Çözüm çevrimiçi işlev sınırları. Bir fonksiyonun veya fonksiyonel dizinin bir noktadaki sınırlayıcı değerini bulun, hesaplayın nihai fonksiyonun sonsuzdaki değeri. bir sayı serisinin yakınsaklığının belirlenmesi ve çok daha fazlası çevrimiçi hizmetimiz sayesinde yapılabilir -. İşlev sınırlarını çevrimiçi olarak hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlıyoruz. Siz kendiniz fonksiyon değişkenini ve onun yöneldiği limiti girersiniz ve hizmetimiz sizin için tüm hesaplamaları yaparak doğru ve basit bir cevap verir. Ve için Sınırı çevrimiçi bulma değişmez ifadede hem sayısal serileri hem de sabitleri içeren analitik fonksiyonları girebilirsiniz. Bu durumda fonksiyonun bulunan limiti bu sabitleri ifadede sabit argümanlar olarak içerecektir. Hizmetimiz her türlü karmaşık bulma sorununu çözer çevrimiçi sınırlar, fonksiyonu ve hesaplamanın gerekli olduğu noktayı belirtmek yeterlidir. fonksiyonun sınır değeri. Hesaplanıyor çevrimiçi sınırlar ile elde edilen sonucu kontrol ederken bunları çözmek için çeşitli yöntem ve kuralları kullanabilirsiniz. çevrimiçi sınırları çözme www.sitede görevin başarıyla tamamlanmasına yol açacak - kendi hatalarınızdan ve yazım hatalarınızdan kaçınacaksınız. Veya fonksiyonun limitini bağımsız olarak hesaplamak için ekstra çaba ve zaman harcamadan, bize tamamen güvenebilir ve sonucumuzu çalışmanızda kullanabilirsiniz. Sonsuzluk gibi sınır değerlerin girilmesine izin veriyoruz. Bir sayı dizisinin ortak bir üyesini girmek gerekir ve www.site değerini hesaplayacak çevrimiçi sınırlama artı veya eksi sonsuza.

Matematiksel analizin temel kavramlarından biri fonksiyon sınırı Ve dizi sınırı bir noktada ve sonsuzda doğru çözebilmek önemlidir sınırlar. Hizmetimizle bu zor olmayacak. Bir karar veriliyor çevrimiçi sınırlar Birkaç saniye içinde cevap doğru ve eksiksiz olur. Matematiksel analiz çalışması şu şekilde başlar: sınıra geçiş, sınırlar yüksek matematiğin neredeyse tüm alanlarında kullanılır, bu nedenle elinizin altında bir sunucunun olması faydalıdır. çevrimiçi limit çözümleri, site budur.

Limit teorisi- matematiksel analizin bazılarının ustalaşabileceği, bazılarının ise limitleri hesaplamada zorluk çekebileceği bölümlerinden biri. Düzinelerce teknik olduğundan sınırları bulma sorunu oldukça geneldir. çözüm sınırlarıçeşitli türleri. Aynı limitler hem L'Hopital kuralı kullanılarak hem de kuralsız olarak bulunabilir. Bir dizi sonsuz küçük fonksiyonun programlanması, istenen sonucu hızlı bir şekilde elde etmenize olanak sağlar. Herhangi bir karmaşıklıktaki bir fonksiyonun sınırını bulmanızı sağlayan bir dizi teknik ve püf noktası vardır. Bu yazıda pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız. Burada limitin teorisini ve tanımını vermeyeceğiz; internette bunun tartışıldığı birçok kaynak var. Bu nedenle pratik hesaplamalara geçelim, burada "Bilmiyorum! Yapamam!"

İkame yöntemini kullanarak limitlerin hesaplanması

Örnek 1. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Çözüm: Bu tür örnekler teorik olarak olağan ikame yöntemi kullanılarak hesaplanabilir.

Sınır 18/11'dir.
Bu limitlerin karmaşık veya akıllıca hiçbir yanı yoktur; değeri yerine koyduk, hesapladık ve cevap olarak limiti yazdık. Ancak bu sınırlara dayanarak herkese öncelikle değeri fonksiyonun yerine koymaları gerektiği öğretilir. Dahası, sonsuzluk, belirsizlik ve benzeri kavramların ortaya çıkmasıyla sınırlar daha karmaşık hale gelir.

Sonsuzun sonsuzluğa bölünmesi gibi belirsizlik içeren bir sınır. Belirsizliğin Açıklanması Yöntemleri

Örnek 2. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuz).
Çözüm: Polinom formunun bir polinoma bölümü olan bir limiti verilmiştir ve değişken sonsuza eğilimlidir.

Değişkenin bulunması gereken değeri basitçe değiştirmek, limitleri bulmaya yardımcı olmayacaktır; sonsuzun sonsuzluğa bölünmesi şeklindeki belirsizliği elde ederiz.
Limit teorisine göre limit hesaplama algoritması pay veya paydadaki “x”in en büyük gücünü bulmaktır. Daha sonra pay ve payda basitleştirilir ve fonksiyonun limiti bulunur.

