Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesini içeren önceden belirlenmiş bir rutin şemaya göre gerçekleştirilir:

Örnek 1

Süreklilik açısından fonksiyonu inceleyin. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm:

1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.

Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.

Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.

Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?

basitleştirmek isterim ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:

Çizimi yapalım:

Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.

Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.

Bunun çok uç bir örnek olduğunu mu söylüyorsunuz? Hiç de bile. Bu, pratikte onlarca kez yaşandı. Sitenin görevlerinin neredeyse tamamı gerçek bağımsız çalışma ve testlerden gelmektedir.

Favori modüllerimizden kurtulalım:

Örnek 2

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm: Bazı nedenlerden dolayı öğrenciler, karmaşık bir yanı olmamasına rağmen modül içeren işlevlerden korkuyorlar ve hoşlanmıyorlar. Zaten derste bu tür konulara biraz değinmiştik. Grafiklerin geometrik dönüşümleri. Modül negatif olmadığından aşağıdaki şekilde genişletilir: , burada "alfa" bir ifadedir. Bu durumda fonksiyonumuzun parçalı olarak yazılması gerekir:

Ancak her iki parçanın kesirlerinin de azaltılması gerekir. Azaltma, önceki örnekte olduğu gibi, sonuçsuz gerçekleşmeyecektir. Payda sıfıra gittiği için orijinal fonksiyon bu noktada tanımlı değildir. Bu nedenle sistem ek olarak koşulu belirtmeli ve ilk eşitsizliği katı yapmalıdır:

Şimdi ÇOK FAYDALI bir karar tekniği hakkında: Taslak üzerinde işi bitirmeden önce (şartlar gerektirip gerektirmediğine bakılmaksızın) çizim yapmak avantajlıdır. Bu, öncelikle süreklilik noktalarını ve süreksizlik noktalarını anında görmenize yardımcı olacak ve ikinci olarak, tek taraflı limitleri bulurken sizi hatalardan %100 koruyacaktır.

Çizimi yapalım. Hesaplamalarımıza uygun olarak, noktanın soluna bir parabol parçası (mavi renk) ve sağa - bir parabol parçası (kırmızı renk) çizmek gerekirken, fonksiyon şu noktada tanımlanmamıştır: kendisini işaret eder:

Şüpheniz varsa birkaç x değeri alın ve bunları fonksiyona ekleyin (modülün olası eksi işaretini yok ettiğini unutmayın) ve grafiği kontrol edin.

Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.

2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim; bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Kesme noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını unutmayın.

Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Bazen süreksizlik sıçramasının ek göstergesine ihtiyaç duyarlar. Basitçe hesaplanır - sağ limitten sol limiti çıkarmanız gerekir: yani kırılma noktasında fonksiyonumuz 2 birim aşağıya sıçradı (eksi işaretinin bize söylediği gibi).

Örnek 3

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Bir çizim yapın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnek, dersin sonundaki örnek çözümdür.

İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:

Örnek 4

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin

Çözüm: Fonksiyonun üç bölümünün de karşılık gelen aralıklarda sürekli olduğu açıktır, bu nedenle parçalar arasındaki yalnızca iki "birleşim" noktasını kontrol etmek kalır. Öncelikle bir taslak çizim yapalım; yazımın ilk bölümünde yapım tekniğini yeterince detaylı bir şekilde anlattım. Tekil noktalarımızı dikkatlice takip etmemiz gerekiyor: eşitsizlik nedeniyle değer düz çizgiye (yeşil nokta) ve eşitsizlik nedeniyle değer parabole (kırmızı nokta) aittir:

Prensip olarak her şey açık =) Geriye kalan tek şey kararı resmileştirmek. İki "birleşme" noktasının her biri için standart olarak 3 süreklilik koşulunu kontrol ederiz:

BEN)

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.

Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

- Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.

Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 5

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun .

Bu, dersin sonunda bağımsız çözüm, kısa çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.

Bir noktada fonksiyonun sürekli olması gerektiği, diğer noktada ise süreksizliğin olması gerektiği izlenimine kapılabilirsiniz. Uygulamada bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın; birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:

Örnek 6

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.

Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:

Bu grafiğin özelliği parçalı fonksiyonun apsis ekseni denklemi ile verilmesidir. Burada bu alan yeşil renkle çizilmiştir, ancak bir defterde genellikle basit bir kalemle kalın harflerle vurgulanmıştır. Ve tabii ki koçlarımızı da unutmayın: değer teğet dalına (kırmızı nokta) ve değer de düz çizgiye aittir.

Çizimde her şey açıktır - fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir, geriye kalan tek şey, 3-4 benzer örnekten sonra kelimenin tam anlamıyla tam otomasyona getirilen çözümü resmileştirmektir:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.

Burada küçük komik bir şey oldu. Gerçek şu ki, pek çok materyal yarattım bir fonksiyonun sınırları hakkında ve birkaç kez istedim, ancak birkaç kez basit bir soruyu unuttum. Ve böylece, inanılmaz bir irade çabasıyla kendimi bu düşünceyi kaybetmemeye zorladım =) Büyük olasılıkla, bazı "aptal" okuyucular şüphe ediyor: sabitin limiti nedir? Bir sabitin limiti sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

Ve burada, sağdaki limitte, birliğin sınırı birliğin kendisine eşittir.

- genel bir sınır vardır.

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.

Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.

Lütfen, bu durumda bize süreklilik için tüm fonksiyonun incelenmesi hakkında hiçbir şey sorulmadığını ve bunun formüle edilmesinin iyi bir matematiksel form olarak kabul edildiğini unutmayın. kesin ve net sorulan sorunun cevabı. Bu arada, eğer koşullar bir grafik oluşturmanızı gerektirmiyorsa, o zaman onu oluşturmama hakkına sahipsiniz (ancak daha sonra öğretmen sizi bunu yapmaya zorlayabilir).

Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":

Örnek 7

Bir fonksiyon verildiğinde .

Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.

Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)

Hatırlayacağınız gibi çizimi taslak olarak hemen tamamlamanızı önermiştim ancak zaman zaman grafiğin neye benzediğini hemen anlayamadığınız örneklerle karşılaşıyorsunuz. Bu nedenle, bazı durumlarda önce tek taraflı limitleri bulmak ve ancak daha sonra çalışmaya dayalı olarak dalları tasvir etmek avantajlıdır. Son iki örnekte ayrıca bazı tek taraflı limitlerin hesaplanmasına yönelik bir teknik de öğreneceğiz:

Örnek 8

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.

Çözüm: kötü noktalar açıktır: (üssün paydasını sıfıra indirir) ve (tüm kesrin paydasını sıfıra indirir). Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediği belli değil, bu da ilk önce biraz araştırma yapmanın daha iyi olduğu anlamına geliyor:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri bulun:

lütfen aklınızda bulundurun tek taraflı limiti hesaplamak için tipik yöntem: "x" yerine . Paydada suç yoktur: “toplama” “eksi sıfır” rol oynamaz ve sonuç “dört” olur. Ancak payda küçük bir gerilim yaşanıyor: önce göstergenin paydasında -1 ve 1'i öldürüyoruz, sonuçta . Birim bölünmüş , “eksi sonsuz”a eşittir, dolayısıyla: . Ve son olarak “iki” sonsuz büyük negatif derece sıfıra eşit: . Veya daha spesifik olmak gerekirse: .

Sağdan limiti hesaplayalım:

Ve burada "X" yerine . Paydada “katkı maddesi” yine bir rol oynamaz: . Payda önceki sınıra benzer işlemler gerçekleştirilir: zıt sayıları yok ederiz ve birer birer böleriz :

Sağdan limit sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.

2) Sol taraftaki limiti hesaplayalım:

Yöntem aynıdır: Fonksiyonun yerine "X" koyarız. Payda ilginç bir şey yok - sonlu bir pozitif sayı olduğu ortaya çıkıyor. Ve paydada parantezleri açıyoruz, "üçleri" kaldırıyoruz ve "katkı maddesi" belirleyici bir rol oynuyor.

Sonuç olarak, son pozitif sayı bölünür sonsuz küçük pozitif sayı, “artı sonsuzluğu” verir: .

Sağdaki limit, paydada görünmesi dışında ikiz kardeş gibidir. sonsuz küçük negatif sayı:

Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

Böylece grafiğin iki kırılma noktası ve tabii ki üç dalı var. Her dal için noktadan noktaya bir inşaat yapılması tavsiye edilir, yani. birkaç “x” değeri alın ve bunları yerine koyun. Durumun şematik bir çizimin oluşturulmasına izin verdiğini ve bu tür bir rahatlamanın manuel çalışma için doğal olduğunu lütfen unutmayın. Bir program kullanarak grafikler oluşturuyorum, bu yüzden bu kadar zorluk çekmiyorum, işte oldukça doğru bir resim:

Doğrudan dikey asimptotlar Bu fonksiyonun grafiği için.

Cevap: Fonksiyon, 2. tür süreksizliklere maruz kaldığı noktalar dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir fonksiyon:

Örnek 9

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyin ve şematik bir çizim yapın.

Sonunda fark edilmeden ortaya çıkan yaklaşık bir çözüm örneği.

Yakında görüşürüz!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3:Çözüm : işlevi dönüştürün: . Modül açıklama kuralı dikkate alındığında ve gerçeği fonksiyonu parçalı biçimde yeniden yazıyoruz:

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı değil .

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktada bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. . Çizimi yapalım:

Cevap: fonksiyon nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir burada bir sıçramayla birinci türden bir süreksizlik yaşanıyor. Atlama Boşluğu: (iki birim yukarı).

Örnek 5:Çözüm : Fonksiyonun üç parçasından her biri kendi aralığında süreklidir.
BEN)
1)

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.
3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Yani fonksiyon bir noktada sürekli Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini tanımlayarak.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır. fonksiyon bu noktada 2. türden bir süreksizliğe maruz kalır

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur?

Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şey eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu İşlev Etki Alanı. Bu kavramın aktif bir tartışması ilk derste başladı. fonksiyon grafikleri hakkında, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun temel fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, logaritma, sinüs, kosinüs. Üzerinde tanımlanırlar. Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) Daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler yüksek matematiğin diğer problemlerinde de çözüm becerileri gerekli olacaktır. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, bunun için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak yarı aralık ve “tse” noktası tanım alanına dahil edilmediğinden orada grafik yoktur.

Evet, bu arada, ilk paragrafların terminolojisinde ve/veya içeriğinde anlaşılmayan bir şey varsa yazıya geri dönmek daha iyi olur. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri.

Fonksiyonun tam olarak incelenmesi ve grafiğin çizilmesi için çeşitli çevrimiçi hesap makineleri.

İşlev Alanını Bul

Parite Fonksiyonunu Hesapla

Grafiğin eksenle kesişme noktalarının hesaplanması (fonksiyon sıfırları)

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Bükülme noktaları, dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları

Fonksiyonun grafiğini çizin

Bu hesaplayıcı, fonksiyon süreksizlik noktalarını çevrimiçi bulmak için tasarlanmıştır.

Fonksiyon süreksizlik noktaları, fonksiyonun süreksiz olduğu ve bu noktalardaki fonksiyonun sürekli olmadığı noktalardır.

Fonksiyon süreksizlik noktalarının belirli bir sınıflandırması vardır. Fonksiyon süreksizlik noktaları, birinci tür süreksizlik noktalarına ve ikinci tür süreksizlik noktalarına bölünür.

