Matematiksel beklenti formülü. Matematiksel beklentinin pratik uygulaması

Rastgele değişken Değişken, her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.

Ayrık rassal değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.

örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:

a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemilerin sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırı $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini gösteren ve ikinci satırı karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarını içeren bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerler.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.

2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin beklentisi“merkezi” anlamını belirler. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.

Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini $2$ örneğinden bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı$X$ şuna eşittir:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. left(X \right)\right))^2$.

Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılımın işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Bilindiği gibi dağıtım kanunu tamamıyla bir rastgele değişkeni karakterize etmektedir. Ancak çoğu zaman dağıtım kanunu bilinmez ve kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olabilir; bu tür numaralara denir Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcının attığı sayının matematiksel beklentisinin ikinci atıcıdan daha büyük olduğu biliniyorsa, bu durumda ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve dolayısıyla daha iyi atış yapar. ikincisinden daha. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişken hakkında dağılım yasasından çok daha az bilgi sağlasa da, matematiksel beklentiye ilişkin bilgi, yukarıdaki gibi ve daha birçok problemi çözmek için yeterlidir.

§ 2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Rastgele değişken olsun X yalnızca değer alabilir X 1 , X 2 , ..., X P , olasılıkları sırasıyla eşit R 1 , R 2 , . . ., R P . Daha sonra matematiksel beklenti M(X) rastgele değişken X eşitlikle belirlenir

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .

Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değeri alır, ardından

M(X)=

Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.

Yorum. Tanımdan, ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin rastgele olmayan (sabit) bir miktar olduğu anlaşılmaktadır. Bu ifadeyi daha sonra birçok kez kullanacağımız için hatırlamanızı öneririz. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin de sabit bir değer olduğu daha sonra gösterilecektir.

Örnek 1. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X, dağıtım yasasını bilmek:

Çözüm. Gerekli matematiksel beklenti, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Örnek 2. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşittir R.

Çözüm. Rastgele değer X - olayın gerçekleşme sayısı A bir testte - yalnızca iki değer alabilir: X 1 = 1 (etkinlik A meydana geldi) olasılıkla R Ve X 2 = 0 (etkinlik A gerçekleşmedi) büyük olasılıkla Q= 1 -R. Gerekli matematiksel beklenti

M(X)= 1* P+ 0* Q= P

Bu yüzden, Bir olayın bir denemede meydana gelme sayısına ilişkin matematiksel beklenti, bu olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç aşağıda kullanılacaktır.

§ 3. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilsin P rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edilmiş T 1 çarpı değer X 1 , T 2 çarpı değer X 2 ,...,M k çarpı değer X k , Ve T 1 + T 2 + …+t İle = s. Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı X, eşittir

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle .

Aritmetik ortalamayı bulalım bulunan toplamı toplam test sayısına böldüğümüz rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerler:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle)/P,

= X 1 (M 1 / N) + X 2 (M 2 / N) + ... + X İle (T İle /P). (*)

tutumunu fark ederek M 1 / N- göreceli frekans W 1 değerler X 1 , M 2 / N - göreceli frekans W 2 değerler X 2 vb. için ilişkiyi (*) şu şekilde yazarız:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X İle W k . (**)

Test sayısının oldukça fazla olduğunu varsayalım. Bu durumda bağıl sıklık, olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşittir (bu, Bölüm IX, § 6'da kanıtlanacaktır):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

Göreceli frekansları (**) ilişkisindeki karşılık gelen olasılıklarla değiştirerek şunu elde ederiz:

X 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X İle R İle .

Bu yaklaşık eşitliğin sağ tarafı M(X). Bu yüzden,

M(X).

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı şu şekildedir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı da o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Açıklama 1. Matematiksel beklentinin olası en küçük değerden büyük ve en büyük değerden küçük olduğunu anlamak kolaydır. Yani sayı doğrusunda olası değerler matematiksel beklentinin solunda ve sağında yer alır. Bu anlamda matematiksel beklenti, dağılımın konumunu karakterize eder ve bu nedenle sıklıkla denir. dağıtım merkezi.

Bu terim mekanikten alınmıştır: eğer kütleler R 1 , R 2 , ..., R P apsis noktalarında bulunur X 1 , X 2 , ..., X N, Ve
daha sonra ağırlık merkezinin apsisi

X C =
.

Hesaba katıldığında
= M (X) Ve
alıyoruz M(X)=x İle .

Dolayısıyla, matematiksel beklenti, apsisleri rastgele değişkenin olası değerlerine eşit olan ve kütleleri olasılıklarına eşit olan bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisidir.