Değişken sonsuza yaklaştığında değer sıfıra yöneldiğinden, bunlar ihmal edilir veya son ifadeye sıfır şeklinde yazılır.

Pratikten hemen sonra hesaplamalarda ipucu olan iki sonuç elde edebilirsiniz. Bir değişken sonsuza doğru gidiyorsa ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, o zaman limit sonsuza eşittir. Aksi takdirde, paydadaki polinom paydakinden daha yüksek mertebedeyse limit sıfırdır.
Limit şu formüllerle yazılabilir:

Kesirsiz sıradan bir alan şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, limiti sonsuza eşittir.

Bir sonraki limit türü sıfıra yakın fonksiyonların davranışıyla ilgilidir.

Örnek 3. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Çözüm: Burada polinomun baş faktörünü çıkarmaya gerek yok. Tam tersi, pay ve paydanın en küçük kuvvetini bulup limitini hesaplamanız gerekiyor.

x^2 değeri; Değişken sıfıra yaklaştığında x sıfıra yönelir. Bu nedenle ihmal edilirler, dolayısıyla şunu elde ederiz.

sınırın 2,5 olduğu.

Artık biliyorsun bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur Formda, değişken sonsuza veya 0'a eğilimliyse bir polinomu bir polinoma bölün. Ancak bu, örneklerin yalnızca küçük ve kolay bir kısmıdır. Aşağıdaki materyalden öğreneceksiniz Bir fonksiyonun limitlerindeki belirsizliklerin nasıl ortaya çıkarılacağı.

0/0 tipi belirsizlikle limit ve hesaplama yöntemleri

Sıfıra bölünemez kuralını herkes hemen hatırlar. Ancak bu bağlamda limitler teorisi sonsuz küçük fonksiyonları ima eder.
Netlik sağlamak için birkaç örneğe bakalım.

Örnek 4. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Çözüm: x = -1 değişkeninin değerini paydaya yazarsak sıfır olur, payda da aynı şeyi elde ederiz. Böylece sahibiz formun belirsizliği 0/0.
Böyle bir belirsizlikle başa çıkmak basittir: Polinomu çarpanlarına ayırmanız veya daha doğrusu fonksiyonu sıfıra çeviren faktörü seçmeniz gerekir.

Genişletmeden sonra fonksiyonun limiti şu şekilde yazılabilir:

Bir fonksiyonun limitini hesaplamanın tüm yöntemi budur. Polinom formunun bir polinoma bölünen bir limiti varsa aynısını yaparız.

Örnek 5. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Çözüm: Doğrudan ikame gösterileri
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
Bizim neyimiz var tip 0/0 belirsizlik.
Polinomları tekilliği ortaya çıkaran faktöre bölelim


2. dereceden polinomların yani “ikinci dereceden denklemler” tipinin diskriminant yoluyla çözülmesi gerektiğini öğreten öğretmenler var. Ancak gerçek uygulama bunun daha uzun ve daha kafa karıştırıcı olduğunu gösteriyor, bu nedenle belirtilen algoritmanın sınırları dahilindeki özelliklerden kurtulun. Böylece fonksiyonu basit faktörler şeklinde yazıp limitte hesaplıyoruz.

Gördüğünüz gibi bu limitlerin hesaplanmasında karmaşık bir şey yok. Limitleri çalıştığınızda, polinomları nasıl böleceğinizi bilirsiniz, en azından zaten geçmiş olmanız gereken programa göre.
Görevler arasında tip 0/0 belirsizlik Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gereken bazıları vardır. Ancak bunları bilmiyorsanız, bir polinomu bir tek terime bölerek istediğiniz formülü elde edebilirsiniz.

Örnek 6. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Çözüm: 0/0 türünde bir belirsizliğimiz var. Payda kısaltılmış çarpma formülünü kullanıyoruz

ve gerekli limiti hesaplayın

Belirsizliği eşleniğiyle çarparak ortaya çıkarma yöntemi

Yöntem, belirsizliğin irrasyonel fonksiyonlar tarafından oluşturulduğu limitlere uygulanır. Hesaplama noktasında pay veya payda sıfıra döner ve sınırın nasıl bulunacağı bilinmemektedir.

Örnek 7. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Çözüm: Değişkeni limit formülünde temsil edelim

Yerine koyarken 0/0 tipinde bir belirsizlik elde ederiz.
Limitler teorisine göre bu özelliği atlamanın yolu irrasyonel ifadeyi eşleniğiyle çarpmaktır. İfadenin değişmemesini sağlamak için paydanın aynı değere bölünmesi gerekir

Kareler farkı kuralını kullanarak payı basitleştirir ve fonksiyonun limitini hesaplarız.

