ikincisi ise .
Bir toplamın veya farkın karesi için formül oluşturmak için ifadelerin çarpımının iki katı yeterli değildir. Eklenmesi ve çıkarılması gerekir:
Toplamın karesini tamamlayalım:
Ortaya çıkan ifadeyi dönüştürelim:
Kareler farkı formülünü uygulayalım, iki ifadenin kareleri farkının, farklarının çarpımı ve toplamı olduğunu hatırlayalım:
Yani bu yöntem öncelikle a ve b'nin karesi olan ifadelerin belirlenmesinden, yani bu örnekte hangi ifadelerin karesinin alındığının belirlenmesinden oluşur. Bundan sonra, çift çarpımın varlığını kontrol etmeniz gerekir ve eğer orada değilse ekleyin ve çıkarın, bu örneğin anlamını değiştirmez, ancak polinom, kare formülleri kullanılarak çarpanlara ayrılabilir. mümkünse karelerin toplamı veya farkı ve farkı.
Örneklerin çözümüne geçelim.
Örnek 1 - çarpanlara ayırma:
Karesi alınmış ifadeleri bulalım:
Çifte çarpımlarının ne olması gerektiğini yazalım:
Çarpımın iki katını toplayıp çıkaralım:
Toplamın karesini tamamlayıp benzerlerini verelim:
Bunu kareler farkı formülünü kullanarak yazalım:
Örnek 2 - denklemi çözün:
;
Denklemin sol tarafında bir üç terimli var. Bunu faktörlere ayırmanız gerekir. Kare fark formülünü kullanıyoruz:
Birinci ifadenin karesi ve çift çarpımı elimizde, ikinci ifadenin karesi eksik, toplayıp çıkaralım:
Tam bir kareyi katlayalım ve benzer terimleri verelim:
Kareler farkı formülünü uygulayalım:
Yani denklemimiz var 
Bir çarpımın sıfıra eşit olduğunu ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Buna dayanarak aşağıdaki denklemleri oluşturalım:
İlk denklemi çözelim:
İkinci denklemi çözelim:
Cevap: veya
;
Önceki örneğe benzer şekilde ilerliyoruz - farkın karesini seçiyoruz.
Bir denklemi çarpanlarına ayırma işlemi, çarpıldığında ilk denklemi sağlayan terimleri veya ifadeleri bulma işlemidir. Faktoring, temel cebirsel problemleri çözmek için yararlı bir beceridir ve ikinci dereceden denklemler ve diğer polinomlarla çalışırken neredeyse gerekli hale gelir. Faktoring, cebirsel denklemleri basitleştirerek çözümlerini kolaylaştırmak için kullanılır. Faktoring, bir denklemi elle çözdüğünüzden daha hızlı bir şekilde belirli olası cevapları ortadan kaldırmanıza yardımcı olabilir.
Adımlar
Sayıları çarpanlarına ayırma ve temel cebirsel ifadeler
-
Sayıları faktoring etmek.Çarpanlara ayırma kavramı basittir ancak pratikte çarpanlara ayırma zor olabilir (eğer karmaşık bir denklem verilirse). O halde önce sayıları örnek olarak kullanarak çarpanlara ayırma kavramına bakalım, basit denklemlerle devam edelim, ardından karmaşık denklemlere geçelim. Belirli bir sayının çarpanları, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları sayılardır: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünkü 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- Aynı şekilde bir sayının çarpanlarını o sayının bölenleri, yani sayının bölünebildiği sayılar olarak düşünebilirsiniz.
- 60 sayısının tüm çarpanlarını bulun. 60 sayısını sıklıkla kullanırız (örneğin saatte 60 dakika, dakikada 60 saniye vb.) ve bu sayının oldukça fazla sayıda çarpanı vardır.
- 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.
-
Hatırlamak: Bir katsayı (sayı) ve bir değişken içeren bir ifadenin terimleri de çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için değişkenin katsayı faktörlerini bulun. Denklem terimlerini nasıl çarpanlara ayıracağınızı bildiğinizden, bu denklemi kolayca basitleştirebilirsiniz.
- Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
- Art arda birden çok kez 12x dağıtabilirsiniz. Başka bir deyişle 3(4x) veya 2(6x)'te durmamalısınız; genişletmeye devam edin: 3(2(2x)) veya 2(3(2x)) (belli ki 3(4x)=3(2(2x)) vb.)
- Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
-
Çarpmanın dağılma özelliğini çarpan cebirsel denklemlere uygulayın. Sayıları ve ifade terimlerini (değişkenli katsayılar) nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilerek, bir sayının ve ifade teriminin ortak faktörünü bularak basit cebirsel denklemleri basitleştirebilirsiniz. Tipik olarak bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü (GCD) bulmanız gerekir. Bu basitleştirme, çarpma işleminin dağılma özelliği nedeniyle mümkündür: a, b, c sayıları için a(b+c) = ab+ac eşitliği doğrudur.
- Örnek. 12x + 6 denklemini çarpanlara ayırın. Öncelikle 12x ve 6'nın toplam değerini bulun. 6, hem 12x hem de 6'yı bölen en büyük sayıdır, dolayısıyla bu denklemi şu şekilde çarpanlara ayırabilirsiniz: 6(2x+1).
- Bu süreç aynı zamanda negatif ve kesirli terimleri olan denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2+4, 1/2(x+8)'e ayrılabilir; örneğin -7x+(-21), -7(x+3) çarpanlarına ayrılabilir.
İkinci Dereceden Denklemlerin Faktoringlenmesi
-
Denklemin ikinci dereceden formda verildiğinden emin olun (ax 2 + bx + c = 0).İkinci dereceden denklemler şu şekildedir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0 dışındaki sayısal katsayılardır. Size tek değişkenli (x) bir denklem verilirse ve bu denklemde bir veya daha fazla terim varsa ikinci dereceden bir değişkenle denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına taşıyabilir ve sıfıra eşitleyebilirsiniz.
- Örneğin, verilen denklem: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, ikinci dereceden bir denklem olan x 2 + 6x + 9 = 0 denklemine dönüştürülebilir.
- Büyük dereceli x değişkenine sahip denklemler, örneğin x 3, x 4, vb. ikinci dereceden denklemler değildir. Bunlar kübik denklemler, dördüncü dereceden denklemler vb.'dir (bu tür denklemler, x değişkeninin 2'ye yükseltildiği ikinci dereceden denklemlere basitleştirilemediği sürece).
-
a = 1 olan ikinci dereceden denklemler, d*e=c ve d+e=b olmak üzere (x+d)(x+e) şeklinde genişletilir. Size verilen ikinci dereceden denklem şu şekildeyse: x 2 + bx + c = 0 (yani, x 2'nin katsayısı 1'dir), o zaman böyle bir denklem yukarıdaki faktörlere genişletilebilir (ancak garanti edilmez). Bunu yapmak için çarpıldığında “c”, toplandığında “b” veren iki sayı bulmanız gerekir. Bu iki sayıyı (d ve e) bulduğunuzda, bunları aşağıdaki ifadeyle değiştirin: (x+d)(x+e), bu, parantezleri açtığınızda orijinal denklemi sağlar.
- Örneğin, ikinci dereceden bir denklem verildiğinde x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ve 3+2=5, yani bu denklemi (x+3)(x+2) şeklinde çarpanlara ayırabilirsiniz.
- Negatif terimler için çarpanlara ayırma sürecinde aşağıdaki küçük değişiklikleri yapın:
- İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx+c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x-_)(x-_).
- İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx-c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x+_)(x-_).
- Not: Boşluklar kesirlerle veya ondalık sayılarla değiştirilebilir. Örneğin, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 denklemi (x+10)(x+1/2) şeklinde genişletilir.
-
Deneme yanılma yoluyla çarpanlara ayırma. Basit ikinci dereceden denklemler, doğru çözümü bulana kadar sayıların olası çözümlere yerleştirilmesiyle çarpanlara ayrılabilir. Denklem ax 2 +bx+c biçimindeyse (a>1), olası çözümler (dx +/- _)(ex +/- _) biçiminde yazılır; burada d ve e sıfır olmayan sayısal katsayılardır. , çarpıldığında a verir. d veya e (veya her iki katsayı) 1'e eşit olabilir. Her iki katsayı da 1'e eşitse yukarıda açıklanan yöntemi kullanın.
- Örneğin, 3x 2 - 8x + 4 denklemi verilmiştir. Burada 3'ün yalnızca iki çarpanı vardır (3 ve 1), dolayısıyla olası çözümler (3x +/- _)(x +/- _) şeklinde yazılır. Bu durumda boşluk yerine -2 koyarsanız doğru cevabı bulursunuz: -2*3x=-6x ve -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ve -2*-2=4 yani parantezleri açarken böyle bir genişleme orijinal denklemin terimlerine yol açacaktır.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
