İkinci dereceden bir denklem düşünün.
Köklerini belirleyelim.
Karesi -1 olan hiçbir gerçek sayı yoktur. Ancak operatörü bir formülle tanımlarsak Ben sanal bir birim olarak bu denklemin çözümü şu şekilde yazılabilir: 
. Aynı zamanda 
Ve 
- -1'in gerçek kısmı, 2 veya ikinci durumda -2'nin sanal kısmı olduğu karmaşık sayılar. Sanal kısım da gerçek bir sayıdır. Sanal birim ile sanal kısmın çarpımı zaten şu anlama gelir: hayali sayı.
Genel olarak karmaşık bir sayı şu şekildedir:
z = X + ben ,
Nerede x, y– gerçek sayılar, – sanal birim. Elektrik mühendisliği, elektronik ve sinyal teorisi gibi bazı uygulamalı bilimlerde sanal birim şu şekilde gösterilir: J. Gerçek sayılar x = Re(z) Ve y =Ben(z) denir gerçek ve sanal parçalar sayılar z.İfade denir cebirsel form karmaşık sayı yazma
Herhangi bir gerçek sayı, formdaki bir karmaşık sayının özel bir durumudur 
. Sanal bir sayı aynı zamanda karmaşık bir sayının özel bir durumudur 
.
C karmaşık sayılar kümesinin tanımı
Bu ifade şu şekilde okunur: set İLE gibi unsurlardan oluşan X Ve sen reel sayılar kümesine ait R ve hayali bir birimdir. Bunu vb. unutmayın.
İki karmaşık sayı 
Ve 
ancak ve ancak gerçek ve sanal kısımları eşitse eşittir; Ve .
Karmaşık sayılar ve işlevler bilim ve teknolojide, özellikle mekanikte, alternatif akım devrelerinin analizinde ve hesaplanmasında, analog elektronikte, sinyallerin teorisinde ve işlenmesinde, otomatik kontrol teorisinde ve diğer uygulamalı bilimlerde yaygın olarak kullanılmaktadır.
- Karmaşık sayı aritmetiği
İki karmaşık sayının toplamı, onların gerçek ve sanal kısımlarının eklenmesinden oluşur;
Buna göre iki karmaşık sayının farkı
Karmaşık sayı 
isminde kapsamlı olarak birleşik sayı z =x+iy.
Karmaşık eşlenik sayılar z ve z *, sanal kısmın işaretlerinde farklılık gösterir. Açıkça görülüyor ki
.
Karmaşık ifadeler arasındaki herhangi bir eşitlik, bu eşitliğin her yerinde geçerliyse geçerli kalır. Benşununla değiştir: -
Ben yani Eşlenik sayıların eşitliğine gidin. Sayılar Ben Ve –
Ben cebirsel olarak ayırt edilemezler, çünkü 
.
İki karmaşık sayının çarpımı (çarpımı) şu şekilde hesaplanabilir:
İki karmaşık sayının bölümü:
Örnek:
- Karmaşık düzlem
Karmaşık bir sayı, dikdörtgen bir koordinat sisteminde grafiksel olarak gösterilebilir. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi tanımlayalım (x, y).
Eksen üzerinde Öküz gerçek parçaları yerleştireceğiz X, buna denir gerçek (gerçek) eksen, eksen üzerinde Oy– hayali parçalar sen karmaşık sayılar. Buna denir hayali eksen. Bu durumda her karmaşık sayı düzlem üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelir ve böyle bir düzleme denir. karmaşık düzlem. Nokta A karmaşık düzlem vektöre karşılık gelecektir OA.
Sayı X isminde apsis karmaşık sayı, sayı sen – koordine etmek.
Bir çift karmaşık eşlenik sayı, gerçek eksen etrafında simetrik olarak yerleştirilmiş noktalarla temsil edilir.
 |
Eğer ayarladığımız uçaktaysak kutupsal koordinat sistemi, o zaman her karmaşık sayı z kutupsal koordinatlarla belirlenir. Aynı zamanda modül sayılar 
noktanın kutup yarıçapıdır ve açıdır 
- kutup açısı veya karmaşık sayı argümanı z.
Karmaşık bir sayının modülü 
her zaman olumsuz değildir. Karmaşık bir sayının argümanı benzersiz bir şekilde belirlenmez. Argümanın ana değeri koşulu karşılamalıdır 
. Karmaşık düzlemin her noktası aynı zamanda argümanın genel değerine de karşılık gelir. 2π'nin katları kadar farklılık gösteren argümanlar eşit kabul edilir. Sıfır sayısı argümanı tanımsızdır.