Limitte tekilliği oluşturan terimleri sadeleştiriyoruz ve ikame işlemini gerçekleştiriyoruz

Örnek 8. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Çözüm: Doğrudan yerine koyma limitin 0/0 şeklinde tekilliğe sahip olduğunu gösterir.

Genişletmek için payın eşleniğiyle çarpıp bölüyoruz

Kare farkını yazıyoruz

Tekilliği ortaya koyan terimleri basitleştiriyoruz ve fonksiyonun limitini buluyoruz

Örnek 9. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Çözüm: Formülde ikiyi yerine koyarız

Aldık belirsizlik 0/0.
Payda eşlenik ifadeyle çarpılmalı ve payda ikinci dereceden denklem tekillik dikkate alınarak çözülmeli veya çarpanlara ayrılmalıdır. 2'nin bir kök olduğu bilindiğinden ikinci kökü Vieta teoremini kullanarak buluyoruz.

Böylece payı formda yazıyoruz

ve onu limitin yerine koy

Kareler farkını azaltarak pay ve paydadaki tekilliklerden kurtuluruz

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birçok örnekte tekilliklerden kurtulmak mümkündür ve ikame sırasında belirli bir kök farkının sıfıra dönüştüğü her yerde uygulamaya dikkat edilmelidir. Diğer limit türleri üstel fonksiyonlar, sonsuz küçük fonksiyonlar, logaritmalar, özel limitler ve diğer tekniklerle ilgilidir. Ancak bunu limitlerle ilgili aşağıda listelenen makalelerden okuyabilirsiniz.

