Matematik ansiklopedisi çevrimiçi. Matematik Ansiklopedisi

Makalenin içeriği

MATEMATİK. Matematik genellikle bazı geleneksel dalların adlarının listelenmesiyle tanımlanır. Her şeyden önce sayıların incelenmesi, aralarındaki ilişkiler ve sayılarla işlem kuralları ile ilgilenen aritmetiktir. Aritmetiğin gerçekleri çeşitli özel yorumlara açıktır; örneğin 2 + 3 = 4 + 1 ilişkisi, iki ve üç kitaptan dört ve bir kitap sayısı kadar kitap çıktığı ifadesine karşılık gelir. 2 + 3 = 4 + 1 gibi herhangi bir ilişki, yani Fiziksel dünyanın herhangi bir yorumuna atıfta bulunulmadan tamamen matematiksel nesneler arasındaki ilişkiye soyut denir. Matematiğin soyut doğası onun çok çeşitli problemlerin çözümünde kullanılmasına olanak tanır. Örneğin sayılarla ilgili işlemlerle ilgilenen cebir, aritmetiğin ötesine geçen problemleri çözebilir. Matematiğin daha spesifik bir dalı, asıl görevi nesnelerin boyutlarını ve şekillerini incelemek olan geometridir. Cebirsel yöntemlerin geometrik yöntemlerle birleşimi, bir yandan trigonometriye (başlangıçta geometrik üçgenlerin incelenmesine ayrılmıştı ve şimdi çok daha geniş bir konu yelpazesini kapsıyor), diğer yandan analitik geometriye yol açıyor. geometrik cisimler ve şekiller cebirsel yöntemlerle incelenir. Daha yüksek derecede soyutlamaya sahip olan ve sıradan sayıların ve sıradan geometrik şekillerin incelenmesiyle ilgilenmeyen yüksek cebir ve geometrinin birkaç dalı vardır; Geometrik disiplinlerin en soyut olanına topoloji denir.

Matematiksel analiz, uzayda veya zamanda değişen niceliklerin incelenmesiyle ilgilenir ve matematiğin daha temel dallarında bulunmayan iki temel kavrama (fonksiyon ve limit) dayanır. Başlangıçta matematiksel analiz diferansiyel ve integral hesabından oluşuyordu, ancak şimdi başka bölümleri de içeriyor.

Matematiğin iki ana dalı vardır: tümdengelimli akıl yürütmeyi vurgulayan saf matematik ve uygulamalı matematik. “Uygulamalı matematik” terimi bazen bilimin ihtiyaçlarını ve gereksinimlerini karşılamak için özel olarak oluşturulmuş matematik dallarını, bazen de matematiği bir çözüm aracı olarak kullanan çeşitli bilimlerin (fizik, ekonomi vb.) bölümlerini ifade eder. onların görevleri. Matematikle ilgili birçok yaygın yanılgı, "uygulamalı matematik"in bu iki yorumunun karıştırılmasından kaynaklanmaktadır. Aritmetik birinci anlamda uygulamalı matematiğin, ikinci anlamda ise muhasebenin bir örneği olabilir.

Sanılanın aksine matematik hızla ilerlemeye devam ediyor. Mathematical Review dergisi yaklaşık olarak yayınlamaktadır. En son sonuçları içeren 8.000 kısa makale özeti - yeni matematiksel gerçekler, eski gerçeklerin yeni kanıtları ve hatta matematiğin tamamen yeni alanlarıyla ilgili bilgiler. Matematik eğitimindeki mevcut eğilim, öğrencileri matematik öğretiminde modern, daha soyut matematiksel fikirlerle daha erken tanıştırmaktır. Ayrıca bakınız MATEMATİK TARİHİ. Matematik uygarlığın temel taşlarından biridir, ancak çok az insan bu bilimdeki mevcut durum hakkında fikir sahibidir.

Matematik son yüz yılda hem konusu hem de araştırma yöntemleri açısından çok büyük değişiklikler geçirdi. Bu makalede, modern matematiğin evrimindeki ana aşamalar hakkında genel bir fikir vermeye çalışacağız; bunun ana sonuçları, bir yandan saf ve uygulamalı matematik arasındaki uçurumun artması, diğer yandan da dikkate alınabilecektir. diğer yandan matematiğin geleneksel alanlarının tamamen yeniden düşünülmesi.

MATEMATİKSEL YÖNTEMİN GELİŞTİRİLMESİ

Matematiğin doğuşu.

MÖ 2000 civarında kenarları 3, 4 ve 5 birim uzunlukta olan bir üçgende açılardan birinin 90° olduğu fark edildi (bu gözlem, pratik ihtiyaçlar için bir dik açı oluşturmayı kolaylaştırdı). Daha sonra 5 2 = 3 2 + 4 2 oranını fark ettiniz mi? Bu konuda elimizde herhangi bir bilgi bulunmamaktadır. Birkaç yüzyıl sonra genel bir kural keşfedildi: herhangi bir üçgende ABC tepe noktasında dik açılı A ve taraflar B = klima Ve C = AB, bu açının çevrelendiği yer ile karşı taraf arasında A = M.Ö. oran geçerlidir A 2 = B 2 + C 2. Bilimin, çok sayıda bireysel gözlemin tek bir genel yasayla açıklanmasıyla başladığını söyleyebiliriz; bu nedenle "Pisagor teoreminin" keşfi, gerçek anlamda bilimsel bir başarının bilinen ilk örneklerinden biri olarak düşünülebilir.

Ancak genel olarak bilim ve özel olarak matematik için daha da önemlisi, genel bir yasanın formüle edilmesiyle birlikte onu kanıtlamaya yönelik girişimlerin ortaya çıkmasıdır; zorunlu olarak diğer geometrik özelliklerden kaynaklandığını gösterir. Doğunun "kanıtlarından" biri, sadeliği açısından özellikle açıktır: Buna eşit dört üçgen bir karenin içine yazılmıştır. BCDEçizimde gösterildiği gibi. Kare alan A 2'nin toplam alanı 2 olan dört eşit üçgene bölündüğü ortaya çıkıyor M.Ö. ve kare AFGH alan ( B – C) 2. Böylece, A 2 = (B – C) 2 + 2M.Ö. = (B 2 + C 2 – 2M.Ö.) + 2M.Ö. = B 2 + C 2. Bir adım daha ileri giderek hangi “önceki” özelliklerin bilinmesi gerektiğini daha kesin olarak bulmak öğretici olacaktır. En bariz gerçek şu ki, üçgenlerden bu yana BAC Ve BEF tam olarak, boşluklar veya üst üste binmeler olmadan, yanlara “yerleştirilmiştir” B.A. Ve B.F., bu iki tepe açısının olduğu anlamına gelir B Ve İLE bir üçgende ABC birlikte 90°'lik bir açı oluşturur ve bu nedenle üç açısının toplamı 90° + 90° = 180°'ye eşittir. Yukarıdaki "kanıt" aynı zamanda şu formülü de kullanır ( M.Ö./2) bir üçgenin alanı için ABC tepe noktasında 90°'lik bir açıyla A. Aslında başka varsayımlar da kullanıldı, ancak matematiksel kanıtın temel mekanizmasını - tamamen mantıksal argümanların (örneğimizde uygun şekilde hazırlanmış materyale dayalı olarak) kullanılmasına izin veren tümdengelimli akıl yürütme - açıkça görebilmemiz için söylenenler yeterlidir. bilinen sonuçlardan yeni özellikler çıkarmak için kullanılan yöntemler, kural olarak, doğrudan mevcut verilerden takip edilmez.

Aksiyomlar ve ispat yöntemleri.

Matematiksel yöntemin temel özelliklerinden biri, dikkatlice oluşturulmuş tamamen mantıksal argümanlar kullanarak, her bir sonraki bağlantının öncekilerle bağlantılı olduğu bir ifadeler zinciri oluşturma sürecidir. Oldukça açık olan ilk husus, herhangi bir zincirde bir ilk halkanın olması gerektiğidir. Bu durum Yunanlılar için 7. yüzyılda matematiksel argümanların bütününü sistemleştirmeye başladıklarında açıkça ortaya çıktı. M.Ö. Bu planı uygulamak için Yunanlıların yakl. 200 yıl önce ve hayatta kalan belgeler tam olarak nasıl çalıştıklarına dair yalnızca kaba bir fikir veriyor. Yalnızca araştırmanın nihai sonucu hakkında doğru bilgiye sahibiz - ünlü BaşlangıçlarÖklid (MÖ 300 civarı). Öklid, tüm diğerlerinin tamamen mantıksal olarak türetildiği başlangıç konumlarını listeleyerek başlar. Bu hükümlere aksiyomlar veya varsayımlar denir (terimler pratikte birbirinin yerine geçebilir); herhangi bir türdeki nesnenin ya çok genel ve biraz belirsiz özelliklerini ifade ederler, örneğin "bütün parçadan büyüktür" ya da bazı spesifik matematiksel özellikleri, örneğin herhangi iki nokta için onları birleştiren benzersiz bir düz çizginin bulunmasını ifade ederler. . Yunanlıların aksiyomların "doğruluğuna" daha derin bir anlam veya önem atfettikleri konusunda hiçbir bilgimiz yok, ancak Yunanlıların belirli aksiyomları kabul etmeden önce bunları bir süre tartıştıklarına dair bazı ipuçları var. Öklid ve takipçilerinde aksiyomlar, doğaları hakkında herhangi bir yorum yapılmadan, yalnızca matematiğin inşası için başlangıç noktaları olarak sunulur.