Argümanın ana değeri şu ifadelerle belirlenir:
Açıkça görülüyor ki
Aynı zamanda
, 
.
Karmaşık sayı gösterimi z formda
isminde trigonometrik form karmaşık sayı.
Örnek.
- Karmaşık sayıların üstel biçimi
Ayrışma Maclaurin serisi gerçek argüman fonksiyonları için 
şu forma sahiptir:
Karmaşık argümanlı üstel bir fonksiyon için z ayrışma benzer
.
Sanal argümanın üstel fonksiyonu için Maclaurin serisi açılımı şu şekilde temsil edilebilir:
Ortaya çıkan kimliğe denir Euler'in formülü.
Negatif bir argüman için şu forma sahiptir:
Bu ifadeleri birleştirerek sinüs ve kosinüs için aşağıdaki ifadeleri tanımlayabilirsiniz.
.
Karmaşık sayıları temsil etmenin trigonometrik formundan Euler formülünü kullanma
elde edilebilir gösterge niteliğinde Karmaşık bir sayının (üstel, kutupsal) biçimi, yani formdaki temsili
,
Nerede 
- dikdörtgen koordinatlara sahip bir noktanın kutupsal koordinatları ( X,sen).
Bir karmaşık sayının eşleniği aşağıdaki gibi üstel biçimde yazılır.
Üstel form için karmaşık sayıları çarpma ve bölmeye yönelik aşağıdaki formülleri belirlemek kolaydır
Yani üstel formda karmaşık sayıların çarpımı ve bölümü cebirsel formdan daha basittir. Çarpma sırasında faktörlerin modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir. Bu kural herhangi bir sayıda faktör için geçerlidir. Özellikle karmaşık bir sayıyı çarparken z Açık Ben vektör z saat yönünün tersine 90 döner
Bölme işleminde payın modülü paydanın modülüne bölünür ve paydanın argümanı payın argümanından çıkarılır.
Karmaşık sayıların üstel formunu kullanarak, iyi bilinen trigonometrik özdeşlikler için ifadeler elde edebiliriz. Örneğin kimlikten
Euler formülünü kullanarak yazabiliriz
Bu ifadede gerçek ve sanal kısımları eşitleyerek açıların toplamının kosinüs ve sinüsü için ifadeler elde ederiz.
- Karmaşık sayıların kuvvetleri, kökleri ve logaritmaları
Karmaşık bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek N formülüne göre üretilmiştir
Örnek. Haydi hesaplayalım 
.
Bir sayı hayal edelim trigonometrik formda
’
Üs alma formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
Değeri ifadeye koyarak R= 1, sözde elde ederiz Moivre'nin formülü, çoklu açıların sinüsleri ve kosinüsleri için ifadeler belirleyebilirsiniz.
Kök N karmaşık bir sayının -inci kuvveti z sahip olmak N ifadeyle belirlenen farklı değerler
Örnek. Hadi bulalım.
Bunu yapmak için karmaşık sayıyı () trigonometrik biçimde ifade ederiz.
.
Karmaşık bir sayının kökünü hesaplamak için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
Karmaşık bir sayının logaritması z- bu numara w, bunun için. Karmaşık bir sayının doğal logaritması sonsuz sayıda değere sahiptir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
Gerçek (kosinüs) ve sanal (sinüs) kısımdan oluşur. Bu voltaj bir uzunluk vektörü olarak temsil edilebilir U m, başlangıç fazı (açı), açısal hızla dönen ω .
Ayrıca karmaşık fonksiyonlar eklenirse bunların gerçek ve sanal kısımları da eklenir. Karmaşık bir fonksiyon sabit veya gerçel bir fonksiyonla çarpılırsa, onun gerçel ve sanal kısımları aynı faktörle çarpılır. Böylesine karmaşık bir fonksiyonun farklılaşması/integrasyonu, gerçek ve sanal parçaların farklılaşması/integrasyonu anlamına gelir.
Örneğin, karmaşık stres ifadesinin farklılaştırılması
bunu çarpmaktır iω f(z) fonksiyonunun gerçel kısmıdır ve 
– fonksiyonun sanal kısmı. Örnekler: 
.
Anlam z karmaşık z düzlemindeki bir nokta ve karşılık gelen değer ile temsil edilir w- karmaşık düzlemde bir nokta w. Görüntülendiğinde w = f(z) Düzlem çizgileri z düzlem çizgilere dönüştürmek w, bir düzlemdeki şekiller başka bir düzlemdeki şekillere dönüşür, ancak çizgilerin veya şekillerin şekilleri önemli ölçüde değişebilir.