X=a'daki birinci tür süreksizlik noktaları, sol ve sağ tarafta limitler varsa oluşur: lim(x→a-0)⁡f(x) ve lim(x→a+0)⁡f(x) . Bu sınırların sonlu olması gerekir. Tek taraflı limitlerden en az biri sıfıra veya sonsuza eşitse, bu durumda fonksiyon ikinci türden süreksizlik noktalarına sahiptir.

İşlev kesme noktalarını çevrimiçi bulmak için işlevi ve bağımsız değişken değerini belirtmeniz gerekir.

Çözümün tam ilerlemesini görmek için yanıtta Adım adım seçeneğine tıklayın.

Fonksiyonu keşfedin, bir grafik oluşturun

Planı Fonksiyon araştırması ve grafik oluşturma.

Cevap şu anlama gelir: çift - fonksiyon çift, tek - fonksiyon tek, ne çift ne de tek - fonksiyon ne çift ne de tek.

3. Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları;

4. Fonksiyonun sürekliliği, kırılma noktaları;

5. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları;

6. Monotonluk aralıkları ve kritik noktalar;

7. Dışbükeylik aralıkları ve bükülme noktaları;

8. Yapılan araştırmaya dayanarak grafik çizmek.

Eğitici çevrimiçi hizmetler: teori ve pratik

Tipik problemlerin çözümleri - Matematiksel analiz

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin, süreksizliğin doğasını belirleyin.

Örnek 1 .

Fonksiyon noktalarda tanımlı değildir, sürekliliğin ilk koşulu zaten ihlal edilmiştir, dolayısıyla bu noktalarda fonksiyon bir süreksizlik yaşar.

Süreksizliğin doğasını açıklığa kavuşturmak için noktalardaki tek taraflı limitlerin hesaplanması gerekir.

Bir noktanın sol limiti sonsuza eşit olduğundan ikinci türden bir süreksizliği vardır.

Bir noktadaki sağ limit sonsuza eşit olduğundan ikinci türden bir süreksizlik vardır.

Örnek 2 Fonksiyon sayı doğrusu üzerinde tanımlanır fakat sürekli değildir. sıfırdaki sağ ve sol limitler birbirine eşit olmadığı ve fonksiyonun sıfırdaki değerine eşit olmadığı için sürekliliğin 2. ve 3. koşulları ihlal edilmiştir. Sıfırda sağ ve sol limitler mevcut ve sonlu olduğundan bu birinci türden bir süreksizliktir.

Örnek 3 Fonksiyon sıfırda tanımsızdır, dolayısıyla bir süreksizlik noktasıdır.

ve çıkarılabilir bir süreksizlik olduğundan, fonksiyon bire eşitlenerek "süreklilik yoluyla" sıfırda daha da tanımlanabilir.

Örnek 4

Fonksiyon temeldir, dolayısıyla tanım bölgesinde süreklidir. Tanım alanı noktaları içermez; dolayısıyla bunlar bu fonksiyonun kesme noktalarıdır.

Kırılma noktalarının türünü belirleyelim.

O zamandan beri nokta bir noktadır

ikinci tür fonksiyonun süreksizliği.

Fonksiyonun bir noktadaki tek taraflı limitleri eşittir fakat fonksiyon tanımlı değildir, dolayısıyla birinci türden çıkarılabilir bir süreksizlik noktasıdır.

Verilen fonksiyon çift fonksiyon olduğundan, açıktır ki

Ve ikinci tür fonksiyonun kırılma noktasıdır.

Fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturmak için fonksiyonun davranışını şu durumlarda inceliyoruz:

Ve. Fonksiyon çift olduğuna göre

Fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizelim.

Bizce matematik ve ekonominin kendi kendine çalışması için en iyi ders kitaplarını sunuyoruz

Kompakt referans materyalleri, yüksek matematik ve ekonomik istatistiklerin çeşitli bölümlerine yönelik formüller.

Bazı problemler sayısal değerler girilerek, detaylı çözümlerle online olarak çözülebilmektedir.

y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım (inceleyelim), bunu yapmak için f(x) fonksiyonunu ayarlayalım

Önemli: A daha az olmalı B aksi takdirde grafik oluşturulamaz. Ölçeğe dikkat edin; resimde grafik yoksa değerleri değiştirmelisiniz A Ve B

Dereceyi kullanma

(kare ve küp) ve kesirler

Sinüs ve kosinüs kullanma

Hiperbolik sinüs ve kosinüs

Hiperbolik tanjant ve kotanjant

Hiperbolik arksinüs ve arkkosinüs

Hiberbolik arktanjant ve arkkotanjant

Periyodik fonksiyonlar için fonksiyonun grafiği yalnızca periyot aralığı boyunca incelenir

Hesap makinemiz bir fonksiyonun grafiğini incelemenizi sağlar. Ancak şu ana kadar bir fonksiyonun tanım kümesini bulmanın bir yolu yok

Bu hesap makinesinin bulabilecekleri:

İfadeleri ve işlevleri girme kuralları

İfadeler işlevlerden oluşabilir (gösterimler alfabetik sırayla verilmiştir):

mutlak(x) Mutlak değer X

(modül X veya |x|) arkcos(x) Fonksiyon - ark kosinüsü X arkcosh(x) Ark kosinüs hiperbolik X arksin(x) Arcsine'den X arksinh(x) Arksin hiperbolik X arktan(x) Fonksiyon - arktanjantı X arkgh(x) Arktanjant hiperbolik X e e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sayı deneyim(x) Fonksiyon - üssü X(gibi e^X) günlük(x) veya ln(x) Doğal logaritması X

