Logaritmik eşitsizliklerin tüm çeşitleri arasında değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formül kullanılarak çözülürler:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
“∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.
Bu şekilde logaritmalardan kurtuluruz ve sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indiririz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Bir logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, bunu tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - bkz. "Logaritma nedir".
Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey, onu rasyonel eşitsizliğin çözümüyle kesiştirmektir - ve cevap hazırdır.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk önce logaritmanın ODZ'sini yazalım:
İlk iki eşitsizlik otomatik olarak karşılanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfırsa sıfır olacağından, elimizde:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠0;
x ≠ 0.
Logaritmanın ODZ'sinin sıfır dışındaki tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz:
Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir. Sahibiz:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstelik x = 0 ikinci çokluğun köküdür, yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:
x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, yani cevap budur.
Logaritmik eşitsizlikleri dönüştürme
Çoğunlukla orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya ilişkin standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir - bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”. Yani:
- Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir;
- Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir.
Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Dolayısıyla logaritmik eşitsizliklerin çözümüne yönelik genel şema aşağıdaki gibidir:
- Eşitsizliğe dahil olan her logaritmanın VA'sını bulun;
- Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin;
- Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemaya göre çözün.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım:
Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Sonra - paydanın sıfırları:
x - 1 = 0;
x = 1.
Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:
x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. Bana inanmıyorsan kontrol edebilirsin. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:
Görüldüğü gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçlüler azaltılmıştır. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayalım:
günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Formülü kullanarak logaritmalardan kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlik “küçüktür” işareti içerdiğinden, ortaya çıkan rasyonel ifadenin de sıfırdan küçük olması gerekir. Sahibiz:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
İki setimiz var:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Adayın cevabı: x ∈ (−1; 3).
Geriye bu kümeleri kesiştirmek kalıyor - gerçek cevabı alıyoruz:
Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar deliklidir.
Birleşik Devlet Sınavına kadar hala zaman olduğunu ve hazırlanmak için zamanınızın olacağını mı düşünüyorsunuz? Belki de bu böyledir. Ancak her halükarda öğrenci hazırlıklara ne kadar erken başlarsa sınavları o kadar başarılı geçer. Bugün bir makaleyi logaritmik eşitsizliklere ayırmaya karar verdik. Bu, ekstra kredi alma fırsatı anlamına gelen görevlerden biridir.
Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musun? Gerçekten öyle umuyoruz. Ancak bu soruya bir cevabınız olmasa bile bu bir sorun değil. Logaritmanın ne olduğunu anlamak çok basittir.
Neden 4? 81 elde etmek için 3 sayısını bu kuvvete yükseltmeniz gerekiyor. Prensibi anladıktan sonra daha karmaşık hesaplamalara geçebilirsiniz.
Birkaç yıl önce eşitsizliklerden geçtiniz. Ve o zamandan beri matematikte sürekli onlarla karşılaştınız. Eşitsizlikleri çözmede sorun yaşıyorsanız uygun bölüme bakın.
Artık kavramlara tek tek aşina olduğumuza göre, onları genel olarak ele almaya geçelim.
En basit logaritmik eşitsizlik.
En basit logaritmik eşitsizlikler bu örnekle sınırlı değildir; yalnızca farklı işaretlere sahip üç tane daha vardır. Bu neden gerekli? Eşitsizliklerin logaritmalarla nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak. Şimdi daha uygulanabilir bir örnek verelim, yine oldukça basit; karmaşık logaritmik eşitsizlikleri sonraya bırakacağız.
Bu nasıl çözülür? Her şey ODZ ile başlar. Herhangi bir eşitsizliği her zaman kolayca çözmek istiyorsanız, bunun hakkında daha fazla bilgi sahibi olmaya değer.
ODZ nedir? Logaritmik eşitsizlikler için ODZ
Kısaltma, kabul edilebilir değer aralığını ifade eder. Bu formülasyon genellikle Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde ortaya çıkar. ODZ yalnızca logaritmik eşitsizlikler durumunda sizin için faydalı olmayacaktır.
Yukarıdaki örneğe tekrar bakın. İlkeyi anlamanız ve logaritmik eşitsizlikleri çözmenin soru sormaması için ODZ'yi buna dayanarak ele alacağız. Logaritmanın tanımından 2x+4'ün sıfırdan büyük olması gerektiği sonucu çıkar. Bizim durumumuzda bu şu anlama geliyor.
