“Üçgenlerin eşitliği için üçüncü kriter” video dersi, üç taraftaki iki üçgenin eşitliğinin kriteri olan teoremin kanıtını içerir. Bu teorem geometrinin önemli bir parçasıdır. Genellikle pratik sorunları çözmek için kullanılır. Kanıtı, öğrencilerin zaten bildiği üçgenlerin eşitliği kriterlerine dayanmaktadır.
Bu teoremin kanıtı karmaşıktır, bu nedenle öğretimin kalitesini artırmak ve geometrik ifadeleri kanıtlama yeteneğini geliştirmek için, öğrencilerin dikkatini çalışılan materyale yoğunlaştırmaya yardımcı olacak bu görsel yardımın kullanılması tavsiye edilir. Ayrıca animasyon, yapıların görsel gösterimi ve ispatlar yardımıyla öğrenmenin kalitesinin artırılması mümkün olur.
Dersin başında konunun başlığı gösterilir ve bir üçgenin tüm kenarlarının ikinci üçgenin tüm kenarlarına çift olarak eşit olması durumunda üçgenlerin eşit olacağını söyleyen bir teorem formüle edilir. Teoremin metni ekranda gösterilir ve öğrenciler tarafından not defterine yazılabilir. Daha sonra bu teoremin ispatını ele alacağız.
Teoremi kanıtlamak için ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1 üçgenleri oluşturulmuştur. Teoremin koşullarından, kenarların çiftler halinde eşit olduğu, yani AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 ve AC = A 1 C 1 olduğu sonucu çıkar. İspatın başlangıcında, ΔABC üçgeninin ΔA 1 B 1 C 1 üzerine yerleştirildiğini, böylece bu üçgenlerin A ve A 1 köşelerinin yanı sıra B ve B 1 köşelerinin hizalandığını gösteriyoruz. Bu durumda, C ve C1 köşeleri üst üste gelen AB ve A 1 B 1 kenarlarının karşıt taraflarına yerleştirilmelidir. Bu yapıyla üçgen elemanların düzenlenmesi için çeşitli seçenekler mümkündür:
- C 1 C ışını ∠A 1 C 1 B 1 açısının içinde yer alır.
- C 1 C ışını ∠A 1 C 1 B 1 açısının kenarlarından biriyle çakışıyor.
- C 1 C ışını ∠A 1 C 1 B 1 açısının dışında yer alır.
Kanıtlar tüm vakalar için aynı olamayacağından, her vaka ayrı ayrı ele alınmalıdır. İlk durumda inşaat sonucunda oluşan iki üçgen dikkate alınır. Koşul gereği, bu üçgenlerde AC = A 1 C 1 ve BC = B 1 C 1 kenarları olduğundan, ortaya çıkan ΔB 1 C 1 C ve ΔA 1 C 1 üçgenleri ikizkenardır. İkizkenar üçgenlerin incelenen özelliğini kullanarak ∠1 ve ∠2 açılarının birbirine eşit olduğunu, ayrıca ∠3 ve ∠4 açılarının da eşit olduğunu söyleyebiliriz. Bu açılar eşit olduğundan, ∠1 ve ∠3 ile ∠2 ve ∠4'ün toplamı da eşit açılar verecektir. Bu nedenle ∠С ve ∠С 1 açıları eşittir. Bu gerçeği kanıtladıktan sonra, kenarları BC = B 1 C 1 ve AC = A 1 C 1 olan ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1 üçgenlerini teoremin koşullarına göre yeniden inceleyebiliriz ve kanıtlanır. aralarındaki açıların ∠C olması ve ∠C 1'in de eşit olmasıdır. Buna göre bu üçgenler, öğrencilerin zaten bildiği üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre eşit olacaktır.
İkinci durumda, üçgenler üst üste bindirildiğinde, C ve C1 noktaları B(B1) noktasından geçen bir düz çizgi üzerinde yer alır. İki üçgen ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1'in toplamı, teoremin koşullarına göre AC = A 1 C 1 kenarlarının eşit olduğu bir ΔCAC 1 üçgeniyle sonuçlanır. Buna göre bu üçgen ikizkenardır. Bir ikizkenar üçgende eşit kenarlar eşit açılara sahiptir, dolayısıyla açıların ∠С=∠С 1 olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca teoremin koşullarından, BC ve B 1 C 1 kenarlarının birbirine eşit olduğu, dolayısıyla ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1'in, belirtilen gerçekleri dikkate alarak, birinciye göre birbirine eşit olduğu sonucu çıkar. üçgenlerin eşitliğinin işareti.