Öğrencilerin ve okul çocuklarının ele aldıkları materyali tam olarak pekiştirmeleri ve pratik becerilerini geliştirmeleri için sitede bulunan çevrimiçi limit hesaplayıcı. Kaynağımızdaki çevrimiçi limit hesaplayıcı nasıl kullanılır? Bu çok kolay bir şekilde yapılabilir, sadece mevcut alana orijinal fonksiyonu girmeniz, seçiciden değişken için gerekli limit değerini seçmeniz ve “Çözüm” butonuna tıklamanız yeterlidir. Bir noktada sınır değerini hesaplamanız gerekirse, o zaman bu noktanın değerini sayısal veya sembolik olarak girmeniz gerekir. Çevrimiçi limit hesaplayıcı, belirli bir noktada, fonksiyonun tanım aralığındaki limiti, limitin değerini ve incelenen fonksiyonun değerinin, argümanı belirli bir noktaya koştuğunda acele ettiği bu değeri bulmanıza yardımcı olacaktır. noktası limitin çözümüdür. Web sitemizdeki çevrimiçi limit hesaplayıcıya dayanarak şunu söyleyebiliriz - İnternette çok sayıda analog var, değerli olanları bulabilirsiniz, sadece onları çok aramanız gerekir. Ancak burada bir sitenin diğer siteden farklı olduğu gerçeğiyle karşı karşıya kalacaksınız. Birçoğu bizden farklı olarak çevrimiçi limit hesaplayıcı sunmuyor. Yandex veya Google gibi iyi bilinen herhangi bir arama motorunda “Çevrimiçi limit hesaplayıcı” ifadesini kullanarak siteleri ararsanız, site arama sonuçlarının en üstünde görünecektir. Bu, bu arama motorlarının bize güvendiği ve sitemizde yalnızca yüksek kaliteli içeriğin bulunduğu ve en önemlisi okul ve üniversite öğrencileri için faydalı olduğu anlamına gelir! Limit hesaplayıcılar ve genel olarak limite geçiş teorisi hakkında konuşmaya devam edelim. Çoğu zaman bir fonksiyonun limitinin tanımında mahalle kavramı formüle edilir. Burada, fonksiyonların limitleri ve bu limitlerin çözümü, yalnızca fonksiyonların tanım alanı için sınırlayıcı olan noktalarda incelenir; böyle bir noktanın her komşuluğunda, fonksiyonların tanım alanından noktalar olduğu bilinmelidir. bu fonksiyon. Bu bize değişken bir fonksiyonun belirli bir noktaya olan eğiliminden bahsetmemize olanak sağlar. Bir fonksiyonun tanım kümesinde bir noktada bir limit varsa ve çevrimiçi limit hesaplayıcı bu noktada fonksiyonun ayrıntılı bir limit çözümünü üretiyorsa, o zaman fonksiyonun bu noktada sürekli olduğu ortaya çıkar. Çözümlü çevrimiçi limit hesaplayıcımızın olumlu sonuçlar vermesine izin verin, biz de bunu diğer sitelerde kontrol edeceğiz. Bu, kaynağımızın kalitesini kanıtlayabilir ve çoğu kişinin zaten bildiği gibi, en iyi durumdadır ve en yüksek övgüyü hak etmektedir. Bununla birlikte, çevrimiçi bir hesap makinesinin sınırlarını ayrıntılı bir çözümle bağımsız olarak ancak profesyonel bir öğretmenin yakın gözetimi altında incelemek mümkündür. Çoğu zaman bu eylem beklenen sonuçlara yol açacaktır. Tüm öğrenciler, çözümü olan bir çevrimiçi limit hesaplayıcının, dönem başında öğretmen tarafından verilen karmaşık problemlerini ayrıntılı olarak açıklayacağını hayal ederler. Ama bu o kadar basit değil. Önce teoriyi incelemeniz ve ardından ücretsiz bir hesap makinesi kullanmanız gerekir. Tıpkı online limitler gibi hesap makinesi de size gerekli girişleri detaylı bir şekilde verecek ve sonuçtan memnun kalacaksınız. Ancak tanım alanının sınır noktası, tam da bu tanım alanına ait olmayabilir ve bu, çevrimiçi limit hesaplayıcının ayrıntılı bir hesaplamasıyla kanıtlanmıştır. Örnek: Bir fonksiyonun limitini, fonksiyonumuzun tanımlandığı açık parçanın uçlarında düşünebiliriz. Bu durumda parçanın sınırları tanım alanına dahil edilmez. Bu anlamda bu noktanın komşuluk sistemi böyle bir alt küme tabanının özel bir durumudur. Ayrıntılı bir çözüme sahip çevrimiçi bir limit hesaplayıcı, gerçek zamanlı olarak üretilir ve formüller, verilen açık analitik formda ona uygulanır. Ayrıntılı bir çözüme sahip bir çevrimiçi limit hesaplayıcı kullanan bir fonksiyonun limiti, bir dizinin limiti kavramının genelleştirilmesidir: başlangıçta, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, etki alanının bir dizi eleman dizisinin limiti olarak anlaşıldı. belirli bir noktaya (dikkate alınan sınıra) yakınsayan bir fonksiyonun tanım alanının elemanları dizisinin noktalarının görüntülerinden oluşan bir fonksiyonun; eğer böyle bir limit mevcutsa, fonksiyonun belirtilen değere yakınsadığı söylenir; eğer böyle bir limit yoksa fonksiyonun ıraksak olduğu söylenir. Genel olarak konuşursak, sınıra geçiş teorisi tüm matematiksel analizlerin temel konseptidir. Her şey tam olarak limitlere geçişlere dayanmaktadır, yani limitlerin ayrıntılı çözümü matematiksel analiz biliminin temelidir ve çevrimiçi limit hesaplayıcı öğrenci eğitiminin temelini oluşturur. Web sitesinde ayrıntılı bir çözüm bulunan çevrimiçi limit hesaplayıcı, gerçek zamanlı olarak doğru ve anında yanıt almak için benzersiz bir hizmettir. Öğrencilerin matematiksel analize ilk başlarken limitleri çözmekte hemen zorluk çekmeleri alışılmadık bir durum değildir, daha doğrusu çok sıktır. Hizmetimizde çevrimiçi bir hesap makinesiyle limit çözmenin doğruluğun ve yüksek kaliteli bir yanıt elde etmenin anahtarı olduğunu garanti ediyoruz. Hesap makinesi kullanarak bir limitin ayrıntılı çözümüne birkaç saniye içinde