(Almak için log7(x) log(x)/log(7) girmeniz gerekir (veya örneğin, log10(x)=log(x)/log(10)) pi Sayı "Pi" olup yaklaşık olarak 3,14'e eşittir. günah(x) Fonksiyon - Sinüs X çünkü(x) Fonksiyon - Kosinüs X sinh(x) Fonksiyon - Sinüs hiperbolik X kos(x) Fonksiyon - Kosinüs hiperbolik X kare(x) Fonksiyon - karekökü X kare(x) veya x^2İşlev - Kare X ten rengi(x) Fonksiyon - Tanjant X tgh(x) Fonksiyon - Teğet hiperbolik X Merkez Bankası(x) Fonksiyon - küp kökü X kat(x)İşlev - yuvarlama X aşağı doğru (örnek kat(4.5)==4.0) işaret(x)İşlev - İşaret X erf(x) Hata fonksiyonu (Laplace veya olasılık integrali)

İfadelerde aşağıdaki işlemler kullanılabilir:

Gerçek sayılar olarak girin 7.5 , Olumsuz 7,5 2*x- çarpma 3/x- bölüm x^3- üs alma x+7- ek x - 6- çıkarma

RU'yu test edin - çevrimiçi hesap makineleri

Tanım fonksiyon kırılma noktaları türleri ise işlevin sürekliliği temasının devamıdır. Süreklilik kavramının aksine bir fonksiyonun kırılma noktalarının anlamının görsel (grafiksel) açıklaması da verilmiştir. Bir fonksiyonun kesme noktalarını nasıl bulacağımızı ve türlerini nasıl belirleyeceğimizi öğrenelim. Ve sadık dostlarımız bu konuda bize yardımcı olacaklar - genellikle tek taraflı limitler olarak adlandırılan sol ve sağ limitler. Tek taraflı sınırlamalardan korkan biri varsa, bunu yakında ortadan kaldıracağız.

Graf üzerinde birbiriyle bağlantısı olmayan noktalara denir. fonksiyon kırılma noktaları . Aşağıdaki şekilde x=2 - - noktasında süreksizlik yaşayan böyle bir fonksiyonun grafiği.

Yukarıdakilerin bir genellemesi aşağıdaki tanımdır. Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse bu noktada süreksizlik vardır ve bu noktaya denir. kırılma noktası . Birinci türden ve ikinci türden kırılmalar var .

Belirlemek için kırılma noktalarının türleri (karakteri) fonksiyonların güvenle bulunması gerekir sınırlar, bu nedenle ilgili dersi yeni bir pencerede açmak iyi bir fikirdir. Ancak kesme noktalarıyla bağlantılı olarak yeni ve önemli bir şeyimiz var: tek taraflı (sol ve sağ) limitler. Genel olarak (sağ limit) ve (sol limit) şeklinde yazılırlar. Genel olarak limit durumunda olduğu gibi, bir fonksiyonun limitini bulmak için, fonksiyonun ifadesinde X'in eğiliminin yerine X'i koymanız gerekir. Ama belki de, sağdaki X'e bir şey eklenirse, ancak bu sıfırsa ve soldaki X'ten bir şey çıkarılırsa, sağ ve sol limitlerin nasıl farklı olacağını soruyorsunuz, ama bu da bir şey - sıfır mı? Ve haklı olacaksın. Çoğu durumda.

Ancak bir fonksiyonun süreksizlik noktalarının aranması ve türlerinin belirlenmesi uygulamasında, sağ ve sol limitlerin eşit olmadığı iki tipik durum vardır:

bir fonksiyonun sayı doğrusunda x'in ait olduğu kısmına bağlı olarak iki veya daha fazla ifadesi vardır (bu ifadeler genellikle sonra küme parantezleri içinde yazılır). F(X)= );
X'in eğilimini değiştirmenin bir sonucu olarak, paydasında ya artı sıfır (+0) ya da eksi sıfır (-0) kalan bir kesir elde ederiz ve dolayısıyla böyle bir kesir ya artı sonsuzluk ya da eksi sonsuzluk anlamına gelir ve bunlar tamamen farklı şeyler.

Birinci türden süreksizlik noktaları

Birinci türün kırılma noktası: Bir fonksiyonun hem sonlu (yani sonsuza eşit olmayan) bir sol limiti hem de sonlu bir sağ limiti vardır, ancak fonksiyon bir noktada tanımlanmamıştır veya sol ve sağ limitler farklıdır (eşit değildir).

Birinci türden çıkarılabilir süreksizlik noktası. Sol ve sağ limitler eşittir. Bu durumda fonksiyonu bir noktada daha da tanımlamak mümkündür. Bir noktada fonksiyon tanımlamak, basitçe söylemek gerekirse, aralarında sol ve sağ limitlerin birbirine eşit olduğu bir nokta bulunan noktaların bağlantısını sağlamak anlamına gelir. Bu durumda bağlantı, fonksiyonun değerinin bulunması gereken yalnızca bir noktayı temsil etmelidir.

Örnek 1. Fonksiyonun kırılma noktasını ve kırılma noktasının tipini (karakterini) belirleyin.

İkinci türden süreksizlik noktaları

İkinci türün kırılma noktası: sınırlardan en az birinin (sol veya sağ) sonsuz olduğu (sonsuza eşit) nokta.

Örnek 3.

Çözüm. Güç ifadesinden e fonksiyonun bu noktada tanımlı olmadığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun sol ve sağ limitlerini bulalım:

Limitlerden biri sonsuza eşit olduğundan nokta ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır. Kırılma noktası olan bir fonksiyonun grafiği örneğin altındadır.

Bir fonksiyonun kesme noktalarını bulmak bağımsız bir görev olabileceği gibi bir fonksiyonun parçası da olabilir. Tam fonksiyonlu araştırma ve grafik oluşturma .

Örnek 4. Fonksiyonun kırılma noktasını ve fonksiyonun kırılma noktasının tipini (karakterini) belirleyin

Çözüm. 2'deki kuvvet ifadesinden fonksiyonun bu noktada tanımlı olmadığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun sol ve sağ limitlerini bulalım.

Fonksiyonun sürekliliği. Kırılma noktaları.