Bu sayı, tanımı gereği pozitif olmalıdır. Yukarıda sunulan eşitsizliği çözün. Bu sözlü olarak bile yapılabilir; burada X'in 2'den küçük olamayacağı açıktır. Eşitsizliğin çözümü, kabul edilebilir değerler aralığının tanımı olacaktır.
Şimdi en basit logaritmik eşitsizliği çözmeye geçelim.
Eşitsizliğin her iki tarafındaki logaritmaların kendisini atıyoruz. Sonuç olarak elimizde ne kaldı? Basit eşitsizlik.
Çözülmesi zor değil. X -0,5'ten büyük olmalıdır. Şimdi elde edilen iki değeri bir sistemde birleştiriyoruz. Böylece,
Bu, söz konusu logaritmik eşitsizlik için kabul edilebilir değerler aralığı olacaktır.
Neden ODZ'ye ihtiyacımız var? Bu, yanlış ve imkansız cevapları ayıklamak için bir fırsattır. Cevap kabul edilebilir değerler aralığında değilse, o zaman cevap mantıklı değildir. Bunu uzun süre hatırlamaya değer, çünkü Birleşik Devlet Sınavında genellikle ODZ'yi aramaya ihtiyaç duyulur ve bu yalnızca logaritmik eşitsizliklerle ilgili değildir.
Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma
Çözüm birkaç aşamadan oluşur. Öncelikle kabul edilebilir değer aralığını bulmanız gerekir. ODZ'nin iki anlamı olacak, bunu yukarıda tartışmıştık. Daha sonra eşitsizliğin kendisini çözmeniz gerekir. Çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:
- çarpan değiştirme yöntemi;
- ayrışma;
- Rasyonalizasyon yöntemi.
Duruma bağlı olarak yukarıdaki yöntemlerden birini kullanmaya değer. Doğrudan çözüme geçelim. Hemen hemen her durumda Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmeye uygun olan en popüler yöntemi açıklayalım. Daha sonra ayrıştırma yöntemine bakacağız. Özellikle zor bir eşitsizlikle karşılaşırsanız yardımcı olabilir. Yani logaritmik eşitsizliği çözmek için bir algoritma.
Çözüm örnekleri :
Tam olarak bu eşitsizliği almamız boşuna değil! Üsse dikkat edin. Unutmayın: birden büyükse, kabul edilebilir değerler aralığını bulurken işaret aynı kalır; aksi takdirde eşitsizlik işaretini değiştirmeniz gerekir.
Sonuç olarak eşitsizliği elde ederiz:
Şimdi sol tarafı sıfıra eşit denklem formuna indiriyoruz. “Küçüktür” işareti yerine “eşittir” koyarız ve denklemi çözeriz. Böylece ODZ'yi bulacağız. Bu kadar basit bir denklemi çözerken sorun yaşamayacağınızı umuyoruz. Cevaplar -4 ve -2'dir. Hepsi bu değil. Bu noktaları grafikte “+” ve “-” yerleştirerek göstermeniz gerekir. Bunun için ne yapılması gerekiyor? Aralıklardaki sayıları ifadede değiştirin. Değerlerin pozitif olduğu yerlere “+” koyarız.
Cevap: x -4'ten büyük ve -2'den küçük olamaz.
Sadece sol taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulduk; şimdi sağ taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulmamız gerekiyor. Bu çok daha kolay. Cevap: -2. Ortaya çıkan her iki alanla da kesişiyoruz.
Ve ancak şimdi eşitsizliğin kendisini ele almaya başlıyoruz.
Çözülmesini kolaylaştırmak için mümkün olduğunca basitleştirelim.
Çözümde yine aralık yöntemini kullanıyoruz. Hesaplamaları geçelim; önceki örnekte her şey zaten açık. Cevap.
Ancak logaritmik eşitsizliğin tabanları aynıysa bu yöntem uygundur.
Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri farklı tabanlarla çözmek, başlangıçta aynı tabana indirgemeyi gerektirir. Daha sonra yukarıda açıklanan yöntemi kullanın. Ancak daha karmaşık bir durum var. Logaritmik eşitsizliklerin en karmaşık türlerinden birini ele alalım.
Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler
Bu özelliklere sahip eşitsizlikler nasıl çözülür? Evet ve bu tür insanlar Birleşik Devlet Sınavında bulunabilir. Eşitsizlikleri şu şekilde çözmeniz eğitim sürecinize de olumlu etki yapacaktır. Konuya ayrıntılı olarak bakalım. Teoriyi bir kenara bırakıp doğrudan uygulamaya geçelim. Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için örneğe bir kez aşina olmanız yeterlidir.