İspat yöntemlerine gelince, bunlar genellikle daha önce kanıtlanmış teoremlerin doğrudan kullanımına indirgenmiştir. Ancak bazen akıl yürütme mantığının daha karmaşık olduğu ortaya çıktı. Burada Öklid'in matematiğin günlük pratiğinin bir parçası haline gelen favori yönteminden - dolaylı ispat veya çelişki yoluyla ispat - bahsedeceğiz. Çelişki yoluyla kanıtın temel bir örneği olarak, köşegenin zıt uçlarında bulunan iki köşe karesinin kesildiği bir satranç tahtasının, her biri iki kareye eşit olan domino taşlarıyla kaplanamayacağını göstereceğiz. (Satranç tahtasının her karesinin yalnızca bir kez kaplanması gerektiği varsayılmaktadır.) Diyelim ki zıt (“zıt”) ifadenin doğru olduğunu varsayalım, yani. tahtanın domino taşlarıyla kaplanabileceğini. Her kare bir siyah ve bir beyaz kareyi kaplar, dolayısıyla domino taşları nasıl düzenlenirse düzenlensin eşit sayıda siyah ve beyaz kareyi kaplar. Bununla birlikte, iki köşe karesi kaldırıldığı için, (başlangıçta beyaz kadar siyah kareye sahip olan) satranç tahtasında, diğer renkteki karelerden iki tane daha fazla kare bulunur. Bu, bir çelişkiye yol açacağı için başlangıçtaki varsayımımızın doğru olamayacağı anlamına gelir. Ve birbirleriyle çelişen önermeler aynı anda yanlış olamayacağına göre (eğer bunlardan biri yanlışsa, o zaman tersi de doğrudur), ilk varsayımımız doğru olmalıdır, çünkü onunla çelişen varsayım yanlıştır; bu nedenle çapraz olarak kesilmiş iki köşe karesi olan bir satranç tahtasının dominolarla kaplanması mümkün değildir. Dolayısıyla, belirli bir ifadeyi kanıtlamak için onun yanlış olduğunu varsayabilir ve bu varsayımdan, doğruluğu bilinen başka bir ifadeyle çelişkili olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Antik Yunan matematiğinin gelişiminde dönüm noktalarından biri haline gelen çelişki yoluyla kanıtın mükemmel bir örneği, rasyonel sayı olmayan kanıttır; kesir olarak temsil edilemez P/Q, Nerede P Ve Q– tamsayılar. Eğer öyleyse 2 = P 2 /Q 2, nereden P 2 = 2Q 2. Diyelim ki iki tam sayı var P Ve Q, bunun için P 2 = 2Q 2. Başka bir deyişle, karesi başka bir tam sayının karesinin iki katı olan bir tam sayının var olduğunu varsayıyoruz. Herhangi bir tamsayı bu koşulu sağlıyorsa, bunlardan birinin diğerlerinden daha küçük olması gerekir. Bu sayıların en küçüğüne odaklanalım. Bir sayı olsun P. 2'den beri Q 2 bir çift sayıdır ve P 2 = 2Q 2, ardından sayı P 2 çift olmalıdır. Tüm tek sayıların kareleri tek olduğundan ve karesi P 2 çifttir, bu da sayının kendisi anlamına gelir P eşit olmalıdır. Başka bir deyişle, sayı P bir tam sayının iki katı büyüklüğünde R. Çünkü P = 2R Ve P 2 = 2Q 2, elimizde: (2 R) 2 = 4R 2 = 2Q 2 ve Q 2 = 2R 2. Son eşitlik eşitlikle aynı forma sahiptir P 2 = 2Q 2 ve aynı mantığı tekrarlayarak sayının olduğunu gösterebiliriz. Qçifttir ve böyle bir tamsayı vardır S, Ne Q = 2S. Ama sonra Q 2 = (2S) 2 = 4S 2 ve o zamandan beri Q 2 = 2R 2, şu sonuca varıyoruz: 4 S 2 = 2R 2 veya R 2 = 2S 2. Bu bize karesinin diğer tam sayının karesinin iki katı olması koşulunu sağlayan ikinci bir tam sayı verir. Ama sonra P bu tür en küçük sayı olamaz (çünkü R = P/2), ancak başlangıçta bunun bu tür sayıların en küçüğü olduğunu varsaydık. Dolayısıyla başlangıçtaki varsayımımız yanlıştır çünkü çelişkiye yol açar ve dolayısıyla böyle bir tamsayı yoktur P Ve Q, bunun için P 2 = 2Q 2 (yani öyle ki). Bu, sayının rasyonel olamayacağı anlamına gelir.

Öklid'den 19. yüzyılın başına kadar.

Bu dönemde matematik üç yeniliğin sonucunda önemli ölçüde değişti.

(1) Cebirin gelişim sürecinde, nicelikler arasındaki giderek karmaşıklaşan ilişkileri kısaltılmış bir biçimde temsil etmeyi mümkün kılan bir sembolik gösterim yöntemi icat edildi. Böyle bir “bitişik yazı” olmasaydı ortaya çıkacak rahatsızlıklara örnek olarak ilişkiyi kelimelerle aktarmaya çalışalım ( A + B) 2 = A 2 + 2ab + B 2: “Bir kenarı verilen iki karenin kenarlarının toplamına eşit olan bir karenin alanı, alanlarının toplamına artı kenarları kenarlarına eşit olan bir dikdörtgenin alanının iki katına eşittir. verilen kareler.”

(2) 17. yüzyılın ilk yarısındaki yaratılış. analitik geometri, klasik geometrinin herhangi bir problemini cebirsel bir probleme indirgemeyi mümkün kıldı.

(3) 1600'den 1800'e kadar olan dönemde sonsuz küçükler hesabının yaratılması ve geliştirilmesi, limit ve süreklilik kavramlarıyla ilgili yüzlerce problemin kolayca ve sistematik olarak çözülmesini mümkün kılmış, ancak çok azı büyük zorluklarla çözülmüştür. Antik Yunan matematikçileri tarafından. Matematiğin bu dalları CEBİR makalelerinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır; ANALİTİK GEOMETRİ; MATEMATİKSEL ANALİZ; GEOMETRİ İNCELEMESİ.

17. yüzyıldan beri. Şu ana kadar çözülemeyen sorun giderek netleşiyor. Matematik nedir? 1800'den önce cevap oldukça basitti. O zamanlar, çeşitli bilimler arasında net sınırlar yoktu; matematik, Rönesans'ın ve 17. yüzyılın başlarındaki büyük reformcuların önerdiği yöntemleri kullanarak doğanın sistematik olarak incelenmesi olan "doğa felsefesinin" bir parçasıydı. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) ve R. Descartes (1596–1650). Matematikçilerin kendi çalışma alanlarına (sayılar ve geometrik nesneler) sahip olduklarına ve matematikçilerin deneysel yöntemi kullanmadığına inanılıyordu. Ancak Newton ve takipçileri, geometrinin Öklid tarafından sunuluşuna benzer şekilde, aksiyomatik yöntemi kullanarak mekanik ve astronomi üzerinde çalıştılar. Daha genel olarak, bir deneyin sonuçlarının sayılar veya sayı sistemleri kullanılarak temsil edilebildiği herhangi bir bilimin, matematiğin bir uygulama alanı haline geldiği kabul edildi (fizikte bu fikir yalnızca 19. yüzyılda kuruldu).

Matematiksel işleme tabi tutulan deneysel bilim alanlarına genellikle "uygulamalı matematik" adı verilir; Bu çok talihsiz bir isimdir, çünkü ne klasik ne de modern standartlara göre, bu uygulamalarda (tam anlamıyla) gerçekten matematiksel argümanlar vardır, çünkü bunlardaki çalışmanın konusu matematiksel olmayan nesnelerdir. Deneysel veriler sayılar veya denklemler diline çevrildiğinde (böyle bir "çeviri" genellikle "uygulamalı" matematikçinin büyük bir becerikliliğini gerektirir), matematik teoremlerinin geniş çapta uygulanması mümkün hale gelir; sonuç daha sonra geri çevrilir ve gözlemlerle karşılaştırılır. "Matematik" teriminin bu tür bir süreç için kullanılması, bitmek bilmeyen yanlış anlamaların kaynaklarından biridir. Şu anda bahsettiğimiz “klasik” zamanlarda bu tür bir yanlış anlaşılma yoktu, çünkü aynı kişiler hem “uygulamalı” hem de “saf” matematikçilerdi ve aynı anda matematiksel analiz veya sayı teorisi problemleri ve matematik problemleri üzerinde çalışıyorlardı. dinamik veya optik. Ancak artan uzmanlaşma ve "saf" ve "uygulamalı" matematiği ayırma eğilimi, daha önce var olan evrensellik geleneğini önemli ölçüde zayıflattı ve J. von Neumann (1903–1957) gibi bilim adamları, her iki alanda da aktif bilimsel çalışmalar yürütebildiler. uygulamalı ve saf matematikte kuraldan ziyade istisna haline gelmiştir.

Varlığını varsaydığımız matematiksel nesnelerin (sayılar, noktalar, çizgiler, açılar, yüzeyler vb.) doğası nedir? Bu tür nesnelerle ilgili olarak “gerçek” kavramı ne anlama geliyor? Klasik dönemde bu sorulara oldukça kesin cevaplar verilmiştir. Elbette o dönemin bilim adamları, duyumlarımızın dünyasında, tıpkı "saf metaller", "tek renkli" olmadığı gibi, "sonsuzca uzanan bir düz çizgi" veya Öklid'in "boyutsuz bir noktası" gibi şeylerin de olmadığını açıkça anladılar. deneycilerin kendi mantıklarıyla işledikleri ışık”, “ısı yalıtımlı sistemler” vb. Bütün bu kavramlar “Platonik fikirlerdir”, yani. kökten farklı bir yapıya sahip olmasına rağmen ampirik kavramların bir tür üretken modeli. Bununla birlikte, fikirlerin fiziksel "imgelerinin" fikirlerin kendisine istenildiği kadar yakın olabileceği üstü kapalı olarak varsayılmıştı. Nesnelerin fikirlere yakınlığı hakkında herhangi bir şey söylenebildiği ölçüde, "fikirlerin", deyim yerindeyse, fiziksel nesnelerin "sınırlayıcı durumları" olduğu söylenir. Bu açıdan bakıldığında Öklid'in aksiyomları ve bunlardan türetilen teoremler, öngörülebilir deneysel gerçeklerin karşılık gelmesi gereken “ideal” nesnelerin özelliklerini ifade etmektedir. Örneğin, uzaydaki üç noktanın oluşturduğu bir üçgenin açılarının optik yöntemlerle ölçülmesi, "ideal durumda" 180°'ye eşit bir toplam vermelidir. Başka bir deyişle, aksiyomlar fizik yasalarıyla aynı seviyeye yerleştirilir ve bu nedenle onların "doğruluğu", fiziksel yasaların doğruluğuyla aynı şekilde algılanır; onlar. Aksiyomların mantıksal sonuçları deneysel verilerle karşılaştırılarak doğrulanmaya tabidir. Elbette, anlaşmaya yalnızca hem ölçüm cihazının "kusurlu" doğası hem de ölçülen nesnenin "kusurlu doğası" ile ilişkili hata sınırları dahilinde ulaşılabilir. Ancak her zaman, yasaların "doğru" olması durumunda, ölçüm süreçlerindeki iyileştirmelerin prensipte ölçüm hatasını istenildiği kadar küçük hale getirebileceği varsayılır.

18. yüzyıl boyunca. Özellikle astronomi ve mekanikte temel aksiyomlardan elde edilen tüm sonuçların deneysel verilerle tutarlı olduğuna dair giderek daha fazla kanıt ortaya çıktı. Ve bu sonuçlar o dönemde var olan matematiksel aparat kullanılarak elde edildiğinden, elde edilen başarılar, Platon'un dediği gibi "herkes için açık" olan ve tartışmaya konu olmayan Öklid aksiyomlarının doğruluğu hakkındaki görüşün güçlendirilmesine katkıda bulundu.

Şüpheler ve yeni umutlar.

Öklid dışı geometri.

Öklid tarafından verilen önermelerden biri o kadar açık değildi ki, büyük matematikçinin ilk öğrencileri bile bunu sistemdeki zayıf bir nokta olarak değerlendirdi. Başlatıldı. Söz konusu aksiyom, belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan, belirli bir çizgiye paralel yalnızca bir çizginin çizilebileceğini belirtir. Çoğu geometri uzmanı, paralel aksiyomun diğer aksiyomlarla kanıtlanabileceğine ve Öklid'in paralel ifadeyi sırf böyle bir kanıt bulamadığı için bir varsayım olarak formüle ettiğine inanıyordu. Ancak en iyi matematikçiler paralellik problemini çözmeye çalışsa da hiçbiri Öklid'i geçmeyi başaramadı. Nihayet 18. yüzyılın ikinci yarısında. Öklid'in paralellik varsayımını çelişki yoluyla kanıtlamak için girişimlerde bulunuldu. Paralel aksiyomun yanlış olduğu ileri sürülmüştür. Öklid'in varsayımının a priori iki durumda yanlış olduğu ortaya çıkabilir: belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan tek bir paralel çizgi çizmek imkansızsa; veya içinden birkaç paralel çizilebilirse. İlk a priori olasılığın diğer aksiyomlar tarafından dışlandığı ortaya çıktı. Paralelliklerle ilgili geleneksel aksiyom yerine yeni bir aksiyom benimseyen matematikçiler (belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan belirli bir çizgiye paralel birkaç doğru çizilebilir), bundan diğer aksiyomlarla çelişen bir ifade çıkarmaya çalıştılar, ancak başarısız oldular: hayır Yeni "Öklid karşıtı" veya "Öklidci olmayan" aksiyomdan ne kadar sonuç çıkarmaya çalışırlarsa çalışsınlar, hiçbir zaman bir çelişki ortaya çıkmadı. Son olarak, birbirlerinden bağımsız olarak N.I. Lobachevsky (1793–1856) ve J. Bolyai (1802–1860), Öklid'in paralelliklerle ilgili varsayımının kanıtlanamaz olduğunu veya başka bir deyişle, “Öklid dışı geometride bir çelişki ortaya çıkmayacağını” fark ettiler. ”

Öklid dışı geometrinin ortaya çıkışıyla birlikte birçok felsefi sorun hemen ortaya çıktı. Aksiyomların a priori gerekliliği iddiası ortadan kalktığı için, onların "doğruluğunu" test etmenin tek yolu deneyseldi. Ancak, A. Poincaré'nin (1854–1912) daha sonra belirttiği gibi, herhangi bir olgunun tanımında o kadar çok fiziksel varsayım gizlidir ki, tek bir deney bile bir matematiksel aksiyomun doğruluğu veya yanlışlığı hakkında ikna edici kanıt sağlayamaz. Dahası, dünyamızın "Öklidyen olmadığını" varsaysak bile, bundan tüm Öklid geometrisinin yanlış olduğu sonucu mu çıkar? Bilindiği kadarıyla hiçbir matematikçi böyle bir hipotezi ciddi olarak düşünmemiştir. Sezgi, hem Öklidyen hem de Öklidyen olmayan geometrinin tam teşekküllü matematiğin örnekleri olduğunu ileri sürdü.