Boğa yürürken yürüyor, sallanıyor, iç çekiyor:
- Ah, tahta bitiyor, şimdi düşeceğim!

Bu derste bir fonksiyonun sürekliliği kavramını, süreksizlik noktalarının sınıflandırılmasını ve yaygın bir pratik problemi inceleyeceğiz. fonksiyonların süreklilik çalışmaları. Pek çok kişi konunun adından itibaren sezgisel olarak neyin tartışılacağını tahmin ediyor ve materyalin oldukça basit olduğunu düşünüyor. Bu doğru. Ancak ihmal nedeniyle en sık cezalandırılan şey basit görevler ve bunları çözmeye yönelik yüzeysel bir yaklaşımdır. Bu nedenle yazıyı çok dikkatli incelemenizi, tüm incelikleri ve teknikleri yakalamanızı tavsiye ederim.

Neyi bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor? Pek değil. Dersi iyi öğrenmek için ne olduğunu anlamalısınız bir fonksiyonun limiti. Hazırlık düzeyi düşük okuyucular için makaleyi kavramak yeterlidir. Fonksiyon sınırları. Çözüm örnekleri ve kılavuzdaki limitin geometrik anlamına bakın Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Ayrıca kendinizi tanımanız da tavsiye edilir. grafiklerin geometrik dönüşümleriçünkü çoğu durumda pratik bir çizim yapmayı içerir. Beklentiler herkes için iyimser ve dolu bir su ısıtıcısı bile önümüzdeki bir veya iki saat içinde bu görevin üstesinden gelebilecek!

Fonksiyonun sürekliliği. Kırılma noktaları ve sınıflandırılması

Fonksiyonun sürekliliği kavramı

Tüm sayı doğrusunda sürekli olan bir fonksiyonu ele alalım:

Veya daha kısa ve öz bir şekilde ifade etmek gerekirse fonksiyonumuz (gerçel sayılar kümesi) üzerinde süreklidir.

Sürekliliğin “filistine” kriteri nedir? Açıkçası, sürekli bir fonksiyonun grafiği, kalemi kağıttan kaldırmadan çizilebilir.

Bu durumda iki basit kavramı açıkça birbirinden ayırmak gerekir: bir fonksiyonun alanı Ve fonksiyonun sürekliliği. Genel olarak bu aynı şey değil. Örneğin:

Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanır. herkes“X”in anlamının kendi “y” anlamı vardır. Özellikle eğer , o zaman . Diğer noktanın noktalama işaretli olduğuna dikkat edin, çünkü bir işlevin tanımı gereği, argümanın değeri şuna karşılık gelmelidir: tek şey fonksiyon değeri. Böylece, tanım alanı fonksiyonumuz: .

Fakat bu fonksiyon sürekli açık değildir!Şu aşamada acı çektiği çok açık açıklık. Terim aynı zamanda oldukça anlaşılır ve görseldir; aslında burada kalemin kağıttan koparılması gerekecektir. Biraz sonra kesme noktalarının sınıflandırılmasına bakacağız.

Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği

Belirli bir matematik probleminde, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinden, bir fonksiyonun bir aralıkta sürekliliğinden, bir yarım aralıkta ya da bir fonksiyonun bir doğru parçası üzerindeki sürekliliğinden söz edebiliriz. Yani, “sadece süreklilik” yoktur– fonksiyon BİR YERDE sürekli olabilir. Ve diğer her şeyin temel “yapı taşı” fonksiyonun sürekliliği bu noktada .

Matematiksel analiz teorisi, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımını “delta” ve “epsilon” komşuluklarını kullanarak verir, ancak pratikte kullanımda olan ve bizim dikkat edeceğimiz farklı bir tanım vardır.

Öncelikle hatırlayalım tek taraflı sınırlarİlk derste hayatımıza girenler fonksiyon grafikleri hakkında. Gündelik bir durumu düşünün:

Ekseni noktaya yaklaştırırsak sol(kırmızı ok), o zaman “oyunların” karşılık gelen değerleri eksen boyunca noktaya (kızıl ok) doğru ilerleyecektir. Matematiksel olarak bu gerçek şu şekilde sabitlenir: sol sınır:

Girişe dikkat edin ("x solda ka'ya eğilimlidir" yazıyor). “Katkı” “eksi sıfır”ı simgeliyor Bu aslında sayıya sol taraftan yaklaştığımız anlamına geliyor.

Benzer şekilde “ka” noktasına yaklaşırsanız Sağ(mavi ok), o zaman “oyunlar” aynı değere gelecektir ancak yeşil ok boyunca ve sağ limit aşağıdaki gibi biçimlendirilecektir:

"Katkı maddesi" sembolize eder ve girişte şöyle yazıyor: "x sağdaki ka'ya eğilimlidir."

Tek taraflı limitler sonlu ve eşitse(bizim durumumuzda olduğu gibi): , o zaman GENEL bir sınır var diyeceğiz. Çok basit, genel sınır bizim “olağan”ımızdır bir fonksiyonun limiti, sonlu bir sayıya eşittir.

Fonksiyon şurada tanımlanmamışsa (grafik dalındaki siyah noktayı çıkarın), yukarıdaki hesaplamaların geçerli kalacağını unutmayın. Daha önce birkaç kez belirtildiği gibi, özellikle makalede sonsuz küçük fonksiyonlar üzerinde, ifadeler "x" anlamına gelir sonsuz yakın noktaya yaklaşırken ÖNEMLİ DEĞİL fonksiyonun kendisinin belirli bir noktada tanımlanıp tanımlanmadığı. Fonksiyon analiz edildiğinde bir sonraki paragrafta iyi bir örnek bulunacaktır.

Tanım: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşitse fonksiyon bir noktada süreklidir: .

Tanım aşağıdaki terimlerle detaylandırılmıştır:

1) Fonksiyonun noktada tanımlı olması yani değerin mevcut olması gerekmektedir.