yanıt alacağınızı söyleyebiliriz. aniden. Yanlış veriler, yani sistem tarafından kabul edilmeyen karakterler sağlarsanız sorun değil, hizmet size hatayı otomatik olarak bildirecektir. Daha önce girilen fonksiyonu (veya sınır noktasını) düzeltin ve çevrimiçi limit hesaplayıcıyı kullanarak doğru ayrıntılı çözümü elde edin. Bize güvenin, sizi asla yarı yolda bırakmayacağız. Siteyi kolayca kullanabilirsiniz ve çevrimiçi limit hesaplayıcı, çözümün sorunun hesaplanmasına yönelik adım adım eylemleri ayrıntılı olarak açıklayacaktır. Sadece birkaç saniye beklemeniz gerekiyor ve istediğiniz cevabı alacaksınız. Ayrıntılı bir çözüme sahip bir çevrimiçi hesap makinesiyle limitleri çözmek için mümkün olan tüm teknikler kullanılır, özellikle L'Hopital'in yöntemi çok sık kullanılır, çünkü evrenseldir ve bir fonksiyonun limitini hesaplamanın diğer yöntemlerinden daha hızlı bir cevaba yol açar. Bir sayı dizisinin toplamını hesaplamak için genellikle limit hesaplayıcılı çevrimiçi ayrıntılı bir çözüme ihtiyaç duyulur. Bildiğiniz gibi, bir sayısal dizinin toplamını bulmak için, bu dizinin kısmi toplamını doğru bir şekilde ifade etmeniz yeterlidir ve daha sonra ücretsiz hizmet web sitemizi kullanarak her şey basittir, çünkü çevrimiçi limit hesaplayıcımızı kullanarak kısmi bir limitten limiti hesaplayabilirsiniz. toplam sayısal dizinin son toplamı olacaktır. Web sitesi hizmetini kullanarak çevrimiçi limit hesaplayıcının ayrıntılı bir çözümü, öğrencilerin problem çözmedeki ilerlemeyi görmelerine olanak tanır, bu da limitler teorisinin anlaşılmasını neredeyse herkes için kolay ve erişilebilir hale getirir. Odaklanmaya devam edin ve yanlış eylemlerinizin, başarısız notlar şeklinde sorun yaşamanıza neden olmasına izin vermeyin. Çevrimiçi limit hesaplayıcı hizmetine sahip herhangi bir ayrıntılı çözüm gibi, sorun da uygun ve anlaşılır bir biçimde, ayrıntılı bir çözümle, çözüm elde etmek için tüm kural ve düzenlemelere uygun olarak sunulacaktır. Aynı zamanda tasarruf edebilirsiniz. Zaman ve para, çünkü bunun için kesinlikle hiçbir şey istemiyoruz. Web sitemizde, çevrimiçi limit hesaplayıcıların ayrıntılı bir çözümü her zaman günün yirmi dört saati mevcuttur. Aslında çözümü olan tüm online limit hesaplayıcılar, adım adım çözümün ilerleyişi hakkında detaylı bilgi vermeyebilir; bu unutulmamalıdır ve herkes buna dikkat etmelidir. Ayrıntılı bir çözüm içeren çevrimiçi hesap makinesinin sınırları sizden “Çözüm” düğmesine tıklamanızı istediğinde, lütfen önce her şeyi kontrol edin. yani, girilen işlevi ve sınır değerini kontrol edin ve ancak bundan sonra eyleme devam edin. Bu sizi başarısız hesaplamaların acı verici deneyimlerinden kurtaracaktır. Daha sonra ayrıntılı bir yasa ile çevrimiçi hesap makinesinin sınırları, adım adım eylemin doğru faktöriyel temsilini verecektir. Çevrimiçi limit hesaplayıcı aniden ayrıntılı bir çözüm sunmuyorsa, bunun birkaç nedeni olabilir. Öncelikle yazılı fonksiyon ifadesini kontrol edin. "x" değişkenini içermelidir, aksi takdirde fonksiyonun tamamı sistem tarafından sabit olarak değerlendirilecektir. Daha sonra, belirli bir nokta veya sembolik değer belirttiyseniz sınır değerini kontrol edin. Ayrıca yalnızca Latin harfleri içermelidir - bu önemlidir! O zaman mükemmel hizmetimiz üzerinden çevrimiçi olarak sınırlara ayrıntılı bir çözüm bulmayı tekrar deneyebilir ve sonuçtan yararlanabilirsiniz. Detaylı olarak çevrimiçi çözümün sınırlarının çok zor olduğunu söyledikleri anda - inanmayın ve en önemlisi paniğe kapılmayın, her şey eğitim kursu çerçevesinde çözülür. Panik yapmadan sadece birkaç dakikanızı hizmetimize ayırmanızı ve verilen alıştırmayı kontrol etmenizi öneririz. Bununla birlikte, çevrimiçi çözümün sınırları ayrıntılı olarak çözülemezse, o zaman bir yazım hatası yapmışsınızdır, çünkü aksi takdirde site hemen hemen her sorunu fazla zorluk çekmeden çözer. Ancak istediğiniz sonucu zorlanmadan ve çaba harcamadan hemen alabileceğinizi düşünmenize gerek yok. Her durumda, materyali incelemeye yeterli zaman ayırmanız gerekir. Ortaya çıkan çözümün oluşturulması aşamasında her limit hesaplayıcıyı bir çözümle birlikte çevrimiçi olarak ayrıntılı olarak göstermek ve bunun tersini varsaymak mümkündür. Ancak bunu nasıl ifade edeceğimiz önemli değil çünkü biz bilimsel yaklaşımın kendi süreciyle ilgileniyoruz. Sonuç olarak, çevrimiçi çözümlü limit hesaplayıcının bir bilim olarak matematiğin temel yönüne nasıl dayandığını ayrıntılı olarak göstereceğiz. Beş temel prensibi vurgulayın ve daha fazla eyleme başlayın. Herkese yönelik ayrıntılı bir çözüm içeren bir limit hesaplama çözümünün çevrimiçi olarak mevcut olup olmadığı sorulacak ve siz de şu yanıtı vereceksiniz: evet, öyle! Belki bu anlamda sonuçlara özel bir odaklanma yoktur, ancak çevrimiçi sınırın, disiplini incelerken ilk bakışta göründüğünden biraz farklı bir anlamı vardır. Dengeli bir yaklaşımla, doğru güç dengesiyle, mümkün olan en kısa sürede çevrimiçi limiti kendiniz ayrıntılı olarak görüntüleyebilirsiniz.! Gerçekte, çözümü ayrıntılı olarak içeren çevrimiçi limit hesaplayıcı, adım adım hesaplamanın tüm adımlarını hızlı bir şekilde orantılı olarak temsil etmeye başlayacaktır.