Matematiksel "canavarlar".

Beklenmedik bir şekilde, aynı sonuçlara tamamen farklı bir yönden ulaşıldı - 19. yüzyılın matematikçilerini şok eden nesneler keşfedildi. şok ettiler ve "matematik canavarları" olarak adlandırdılar. Bu keşif, yalnızca 19. yüzyılın ortalarında ortaya çıkan matematiksel analizin çok ince konularıyla doğrudan ilgilidir. Bir eğrinin deneysel konseptine tam bir matematiksel analog bulmaya çalışırken zorluklar ortaya çıktı. "Sürekli hareket" kavramının özü (örneğin, bir kalemin kağıt üzerinde hareket ettiği nokta) kesin matematiksel tanımlamaya tabi tutulmuş ve bu amaca süreklilik kavramının katı bir matematiksel tanım kazanmasıyla ulaşılmıştır. Anlam ( santimetre. Ayrıca EĞRİ). Sezgisel olarak her bir noktasındaki "eğrinin" bir yönü varmış gibi görünüyordu; genel durumda, bir eğri, noktalarının her birinin yakınında, neredeyse düz bir çizgiyle aynı şekilde davranır. (Öte yandan, bir eğrinin sonlu sayıda köşe noktasına, yani çokgen gibi "kıvrımlara" sahip olduğunu hayal etmek zor değildir.) Bu gereklilik matematiksel olarak formüle edilebilir, yani eğriye bir teğetin varlığı şu şekilde ifade edilebilir: varsayıldı ve 19. yüzyılın ortalarına kadar. "Eğrinin", belki bazı "özel" noktalar dışında, hemen hemen tüm noktalarında teğet olduğuna inanılıyordu. Dolayısıyla hiçbir noktada teğeti olmayan “eğrilerin” keşfi gerçek bir skandala neden oldu ( santimetre. Ayrıca FONKSİYON TEORİSİ). (Trigonometri ve analitik geometriye aşina olan okuyucu, denklem tarafından verilen eğrinin doğru olduğunu kolaylıkla doğrulayabilir. sen = X günah(1/ X), başlangıç noktasında teğeti yoktur, ancak hiçbir noktasında teğeti olmayan bir eğriyi tanımlamak çok daha zordur.)

Bir süre sonra çok daha "patolojik" bir sonuç elde edildi: Bir kareyi tamamen dolduran bir eğri örneği oluşturmak mümkün oldu. O zamandan bu yana, "sağduyunun" aksine, buna benzer yüzlerce "canavar" icat edildi. Bu tür olağandışı matematiksel nesnelerin varlığının, bir üçgenin veya elipsin varlığı kadar katı ve mantıksal olarak kusursuz olan temel aksiyomlardan kaynaklandığı vurgulanmalıdır. Çünkü matematiksel "canavarlar" herhangi bir deneysel nesneye karşılık gelemez ve olası tek sonuç, matematiksel "fikirler" dünyasının sanıldığından çok daha zengin ve sıra dışı olduğu ve bunlardan yalnızca çok azının bizim dünyamızda karşılığı olduğudur. duyumlar. Fakat aksiyomlardan mantıksal olarak matematiksel “canavarlar” çıkıyorsa, o zaman aksiyomların hâlâ doğru olduğu düşünülebilir mi?

Yeni nesneler.

Yukarıdaki sonuçlar bir taraftan daha doğrulandı: Matematikte, özellikle cebirde, sayı kavramının genellemeleri olan yeni matematiksel nesneler birbiri ardına ortaya çıkmaya başladı. Sıradan tamsayılar oldukça "sezgiseldir" ve deneysel bir kesir kavramına ulaşmak hiç de zor değildir (her ne kadar bir birimi birkaç eşit parçaya bölme ve bunlardan birkaçını seçme işleminin doğası gereği farklı olduğu kabul edilmelidir) sayma sürecinden). Bir sayının kesir olarak temsil edilemeyeceği keşfedildiğinde, Yunanlılar irrasyonel sayıları dikkate almak zorunda kaldılar; bu sayıların rasyonel sayılarla sonsuz bir yaklaşımlar dizisiyle doğru olarak belirlenmesi, insan zihninin en yüksek başarılarından biridir, ancak pek de zor değildir. fiziksel dünyamızdaki (her ölçümün her zaman hatalarla ilişkilendirildiği) gerçek herhangi bir şeye karşılık gelir. Bununla birlikte, irrasyonel sayıların ortaya çıkışı, aşağı yukarı fiziksel kavramların "idealleştirilmesi" ruhuyla gerçekleşti. Cebirin gelişmesiyle bağlantılı olarak yavaş yavaş büyük dirençle karşılaşarak bilimsel kullanıma girmeye başlayan negatif sayılar hakkında ne söyleyebiliriz? Doğrudan soyutlama sürecini kullanarak negatif sayı kavramını geliştirebileceğimiz hazır fiziksel nesnelerin bulunmadığı ve temel cebir dersini öğretirken birçok şeyi tanıtmamız gerektiği kesin olarak ifade edilebilir. Negatif sayıların ne olduğunu açıklamak için yardımcı ve oldukça karmaşık örnekler (yönlendirilmiş bölümler, sıcaklıklar, borçlar vb.). Bu durum, Platon'un matematiğin altında yatan fikirlerden talep ettiği gibi "herkes için açık" bir kavramdan çok uzaktır ve işaretler kuralının onlar için hala bir gizem olduğu üniversite mezunları ile sıklıkla karşılaşılmaktadır (- A)(–B) = ab. Ayrıca bakınız SAYI .

“Hayali” veya “karmaşık” sayılarda durum daha da kötüdür çünkü bunlar bir “sayı” içerir Benöyle ki Ben 2 = –1, bu işaret kuralının açık bir ihlalidir. Bununla birlikte, 16. yüzyılın sonlarından itibaren matematikçiler. 200 yıl önce bu “nesneleri” tanımlayamıyor veya herhangi bir yardımcı yapı kullanarak yorumlayamıyor olsalar da, karmaşık sayılarla hesaplamaları sanki “anlamlı”ymış gibi yapmaktan çekinmeyin, örneğin negatif sayıların yönlendirilmiş bölütleri kullanılarak yorumlanıyorlardı. . (1800'den sonra, karmaşık sayıların çeşitli yorumları önerildi; bunların en ünlüsü düzlemdeki vektörleri kullanmaktı.)

Modern aksiyomatik.

Devrim 19. yüzyılın ikinci yarısında gerçekleşti. Ve her ne kadar resmi açıklamaların kabulü eşlik etmese de gerçekte bu bir tür “bağımsızlık ilanı”nın ilanıyla ilgiliydi. Daha spesifik olarak, matematiğin dış dünyadan bağımsızlığının fiili beyanı hakkında.

Bu açıdan bakıldığında matematiksel “nesneler”, eğer “varlıklarından” bahsetmek mantıklıysa, saf zihnin yaratımlarıdır ve fiziksel dünyada herhangi bir “karşılıkları” var mı ve herhangi bir “yoruma” izin veriyorlar mı? , çünkü matematik önemsizdir (her ne kadar bu soru kendi içinde ilginç olsa da).

Bu tür "nesneler" hakkındaki "doğru" ifadeler, aksiyomların aynı mantıksal sonuçlarıdır. Ancak artık aksiyomların tamamen keyfi olduğu kabul edilmelidir ve bu nedenle onların "açık" olmalarına veya "idealleştirme" yoluyla günlük deneyimlerden çıkarsanabilir olmalarına gerek yoktur. Uygulamada tam özgürlük çeşitli hususlarla sınırlanmaktadır. Elbette "klasik" nesneler ve onların aksiyomları değişmeden kalır, ancak artık bunlar matematiğin tek nesneleri ve aksiyomları olarak kabul edilemezler ve aksiyomları bir kenara atma veya yeniden işleme alışkanlığı günlük pratiğin bir parçası haline geldi; Öklidyen geometriden Öklidyen olmayan geometriye geçiş sırasında yapıldığı gibi bunları farklı şekillerde kullanın. (Öklid geometrisinden ve Lobaçevski-Bolyai geometrisinden farklı olan "Öklid dışı" geometrilerin çok sayıda çeşidi bu şekilde elde edilmiştir; örneğin, içinde paralel çizgilerin bulunmadığı Öklid dışı geometriler vardır.)

Matematiksel “nesnelere” yeni yaklaşımdan kaynaklanan bir durumu özellikle vurgulamak isterim: tüm kanıtların yalnızca aksiyomlara dayanması gerekir. Matematiksel kanıtın tanımını hatırlarsak, böyle bir ifade tekrarlanan görünebilir. Ancak klasik matematikte nesnelerin veya aksiyomların "sezgisel" doğasından dolayı bu kurala nadiren uyulurdu. Hatta BaşlangıçlarÖklid, görünürdeki tüm "katılıklarına" rağmen, birçok aksiyom açıkça belirtilmemiştir ve birçok özellik ya zımnen varsayılmıştır ya da yeterli gerekçelendirme olmadan ortaya atılmıştır. Öklid geometrisini sağlam bir temele oturtmak için ilkelerinin eleştirel bir şekilde gözden geçirilmesi gerekiyordu. Bir ispatın en küçük detayları üzerinde bilgiçlik taslayan kontrolün, modern matematikçilere sonuçlarında dikkatli olmayı öğreten “canavarların” ortaya çıkmasının bir sonucu olduğunu söylemeye gerek yok. Klasik nesnelerle ilgili en zararsız ve "apaçık" ifade, örneğin bir doğrunun karşıt taraflarında bulunan noktaları birleştiren bir eğrinin mutlaka bu çizgiyle kesiştiği ifadesi, modern matematikte katı biçimsel kanıt gerektirir.

Modern matematiğin herhangi bir bilimin ne olması gerektiğine dair açık bir örnek olarak hizmet etmesinin tam da aksiyomlara bağlılığı nedeniyle olduğunu söylemek paradoksal görünebilir. Bununla birlikte, bu yaklaşım, bilimsel düşünmenin en temel süreçlerinden birinin, yani eksik bilgi durumunda doğru bilginin elde edilmesinin karakteristik bir özelliğini göstermektedir. Belirli bir nesne sınıfının bilimsel olarak incelenmesi, bir nesneyi diğerinden ayırt etmeyi mümkün kılan özelliklerin kasıtlı olarak unutulmaya bırakıldığını ve söz konusu nesnelerin yalnızca genel özelliklerinin korunduğunu varsayar. Matematiği genel bilimlerden ayıran şey, bu programa her yönüyle sıkı sıkıya bağlı kalınmasıdır. Matematiksel nesnelerin tamamen bu nesnelerin teorisinde kullanılan aksiyomlar tarafından belirlendiği söylenir; veya Poincaré'nin ifadesiyle aksiyomlar, atıfta bulundukları nesnelerin “gizlenmiş tanımları” olarak hizmet eder.