2) Fonksiyonun genel bir limiti olmalıdır. Yukarıda belirtildiği gibi bu, tek taraflı limitlerin varlığını ve eşitliğini ima eder: .

3) Belirli bir noktadaki fonksiyonun limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit olmalıdır: .

İhlal edilirse en az birÜç koşulun gerçekleşmesi durumunda fonksiyon, noktasında süreklilik özelliğini kaybeder.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta sürekliliği ustaca ve çok basit bir şekilde formüle edilmiştir: Bir fonksiyon, verilen aralığın her noktasında sürekli ise aralıkta süreklidir.

Özellikle birçok fonksiyon sonsuz bir aralıkta, yani gerçek sayılar kümesinde süreklidir. Bu doğrusal bir fonksiyondur, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs vb. Ve genel olarak herhangi temel fonksiyon sürekli olarak tanım alanıörneğin logaritmik bir fonksiyon aralıkta süreklidir. Umarım şimdiye kadar temel fonksiyonların grafiklerinin nasıl göründüğüne dair oldukça iyi bir fikriniz vardır. Devamlılıkları hakkında daha detaylı bilgiyi Fichtenholtz isimli nazik bir adamdan alabilirsiniz.

Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki sürekliliği ve yarım aralıkları ile her şey de zor değil ama bunu sınıfta konuşmak daha uygun bir segmentteki bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini bulma hakkında ama şimdilik endişelenmeyelim.

Kırılma noktalarının sınıflandırılması

Fonksiyonların büyüleyici yaşamı her türlü özel nokta açısından zengindir ve kırılma noktaları biyografilerinin sayfalarından yalnızca biridir.

Not : Her ihtimale karşı, temel bir nokta üzerinde duracağım: kırılma noktası her zaman tek nokta– “arka arkaya birkaç kırılma noktası” yoktur, yani “ara aralığı” diye bir şey yoktur.

Bu noktalar sırasıyla iki büyük gruba ayrılır: birinci türden kopmalar Ve ikinci türden kopmalar. Her boşluk türünün, şu anda inceleyeceğimiz kendine has karakteristik özellikleri vardır:

Birinci türden süreksizlik noktası

Bir noktada süreklilik koşulu ihlal edilirse ve tek taraflı sınırlar sonlu , o zaman denir Birinci türden süreksizlik noktası.

En iyimser durumla başlayalım. Dersin orijinal fikrine göre teoriyi “genel anlamda” anlatmak istedim ancak malzemenin gerçekliğini ortaya koymak için belirli karakterlerin olduğu seçeneğe karar verdim.

Ebedi Alev'in arka planında yeni evlilerin fotoğrafı gibi üzücü, ancak aşağıdaki çekim genel olarak kabul ediliyor. Fonksiyonun grafiğini çizimde gösterelim:

Bu fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda süreklidir. Ve aslında payda sıfıra eşit olamaz. Ancak limitin anlamına uygun olarak şunları yapabiliriz: sonsuz yakın Hem soldan hem de sağdan "sıfıra" yaklaşın, yani tek taraflı sınırlar mevcuttur ve açıkça çakışmaktadır:
(Sürekliliğin 2 numaralı koşulu karşılanmıştır).

Ancak fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığından sürekliliğin 1 numaralı koşulu ihlal edilmiş olur ve fonksiyon bu noktada süreksizliğe uğrar.

Bu türden bir mola (mevcut olanla) genel sınır) denir onarılabilir boşluk. Neden çıkarılabilir? Çünkü fonksiyon yeniden tanımla kırılma noktasında:

Tuhaf mı görünüyor? Belki. Ancak böyle bir fonksiyon gösterimi hiçbir şeyle çelişmez! Artık fark kapandı ve herkes mutlu:

Resmi bir kontrol yapalım:

2) – genel bir sınır vardır;
3)

Böylece, her üç koşul da sağlanır ve bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımıyla fonksiyon bir noktada süreklidir.

Bununla birlikte, matan'dan nefret edenler işlevi kötü bir şekilde tanımlayabilirler; örneğin :

Burada ilk iki süreklilik koşulunun karşılanması ilginçtir:
1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır;
2) – genel bir sınır vardır.

Ancak üçüncü sınır geçilmemiştir: yani fonksiyonun noktadaki limiti. eşit değil Belirli bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değeri.

Böylece bir noktada fonksiyon süreksizliğe maruz kalır.

İkinci, daha üzücü vaka denir birinci türden kopma bir atlama ile. Ve üzüntü tek taraflı sınırlamalarla çağrıştırılır sonlu ve farklı. Dersin ikinci çiziminde bir örnek gösterilmektedir. Böyle bir boşluk genellikle şu durumlarda ortaya çıkar: parçalı tanımlı fonksiyonlar makalede daha önce bahsedilenler grafik dönüşümleri hakkında.

Parçalı fonksiyonu düşünün ve çizimini tamamlayacağız. Bir grafik nasıl oluşturulur? Çok basit. Yarım aralıkta bir parabol parçası (yeşil), aralıkta - düz bir çizgi parçası (kırmızı) ve yarım aralıkta - düz bir çizgi (mavi) çiziyoruz.

Ayrıca eşitsizlik nedeniyle ikinci dereceden fonksiyon (yeşil nokta) için değer belirlenir ve eşitsizlik nedeniyle doğrusal fonksiyon (mavi nokta) için değer belirlenir:

En zor durumda, grafiğin her bir parçasının nokta nokta oluşturulmasına başvurmalısınız (ilk bölüme bakın). fonksiyonların grafikleri hakkında ders).

Şimdi sadece konuyla ilgileneceğiz. Devamlılık açısından inceleyelim:

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım.