Yukarıdaki makaleden sınırın ne olduğunu ve neyle yenildiğini öğrenebilirsiniz - bu ÇOK önemlidir. Neden? Determinantların ne olduğunu anlayamayabilir ve başarılı bir şekilde çözemeyebilirsiniz; türevin ne olduğunu hiç anlayamayabilir ve bunları “A” ile bulabilirsiniz. Ancak sınırın ne olduğunu anlamıyorsanız pratik görevleri çözmek zor olacaktır. Ayrıca örnek çözümlere ve tasarım önerilerime aşina olmanız da iyi bir fikir olacaktır. Tüm bilgiler basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır.

Ve bu dersin amaçları doğrultusunda aşağıdaki öğretim materyallerine ihtiyacımız olacak: Harika Sınırlar Ve Trigonometrik formüller. Sayfada bulunabilirler. Kılavuzların çıktısını almak en iyisidir; çok daha kullanışlıdır ve ayrıca bunlara sıklıkla çevrimdışı olarak başvurmanız gerekecektir.

Olağanüstü sınırları bu kadar özel kılan ne? Bu sınırların dikkat çekici yanı, ünlü matematikçilerin en büyük beyinleri tarafından kanıtlanmış olmaları ve minnettar torunların, bir yığın trigonometrik fonksiyon, logaritma ve kuvvetle ilgili korkunç sınırlardan muzdarip olmak zorunda olmamasıdır. Yani limitleri bulurken teorik olarak kanıtlanmış hazır sonuçları kullanacağız.

Birkaç harika sınır vardır, ancak pratikte vakaların %95'inde yarı zamanlı öğrencilerin iki harika sınırı vardır: İlk harika sınır, İkinci harika sınır. Bunların tarihsel olarak belirlenmiş isimler olduğunu ve örneğin "ilk dikkate değer sınır"dan bahsettiklerinde bununla tavandan alınan rastgele bir sınırı değil, çok spesifik bir şeyi kastettiklerini belirtmek gerekir.

İlk harika sınır

Aşağıdaki sınırı göz önünde bulundurun: (yerel harf “o” yerine Yunanca “alfa” harfini kullanacağım, bu materyalin sunumu açısından daha uygundur).

Limit bulma kuralımıza göre (bkz. makale Sınırlar. Çözüm örnekleri) fonksiyona sıfır koymaya çalışırız: payda sıfır elde ederiz (sıfırın sinüsü sıfırdır) ve paydada da açıkça sıfır vardır. Bu nedenle, neyse ki açıklanması gerekmeyen bir biçim belirsizliğiyle karşı karşıyayız. Matematiksel analiz sırasında aşağıdakiler kanıtlanmıştır:

Bu matematiksel gerçeğe denir İlk harika sınır. Limitin analitik kanıtını vermeyeceğim ama geometrik anlamına derste bakacağız. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Çoğu zaman pratik görevlerde işlevler farklı şekilde düzenlenebilir, bu hiçbir şeyi değiştirmez:

- aynı ilk harika sınır.

Ancak pay ve paydayı kendiniz yeniden düzenleyemezsiniz! Eğer formda bir limit verilmişse, hiçbir şeyi yeniden düzenlemeden aynı formda çözülmesi gerekir.

Pratikte sadece bir değişken değil, aynı zamanda bir temel fonksiyon veya karmaşık bir fonksiyon da parametre olarak hareket edebilir. Sadece sıfıra yönelmesi önemlidir.

Örnekler:
, , ,

Burada , , , ve her şey yolunda - ilk harika sınır geçerlidir.

Ancak aşağıdaki girdi sapkınlıktır:

Neden? Polinom sıfıra yönelmediği için beşe yönelir.

Bu arada kısa bir soru: Limit nedir? ? Cevabı dersin sonunda bulabilirsiniz.

Pratikte her şey o kadar düzgün değildir; neredeyse hiçbir zaman bir öğrenciye ücretsiz bir limit çözmesi ve kolay bir geçiş yapması teklif edilmez. Hmmm... Bu satırları yazıyorum ve aklıma çok önemli bir fikir geldi - sonuçta, "özgür" matematiksel tanımları ve formülleri ezbere hatırlamak daha iyidir, bu, soru ne zaman sorulacaksa testte paha biçilmez bir yardım sağlayabilir. “iki” ile “üç” arasında karar verilir ve öğretmen öğrenciye basit bir soru sormaya veya basit bir örneği çözmeyi teklif etmeye karar verir (“belki o(lar) hala neyi biliyordur?!”).

Pratik örnekleri ele almaya devam edelim:

örnek 1

Sınırı bulun

Limitte bir sinüs fark edersek, bu bizi hemen ilk dikkate değer limiti uygulama olasılığı hakkında düşünmeye sevk etmelidir.