MODERN MATEMATİK

Herhangi bir aksiyomun varlığı teorik olarak mümkün olmasına rağmen, şimdiye kadar yalnızca az sayıda aksiyom önerilmiş ve incelenmiştir. Genellikle bir veya daha fazla teorinin geliştirilmesi sırasında, belirli ispat kalıplarının az çok benzer koşullar altında tekrarlandığı fark edilir. Genel kanıt şemalarında kullanılan özellikler keşfedildikten sonra aksiyomlar olarak formüle edilir ve sonuçları, aksiyomların soyutlandığı spesifik bağlamlarla doğrudan ilişkisi olmayan genel bir teoriye dönüştürülür. Bu şekilde elde edilen genel teoremler, karşılık gelen aksiyomları karşılayan nesne sistemlerinin bulunduğu herhangi bir matematiksel duruma uygulanabilir. Aynı ispat şemalarının farklı matematiksel durumlarda tekrarlanması, aynı genel teorinin farklı özellikleriyle karşı karşıya olduğumuzu gösterir. Bu, uygun yorumun ardından bu teorinin aksiyomlarının her durumda teorem haline geldiği anlamına gelir. Aksiyomlardan türetilen herhangi bir özellik tüm bu durumlarda geçerli olacaktır ancak her durum için ayrı bir ispata gerek yoktur. Bu gibi durumlarda matematiksel durumların aynı matematiksel “yapıyı” paylaştığı söylenir.

Yapı fikrini günlük hayatımızın her adımında kullanırız. Termometre 10°C gösteriyorsa ve tahmin bürosu sıcaklığın 5°C artacağını tahmin ediyorsa, herhangi bir hesaplama yapmadan sıcaklığın 10°C olmasını bekleriz. Bir kitabın 10. sayfasını açarsak ve bizden 5 sayfa daha ileri bakmamız istenirse. , ara sayfaları saymadan 15. sayfayı açmaktan çekinmiyoruz. Her iki durumda da, sıcaklık veya sayfa numaraları gibi yorumlarına bakılmaksızın sayıların eklenmesinin doğru sonucu vereceğine inanıyoruz. Termometreler için bir aritmetik ve sayfa numaraları için başka bir aritmetik öğrenmemize gerek yok (ancak saatlerle uğraşırken 8 + 5 = 1 olan özel bir aritmetik kullanırız, çünkü saatler bir kitabın sayfalarından farklı bir yapıya sahiptir). Matematikçilerin ilgisini çeken yapılar biraz daha karmaşıktır ve bu makalenin sonraki iki bölümünde tartışılacak örneklerden bunu görmek kolaydır. Bunlardan biri grup teorisi ve yapıların ve izomorfizmaların matematiksel kavramları hakkında konuşacak.

Grup teorisi.

Yukarıda özetlenen süreci daha iyi anlamak için, modern bir matematikçinin laboratuvarına bakma özgürlüğünü kullanalım ve onun ana araçlarından biri olan grup teorisine daha yakından bakalım ( santimetre. Ayrıca SOYUT CEBİR). Grup, nesnelerin bir kümesidir (veya “kümesidir”) G herhangi iki nesne veya öğeyle eşleşen bir işlemin tanımlandığı A, B itibaren G, belirtilen sıraya göre alınır (ilki öğedir) A ikincisi ise elementtir B), üçüncü eleman C itibaren G kesin olarak tanımlanmış bir kurala göre. Kısaltmak için bu unsuru belirtiyoruz A*B; Yıldız işareti (*), iki elementin bileşiminin çalışmasını belirtir. Grup çarpımı diyeceğimiz bu işlemin aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir:

(1) herhangi üç element için A, B, C itibaren G ilişkisellik özelliği şunları içerir: A* (B*C) = (A*B) *C;

(2) içinde G böyle bir unsur var e, herhangi bir element için A itibaren G bir ilişki var e*A = A*e = A; bu eleman e bir grubun tekil veya nötr öğesi olarak adlandırılır;

(3) herhangi bir element için A itibaren G böyle bir unsur var Aў, ters veya simetrik olarak adlandırılır elemana A, Ne A*Aў = Aў* A = e.

Bu özellikler aksiyom olarak alınırsa, bunların mantıksal sonuçları (diğer aksiyomlardan veya teoremlerden bağımsız olarak) birlikte genel olarak grup teorisi olarak adlandırılan şeyi oluşturur. Gruplar matematiğin tüm dallarında yaygın olarak kullanıldığından, bu sonuçların kesin olarak türetilmesinin çok faydalı olduğu ortaya çıktı. Binlerce olası grup örneğinden yalnızca en basitlerinden birkaçını seçeceğiz.

(a) Kesirler P/Q, Nerede P Ve Q– keyfi tamsayılar i1 (ile Q= 1 sıradan tamsayılar elde ederiz). Kesirler P/Q grup çarpımı altında bir grup oluşturun ( P/Q) *(R/S) = (halkla ilişkiler)/(qs). Özellikler (1), (2), (3) aritmetiğin aksiyomlarından kaynaklanır. Gerçekten mi, [( P/Q) *(R/S)] *(T/sen) = (prt)/(qsu) = (P/Q)*[(R/S)*(T/sen)]. Birim elemanı 1 = 1/1 sayısıdır, çünkü (1/1)*( P/Q) = (1H P)/(1 saat Q) = P/Q. Son olarak kesrin tersi olan eleman P/Q, bir kesirdir Q/P, Çünkü ( P/Q)*(Q/P) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Şöyle düşünün G 0, 1, 2, 3 ve 4 tam sayıdan oluşan bir küme A*B– bölmenin geri kalanı A + B 4'te. Bu şekilde gerçekleştirilen işlemin sonuçları tabloda sunulmaktadır. 1 (öğe A*Bçizginin kesiştiği noktada duruyor A ve sütun B). (1)–(3) özelliklerinin karşılandığını ve kimlik öğesinin 0 sayısı olduğunu doğrulamak kolaydır.

(c) Şunu seçelim: G 1, 2, 3, 4 sayılarından oluşan bir dizi ve A*B– bölmenin geri kalanı ab(sıradan ürün) 5'e kadar. Sonuç olarak tabloyu alıyoruz. 2. (1)–(3) özelliklerinin karşılandığını ve kimlik öğesinin 1 olduğunu kontrol etmek kolaydır.

(d) Dört nesne, örneğin 1, 2, 3, 4 sayıları gibi, bir sıra halinde 24 şekilde düzenlenebilir. Her düzenleme, "doğal" düzenlemeyi belirli bir düzenlemeye dönüştüren bir dönüşüm olarak görsel olarak temsil edilebilir; örneğin 4, 1, 2, 3 düzenlemesi dönüşümün sonucudur

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

daha uygun bir biçimde yazılabilir

Bu tür herhangi iki dönüşüm için S, T biz belirleyeceğiz S*T sıralı yürütmeden kaynaklanan bir dönüşüm olarak T ve daha sonra S. Örneğin, eğer , o zaman . Bu tanımla olası 24 dönüşümün tümü bir grup oluşturur; birim elemanı dır ve elemanı bunun tersidir S tanımdaki okların değiştirilmesiyle elde edilir S tam tersine; örneğin, eğer , o zaman .

İlk üç örnekte bunu görmek kolaydır. A*B = B*A; bu gibi durumlarda grup veya grup çarpımının değişmeli olduğu söylenir. Öte yandan, son örnekte ve dolayısıyla T*S farklı S*T.

Örnek (d)'deki grup sözde grubun özel bir durumudur. Uygulamaları diğer şeylerin yanı sıra cebirsel denklemleri çözme yöntemlerini ve atom spektrumlarındaki çizgilerin davranışını içeren simetrik grup. Örnek (b) ve (c)'deki gruplar sayı teorisinde önemli bir rol oynamaktadır; örnek (b)'de 4 sayısı herhangi bir tamsayı ile değiştirilebilir N ve 0'dan 3'e kadar sayılar – 0'dan 3'e kadar sayılar N– 1 (ile N= 12 yukarıda bahsettiğimiz gibi saat kadranlarında yer alan bir sayı sistemi elde ederiz); örnek (c)'de 5 sayısı herhangi bir asal sayı ile değiştirilebilir R ve 1'den 4'e kadar sayılar - 1'den 4'e kadar sayılar P – 1.

Yapılar ve izomorfizm.

Önceki örnekler, bir grubu oluşturan nesnelerin doğasının ne kadar çeşitli olabileceğini göstermektedir. Ancak aslında, her durumda, her şey aynı senaryoya iniyor: bir dizi nesnenin özellikleri arasında, yalnızca bu kümeyi bir gruba dönüştürenleri dikkate alıyoruz (işte eksik bilginin bir örneği!). Bu gibi durumlarda, seçtiğimiz grup çarpımının verdiği grup yapısını dikkate aldığımız söylenir.

Bir yapının başka bir örneği sözdedir. sipariş yapısı. Birçok e Bir düzen yapısına sahiptir veya öğeler arasında sıralanmışsa A è B ait e, belirttiğimiz bazı ilişkiler verilmiştir R (A,B). (Böyle bir ilişki herhangi bir öğe çifti için anlamlı olmalıdır. e ancak genel olarak bazı çiftler için yanlış, diğerleri için ise doğrudur; örneğin 7 ilişkisi

(1) R (A,A) herkes için doğru A, sahip olunan e;

(2) itibaren R (A,B) Ve R (B,A) şu şekildedir A = B;

(3) itibaren R (A,B) Ve R (B,C) gerekir R (A,C).

Çok sayıda farklı sıralı kümeden birkaç örnek verelim.

(A) e tüm tam sayılardan oluşur R (A,B) – ilişki “ A küçük veya eşit B».

(B) e>1'den büyük tüm tamsayılardan oluşur, R (A,B) – ilişki “ A böler B veya eşit B».

Son olarak yapıya örnek olarak metrik uzayın yapısından bahsedelim; sette böyle bir yapı tanımlanmıştır e, eğer her bir eleman çifti A Ve B ait e, numarayı eşleştirebilirsin D (A,B) i 0, aşağıdaki özellikleri karşılıyor:

(1) D (A,B) = 0 ancak ve ancak A = B;

(2) D (B,A) = D (A,B);

(3) D (A,C) Ј D (A,B) + D (B,C) verilen herhangi üç element için A, B, C itibaren e.

Metrik uzaylara örnekler verelim:

(a) sıradan "üç boyutlu" uzay; D (A,B) – sıradan (veya “Öklidyen”) mesafe;

(b) bir kürenin yüzeyi, burada D (A,B) – iki noktayı birleştiren bir dairenin en küçük yayının uzunluğu A Ve B küre üzerinde;

Yapı kavramının kesin tanımını yapmak oldukça zordur. Detaylara girmeden şunu söyleyebiliriz ki birçok konuda e kümenin elemanları arasında belirli bir tipte bir yapı belirtilir e(ve bazen yardımcı rol oynayan sayılar gibi diğer nesneler) ilişkileri, söz konusu türün yapısını karakterize eden belirli bir sabit aksiyomlar kümesini karşılayan ilişkiler belirlenir. Yukarıda üç tip yapının aksiyomlarını sunduk. Elbette teorileri tamamen geliştirilmiş başka birçok yapı türü de vardır.

Pek çok soyut kavram yapı kavramıyla yakından ilişkilidir; En önemlilerinden yalnızca birini, izomorfizm kavramını adlandıralım. Önceki bölümde verilen (b) ve (c) gruplarının örneğini hatırlayın. Bunu tablodan kontrol etmek kolaydır. 1 masaya 2 eşleştirme kullanılarak gezinilebilir

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Bu durumda bu grupların izomorfik olduğunu söylüyoruz. Genel olarak iki grup G Ve Gў grubun elemanları arasında izomorftur G ve grup elemanları Gў böyle bire-bir yazışmalar kurmak mümkündür A « A peki ya eğer C = A*B, O Cў = Aў* Bў karşılık gelen elemanlar için Gў. Bir grup için geçerli olan grup teorisinden herhangi bir ifade G, grup için geçerli kalır Gў ve tam tersi. Cebirsel gruplar G Ve Gў ayırt edilemez.

Okuyucu, tam olarak aynı şekilde iki izomorfik sıralı kümenin veya iki izomorfik metrik uzayın tanımlanabileceğini kolaylıkla görebilir. İzomorfizm kavramının her türlü yapıya uzandığı gösterilebilir.

SINIFLANDIRMA

Matematiğin eski ve yeni sınıflandırmaları.

Yapı kavramı ve diğer ilgili kavramlar, hem tamamen “teknik” hem de felsefi ve metodolojik açıdan modern matematikte merkezi bir yer edinmiştir. Temel yapı türlerinin genel teoremleri, matematiksel "tekniğin" son derece güçlü araçları olarak hizmet eder. Bir matematikçi, incelediği nesnelerin belirli bir yapı tipinin aksiyomlarını karşıladığını göstermeyi başardığında, böylece bu türdeki yapı teorisinin tüm teoremlerinin, üzerinde çalıştığı belirli nesnelere uygulanabileceğini ispatlamış olur (bu genel teoremler olmadan, büyük ihtimalle kaçırırdı, spesifik seçeneklerini gözden kaçırırdı veya mantık yürütmemi gereksiz varsayımlarla doldurmak zorunda kalırdı). Benzer şekilde, iki yapının izomorf olduğu kanıtlanırsa, teoremlerin sayısı hemen iki katına çıkar: yapılardan biri için kanıtlanmış her teorem, diğeri için hemen karşılık gelen bir teoremi verir. Bu nedenle, çok karmaşık ve zor teorilerin olması şaşırtıcı değildir; örneğin, sayılar teorisindeki "sınıf alanı teorisi", temel amacı yapıların eşbiçimliliğini kanıtlamaktır.

Felsefi bir bakış açısına göre, yapıların ve izomorfizmlerin yaygın kullanımı, modern matematiğin temel özelliğini göstermektedir - matematiksel "nesnelerin" "doğasının" pek önemli olmadığı, yalnızca nesneler arasındaki ilişkilerin önemli olduğu (bir tür eksik bilgi ilkesi).

Son olarak yapı kavramının matematiğin dallarını yeni bir şekilde sınıflandırmayı mümkün kıldığını söylemeden geçemeyiz. 19. yüzyılın ortalarına kadar. çalışmanın konusuna göre farklılık gösteriyorlardı. Aritmetik (veya sayı teorisi) tamsayılarla ilgilenirken, geometri düz çizgiler, açılar, çokgenler, daireler, alanlar vb. ile ilgileniyordu. Cebir neredeyse yalnızca sayısal denklemleri veya denklem sistemlerini çözmeye yönelik yöntemlerle ilgiliydi; analitik geometri, geometrik problemleri eşdeğer cebirsel problemlere dönüştürmek için yöntemler geliştirdi. Matematiğin bir başka önemli dalının, “matematiksel analiz” olarak adlandırılan ilgi alanı, temel olarak diferansiyel ve integral hesabı ve bunların geometri, cebir ve hatta sayı teorisine yönelik çeşitli uygulamalarını içeriyordu. Bu uygulamaların sayısı arttı ve önemi de arttı; bu da matematiksel analizin alt bölümlere ayrılmasına yol açtı: fonksiyonlar teorisi, diferansiyel denklemler (adi ve kısmi türevler), diferansiyel geometri, varyasyon hesabı vb.

Birçok modern matematikçi için bu yaklaşım, ilk doğa bilimcilerin hayvanları sınıflandırmasının tarihini hatırlatıyor: Bir zamanlar hem deniz kaplumbağası hem de ton balığı, suda yaşadıkları ve benzer özelliklere sahip oldukları için balık olarak kabul ediliyordu. Modern yaklaşım bize yalnızca yüzeyde olanı görmeyi değil, aynı zamanda daha derinlere bakmayı ve matematiksel nesnelerin aldatıcı görünümünün arkasında yatan temel yapıları tanımaya çalışmayı da öğretti. Bu açıdan bakıldığında en önemli yapı türlerinin incelenmesi önemlidir. Bu türlerin tam ve kesin bir listesinin elimizde olması pek olası değildir; bunlardan bazıları son 20 yılda keşfedildi ve gelecekte yeni keşifler beklemek için her türlü neden var. Bununla birlikte, temel "soyut" yapı türlerinin çoğuna dair zaten bir anlayışa sahibiz. (Matematiğin “klasik” nesneleri ile karşılaştırıldığında “soyutturlar”, ancak bunlara bile “somut” denilemez; bu daha çok soyutlamanın derecesi meselesidir.)

Bilinen yapılar içerdikleri ilişkilere veya karmaşıklıklarına göre sınıflandırılabilir. Bir yanda, özel bir durumu örneğin grup yapısı olan geniş bir "cebirsel" yapılar bloğu vardır; Diğer cebirsel yapılar arasında halkaları ve alanları ( santimetre. Ayrıca SOYUT CEBİR). Cebirsel yapıların incelenmesiyle ilgilenen matematik dalına, sıradan veya klasik cebirin aksine "modern cebir" veya "soyut cebir" adı verilir. Yeni cebire Öklid geometrisi, Öklid dışı geometri ve analitik geometrinin önemli bir kısmı da dahil edildi.

Aynı genellik düzeyinde diğer iki yapı bloğu daha vardır. Genel topoloji olarak adlandırılan bunlardan biri, özel bir durumu metrik uzayın yapısı olan yapı türleri teorilerini içerir ( santimetre. TOPOLOJİ; SOYUT ALANLAR). Üçüncü blok, düzen yapıları ve bunların uzantıları teorilerinden oluşmaktadır. Yapının “genişletilmesi” mevcut aksiyomlara yeni aksiyomların eklenmesinden ibarettir. Örneğin, grubun aksiyomlarına dördüncü aksiyom olarak değişme özelliği özelliğini eklersek A*B = B*A, o zaman değişmeli (veya Abelian) bir grubun yapısını elde ederiz.

Bu üç bloktan son ikisi yakın zamana kadar nispeten istikrarlı bir durumdaydı ve "modern cebir" bloğu bazen beklenmedik yönlerde hızla büyüyordu (örneğin, "homolojik cebir" adı verilen bir dalın tamamı geliştirildi). Sözde dışında "Saf" yapı türleri başka bir düzeyde yer alır - örneğin cebirsel ve topolojik "karma" yapılar ve bunları birbirine bağlayan yeni aksiyomlar. Çoğu iki geniş bloğa ayrılan bu tür birçok kombinasyon incelenmiştir: "topolojik cebir" ve "cebirsel topoloji".

Birlikte ele alındığında bu bloklar çok önemli bir "soyut" bilim alanını oluşturur. Pek çok matematikçi, klasik teorileri daha iyi anlamak ve zor problemleri çözmek için yeni araçlar kullanmayı umuyor. Aslında, uygun düzeyde soyutlama ve genelleme ile eskilerin sorunları yeni bir ışık altında ortaya çıkabilir ve bu da çözümlerini bulmayı mümkün kılacaktır. Klasik malzemenin büyük bir kısmı yeni matematiğin etkisi altına girdi ve diğer teorilerle dönüştürüldü veya birleştirildi. Modern yöntemlerin bu kadar derinlemesine nüfuz edemediği geniş alanlar var. Örnekler diferansiyel denklemler teorisini ve sayı teorisinin çoğunu içerir. Yeni yapı türleri keşfedilip kapsamlı bir şekilde incelendikten sonra bu alanlarda önemli ilerleme kaydedilmesi çok muhtemeldir.

FELSEFİ ZORLUKLAR

Antik Yunanlılar bile matematik teorisinin çelişkilerden arınmış olması gerektiğini açıkça anlamışlardı. Bu, aksiyomlardan mantıksal bir sonuç olarak ifadenin türetilmesinin imkansız olduğu anlamına gelir. R ve onun inkarı değil P. Ancak matematiksel nesnelerin gerçek dünyada karşılıkları olduğuna inanıldığından ve aksiyomlar doğa yasalarının “idealleştirilmiş hali” olduğundan, hiç kimse matematiğin tutarlılığından şüphe duymuyordu. Klasik matematikten modern matematiğe geçiş sürecinde tutarlılık problemi farklı bir anlam kazanmıştır. Herhangi bir matematik teorisinin aksiyomlarını seçme özgürlüğü açıkça tutarlılık koşuluyla sınırlı olmalıdır, ancak bu koşulun karşılanacağından emin olunabilir mi?

Küme kavramından daha önce bahsetmiştik. Bu kavram matematikte ve mantıkta her zaman az çok açık bir şekilde kullanılmıştır. 19. yüzyılın ikinci yarısında. Küme kavramının ele alınmasına ilişkin temel kurallar kısmen sistematize edilmiş, ayrıca sözde içeriği oluşturan bazı önemli sonuçlar elde edilmiştir. küme teorisi ( santimetre. Ayrıca SET TEORİSİ), adeta diğer tüm matematiksel teorilerin temeli haline geldi. Antik çağlardan 19. yüzyıla kadar. örneğin Eleatic Zenon'un (MÖ 5. yüzyıl) ünlü paradokslarında yansıtılan sonsuz kümelerle ilgili endişeler vardı. Bu kaygılar kısmen doğası gereği metafizikti ve kısmen de niceliklerin (örneğin uzunluk veya zaman) ölçülmesi kavramıyla ilişkili zorluklardan kaynaklanıyordu. Bu zorlukların ortadan kaldırılması ancak 19. yüzyıldan sonra mümkün olmuştur. matematiksel analizin temel kavramları kesin olarak tanımlanmıştı. 1895'e gelindiğinde tüm korkular ortadan kalktı ve matematiğin küme teorisinin sarsılmaz temeline dayandığı görüldü. Ancak sonraki on yılda küme teorisinin (ve matematiğin geri kalanının) iç tutarsızlığını gösteren yeni argümanlar ortaya çıktı.

Yeni paradokslar çok basitti. Bunlardan ilki olan Russell paradoksunun berber paradoksu olarak bilinen basit versiyonu düşünülebilir. Bir kasabada bir berber, kendini tıraş etmeyen herkesi tıraş ediyor. Berberi kim kendisi tıraş eder? Eğer berber kendini tıraş ediyorsa, yalnızca kendini tıraş etmeyenleri değil, aynı zamanda kendini tıraş eden bir sakini de tıraş etmiş olur; kendisi tıraş olmazsa, kasabada kendilerini tıraş etmeyenlerin tamamını tıraş etmez. “Tüm kümelerin kümesi” kavramı ele alındığında bu tür bir paradoks ortaya çıkar. Bu matematiksel nesne her ne kadar çok doğal görünse de onun hakkında akıl yürütmek hızla çelişkilere yol açmaktadır.

Berry'nin paradoksu daha da açıklayıcıdır. En fazla on yedi kelime içeren tüm Rusça ifadeleri düşünün; Rus dilindeki kelimelerin sayısı sınırlıdır, dolayısıyla bu tür ifadelerin sayısı da sınırlıdır. Bunlardan bir tamsayıyı benzersiz şekilde tanımlayanları seçelim, örneğin: "Ondan küçük en büyük tek sayı." Bu tür ifadelerin sayısı da sınırlıdır; dolayısıyla onlar tarafından belirlenen tamsayılar kümesi sonludur. Bu sayıların sonlu kümesini şu şekilde gösterelim: D. Aritmetiğin aksiyomlarından, aşağıdakilere ait olmayan tam sayıların olduğu sonucu çıkar: D ve bu sayılar arasında en küçük sayı var N. Bu numara N benzersiz bir şekilde şu ifadeyle tanımlanır: "En fazla on yedi Rusça kelimeden oluşan bir ifadeyle tanımlanamayan en küçük tam sayı." Ancak bu cümle tam olarak on yedi kelime içeriyor. Bu nedenle sayıyı belirler. N ait olması gereken D ve paradoksal bir çelişkiye geliyoruz.

Sezgiciler ve biçimciler.

Küme teorisinin paradokslarının yarattığı şok, çeşitli tepkilere yol açtı. Bazı matematikçiler oldukça kararlı davranarak matematiğin başından beri yanlış yönde geliştiğini ve tamamen farklı bir temele oturtulması gerektiği görüşünü dile getirdiler. Bu tür "sezgicilerin" (kendilerini adlandırmaya başladıkları şekliyle) bakış açılarını herhangi bir doğrulukla tanımlamak mümkün değildir, çünkü görüşlerini tamamen mantıksal bir şemaya indirgemeyi reddettiler. Sezgicilerin bakış açısından mantıksal süreçleri sezgisel olarak temsil edilemeyen nesnelere uygulamak yanlıştır. Sezgisel olarak net olan tek nesneler, 1, 2, 3,... doğal sayıları ve kesin olarak belirlenmiş kurallara göre "kurulmuş" doğal sayıların sonlu kümeleridir. Ancak sezgiciler bu tür nesnelere bile klasik mantığın tüm çıkarımlarının uygulanmasına izin vermediler. Örneğin, herhangi bir ifade için bunu tanımadılar R ikisi de doğru R, ya da değil R. Bu kadar sınırlı araçlarla "paradokslardan" kolayca kaçındılar, ancak aynı zamanda sadece tüm modern matematiği değil, aynı zamanda klasik matematiğin sonuçlarının önemli bir bölümünü de denize attılar ve kalanlar için yenilerini bulmak gerekiyordu. , daha karmaşık kanıtlar.

Modern matematikçilerin büyük çoğunluğu sezgicilerin argümanlarına katılmıyordu. Sezgisel olmayan matematikçiler, paradokslarda kullanılan argümanların, küme teorisi ile yapılan sıradan matematik çalışmalarında kullanılan argümanlardan önemli ölçüde farklı olduğunu ve bu nedenle, bu tür argümanların, mevcut matematik teorilerini tehlikeye atmadan yasa dışı olarak göz ardı edilmesi gerektiğini fark etmişlerdir. Diğer bir gözlem ise, "paradoksların" ortaya çıkmasından önce var olan "saf" küme teorisinde, "küme", "özellik", "ilişki" terimlerinin anlamının sorgulanmamasıydı - tıpkı klasik geometride "sezgisel" gibi. sıradan geometrik kavramların doğası sorgulanmadı. Sonuç olarak, geometride olduğu gibi davranılabilir, yani "sezgiye" başvurmaya yönelik tüm girişimlerden vazgeçilebilir ve kesin olarak formüle edilmiş aksiyomlardan oluşan bir sistem, küme teorisinin başlangıç noktası olarak alınabilir. Ancak "mülk", "ilişki" gibi kelimelerin nasıl olup da sıradan anlamlarından mahrum bırakılabileceği açık değildir; ancak Berry'nin paradoksu gibi argümanları dışlamak istiyorsak bunun yapılması gerekir. Yöntem, aksiyomların veya teoremlerin formülasyonunda sıradan bir dil kullanmaktan kaçınmaktan oluşur; matematikte yalnızca açık bir katı kurallar sistemine uygun olarak oluşturulan önermelerin "özellik" veya "ilişki" olarak kabul edilmesine ve aksiyomların formülasyonuna girmesine izin verilir. Bu sürece matematiksel dilin "formalizasyonu" denir (sıradan dilin belirsizliklerinden kaynaklanan yanlış anlamaları önlemek için, bir adım daha ileri gidilmesi ve resmileştirilmiş cümlelerde kelimelerin kendilerinin özel sembollerle değiştirilmesi, örneğin bağlaçların değiştirilmesi önerilir) & sembolüyle "ve", "veya" bağlacı - b sembolüyle, $ sembolüyle "vardır" vb.). Sezgiselcilerin önerdiği yöntemleri reddeden matematikçilere "formalist" denmeye başlandı.

Ancak asıl soru hiçbir zaman yanıtlanmadı. Aksiyomatik küme teorisi çelişkilerden arınmış mıdır? 1920'lerde D. Hilbert (1862–1943) ve okulu tarafından "formalize edilmiş" teorilerin tutarlılığını kanıtlamaya yönelik yeni girişimlerde bulunuldu ve buna "metamatematik" adı verildi. Temel olarak metamatematik, matematiksel muhakemenin uygulandığı nesnelerin resmileştirilmiş bir teorinin önermeleri ve bunların deliller içindeki düzeni olduğu “uygulamalı matematik”in bir dalıdır. Bu cümleler, bu simgelerin olası "anlamına" (eğer varsa) herhangi bir atıfta bulunulmaksızın, belirli yerleşik kurallara göre üretilen simgelerin yalnızca maddi bileşimleri olarak kabul edilmelidir. Satranç oyunu iyi bir benzetmedir: semboller taşlara karşılık gelir, cümleler tahtadaki farklı konumlara karşılık gelir ve mantıksal sonuçlar, taşları hareket ettirme kurallarına karşılık gelir. Biçimlendirilmiş bir teorinin tutarlılığını oluşturmak için, bu teoride tek bir ispatın 0 Hayır. 0 ifadesiyle bitmediğini göstermek yeterlidir. Bununla birlikte, “meta-matematiksel” bir ispatta matematiksel argümanların kullanılmasına itiraz edilebilir. bir matematik teorisinin tutarlılığının; eğer matematik tutarsız olsaydı, o zaman matematiksel argümanlar tüm gücünü kaybederdi ve kendimizi bir kısır döngü durumunda bulurduk. Bu itirazlara cevap vermek için Hilbert, sezgicilerin metamatematikte kullanım için kabul edilebilir olduğunu düşündüğü türden çok sınırlı matematiksel akıl yürütmeye izin verdi. Bununla birlikte, K. Gödel çok geçmeden (1931) aritmetiğin tutarlılığının, gerçekten tutarlı olması durumunda bu kadar sınırlı araçlarla kanıtlanamayacağını gösterdi (bu makalenin kapsamı, bu dikkate değer sonucun elde edildiği ustaca yöntemin ana hatlarını çizmemize izin vermiyor, ve sonraki metamatematiğin tarihi).

Mevcut sorunlu durumu formalist bir bakış açısıyla özetlersek, henüz bitmediğini kabul etmeliyiz. Küme kavramının kullanımı, bilinen paradokslardan kaçınmak için özel olarak getirilen çekincelerle sınırlandırılmıştır ve aksiyomatize edilmiş küme teorisinde yeni paradoksların ortaya çıkmayacağının garantisi yoktur. Yine de aksiyomatik küme teorisinin sınırlamaları yeni geçerli teorilerin doğuşunu engellemedi.

MATEMATİK VE GERÇEK DÜNYA

Matematiğin bağımsızlığı yönündeki iddialara rağmen hiç kimse matematik ile fiziksel dünyanın birbirine bağlı olduğunu inkar etmeyecektir. Elbette klasik fiziğin problemlerinin çözümünde matematiksel yaklaşım geçerliliğini koruyor. Matematiğin çok önemli bir alanında, yani diferansiyel denklemler teorisinde, adi ve kısmi türevlerde, fizik ve matematiğin karşılıklı zenginleşme sürecinin oldukça verimli olduğu da doğrudur.

Matematik, mikro dünya olaylarını yorumlamada faydalıdır. Ancak matematiğin yeni “uygulamaları” klasik olanlardan önemli ölçüde farklıdır. Fiziğin en önemli araçlarından biri, daha önce esas olarak kumar ve sigorta teorisinde kullanılan olasılık teorisi haline geldi. Fizikçilerin "atomik durumlar" veya "geçişler" ile ilişkilendirdiği matematiksel nesneler doğası gereği çok soyuttur ve kuantum mekaniğinin ortaya çıkışından çok önce matematikçiler tarafından tanıtılmış ve incelenmiştir. İlk başarılardan sonra ciddi zorlukların ortaya çıktığını da eklemek gerekir. Bu, fizikçilerin matematiksel fikirleri kuantum teorisinin daha incelikli yönlerine uygulamaya çalıştıkları bir zamanda gerçekleşti; Yine de pek çok fizikçi yeni matematiksel teorilere hâlâ umutla bakıyor ve bunların yeni problemleri çözmede yardımcı olacağına inanıyor.

Matematik bir bilim midir yoksa sanat mıdır?

Olasılık teorisini veya matematiksel mantığı “saf” matematiğe dahil etsek bile, bilinen matematiksel sonuçların %50'den azının şu anda diğer bilimler tarafından kullanıldığı ortaya çıkıyor. Geri kalan yarısı hakkında ne düşünmeliyiz? Başka bir deyişle, matematiğin fiziksel problemlerin çözümüyle ilgili olmayan bu alanlarının ardındaki güdüler nelerdir?

Bu tür teoremlerin tipik bir temsilcisi olarak sayıların irrasyonelliğinden daha önce bahsetmiştik. Başka bir örnek, J.-L. Lagrange (1736–1813) tarafından kanıtlanan teoremdir. Ona "önemli" ya da "güzel" demeyecek bir matematikçi neredeyse yok. Lagrange teoremi, birden büyük veya ona eşit herhangi bir tam sayının en fazla dört sayının karelerinin toplamı olarak temsil edilebileceğini belirtir; örneğin, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Mevcut durumda, bu sonucun herhangi bir deneysel problemin çözümünde faydalı olabileceği düşünülemez. Fizikçilerin bugün tamsayılarla geçmişe kıyasla çok daha sık uğraştıkları doğrudur, ancak çalıştıkları tamsayılar her zaman sınırlıdır (nadiren birkaç yüzü aşarlar); bu nedenle Lagrange'ın teoremi gibi bir teorem ancak belirli sınırlar içindeki tam sayılara uygulandığında "yararlı" olabilir. Ancak Lagrange teoreminin formülasyonunu sınırlandırdığımız anda, bir matematikçi için ilgi çekici olmaktan çıkar, çünkü bu teoremin tüm çekici gücü, tüm tam sayılara uygulanabilirliğinde yatmaktadır. (Tamsayılar hakkında çok büyük sayılar için bilgisayarlar tarafından doğrulanabilen çok sayıda ifade vardır; ancak genel bir kanıt bulunamadığı için bunlar varsayımsal olarak kalır ve profesyonel matematikçilerin ilgisini çekmez.)