Üçüncü durumdaki ispat, ilk ikisine benzer şekilde, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini kullanır. Üçgenlerin üst üste binmesiyle oluşturulan geometrik şekil, C ve C1 köşelerinin bir parçası ile bağlandığında, bir ΔB 1 C 1 C üçgenine dönüştürülür. Bu üçgen ikizkenardır, çünkü B 1 C 1 ve B 1 C kenarları eşittir durum. Ve bir ikizkenar üçgende kenarları eşit olduğundan, ∠С ve ∠С 1 açıları da eşittir. Teoremin koşullarına göre AC = A 1 C 1 kenarları eşit olduğundan, ΔАСС 1 ikizkenar üçgenindeki açılar da eşittir. ∠C ve ∠C 1 açılarının eşit olduğu ve ∠DCA ve ∠DC 1 A açılarının birbirine eşit olduğu dikkate alındığında, ∠ACB ve ∠AC 1 B açıları da eşittir. Bu gerçeği göz önünde bulundurarak ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1 üçgenlerinin eşitliğini kanıtlamak için, bu üçgenlerin iki tarafı koşullara göre eşit olduğundan ve açıların eşitliğinden dolayı üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini kullanabilirsiniz. aralarında akıl yürütme sırasında kanıtlanmıştır.
Video dersinin sonunda üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işaretinin önemli bir uygulaması gösterilmektedir: belirli bir geometrik şeklin katılığı. Bir örnek bu ifadenin ne anlama geldiğini açıklamaktadır. Esnek bir tasarıma bir örnek, bir çiviyle birbirine bağlanan iki çıtadır. Bu çıtalar birbirinden ayrılabilir ve herhangi bir açıda hareket ettirilebilir. Uçlarından mevcut çıtalara bağlanan çıtalara bir tane daha takarsak, çıtalar arasındaki açıyı değiştirmenin imkansız olduğu sert bir yapı elde ederiz. Bu kenarları ve diğer açıları olan bir üçgen elde etmek imkansızdır. Teoremin bu sonucunun önemli pratik önemi vardır. Ekranda üçgenlerin bu özelliğinin kullanıldığı mühendislik yapıları görüntülenir.
“Üçgenlerin eşitliği için üçüncü kriter” video dersi, öğretmenin geometri dersinde bu konuyla ilgili yeni materyal sunmasını kolaylaştırıyor. Ayrıca video dersi matematikte uzaktan eğitim için başarıyla kullanılabilir ve öğrencilerin ispatın karmaşıklığını kendi başlarına anlamalarına yardımcı olacaktır.
>>Geometri: Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti. Dersleri tamamla
DERS KONUSU: Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti.
Ders hedefleri:
- Eğitimsel – “Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri” konusundaki bilgilerin tekrarı, genelleştirilmesi ve test edilmesi; temel becerilerin geliştirilmesi.
- Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.
- Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı dikkatli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.
Ders hedefleri:
- Ölçek cetveli, iletki ve çizim üçgeni kullanarak üçgen oluşturma becerilerini geliştirin.
- Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.
Ders planı:
- Matematik tarihinden.
- Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.
- Temel bilgilerin güncellenmesi.
- Sağ üçgenler.
Matematik tarihinden.
Dik üçgen Babil geometrisinde onurlu bir yere sahiptir ve Ahmes papirüsünde buna sıklıkla rastlanır.
Hipotenüs terimi Yunancada bir şeyin altında esnemek, büzülmek anlamına gelen hipoteinsa kelimesinden gelir. Sözcük, tellerin karşılıklı olarak iki dik standın uçları üzerine gerildiği eski Mısır arplarının görüntüsünden kaynaklanmaktadır.