Sunulan formun logaritmik eşitsizliğini çözmek için sağ tarafı aynı tabana sahip bir logaritmaya indirgemek gerekir. Prensip eşdeğer geçişlere benzer. Sonuç olarak eşitsizlik şu şekilde görünecektir.
Aslında geriye logaritması olmayan bir eşitsizlik sistemi yaratmak kalıyor. Rasyonalizasyon yöntemini kullanarak eşdeğer bir eşitsizlik sistemine geçiyoruz. Uygun değerleri değiştirdiğinizde ve değişikliklerini takip ettiğinizde kuralın kendisini anlayacaksınız. Sistem aşağıdaki eşitsizliklere sahip olacaktır.
Eşitsizlikleri çözerken rasyonalizasyon yöntemini kullanırken aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: tabandan bir çıkarılmalıdır, logaritmanın tanımı gereği x, eşitsizliğin her iki tarafından da çıkarılır (sağdan soldan), iki ifade çarpılır ve sıfıra göre orijinal işaretin altına ayarlanır.
Diğer çözüm aralık yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir, burada her şey basittir. Çözüm yöntemlerindeki farklılıkları anlamanız önemlidir, o zaman her şey kolayca yoluna girmeye başlayacaktır.
Logaritmik eşitsizliklerde birçok nüans vardır. En basitlerini çözmek oldukça kolaydır. Her birini sorunsuz bir şekilde nasıl çözebilirsiniz? Bu makaledeki tüm cevapları zaten aldınız. Artık önünüzde uzun bir antrenman var. Sürekli olarak sınavdaki çeşitli problemleri çözmeye çalışın ve en yüksek puanı alabileceksiniz. Zor görevinizde size iyi şanslar!
Çoğu zaman logaritmik eşitsizlikleri çözerken değişken logaritma tabanıyla ilgili problemler vardır. Böylece formun eşitsizliği
standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:
Bu yöntemin dezavantajı, iki sistemi ve bir popülasyonu hesaba katmadan yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Zaten bu ikinci dereceden fonksiyonlarla popülasyonu çözmek çok zaman alabiliyor.
Bu standart eşitsizliği çözmek için alternatif, daha az emek yoğun bir yol önermek mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.
Teorem 1. Bir X kümesi üzerinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artış işareti ile çakışacaktır; , Nerede 
.
Not: Bir X kümesi üzerinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .
Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine geçebilirsiniz).
Artık paydaki fonksiyonların artışını fark ederek teoremi kullanabilirsiniz. 
ve paydada. Yani bu doğru
Sonuç olarak, cevaba yol açan hesaplamaların sayısı yaklaşık yarı yarıya azalır; bu, yalnızca zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.
Örnek 1.
(1) ile karşılaştırarak şunu buluruz: 
, 
, .
(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:
Örnek 2.
(1) ile karşılaştırarak , , , buluruz.
(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:
Örnek 3.
Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve 
, o zaman cevap çok olacaktır.
Tema 1'in uygulanabileceği birçok örnek, Tema 2 dikkate alınarak kolayca genişletilebilir.
Sete çıkalım X, , , fonksiyonları tanımlanır ve bu sette ve işaretleri çakışır, yani. , o zaman adil olacak.
Örnek 4.
Örnek 5.
Standart yaklaşımla örnek aşağıdaki şemaya göre çözülür: faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda ürün sıfırdan küçüktür. Onlar. Başlangıçta belirtildiği gibi her eşitsizliğin yedi eşitsizliğe daha bölündüğü iki eşitsizlik sistemi dikkate alınır.
Teorem 2'yi hesaba katarsak, o zaman (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu örnekte O.D.Z.'de aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.
Teorem 2'yi hesaba katarak, bir fonksiyonun artışını argümanın artışıyla değiştirme yönteminin, tipik C3 Birleşik Durum Sınavı problemlerini çözerken çok kullanışlı olduğu ortaya çıktı.
Örnek 6.
Örnek 7.
. belirtelim. Aldık
. Değiştirmenin şunu ifade ettiğini unutmayın: . Denkleme dönersek şunu elde ederiz:
.
Örnek 8.
Kullandığımız teoremlerde fonksiyon sınıflarına ilişkin herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, yöntemin diğer eşitsizlik türlerini çözme vaadini gösterecektir.