Öncelikle limit işaretinin altındaki ifadeye 0'ı koymaya çalışıyoruz (bunu zihinsel olarak veya taslak halinde yapıyoruz):

Yani formda bir belirsizlik var mutlaka belirtin bir karar verirken. Limit işaretinin altındaki ifade ilk harika limite benzer ama bu tam olarak o değil, sinüsün altında ama paydada.

Böyle durumlarda ilk dikkat çeken limiti yapay bir teknik kullanarak kendimiz düzenlememiz gerekiyor. Akıl yürütme şu şekilde olabilir: "sahip olduğumuz sinüsün altında, bu da demek oluyor ki paydaya da girmemiz gerekiyor."
Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Yani bu durumda payda yapay olarak 7 ile çarpılır ve aynı yediye bölünür. Artık kaydımız tanıdık bir şekil aldı.
Görev elle çizildiğinde, ilk dikkate değer sınırın basit bir kalemle işaretlenmesi tavsiye edilir:

Ne oldu? Aslında daire içine alınmış ifademiz eserde bir birime dönüşerek yok oldu:

Şimdi geriye kalan tek şey üç katlı kesirden kurtulmak:

Çok seviyeli kesirlerin basitleştirilmesini kim unuttu, lütfen referans kitabındaki materyali yenileyin Okul matematik dersi için sıcak formüller .

Hazır. Son cevap:

Kurşun kalemle işaret kullanmak istemiyorsanız çözüm şu şekilde yazılabilir:

“

İlk harika limiti kullanalım

“

Örnek 2

Sınırı bulun

Limitte yine bir kesir ve bir sinüs görüyoruz. Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Aslında belirsizlik var ve bu nedenle ilk harika sınırı düzenlemeye çalışmamız gerekiyor. Derste Sınırlar. Çözüm örnekleri Belirsizliğimiz olduğunda pay ve paydayı çarpanlara ayırmamız gerektiği kuralını dikkate aldık. Burada da aynısı var, dereceleri çarpım (çarpan) olarak temsil edeceğiz:

Önceki örneğe benzer şekilde, dikkat çekici sınırların çevresine bir kalem çiziyoruz (burada bunlardan iki tane var) ve birlik eğiliminde olduklarını belirtiyoruz:

Aslında cevap hazır:

Aşağıdaki örneklerde Paint'te sanat yapmayacağım, bir defterde bir çözümün nasıl doğru bir şekilde çizileceğini düşünüyorum - zaten anlıyorsunuz.

Örnek 3

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadeye sıfır koyarız:

Açıklanması gereken bir belirsizlik elde edildi. Limitte bir teğet varsa, o zaman hemen hemen her zaman iyi bilinen trigonometrik formül kullanılarak sinüs ve kosinüse dönüştürülür (bu arada, kotanjant ile yaklaşık olarak aynı şeyi yaparlar, metodolojik materyale bakın) Sıcak trigonometrik formüller Sayfada Matematiksel formüller, tablolar ve referans materyalleri).

Bu durumda:

Sıfırın kosinüsü bire eşittir ve bundan kurtulmak kolaydır (bire eğilimli olduğunu işaretlemeyi unutmayın):

Bu nedenle, eğer kosinüs limitte bir ÇARPAN ise, o zaman kabaca konuşursak, üründe kaybolan bir birime dönüştürülmesi gerekir.

Burada her şey çarpma ve bölme olmadan daha basit hale geldi. Çarpımda dikkat çeken ilk limit de bire dönüşerek yok oluyor:

Sonuç olarak sonsuzluk elde edilir ve bu olur.

Örnek 4

Sınırı bulun

Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Belirsizlik elde edilir (hatırladığımız gibi sıfırın kosinüsü bire eşittir)

Trigonometrik formülü kullanıyoruz. Not alın! Bazı nedenlerden dolayı bu formülün kullanıldığı sınırlamalar çok yaygındır.

Sabit faktörleri sınır simgesinin ötesine taşıyalım:

İlk harika sınırı düzenleyelim:

Burada dikkat çekici tek bir limitimiz var, o da üründe bire dönüşüyor ve yok oluyor:

Üç katlı yapıdan kurtulalım:

Limit aslında çözüldü, kalan sinüsün sıfıra doğru yöneldiğini belirtiyoruz:

Örnek 5

Sınırı bulun

Bu örnek daha karmaşıktır, kendiniz çözmeye çalışın:

Bazı limitler, bir değişken değiştirilerek 1. dikkat çekici limite indirilebilir, bunu makalenin biraz ilerisinde okuyabilirsiniz. Sınırları çözme yöntemleri.

İkinci harika sınır

Matematiksel analiz teorisinde şu kanıtlanmıştır:

Bu gerçeğe denir ikinci harika sınır.

Referans: irrasyonel bir sayıdır.

Parametre sadece bir değişken değil aynı zamanda karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Önemli olan sonsuzluk için çabalamasıdır.

Örnek 6

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadenin derece olması, ikinci harika limiti uygulamaya çalışmanız gerektiğinin ilk işaretidir.