Astronomi ya da biyoloji olsun, herhangi bir alanda çalışan bilim insanları için acil uygulamalardan çok uzak olan konulara odaklanmak olağandışı bir durum değildir. Ancak deneysel sonuç iyileştirilip geliştirilebilirken, matematiksel kanıt her zaman kesindir. Bu nedenle matematiğin ya da en azından onun "gerçeklik"le hiçbir ilişkisi olmayan kısmının bir sanat olarak görülmesinin cazibesine direnmek zordur. Matematik problemleri dışarıdan empoze edilmez ve modern bakış açısıyla bakarsak, malzeme seçimimizde tamamen özgürüz. Bazı matematik çalışmalarını değerlendirirken matematikçilerin “objektif” kriterleri yoktur ve kendi “beğenilerine” güvenmek zorunda kalırlar. Zevkler zamana, ülkeye, geleneklere ve kişilere göre büyük farklılıklar gösterir. Modern matematikte modalar ve “okullar” vardır. Şu anda, kolaylık olması açısından "klasisizm", "modernizm" ve "soyutlamacılık" diyeceğimiz bu tür üç "okul" vardır. Aralarındaki farkları daha iyi anlamak için, matematikçilerin bir teoremi veya teorem grubunu değerlendirirken kullandıkları farklı kriterleri analiz edelim.

(1) Genel görüşe göre “güzel” bir matematik sonucunun önemsiz olmaması gerekir; aksiyomların veya önceden kanıtlanmış teoremlerin açık bir sonucu olmamalıdır; Kanıt yeni bir fikir kullanmalı veya eski fikirleri akıllıca uygulamalıdır. Yani bir matematikçi için önemli olan sonucun kendisi değil, onu elde ederken karşılaştığı zorlukları aşma sürecidir.

(2) Her matematik probleminin kendi tarihi, tabiri caizse bir "soyağacı" vardır ve bu, herhangi bir bilim tarihinin kendisine göre geliştiği aynı genel modeli izler: ilk başarılardan sonra, sorunun cevabına kadar belli bir zaman geçebilir. sorulan soru bulunur. Çözüme ulaşıldığında hikaye burada bitmiyor çünkü bilinen genişleme ve genelleme süreçleri başlıyor. Örneğin, yukarıda bahsedilen Lagrange teoremi, herhangi bir tam sayının küplerin, dördüncü, beşinci kuvvetlerin vb. toplamı olarak temsil edilmesi sorununa yol açmaktadır. Henüz kesin çözüme kavuşturulamayan “Savaş sorunu” da bu şekilde ortaya çıkıyor. Üstelik eğer şanslıysak çözdüğümüz problem bir veya daha fazla temel yapıyla ilgili çıkacak ve bu da bu yapılarla ilgili yeni sorunların ortaya çıkmasına neden olacak. Orijinal teori sonunda ölse bile, genellikle arkasında çok sayıda canlı filiz bırakır. Modern matematikçiler o kadar çok problemle karşı karşıyadır ki, deneysel bilimle tüm iletişim kesilse bile bunların çözümü birkaç yüzyıl daha sürecektir.

(3) Her matematikçi, önünde yeni bir problem ortaya çıktığında onu mümkün olan her şekilde çözmenin görevi olduğu konusunda hemfikirdir. Bir problem klasik matematiksel nesnelerle ilgili olduğunda (klasikçiler nadiren diğer türdeki nesnelerle ilgilenirler), klasikçiler onu yalnızca klasik yöntemlerle çözmeye çalışırken, diğer matematikçiler göreve uygun genel teoremleri kullanmak için daha "soyut" yapılar sunarlar. Yaklaşımdaki bu farklılık yeni değil. 19. yüzyıldan beri. matematikçiler, soruna tamamen güçlü bir çözüm bulmaya çalışan "taktikçiler" ve düşmanı küçük güçlerle ezmeyi mümkün kılan dolambaçlı manevralara yatkın "stratejistler" olarak ikiye ayrılıyor.

(4) Teoremin “güzelliğinin” temel bir unsuru basitliğidir. Elbette basitlik arayışı tüm bilimsel düşüncenin karakteristik özelliğidir. Ancak deneyciler, sorun çözülürse "çirkin çözümlere" katlanmaya hazırdır. Aynı şekilde matematikte klasikçiler ve soyutlamacılar "patolojik" sonuçların ortaya çıkmasıyla pek ilgilenmezler. Öte yandan modernistler, teorinin “patolojilerinin” ortaya çıkışında, temel kavramların kusurluluğunu gösteren bir semptom görecek kadar ileri gidiyorlar.

Matematik Ansiklopedisi - matematiğin tüm dalları hakkında referans bir yayın. Ansiklopedi, matematiğin en önemli alanlarına ayrılmış inceleme makalelerine dayanmaktadır. Bu tür makaleler için temel gereklilik, teorinin mevcut durumunun gözden geçirilmesinin maksimum sunum erişilebilirliği ile mümkün olan eksiksizliğidir; Bu makalelere genellikle son sınıf matematik öğrencileri, lisansüstü öğrenciler ve matematiğin ilgili alanlarındaki uzmanlar ve bazı durumlarda çalışmalarında matematiksel yöntemler kullanan diğer bilgi alanlarındaki uzmanlar, mühendisler ve matematik öğretmenleri erişebilir. Ayrıca, bireysel spesifik problemler ve matematik yöntemleri üzerine orta ölçekli makaleler sunulmaktadır; Bu makaleler daha dar bir okuyucu kitlesine yöneliktir ve bu nedenle daha az erişilebilir olabilir. Son olarak bir diğer makale türü ise kısa referanslar ve tanımlardır. Ansiklopedi'nin son cildinin sonunda sadece tüm maddelerin başlıklarını değil, ilk iki türdeki maddeler içinde tanımları verilecek birçok kavramı da içerecek bir konu dizini bulunacaktır. makalelerde belirtilen en önemli sonuçlar olarak karşımıza çıkmaktadır. Ansiklopedi maddelerinin çoğuna, her başlık için seri numaralarını içeren bir referans listesi eşlik eder; bu, makalelerin metinlerinde bunlardan alıntı yapılmasını mümkün kılar. Makalelerin sonunda (kural olarak), makale daha önce yayınlanmışsa yazar veya kaynak belirtilir (çoğunlukla bunlar Büyük Sovyet Ansiklopedisindeki makalelerdir). Makalelerde adı geçen yabancı (eski dönem hariç) bilim adamlarının isimlerinin yanında Latince yazılışı da yer almaktadır (referans listesine bağlantı yoksa).

Matematik Ansiklopedisi, Cilt 3, Vinogradov I.M., 1982'yi indirin ve okuyun.

Matematik Ansiklopedisi, Cilt 2, Vinogradov I.M., 1979'u indirin ve okuyun.

Matematik Ansiklopedisi, Cilt 1, Vinogradov I.M., 1977'yi indirin ve okuyun.

Cebir başlangıçta denklemlerin çözümüyle ilgilenen bir matematik dalıydı. Geometriden farklı olarak cebirin aksiyomatik yapısı, cebirin konusu ve doğası hakkında temelde yeni bir görüşün ortaya çıktığı 19. yüzyılın ortalarına kadar mevcut değildi. Araştırmalar giderek sözde cebirsel yapıların incelenmesine odaklanmaya başladı. Bunun iki avantajı vardı. Bir yandan bireysel teoremlerin geçerli olduğu alanlar açıklığa kavuşturulurken, diğer yandan aynı ispatların tamamen farklı alanlarda kullanılması mümkün hale geldi. Cebirin bu bölünmesi 20. yüzyılın ortalarına kadar sürdü ve iki ismin ortaya çıkmasına yansıdı: “klasik cebir” ve “modern cebir”. İkincisi başka bir isimle daha iyi karakterize edilir: "soyut cebir". Gerçek şu ki, bu bölüm matematikte ilk kez tam bir soyutlamayla karakterize ediliyordu.

Küçük Matematik Ansiklopedisi'ni indirin ve okuyun, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

“Olasılık ve Matematiksel İstatistik” olasılık teorisi, matematiksel istatistikler ve bunların bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki uygulamaları üzerine bir referans yayındır. Ansiklopedi iki bölümden oluşur: ana bölüm inceleme makalelerini, bireysel spesifik problemlere ve yöntemlere ayrılmış makaleleri, temel kavramların tanımlarını veren kısa referansları, en önemli teoremleri ve formülleri içerir. Uygulamalı konulara - bilgi teorisi, kuyruk teorisi, güvenilirlik teorisi, deneysel planlama ve ilgili alanlar - fizik, jeofizik, genetik, demografi ve teknolojinin bireysel dallarına önemli yer ayrılmıştır. Çoğu makaleye, bu konuyla ilgili en önemli eserlerin bir bibliyografyası eşlik etmektedir. Makalelerin başlıkları İngilizce çeviri olarak da verilmektedir. İkinci bölüm - “Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik Antolojisi”, geçmişin yerli ansiklopedileri için yazılmış makalelerin yanı sıra daha önce başka eserlerde yayınlanmış ansiklopedik materyalleri içermektedir. Ansiklopediye, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik konularını kapsayan geniş bir dergi, süreli yayın ve devam eden yayın listesi eşlik etmektedir.
Ansiklopedide yer alan materyal, araştırma ve pratik çalışmalarında olasılıksal yöntemler kullanan matematik ve diğer bilimler alanındaki lisans öğrencileri, yüksek lisans öğrencileri ve araştırmacılar için gereklidir.

Matematik Ansiklopedisi - matematiğin tüm dalları hakkında referans bir yayın. Ansiklopedi, matematiğin en önemli alanlarına ayrılmış inceleme makalelerine dayanmaktadır. Bu tür makaleler için temel gereklilik, teorinin mevcut durumunun gözden geçirilmesinin maksimum sunum erişilebilirliği ile mümkün olan eksiksizliğidir; Bu makalelere genellikle son sınıf matematik öğrencileri, lisansüstü öğrenciler ve matematiğin ilgili alanlarındaki uzmanlar ve bazı durumlarda çalışmalarında matematiksel yöntemler kullanan diğer bilgi alanlarındaki uzmanlar, mühendisler ve matematik öğretmenleri erişebilir. Ayrıca, bireysel spesifik problemler ve matematik yöntemleri üzerine orta ölçekli makaleler sunulmaktadır; Bu makaleler daha dar bir okuyucu kitlesine yöneliktir ve bu nedenle daha az erişilebilir olabilir. Son olarak bir diğer makale türü ise kısa referanslar ve tanımlardır. İlk iki makale türünde bazı tanımlara yer verilmiştir. Ansiklopedi maddelerinin çoğuna, her başlık için seri numaralarını içeren bir referans listesi eşlik eder; bu, makalelerin metinlerinde bunlardan alıntı yapılmasını mümkün kılar. Makalelerin sonunda (kural olarak), makale daha önce yayınlanmışsa yazar veya kaynak belirtilir (çoğunlukla bunlar Büyük Sovyet Ansiklopedisindeki makalelerdir). Makalelerde adı geçen yabancı (eski dönem hariç) bilim adamlarının isimlerinin yanında Latince yazılışı da yer almaktadır (referans listesine bağlantı yoksa).

Ansiklopedideki maddelerin düzenlenme prensibi alfabetiktir. Makalenin başlığı eşanlamlı bir terim ise, ikincisi ana olandan sonra verilir. Çoğu durumda makale başlıkları iki veya daha fazla kelimeden oluşur. Bu durumlarda terimler ya en yaygın halleriyle verilir ya da en önemli anlamı taşıyan kelime ilk sırada yer alır. Bir makalenin başlığı özel bir isim içeriyorsa ilk sıraya yerleştirilir (bu tür makalelere ilişkin referanslar listesi kural olarak terimin adını açıklayan bir birincil kaynak içerir). Makale başlıkları öncelikle tekil olarak verilmektedir.

Ansiklopedi, okuyucunun ele alınan konu hakkında ek bilgi bulabileceği diğer makalelere bağlantılar içeren bir sistemi yaygın olarak kullanır. Tanımda makalenin başlığında yer alan terime atıf yapılmamaktadır.

Yerden tasarruf etmek için makaleler, bazı kelimelerin ansiklopediler için alışılagelmiş kısaltmalarını kullanıyor.

Cilt 1'de çalıştı

"Sovyet Ansiklopedisi" yayınevinin matematik yazı işleri ofisi - V. I. BITYUTSKOV (editör müdürü), M. I. VOITSEKHOVSKY (bilimsel editör), Y. A. GORBKOV (bilimsel editör), A. B. IVANOV (kıdemli bilimsel editör), O A. IVANOVA (kıdemli bilimsel editör) ), T. Y. POPOVA (bilimsel editör), S. A. RUKOVA (kıdemli bilimsel editör), E. G. SOBOLEVSKAYA (editör), L. V. SOKOLOVA (yardımcı editör), L. R. HABIB (yardımcı editör).

Yayınevi personeli: E. P. RYABOVA (edebi editörler). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliyografya). A. F. DALKOVSKAYA (transkripsiyon). N. A. FEDOROVA (satın alma departmanı). 3. A. SUKHOVA (resimlerin baskısı). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (sözlüğün editörü). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (düzeltici). G. V. SMIRNOVA (teknik baskı).

Kapak, sanatçı R.I. MALANICHEV'e aittir.

Cilt 1 hakkında ek bilgi

Yayınevi "Sovyet Ansiklopedisi"

Ansiklopediler, sözlükler, referans kitapları

Yayınevinin bilimsel ve yayın kurulu

A. M. PROKHOROV (başkan), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P. BAZHAN, Y. Y. BARABASH, N. V. BARANOV, N. N. BOGOLYUBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N. GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (Başkan Yardımcısı), V. P. ELUTIN, V. S. EMELYAN. OV, E.M. ZHUKOV, A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. KIRILLIN, I. A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, Y. E. MAKSAREV. , P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVİCH, Y. Y. MATULIS, G. I. NAAN, G. D. OBICHKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M . I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (milletvekili) başkan), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STUCALIN, A. A. SURKOV, M. L. TERENTYEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, Y. E. , S. I. YUTKEVICH. Konsey Sekreteri L.V.

Moskova 1977

Matematik ansiklopedisi. Cilt 1 (A - D)

Genel Yayın Yönetmeni I. M. VINOGRADOV

Yayın kurulu

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (baş editör yardımcısı), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. A. KARATSUBA, L. D. KUDRYAVTSEV, B. M. LEVITAN, K. MARZHANISHVILI, E.F. MISHCHENKO, S.P. NOVIKOV, E.G. POZNYAK, Y.V. PROKHOROV (baş editör yardımcısı), A.G. SVESHNIKOV, A.N. TIKHONOV, P.L. ULYANOV, A.I. SHIRSHOV, S.V. YABLONSKY

Matematik Ansiklopedisi. Ed. kurul: I. M. Vinogradov (baş editör) [ve diğerleri] T. 1 - M., “Sovyet Ansiklopedisi”, 1977

(Ansiklopediler. Sözlükler. Referans kitapları), cilt 1. A - G. 1977. 1152 stb. illus'tan.

9 Haziran 1976'da dizgiye sunuldu. 18 Şubat 1977'de basım için imzalandı. Adını taşıyan Birinci Model Matbaa'da yapılan matrislerden metin basımı yapıldı. A. A. Zhdanova. Kızıl Bayrak İşçi Nişanı yayınevi "Sovyet Ansiklopedisi". 109817. Moskova, Zh - 28, Pokrovsky Bulvarı, 8. T - 02616 Tiraj 150.000 kopya. Sipariş No. 418. Baskı kağıdı No. 1. Kağıt formatı 84xl08 1/14. Cilt 36 fiziksel. pl. ; 60, 48 geleneksel pl. metin. 101, 82 akademik. - ed. l. Kitabın fiyatı 7 ruble. 10 bin.

Kızıl İşçi Bayrağı Emri Moskova Matbaası No. 1 "Soyuzpoligrafproma", SSCB Bakanlar Kurulu Yayın, Basım ve Kitap Ticareti Devlet Komitesi'ne bağlı, Moskova, I - 85, Prospekt Mira, 105. Sipariş No. 865.

Matematik Ansiklopedisi

Matematik Ansiklopedisi- Matematik konularına ayrılmış beş ciltlik Sovyet ansiklopedik yayını. 1985 yılında "Sovyet Ansiklopedisi" yayınevi tarafından yayınlandı. Genel Yayın Yönetmeni: Akademisyen I. M. Vinogradov.

Bu, matematiğin tüm ana dallarını konu alan temel resimli bir yayındır. Kitapta konuyla ilgili kapsamlı materyaller, ünlü matematikçilerin biyografileri, çizimler, grafikler, çizelgeler ve çizelgeler sunulmaktadır.

Toplam hacim: yaklaşık 3000 sayfa. Makalelerin ciltlere göre dağılımı:

Cilt 1: Abaküs - Huygens ilkesi, 576 s.
Cilt 2: D'Alembert operatörü - İşbirliği oyunu, 552 s.
Cilt 3: Koordinatlar - Tek terimli, 592 s.
Cilt 4: Teoremin Gözü - Karmaşık Fonksiyon, 608 s.
Cilt 5: Rastgele Değişken - Hücre, 623 s.
Cilt 5'in eki: dizin, belirtilen yazım hatalarının listesi.

Bağlantılar

Ansiklopediyi elektronik biçimde indirebileceğiniz “Matematiksel Denklemler Dünyası” portalında matematikle ilgili genel ve özel referans kitapları ve ansiklopediler.

Kategoriler:

Kitaplar alfabetik sıraya göre
Matematik literatürü
Ansiklopediler
"Sovyet Ansiklopedisi" yayınevinden kitaplar
SSCB Ansiklopedileri

Wikimedia Vakfı.

2010.
Matematiksel kimya

Kuantum mekaniğinin matematiksel temelleri

Diğer sözlüklerde "Matematik Ansiklopedisi" nin ne olduğuna bakın: Matematiksel mantık

- (teorik mantık, sembolik mantık) matematiğin temellerine ilişkin kanıtları ve soruları inceleyen bir matematik dalı. “Modern matematiksel mantığın konusu çeşitlidir.” P. S. Poretsky'nin tanımına göre, “matematiksel ... ... Wikipedia Ansiklopedi

- (diğer Yunan ἐγκύκλιος παιδεία “tam bir daire içinde öğrenme”, κύκλος daire ve παιδεία öğrenme / ücretli ödemeden yeni Latin ansiklopedisi (16. yüzyıldan önce değil) sisteme getirildi ... Vikipedi ANSİKLOPEDİ - (Yunanca enkyklios ücretlieia'dan tüm bilgi yelpazesinde eğitimden), bilimsel. veya bilimsel Sistematikleştirilmiş bilgiler içeren popüler referans yayını. bilgi birikimi. E.'deki materyal alfabetik veya sistematik olarak düzenlenmiştir. prensip (bilgi dallarına göre).... ...

Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük MATEMATİKSEL MANTIK - modern mantığın ikinci sırada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 başlangıç 20. yüzyıl geleneksel mantığın yerini alacak. Sembolik mantık terimi aynı zamanda mantık biliminin gelişimindeki modern aşamayı ifade eden bir başka isim olarak da kullanılmaktadır. Tanım… …

Felsefi Ansiklopedi MATEMATİKSEL SONSUZLUK - modern mantığın ikinci sırada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 başlangıç 20. yüzyıl geleneksel mantığın yerini alacak. Sembolik mantık terimi aynı zamanda mantık biliminin gelişimindeki modern aşamayı ifade eden bir başka isim olarak da kullanılmaktadır. Tanım… …

- ayrıştırmanın ortak adı. Sonsuzluk fikrinin matematikteki uygulamaları. M. kavramının anlamları arasında olmasına rağmen b. ve sonsuzluk teriminin kullanıldığı diğer anlamlar için kesin bir sınır yoktur (çünkü tüm bu kavramlar sonuçta çok ... ... MATEMATİKSEL İNdüksiyon - modern mantığın ikinci sırada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 başlangıç 20. yüzyıl geleneksel mantığın yerini alacak. Sembolik mantık terimi aynı zamanda mantık biliminin gelişimindeki modern aşamayı ifade eden bir başka isim olarak da kullanılmaktadır. Tanım… …

- tam matematiksel tümevarım (matematikte genellikle basitçe tam tümevarım denir; bu durumda, bu kavram, matematiksel olmayan biçimsel mantıkta ele alınan tam tümevarım kavramından ayırt edilmelidir), - genel önermeleri kanıtlamanın bir yöntemi ... . .. MATEMATİKSEL HİPOTEZ - modern mantığın ikinci sırada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 başlangıç 20. yüzyıl geleneksel mantığın yerini alacak. Sembolik mantık terimi aynı zamanda mantık biliminin gelişimindeki modern aşamayı ifade eden bir başka isim olarak da kullanılmaktadır. Tanım… …

- incelenen fenomen alanının yasasını ifade eden denklemin biçiminde, türünde, karakterinde, onu doğal bir yasa olarak yeni, henüz çalışılmamış bir alana genişletmek amacıyla olası bir değişiklik. M. g. modern zamanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır. teorik... ... SİYASİ İKTİSATTA MATEMATİK OKULU - İngilizce politik ekonomide matematik okulu; Almanca Politischen Okonomie'de matematik Schule. 19. yüzyılın ikinci yarısında ortaya çıkan siyaset ve ekonomiye yön, temsilciler tarafından verildi (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, vb.) ... ...

Sosyoloji Ansiklopedisi- İngilizce sosyolojide matematik okulu; Almanca Soziologie'deki matematik Schule. Sosyolojide 20. yüzyılın ilk yarısında ortaya çıkan bir akım, sosyolojinin kurucuları (A. Zipf, E. Dodd, vb.) bir sosyoloğun teorilerinin... ... - İngilizce politik ekonomide matematik okulu; Almanca Politischen Okonomie'de matematik Schule. 19. yüzyılın ikinci yarısında ortaya çıkan siyaset ve ekonomiye yön, temsilciler tarafından verildi (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, vb.) ... ...

Binaların ve yapıların matematiksel modeli- Binaların ve yapıların matematiksel (bilgisayar) modeli - tasarım, inşaat ve inşaat sırasında ortaya çıkan bir dizi problemi çözerken sayısal hesaplamalar yapmak için binaların ve yapıların sonlu elemanlar diyagramı biçiminde temsili. Yapı malzemelerinin terimleri, tanımları ve açıklamaları ansiklopedisi

Kitaplar

Matematik ansiklopedisi (5 kitaptan oluşan set), . Matematik Ansiklopedisi - matematiğin tüm dalları hakkında kullanışlı bir referans yayını. Ansiklopedi matematiğin en önemli alanlarına ayrılmış makalelere dayanmaktadır. Konum ilkesi...

5 ciltlik Matematik Ansiklopedisi kitabını indirin tamamen ücretsiz.

Dosya barındırma hizmetlerinden ücretsiz bir kitap indirmek için ücretsiz kitabın açıklamasının hemen yanındaki bağlantılara tıklayın.

Sevgili okuyucular, işinize yaramadıysa

Matematik Ansiklopedisi'ni 5 cilt halinde indirin

Yorumlarda bunun hakkında yazın, size kesinlikle yardımcı olacağız.

Umarız kitabı beğenmişsinizdir ve keyifle okumuşsunuzdur. Teşekkür olarak, forumda veya blogda web sitemizin bağlantısını bırakabilirsiniz :) 5 ciltlik Matematik Ansiklopedisi elektronik kitabı, yalnızca kağıt kitap satın alınmadan önce inceleme amacıyla sağlanmıştır ve basılı yayınlara rakip değildir.