Sol tarafta kırmızı bir çizgi segmentimiz var, dolayısıyla sol taraftaki limit şu şekildedir:

Sağda mavi düz çizgi ve sağdaki limit var:

Sonuç olarak aldık sonlu sayılar ve onlar eşit değil. Tek taraflı limitler olduğundan sonlu ve farklı: , o zaman fonksiyonumuz tolere eder birinci türden bir sıçrama ile süreksizlik.

Boşluğun ortadan kaldırılamaması mantıklıdır - önceki örnekte olduğu gibi, işlev gerçekte daha fazla tanımlanamaz ve "birbirine yapıştırılamaz".

İkinci türden süreksizlik noktaları

Genellikle diğer tüm yırtılma vakaları akıllıca bu kategoriye sınıflandırılır. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü pratikte sorunların% 99'unda karşılaşacaksınız sonsuz boşluk– sol el veya sağ el kullanıldığında ve daha sıklıkla her iki sınır da sonsuzdur.

Ve elbette en belirgin resim sıfır noktasındaki hiperboldür. Burada her iki tek taraflı limit de sonsuzdur: dolayısıyla fonksiyon, noktasında ikinci türden bir süreksizliğe maruz kalır.

Yazılarımı mümkün olduğu kadar çeşitli içeriklerle doldurmaya çalışıyorum o yüzden gelin henüz karşılaşılmamış bir fonksiyonun grafiğine bakalım:

standart şemaya göre:

1) Payda sıfıra gittiği için fonksiyon bu noktada tanımlı değildir.

Elbette fonksiyonun noktasında süreksizlik yaşadığı sonucunu hemen çıkarabiliriz, ancak genellikle koşulun gerektirdiği süreksizliğin niteliğini sınıflandırmak iyi olacaktır. Bunu yapmak için:

Size kayıt derken şunu kastettiğimizi hatırlatmama izin verin: sonsuz küçük negatif sayı ve girişin altında - sonsuz küçük pozitif sayı.

Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir. Y ekseni dikey asimptot grafik için.

Her iki tek taraflı sınırın da mevcut olması nadir değildir, ancak bunlardan yalnızca biri sonsuzdur, örneğin:

Bu fonksiyonun grafiğidir.

Süreklilik noktasını inceliyoruz:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Her ne kadar pek çok okuyucu her şeyi görmüş ve tahmin etmiş olsa da, dersin son iki örneğinde bu tür tek taraflı limitleri hesaplama yönteminden bahsedeceğiz.

Soldaki limit sonludur ve sıfıra eşittir ("noktanın kendisine gitmeyiz"), fakat sağdaki limit sonsuzdur ve grafiğin turuncu dalı, kendi noktasına sonsuz derecede yaklaşmaktadır. dikey asimptot, denklem tarafından verilmiştir (siyah noktalı çizgi).

Yani fonksiyon zarar görüyor ikinci tür süreksizlik noktada.

1. tür süreksizlikte fonksiyon süreksizlik noktasında tanımlanabilir. Örneğin parçalı bir fonksiyon için Koordinatların başlangıç noktasına siyah, kalın bir nokta koymaktan çekinmeyin. Sağda bir hiperbolün dalı vardır ve sağdan limit sonsuzdur. Bu grafiğin neye benzediğine dair neredeyse herkesin bir fikri olduğunu düşünüyorum.

Herkesin sabırsızlıkla beklediği şey:

Bir fonksiyonun sürekliliği nasıl incelenir?

Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesini içeren önceden belirlenmiş bir rutin şemaya göre gerçekleştirilir:

Örnek 1

İşlevi keşfedin

Çözüm:

1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.

Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.

Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?

basitleştirmek isterim ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:

Çizimi yapalım:

Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.

Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.

Favori modüllerimizden kurtulalım:

Örnek 2

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.

2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim; bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Limitleri bulurken kırılma noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını tekrar unutmayın.

Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 3

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Bir çizim yapın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnek, dersin sonundaki örnek çözümdür.

İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:

Örnek 4

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin .

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.

Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

– Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 5

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun .

Bu, dersin sonunda bağımsız çözüm, kısa çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.

Örnek 6

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.

Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.

Her ihtimale karşı, size önemsiz bir gerçeği hatırlatmama izin verin: Bir sabitin limiti, sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

Ve burada birin limiti birimin kendisine eşittir.

– genel bir sınır vardır.

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.

Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.

Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":

Örnek 7

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.

Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)

Örnek 8

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

Yönergeler

“Tek değişkenli fonksiyonların sürekliliği” konusunu incelemek

muhasebe fakültesi öğrencileri yazışma şeklinde

eğitim (NISPO)

Gorki, 2013

Tek değişkenli fonksiyonların sürekliliği

Tek taraflı sınırlar

Fonksiyona izin ver
sette tanımlanmış
. Bir fonksiyonun tek taraflı limitleri kavramını tanıtalım
. Aşağıdaki değerleri dikkate alacağız X, Ne
. Bu şu anlama geliyor
, her zaman solunda kalarak
en
sonra denir sol sınır bu fonksiyon şu noktada (veya ne zaman
) ve gösterilir

Şimdi izin ver
, her zaman sağ tarafta kalarak yani daha uzun süre kalmak . Fonksiyonun bir sınırı varsa
, o zaman denir sağ sınır bu fonksiyon şu noktada ve belirlenmiş

Sol ve sağ limitlere denir tek yönlü sınırlar bir noktada çalışır.

Bir fonksiyonun bir noktada tek taraflı limitleri varsa ve bunlar birbirine eşitse fonksiyonun bu noktada limiti aynı demektir.:

Bir fonksiyonun bir noktadaki tek taraflı limitleri ise varsa ancak birbirine eşit değilse fonksiyonun bu noktadaki limiti mevcut değildir. .

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Fonksiyona izin ver
bazı setlerde tanımlanmış D. Bağımsız değişken olsun X(başlangıç) değerlerinden birinden gider
başka bir (son) değere . Son ve başlangıç değerleri arasındaki farka denir artış miktarlar X ve belirlenmiş
. Artış pozitif ya da negatif olabilir. İlk durumda değer X oradan taşınırken İle X artar ve ikinci durumda azalır.