Açıklama 2. “Matematiksel beklenti” teriminin kökeni, uygulama kapsamının kumarla sınırlı olduğu olasılık teorisinin ortaya çıktığı ilk dönem (XVI - XVII yüzyıllar) ile ilişkilidir. Oyuncu, beklenen kazancın ortalama değeriyle, başka bir deyişle kazanmanın matematiksel beklentisiyle ilgileniyordu.

Her bir değer tamamen kendi dağılım fonksiyonu tarafından belirlenir. Ayrıca pratik problemleri çözmek için, rastgele bir değişkenin ana özelliklerini kısa bir biçimde sunmanın mümkün olduğu birkaç sayısal özelliği bilmek yeterlidir.

Bu miktarlar öncelikle şunları içerir: beklenen değer Ve dağılım .

Beklenen değer- olasılık teorisindeki rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olarak belirtilir.

En basit şekliyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w), nasıl olduğunu bul integralLebesgue olasılık ölçüsüyle ilgili olarak R orijinal olasılık alanı

Bir değerin matematiksel beklentisini de şu şekilde bulabilirsiniz: Lebesgue integrali itibaren X olasılık dağılımına göre Rx miktarları X:

tüm olası değerlerin kümesi nerede X.

Rastgele bir değişkenden fonksiyonların matematiksel beklentisi X dağıtım yoluyla bulundu Rx. Örneğin, Eğer X- ve değerlerine sahip rastgele bir değişken f(x)- kesin Borel'inişlev X , O:

Eğer F(x)- dağıtım işlevi X, o zaman matematiksel beklenti temsil edilebilir integralLebesgue - Stieltjes (veya Riemann - Stieltjes):

bu durumda entegre edilebilirlik X Açısından ( * ) integralin sonluluğuna karşılık gelir

Belirli durumlarda, eğer X olası değerlerle ayrık bir dağılıma sahiptir x k, k=1, 2, . ve olasılıklar, o zaman

Eğer X olasılık yoğunluğu ile kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir p(x), O

bu durumda matematiksel bir beklentinin varlığı, karşılık gelen serinin veya integralin mutlak yakınsamasına eşdeğerdir.

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

• Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu değere eşittir:

C- devamlı;

• M=C.M[X]

• Rastgele alınan değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

• Bağımsız rastgele alınan değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi = matematiksel beklentilerinin çarpımı:

M=M[X]+M[Y]

Eğer X Ve e bağımsız.

seri yakınsarsa:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.

1. Çiftleri birer birer çarpın: x ben Açık ben.

2. Her çiftin ürününü ekleyin x ben p ben.

Örneğin, İçin N = 4 :

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olasılıkları pozitif işaretli olan noktalarda adım adım aniden artar.

Örnek: Formülü kullanarak matematiksel beklentiyi bulun.

Beklenti ve varyans, bir rastgele değişkenin en yaygın kullanılan sayısal özellikleridir. Dağıtımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve saçılma derecesi. Pek çok pratik problemde, bir rastgele değişkenin tam ve kapsamlı bir özelliği (dağılım yasası) ya hiç elde edilemez ya da hiç ihtiyaç duyulmaz. Bu durumlarda, sayısal özellikler kullanılarak rastgele bir değişkenin yaklaşık tanımıyla sınırlandırılır.

Beklenen değere genellikle basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri denir. Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, yani rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasıdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Önce ayrık bir rastgele değişkenin dağılımının mekanik yorumuna dayanarak matematiksel beklenti kavramına yaklaşalım. Birim kütlenin x eksenindeki noktalar arasında dağıtılmasına izin verin X1 , X 2 , ..., X N ve her maddi noktanın buna karşılık gelen bir kütlesi vardır. P1 , P 2 , ..., P N. Kütleleri dikkate alınarak tüm malzeme noktaları sisteminin konumunu karakterize eden apsis ekseni üzerinde bir nokta seçilmesi gerekir. Maddi noktalar sisteminin kütle merkezini böyle bir nokta olarak almak doğaldır. Bu rastgele değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır X, her noktanın apsisi XBen karşılık gelen olasılığa eşit bir “ağırlık” ile girer. Bu şekilde elde edilen rastgele değişkenin ortalama değeri X matematiksel beklenti denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılıklarının toplamıdır:

Örnek 1. Kazan-kazan piyangosu düzenlendi. 400'ü 10 ruble olmak üzere 1000 kazanç var. Her biri 300-20 ruble. Her biri 200 - 100 ruble. ve her biri 100 - 200 ruble. Bir bilet alan birinin ortalama kazancı nedir?