Bacak terimi, Yunanca çekül hattı, dik anlamına gelen “kathetos” kelimesinden gelmektedir. Orta Çağ'da bacak kelimesi bir dik üçgenin yüksekliği anlamına gelirken, diğer kenarlarına sırasıyla hipotenüs, yani taban deniyordu. 17. yüzyılda kateter kelimesi modern anlamda kullanılmaya başlanmış ve 18. yüzyıldan itibaren yaygınlaşmaya başlamıştır.
Öklid şu ifadeleri kullanır:
“dik açıyı tamamlayan kenarlar” - bacaklar için;
Hipotenüs için “dik açıyı oluşturan taraf”.
Öncelikle üçgenlerin eşitliğinin önceki işaretlerine dair hafızamızı tazelememiz gerekiyor. O halde ilkiyle başlayalım.
Üçgenlerin eşitliğinin 1. işareti.
Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti
Bir üçgenin bir kenarı ve komşu iki açısı, başka bir üçgenin bir kenarı ve komşu iki açısına sırasıyla eşitse, bu üçgenler eştir.
MN = PR N = R M = P
İlk işaretin ispatında olduğu gibi, üçgenlerin eşit olması için bunun yeterli olup olmadığından emin olmanız gerekir, bunlar tamamen birleştirilebilir mi?
1. MN = PR olduğundan, bu segmentler uç noktaları birleştirilirse birleştirilir.
2. N = R ve M = P olduğundan, \(MK\) ve \(NK\) ışınları sırasıyla \(PT\) ve \(RT\) ışınlarıyla örtüşecektir.
3. Işınlar çakışırsa kesişme noktaları \(K\) ve \(T\) çakışır.
4. Üçgenlerin tüm köşeleri birleştirilmiştir, yani Δ MNK ve Δ PRT tamamen hizalıdır, yani eşittirler.
Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti
Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir.
MN = PR KN = TR MK = PT
Yine Δ MNK ve Δ PRT üçgenlerini üst üste bindirerek birleştirmeyi deneyelim ve karşılık gelen eşit kenarların, bu üçgenlerin karşılık gelen açılarının eşit olduğunu ve tamamen çakışacağını garanti ettiğinden emin olalım.
Örneğin aynı \(MK\) ve \(PT\) segmentlerini birleştirelim. \(N\) ve \(R\) noktalarının çakışmadığını varsayalım.
\(O\), \(NR\) doğru parçasının orta noktası olsun. Bu bilgiye göre MN = PR, KN = TR. \(MNR\) ve \(KNR\) üçgenleri ortak \(NR\) tabanına sahip ikizkenar üçgenlerdir.
Bu nedenle, medyanları \(MO\) ve \(KO\) yüksekliktir, yani \(NR\)'ye diktirler. \(MO\) ve \(KO\) doğruları çakışmaz çünkü \(M\), \(K\), \(O\) noktaları aynı doğru üzerinde yer almaz. Ancak \(NR\) doğrusunun \(O\) noktasından ona dik yalnızca bir çizgi çizilebilir. Bir çelişkiye ulaştık.
\(N\) ve \(R\) köşelerinin çakışması gerektiği kanıtlanmıştır.
Üçüncü işaret, üçgeni çok güçlü, istikrarlı bir figür olarak adlandırmamızı sağlar, bazen şunu söylerler: üçgen - sert şekil . Kenar uzunlukları değişmezse açılar da değişmez. Örneğin bir dörtgenin bu özelliği yoktur. Bu nedenle çeşitli destekler ve tahkimatlar üçgen yapılmıştır.
Ancak insanlar \(3\) sayısının kendine özgü istikrarını, istikrarını ve mükemmelliğini uzun zamandır değerlendiriyor ve vurguluyorlar.
Peri masalları bundan bahseder.
Orada “Üç Ayı”, “Üç Rüzgar”, “Üç Küçük Domuz”, “Üç Yoldaş”, “Üç Kardeş”, “Üç Şanslı Adam”, “Üç Zanaatkar”, “Üç Prens”, “Üç Dost” ile tanışıyoruz. “Üç kahraman” vb.
Orada “üç girişim”, “üç nasihat”, “üç talimat”, “üç toplantı” yapılır, “üç dilek” yerine getirilir, “üç gün”, “üç gece”, “üç yıl” katlanmak gerekir, yaşanır "Üç devlet" ", "üç yeraltı krallığı", "üç teste" dayanır, "üç denizde" yelken açar.
İki üçgen üst üste bindirilerek bir araya getirilebiliyorsa buna eş üçgen denir. Şekil 1'de ABC ve A 1 B 1 C 1 eşit üçgenleri gösterilmektedir. Bu üçgenlerin her biri diğerinin üzerine tamamen uyumlu olacak şekilde üst üste bindirilebilir, yani çiftler halinde köşeleri ve kenarları uyumlu olur. Çiftler halinde bu üçgenlerin açılarının da eşleşeceği açıktır.
Dolayısıyla, eğer iki üçgen eş ise, o zaman bir üçgenin elemanları (yani kenarları ve açıları) sırasıyla diğer üçgenin elemanlarına eşittir. Dikkat karşılık gelen eşit kenarlara karşı eşit üçgenlerde(yani üst üste bindirildiğinde üst üste binme) eşit açılar yatıyor ve geri: Eşit kenarlar sırasıyla eşit açıların karşısında yer alır.
Örneğin, Şekil 1'de gösterilen eşit ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinde, sırasıyla AB ve A 1 B 1 eşit kenarlarının karşısında, C ve C 1 açıları eşit bulunur. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin eşitliğini şu şekilde göstereceğiz: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. İki üçgenin eşitliğinin, bazı elemanları karşılaştırılarak kurulabileceği ortaya çıktı.
Teorem 1. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işareti. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, başka bir üçgenin sırasıyla iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler eştir (Şekil 2).
Kanıt. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 olan ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerini düşünün (bkz. Şekil 2). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 olduğunu kanıtlayalım.
∠ A = ∠ A 1 olduğundan, ABC üçgeni A 1 B 1 C 1 üçgeninin üzerine yerleştirilebilir, böylece A tepe noktası A 1 tepe noktasıyla hizalanır ve AB ve AC kenarları sırasıyla A 1 B 1 ve A 1 ışınlarının üzerine bindirilir. Ç 1. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 olduğundan, AB tarafı A 1 B 1 tarafıyla ve AC tarafı A 1 C 1 tarafıyla aynı hizada olacaktır; özellikle B ve B 1, C ve C 1 noktaları çakışacaktır. Sonuç olarak, BC ve B 1 C 1 kenarları hizalanacaktır. Yani ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri tamamen uyumludur, yani eşittirler.
Teorem 2, süperpozisyon yöntemi kullanılarak benzer şekilde kanıtlanmıştır.
Teorem 2. Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti. Bir üçgenin bir kenarı ve iki bitişik açısı, başka bir üçgenin sırasıyla kenar ve iki komşu açısına eşitse, bu tür üçgenler eştir (Şekil 34).
Yorum. Teorem 2'ye dayanarak Teorem 3 oluşturulmuştur.
Teorem 3. Bir üçgenin herhangi iki iç açısının toplamı 180°'den küçüktür.
Teorem 4 son teoremin devamıdır.
Teorem 4. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan herhangi bir iç açıdan daha büyüktür.
Teorem 5. Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu tür üçgenler uyumludur ().
Örnek 1. ABC ve DEF üçgenlerinde (Şekil 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm ABC ve DEF üçgenlerini karşılaştırın. DEF üçgenindeki hangi açı B açısına eşittir?
Çözüm. Bu üçgenler ilk işarete göre eşittir. DEF üçgeninin F açısı, ABC üçgeninin B açısına eşittir, çünkü bu açılar sırasıyla eşit DE ve AC kenarlarının karşısında yer alır.
Örnek 2. AB ve CD segmentleri (Şekil 5), her birinin ortası olan O noktasında kesişir. AC segmenti 6 m ise BD segmentinin uzunluğu ne kadardır?
Çözüm.
AOC ve BOD üçgenleri eşittir (birinci kritere göre): ∠ AOC = ∠ BOD (dikey), AO = OB, CO = OD (koşula göre).
Bu üçgenlerin eşitliğinden kenarlarının eşit olduğu sonucu çıkar, yani AC = BD. Ancak AC = 6 m koşuluna göre BD = 6 m olur.