Bağımsız değişken ise X biraz artış olur
, ardından fonksiyon
artış alır
. Çünkü
, O.

Fonksiyon artışı
bu noktada fark denir, burada
– bağımsız değişkenin artışı.

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğine ilişkin çeşitli tanımlar verilebilir.

Fonksiyon çağrılır aralıkta sürekli , eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise. Bir fonksiyonun geometrik olarak sürekliliği
kapalı aralıkta olması, fonksiyonun grafiğinin kesintisiz, kesintisiz bir çizgi olduğu anlamına gelir.

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonlar aşağıdaki ifadelerle ifade edilen önemli özelliklere sahiptir.

Eğer fonksiyon
aralıkta süreklidir [ A, B], o zaman bu segmentte sınırlıdır.

Eğer fonksiyon
aralıkta süreklidir [ A, B], daha sonra bu segmentte minimum ve maksimum değerlerine ulaşır.

Eğer fonksiyon
aralıkta süreklidir [ A, B] Ve
, o zaman sayı ne olursa olsun İLE, sayıların arasına alınmış A Ve İÇİNDE bir nokta var
, Ne
.

Bu ifadeden şu sonuç çıkıyor: eğer fonksiyon
[ üzerinde süreklidir A, B] ve bu parçanın uçlarında farklı işaretlerin değerleri varsa, o zaman bu parça üzerinde en az bir nokta vardır C, burada fonksiyon kaybolur.

Aşağıdaki ifade doğrudur: sürekli fonksiyonlar üzerinde aritmetik işlemler yapılırsa sonuç sürekli bir fonksiyon olurBEN.

Örnek 1 .

bu noktada
.

Çözüm . Fonksiyon değeri
Orada
. Bu noktada fonksiyonun tek taraflı limitlerini hesaplayalım.
:

Tek taraflı limitler olduğundan
birbirine eşit ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse bu fonksiyon o noktada süreklidir
.

3. Temel fonksiyonların sürekliliği

İşlevi düşünün
. Bu sabit fonksiyon her noktada süreklidir , Çünkü
.

İşlev
aynı zamanda her noktada süreklidir
, Çünkü
. Çünkü
, daha sonra sürekli fonksiyonlardaki aritmetik işlemlerle ilgili yukarıdaki ifadeye dayanarak
sürekli olacaktır. Fonksiyonlar da sürekli olacak
.

Benzer şekilde geri kalan temel fonksiyonların sürekliliğini de gösterebiliriz.

Böylece, herhangi bir temel fonksiyon kendi tanım alanında süreklidir, yani. Bir temel fonksiyonun tanım alanı onun süreklilik alanıyla örtüşür.

Karmaşık ve ters fonksiyonların sürekliliği

Fonksiyona izin ver
bir noktada sürekli ve fonksiyon
bir noktada sürekli
. Daha sonra karmaşık fonksiyon
bir noktada sürekli . Bu, eğer karmaşık bir fonksiyon sürekli fonksiyonlardan oluşuyorsa o zaman aynı zamanda sürekli olacağı anlamına gelir; sürekli bir fonksiyondan sürekli bir fonksiyon sürekli bir fonksiyondur . Bu tanım sonlu sayıda sürekli fonksiyonu kapsar.

Bu tanımdan, sürekli bir fonksiyonun işareti altında limite gidebileceğimiz sonucu çıkar:

Bu, eğer fonksiyon sürekli ise limitin işareti ile fonksiyonun işaretinin değiştirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyona izin ver
tanımlanmış, kesinlikle monoton ve aralıkta sürekli [ A, B] O halde ters fonksiyonu
tanımlanmış, kesinlikle monoton ve aralıkta sürekli [ A, B], Nerede
.

Kırılma noktaları ve sınıflandırılması BEN

Bilindiği gibi eğer fonksiyon
sette tanımlanmış D ve bu noktada
koşul karşılandı
ise fonksiyon bu noktada süreklidir. Bu süreklilik şartı sağlanmıyorsa o zaman X 0 fonksiyonunda boşluk var.

Nokta isminde Birinci türden süreksizlik noktası işlevler
, eğer bu noktada fonksiyonun birbirine eşit olmayan sonlu tek taraflı limitleri varsa, yani . Bu durumda değer

isminde aniden işlevler
bu noktada .

Nokta isminde çıkarılabilir kırılma noktası işlevler
, fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitleri birbirine eşitse ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit değilse, yani; Bu durumda noktadaki boşluğu ortadan kaldırmak için koymam gerek

Nokta X 0 denir ikinci türün süreksizlik noktası işlevler
tek taraflı limitlerden en az biri ise
veya
bu noktada ya yoktur ya da sonsuza eşittir.

Örnek 2 . Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin

Çözüm . Fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlı ve süreklidir.
. Bu noktada fonksiyonda süreksizlik vardır. Bu noktada fonksiyonun tek taraflı limitlerini bulalım.
:

O zamandan beri
Tek taraflı limitler birbirine eşitse ve bu noktadaki fonksiyon tanımlı değilse, o zaman nokta
çıkarılabilir bir kırılma noktasıdır. Bu noktadaki boşluğu ortadan kaldırmak için fonksiyonu daha da tanımlamak gerekir.
.

Örnek 3 . Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin

Çözüm . Fonksiyon, gerçek sayılar kümesinin tamamında tanımlıdır ve süreklidir, ancak
. Bu noktada fonksiyonda süreksizlik vardır. Fonksiyonun tek taraflı limitlerini bulalım.
:

Bu fonksiyon bu noktada olduğundan
Birbirine eşit olmayan sonlu tek taraflı limitleri varsa bu nokta birinci türden bir süreksizlik noktasıdır. Bir fonksiyonun bir noktada atlanması
eşit.