Çözüm. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 ruble olan toplam kazanç miktarını 1000'e (toplam kazanç miktarı) bölersek ortalama kazancı buluruz. Sonra 50000/1000 = 50 ruble elde ederiz. Ancak ortalama kazancı hesaplamak için kullanılan ifade aşağıdaki biçimde sunulabilir:

Öte yandan bu koşullarda kazanma büyüklüğü 10, 20, 100 ve 200 ruble değerlerini alabilen rastgele bir değişkendir. sırasıyla 0,4'e eşit olasılıklarla; 0,3; 0,2; 0.1. Bu nedenle beklenen ortalama kazanç, kazanç büyüklüğünün ve bunları alma olasılığının çarpımlarının toplamına eşittir.

Örnek 2. Yayıncı yeni bir kitap yayınlamaya karar verdi. Kitabı 280 rubleye satmayı planlıyor; bunun 200'ünü, 50'sini kitapçıdan ve 30'unu da yazardan alacak. Tablo, bir kitabın basım maliyetleri ve kitabın belirli sayıda nüshasının satılma olasılığı hakkında bilgi sağlar.

Yayıncının beklenen kârını bulun.

Çözüm. Rastgele değişken "kar", satışlardan elde edilen gelir ile giderlerin maliyeti arasındaki farka eşittir. Örneğin bir kitabın 500 nüshası satılırsa satıştan elde edilen gelir 200 * 500 = 100.000, basım maliyeti ise 225.000 ruble olur. Böylece yayıncı 125.000 ruble zararla karşı karşıya kalıyor. Aşağıdaki tablo, rastgele değişken - kârın beklenen değerlerini özetlemektedir:

Böylece yayıncının kârının matematiksel beklentisini elde ederiz:

.

Örnek 3. Tek atışta vurma ihtimali P= 0,2. Vuruş sayısının 5'e eşit olduğuna dair matematiksel bir beklenti sağlayan mermi tüketimini belirleyin.

Çözüm. Şu ana kadar kullandığımız aynı matematiksel beklenti formülünden, X- kabuk tüketimi:

.

Örnek 4. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirleme X Her atışta bir vuruş olasılığı varsa, üç atıştaki vuruş sayısı P = 0,4 .

İpucu: rastgele değişken değerlerinin olasılığını bulun Bernoulli'nin formülü .

Matematiksel beklentinin özellikleri

Matematiksel beklentinin özelliklerini ele alalım.

Mülk 1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi bu sabite eşittir:

Mülk 2. Sabit faktör matematiksel beklenti işaretinden çıkarılabilir:

Mülk 3. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına (farkına) eşittir:

Mülk 4. Rastgele değişkenlerin bir ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

Mülk 5. Bir rastgele değişkenin tüm değerleri ise X aynı sayıda azalma (artış) İLE, o zaman matematiksel beklentisi aynı sayı kadar azalacaktır (artacaktır):

Kendinizi yalnızca matematiksel beklentiyle sınırlayamadığınızda

Çoğu durumda, yalnızca matematiksel beklenti bir rastgele değişkeni yeterince karakterize edemez.

Rastgele değişkenler olsun X Ve e aşağıdaki dağıtım yasalarıyla verilmektedir:

Bu niceliklerin matematiksel beklentileri aynıdır - sıfıra eşittir:

Ancak bunların dağılım şekilleri farklıdır. Rastgele değer X yalnızca matematiksel beklentiden çok az farklı olan değerleri alabilir ve rastgele değişken e matematiksel beklentiden önemli ölçüde sapan değerler alabilir. Benzer bir örnek: Ortalama ücret, yüksek ve düşük ücretli çalışanların payını değerlendirmeyi mümkün kılmıyor. Başka bir deyişle, matematiksel beklentiden, en azından ortalama olarak, ondan ne tür sapmaların mümkün olduğuna karar verilemez. Bunu yapmak için rastgele değişkenin varyansını bulmanız gerekir.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı

Varyans Ayrık rassal değişken X matematiksel beklentiden sapmanın karesinin matematiksel beklentisi denir:

Rastgele bir değişkenin standart sapması X varyansının karekökünün aritmetik değeri denir:

.

Örnek 5. Rastgele değişkenlerin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplama X Ve e dağıtım yasaları yukarıdaki tablolarda verilmiştir.

Çözüm. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri X Ve e yukarıda da görüldüğü gibi sıfıra eşittir. Dispersiyon formülüne göre e(X)=e(sen)=0 şunu elde ederiz:

Daha sonra rastgele değişkenlerin standart sapmaları X Ve e makyaj yapmak

.

Böylece aynı matematiksel beklentilerle rastgele değişkenin varyansı Xçok küçük ama rastgele bir değişken e- önemli. Bu, dağılımlarındaki farklılıkların bir sonucudur.