Ama önce, her zaman olduğu gibi, ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışıyoruz, bunun nasıl yapıldığına dair prensip derste tartışılıyor. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bunu fark etmek kolaydır derecenin tabanı ve üs ise yani formda belirsizlik var:

Bu belirsizlik ikinci dikkat çekici limitin yardımıyla tam olarak ortaya çıkıyor. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, ikinci harika sınır gümüş bir tabakta yatmıyor ve yapay olarak düzenlenmesi gerekiyor. Şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: Bu örnekte parametre dır, bu da göstergede de düzenleme yapmamız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için tabanı kuvvete yükseltiyoruz ve ifadenin değişmemesi için kuvvete yükseltiyoruz:

Görev elle tamamlandığında kalemle işaretliyoruz:

Hemen hemen her şey hazır, korkunç derece güzel bir mektuba dönüştü:

Bu durumda limit simgesinin kendisini göstergeye taşıyoruz:

Örnek 7

Sınırı bulun

Dikkat! Bu tür limitlere çok sık rastlanır, lütfen bu örneği çok dikkatli inceleyin.

Limit işaretinin altındaki ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışalım:

Sonuç belirsizliktir. Ancak ikinci dikkate değer sınır, biçimin belirsizliğiyle ilgilidir. Ne yapalım? Derecenin tabanını dönüştürmemiz gerekiyor. Şöyle mantık yürütüyoruz: paydada , yani payda da düzenleme yapmamız gerekiyor.

Dizilerin ve fonksiyonların limiti kavramları. Bir dizinin limitinin bulunması gerektiğinde şu şekilde yazılır: lim xn=a. Böyle bir dizi dizisinde xn a'ya, n ise sonsuza eğilimlidir. Sıra genellikle bir seri olarak temsil edilir, örneğin:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Diziler artan ve azalan olarak ikiye ayrılır. Örneğin:
xn=n^2 - artan dizi
yn=1/n - dizi
Örneğin, xn=1/n^ dizisinin limiti:
lim 1/n^2=0

x→∞
n→∞ olduğundan bu limit sıfıra eşittir ve 1/n^2 dizisi sıfıra yönelir.

Tipik olarak, değişken bir x miktarı sonlu bir a sınırına doğru yönelir ve x sürekli olarak a'ya yaklaşır ve a miktarı sabittir. Bu şu şekilde yazılır: limx =a, n de sıfıra ya da sonsuza yönelebilir. Limitinin sonsuza doğru yöneldiği sonsuz fonksiyon vardır. Diğer durumlarda, örneğin fonksiyon bir treni yavaşlatırken limitin sıfıra yaklaşması mümkündür.
Limitlerin bir takım özellikleri vardır. Tipik olarak herhangi bir fonksiyonun yalnızca bir sınırı vardır. Bu limitin ana özelliğidir. Diğerleri aşağıda listelenmiştir:
* Tutar limiti limitlerin toplamına eşittir:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Ürün limiti limitlerin çarpımına eşittir:
lim(xy)=lim x*lim y
* Bölümün limiti limitlerin bölümüne eşittir:
lim(x/y)=lim x/lim y
*Sabit faktör limit işaretinin dışına alınır:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ olan bir 1 /x fonksiyonu verildiğinde limiti sıfırdır. Eğer x→0 ise böyle bir fonksiyonun limiti ∞'dur.
Trigonometrik fonksiyonlar için bu kuralların bazıları vardır. Sin x fonksiyonu sıfıra yaklaştığında her zaman birlik eğiliminde olduğundan, özdeşlik onun için geçerlidir:
lim günah x/x=1

Bir dizi fonksiyonda, limitleri hesaplarken belirsizliğin ortaya çıktığı, limitin hesaplanamadığı bir durum olan fonksiyonlar vardır. Bu durumdan çıkmanın tek yolu L'Hopital'dir. İki tür belirsizlik vardır:
*formun belirsizliği 0/0
*formun belirsizliği ∞/∞
Örneğin, aşağıdaki biçimde bir limit verilmiştir: lim f(x)/l(x) ve f(x0)=l(x0)=0. Bu durumda 0/0 formunda bir belirsizlik ortaya çıkar. Böyle bir sorunu çözmek için her iki fonksiyonun türevi alınır ve ardından sonucun limiti bulunur. 0/0 tipi belirsizlikler için limit:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0'da)
Aynı kural ∞/∞ tipindeki belirsizlikler için de geçerlidir. Ancak bu durumda şu eşitlik doğrudur: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital kuralını kullanarak belirsizliklerin ortaya çıktığı herhangi bir limitin değerini bulabilirsiniz. Bunun için bir önkoşul

hacim - türevleri bulurken hata yok. Yani örneğin (x^2)" fonksiyonunun türevi 2x'e eşittir. Buradan şu sonuca varabiliriz:
f"(x)=nx^(n-1)