Örnek 6. Yatırımcının 4 adet alternatif yatırım projesi bulunmaktadır. Tablo, bu projelerde beklenen karı karşılık gelen olasılıkla özetlemektedir.

Her alternatif için matematiksel beklentiyi, varyansı ve standart sapmayı bulun.

Çözüm. 3. alternatif için bu değerlerin nasıl hesaplandığını gösterelim:

Tablo, tüm alternatifler için bulunan değerleri özetlemektedir.

Tüm alternatifler aynı matematiksel beklentilere sahiptir. Bu, uzun vadede herkesin aynı gelire sahip olduğu anlamına gelir. Standart sapma bir risk ölçüsü olarak yorumlanabilir; ne kadar yüksek olursa, yatırımın riski de o kadar büyük olur. Fazla risk istemeyen bir yatırımcı, standart sapması en küçük (0) olduğu için proje 1'i seçecektir. Eğer yatırımcı kısa vadede risk ve yüksek getiriyi tercih ediyorsa, standart sapması en büyük olan projeyi (Proje 4) seçecektir.

Dispersiyon özellikleri

Dispersiyonun özelliklerini sunalım.

Mülk 1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır:

Mülk 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

.

Mülk 3. Rastgele bir değişkenin varyansı, bu değerin karesinin matematiksel beklentisine eşittir; bu değerden, değerin kendisinin matematiksel beklentisinin karesi çıkarılır:

,

Nerede .

Mülk 4. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) varyansı, varyanslarının toplamına (farkına) eşittir:

Örnek 7. Ayrık bir rastgele değişkenin olduğu bilinmektedir. X yalnızca iki değer alır: −3 ve 7. Ayrıca matematiksel beklenti de bilinmektedir: e(X) = 4 . Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

Çözüm. ile belirtelim P rastgele bir değişkenin değer alma olasılığı X1 = −3 . O zaman değerin olasılığı X2 = 7 1 olacak – P. Matematiksel beklentinin denklemini çıkaralım:

e(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

olasılıkları nereden alıyoruz: P= 0,3 ve 1 − P = 0,7 .

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:

Bu rastgele değişkenin varyansını, dağılımın 3. özelliğindeki formülü kullanarak hesaplıyoruz:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın.

Örnek 8. Ayrık rassal değişken X yalnızca iki değer alır. 0,4 olasılıkla 3 değerinden büyük olanı kabul eder. Ayrıca rastgele değişkenin varyansı da bilinmektedir. D(X) = 6 . Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun.

Örnek 9. Torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Torbadan 3 top çekiliyor. Çekilen toplar arasındaki beyaz topların sayısı ayrık bir rastgele değişkendir X. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm. Rastgele değer X 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. Karşılık gelen olasılıklar şu şekilde hesaplanabilir: olasılık çarpım kuralı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:

Dolayısıyla bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Belirli bir rastgele değişkenin varyansı:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Sürekli rastgele değişkenin beklentisi ve varyansı

Sürekli bir rastgele değişken için, matematiksel beklentinin mekanik yorumu aynı anlamı koruyacaktır: x ekseni üzerinde yoğunlukla sürekli olarak dağıtılan birim kütlenin kütle merkezi F(X). Fonksiyon argümanı olan ayrık bir rastgele değişkenden farklı olarak XBen aniden değişir; sürekli bir rastgele değişken için argüman sürekli olarak değişir. Ancak sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı zamanda ortalama değeriyle de ilgilidir.

Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak için belirli integralleri bulmanız gerekir. . Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu verilirse, o zaman doğrudan integrale girer. Bir olasılık dağılım fonksiyonu verilirse, bunun farklılığını alarak yoğunluk fonksiyonunu bulmanız gerekir.

Sürekli bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin aritmetik ortalamasına denir. matematiksel beklenti veya ile gösterilir.

– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.

Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:

Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.

Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:

– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).

Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)

Ancak hipotezleriniz?

2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.

Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir

İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır:

Terim oldukça sık kullanılıyor sıra dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.

Ve şimdi çok önemli bir nokta: rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:

veya özet olarak yazılmışsa:

Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir:

Yorum yok.

Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:

örnek 1

Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası vardır:

...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle üzerinde çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.

Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir:

“Partizanı” ifşa etmek:

– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.

Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.

Cevap:

Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:

Örnek 2

Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.

Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.

Toplamda böyle 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.

Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:

Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!

Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa:

Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:

Örnek 3

Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.

...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Basit bir ifadeyle bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin sırasıyla. O zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:

veya çöktü:

Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:

Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:

Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:

Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.

Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!

Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve sana bu tür oyunlar oynamanı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.

Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.

Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:

Örnek 4

Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?

Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.

Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa ve tablolara ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey