Doğrusal olmayan denklem sistemleri için yineleme yöntemi. Sayısal yöntemler: doğrusal olmayan denklemleri çözme

Çeşitli olayların veya süreçlerin matematiksel yöntemler kullanılarak incelenmesi matematiksel bir model kullanılarak gerçekleştirilir. . Matematiksel model, incelenen nesnenin doğrusal, doğrusal olmayan veya diferansiyel denklem sistemleri, eşitsizlik sistemleri, belirli bir integral, bilinmeyen katsayılı bir polinom vb. aracılığıyla resmileştirilmiş bir açıklamasıdır. Matematiksel model, nesnenin en önemli özelliklerini kapsamalıdır. araştırılmakta ve aralarındaki bağlantılar yansıtılmaktadır.

Matematiksel model derlendikten sonra hesaplama probleminin formülasyonuna geçin. . Aynı zamanda matematiksel modelin hangi özelliklerinin başlangıç ​​(girdi) verileri olduğu belirlenir. , hangisi - model parametreleri , ve hangisi - çıktı verileri. Ortaya çıkan problem, çözümün varlığı ve tekliği açısından analiz edilir.

Bir sonraki aşamada problemin çözümü için bir yöntem seçilir. Pek çok özel durumda, temel işlevlerle ifade edilmediğinden soruna açık biçimde çözüm bulmak mümkün değildir. Bu tür problemler ancak yaklaşık olarak çözülebilir. Hesaplamalı (sayısal) yöntemler, belirli sayısal değerler biçiminde bir çözüm elde edilmesini sağlayan yaklaşık prosedürler anlamına gelir. Hesaplamalı yöntemler genellikle bilgisayarda uygulanır. Aynı sorunu çözmek için çeşitli hesaplama yöntemleri kullanılabilir; bu nedenle, çeşitli yöntemlerin kalitesini ve belirli bir sorun için bunların kullanımının etkinliğini değerlendirebilmeniz gerekir.

Daha sonra seçilen hesaplama yöntemini uygulamak için bir algoritma ve bilgisayar programı derlenir. . Modern bir mühendisin, bir sorunu bilgisayarda uygulamaya uygun bir forma dönüştürebilmesi ve böyle bir sorunu çözmek için bir algoritma oluşturabilmesi önemlidir.

Şu anda, çok çeşitli problemleri çözmek için en genel yöntemleri uygulayan paketler olarak yaygın şekilde kullanılmaktadırlar (örneğin, Mathcad,
MatLAB) ve özel problemlerin çözümüne yönelik yöntemleri uygulayan paketler.

Hesaplama sonuçları analiz edilir ve yorumlanır. Gerekirse yöntem parametreleri ve bazen de matematiksel model ayarlanır ve problemin çözümünde yeni bir döngü başlar.

1.1. Sorunun beyanı

Bir fonksiyon verilsin ve bunun için değerlerin tamamını veya bir kısmını bulmanız gerekiyor.

,'nin çağrıldığı değer kök(veya karar) denklemler. Bir fonksiyonun genellikle kökün komşuluğunda iki kez sürekli türevlenebilir olduğu varsayılır.

Denklemin kökü denir basit, fonksiyonun bir noktadaki birinci türevi sıfıra eşit değilse, yani. Eğer öyleyse kök çağrılır çoklu kök.

Geometrik olarak denklemin kökü, fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni ile kesiştiği noktadır. Şek. Şekil 1'de dört kökü olan bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir: ikisi basit ve ikisi çoklu.

Denklem çözme yöntemlerinin çoğu basit kökleri bulmaya odaklanır.

1.2. Çözüm bulmanın ana aşamaları

Bir denklemin köklerini yaklaşık olarak bulma sürecinde genellikle iki aşama ayırt edilir: yerelleştirme(veya kökün ayrılması) Ve kök açıklama.

Kök lokalizasyonu, bir ve yalnızca bir kök içeren bir segmentin tanımlanmasını içerir. Evrensel bir kök yerelleştirme algoritması yoktur. Bazen bir grafik veya fonksiyon değerleri tablosu oluşturarak kökü yerelleştirmek uygun olabilir. Bir doğru parçası üzerinde bir kökün varlığı, parçanın uçlarındaki fonksiyonun işaretlerindeki farklılık ile gösterilir. Bunun temeli aşağıdaki teoremdir.

Teorem . Bir fonksiyon bir parça üzerinde sürekli ise ve uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alıyorsa, parça denklemin en az bir kökünü içeriyor demektir.

Ancak çift katlı bir kök bu şekilde lokalize edilemez çünkü böyle bir kökün komşuluğunda fonksiyon sabit bir işarete sahiptir. Kök iyileştirme aşamasında, kökün yaklaşık değeri belirli bir doğrulukla hesaplanır. Kökün yaklaşık değeri çeşitli yinelemeli yöntemler kullanılarak iyileştirilir. Bu yöntemlerin özü, köke yakın olan değerleri sırayla hesaplamaktır.

1.3. Yarım bölme yöntemi

Yarım yöntemi, doğrusal olmayan bir denklemi çözmenin en basit ve en güvenilir yoludur. Ön analizden denklemin kökünün segment üzerinde olduğu bilinsin, yani. Fonksiyonun bir parça üzerinde sürekli olmasına izin verin ve parçanın uçlarındaki farklı işaretlerin değerlerini alın, yani. .

Segmenti ikiye bölün. Bir noktaya değinelim. Bu noktada fonksiyonun değerini hesaplayalım: . Eğer , o zaman istenen köktür ve sorun çözülür. Eğer , o zaman - belirli bir işaretin sayısı: ya da. Daha sonra ya parçanın uçlarında ya da parçanın uçlarında fonksiyonun değerleri farklı işaretlere sahiptir. Böyle bir segmenti belirtelim. Açıkçası, segmentin uzunluğu, segmentin uzunluğundan iki kat daha azdır. Aynısını segment için de yapalım. Sonuç olarak ya bir kök ya da yeni bir segment vb. elde ederiz (Şekil 2).

Üçüncü segmentin ortası. Açıkçası, segmentin uzunluğu eşit olacaktır ve o zamandan beri

Bitiş kriteri.İlişkiden (1) şu sonuç çıkar: belirli bir yaklaşım doğruluğu için eşitsizlik veya eşitsizlik karşılandığında hesaplama sona erer. Böylece tekrar sayısı önceden belirlenebilir. Değer kökün yaklaşık değeri olarak alınır.

Örnek. Yaklaşık olarak doğrulukla bulalım. Bu problem bir denklemi çözmeye veya bir fonksiyonun sıfırını bulmaya eşdeğerdir. Segmenti başlangıç ​​segmenti olarak alalım. Bu parçanın uçlarında fonksiyon farklı işaretlere sahip değerler alır: . Gerekli doğruluğu elde etmek için gerekli parçanın bölüm sayısını bulalım. Sahibiz:

Bu nedenle en geç 6. bölümü gerekli doğrulukla bulacağız. Hesaplama sonuçları Tablo 1'de sunulmaktadır.

Tablo 1

1.4. Basit yineleme yöntemi

Denklem eşdeğer denklemle değiştirilsin

Başlangıç ​​yaklaşımını bir şekilde seçelim. Fonksiyonun değerini hesaplayalım ve rafine edilmiş değeri bulalım. Şimdi denklem (1)'i yerine koyalım ve yeni bir yaklaşım elde edelim, vb. Bu süreci süresiz olarak sürdürerek köke yönelik bir dizi yaklaşım elde ederiz:

Formül (3) hesaplama formülü basit yineleme yöntemi.

Dizinin noktasında yakınsaması durumunda, yani mevcutsa

ve fonksiyon sürekli ise, o zaman (3)'teki limite geçerek ve (4)'ü hesaba katarak şunu elde ederiz: .

Dolayısıyla , denklem (2)'nin köküdür.

Yöntemin yakınsaması. Basit yineleme yönteminin yakınsaması aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Fonksiyonun aralıkta tanımlı ve türevlenebilir olmasına izin verin ve tüm değerleri . Daha sonra koşul sağlanırsa:

1) yineleme süreci başlangıç ​​değerine bakılmaksızın yakınsar;

2) Limit değeri segmentteki denklemin tek köküdür.

Kanıt. ve'den beri yazabiliriz

Ortalama değer teoremine göre (bir fonksiyonun türevinin belirli bir aralıkta sürekli olması durumunda, ve noktaları arasında çizilen kirişin eğim açısının tanjantının (yani fonksiyonun türevine eşit olduğunu belirtir) ve ) arasında kalan bir ara noktada, son ifadedeki bölüm, kök arama aralığındaki bir ara nokta olan 'ya eşit olacaktır.

Arama aralığının tamamı için bir gösterim eklersek önceki eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

Aynı şekilde. O zaman eşitsizlik aşağıdakiler için geçerli olacaktır: vb. Bu hesaplamalara devam edersek sonuç şudur: burada bir doğal sayıdır. Dolayısıyla yöntemin yakınsaması için aşağıdaki eşitsizliğin sağlanması gerekir: .

Birden az olması gerektiği sonucu çıkıyor. Buna karşılık, 'den küçük diğer tüm değerler için şunu yazabiliriz: . İlişkiden sayıyı belirliyoruz. O halde aşağıdaki eşitsizlik doğrudur (aşağıdaki türetmeye bakın): . Kökün gerçek değerinin yaklaşık değerden miktar kadar farklı olması şartını koyarsak, yani. , eşitsizlik sağlanana kadar yaklaşımlar hesaplanmalıdır.

veya ve sonra .

Eşitsizliğin türetilmesi Ardışık iki yaklaşımı düşünün: ve . Buradan.

Ortalama değer teoremini kullanarak şunu elde ederiz:

o zaman koşula bağlı olarak şunu yazabiliriz:

Öte yandan, izin verin. Şurası açık ki. Buradan bunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

Sonra veya.

Önceki formülü kullanarak şunları elde edebilirsiniz:

Elde ettiğimiz fonksiyonun sürekliliği nedeniyle eşitlik (3)'teki limite yani (2) denkleminin köküne geçelim. Başka kök yoktur, çünkü if , o zaman , o zaman , nerede . Sıfıra eşitlik sağlanırsa. Yani tek bir kök vardır.

Teorem kanıtlandı.

Denklemi forma indirgemek
eşitsizliğin sağlanmasını sağlamak

Genel durumda, orijinal denklemin eşdeğer bir dönüşümünü gerçekleştirerek, örneğin bunu katsayı ile çarparak uygun bir yinelemeli form elde etmek mümkündür: . Daha sonra denklemin her iki tarafına da ekleme yaparak ve ifade ederek, yeterli bir koşulun yerine getirilmesini isteyebiliriz. Buradan gerekli değer belirlenir. Koşulun tüm segment boyunca karşılanması gerektiğinden, seçim için bu segmentteki en büyük değer kullanılmalıdır;

Bu oran, katsayı değerlerinin aralığını belirler ve değeri sınırlar dahilinde değiştirir.

Genellikle kabul edilir.

Şek. Şekil 3-6, çizgilerin göreceli konumlarının ve karşılık gelen yinelemeli süreçlerin dört durumunu göstermektedir. Pirinç. 3 ve 4 duruma karşılık gelir ve yinelemeli süreç yakınsar. Ayrıca, eğer (Şekil 3) yakınsama tek taraflı ise ve eğer (Şekil 4), yakınsama iki taraflıysa, salınımlıdır. Pirinç. 5 ve 6 duruma karşılık gelir - yineleme süreci farklıdır. Bu durumda tek taraflı (Şek. 5) ve çift taraflı (Şek. 6) ıraksama söz konusu olabilir.

Yöntem hatası. Hata tahmini kanıtlanmıştır (5).

Bitiş kriteri. Tahmin (5)'ten, eşitsizlik sağlanana kadar hesaplamalara devam edilmesi gerektiği sonucu çıkmaktadır. Eğer öyleyse, tahmin basitleştirilir: .

Örnek 1. Denklemi çözmek için basit yineleme yöntemini kullanıyoruz. Denklemi şu şekle dönüştürelim:

, yani. .

Denklemin kökünün segment üzerinde olduğunu doğrulamak kolaydır. Segmentin uçlarındaki değerleri hesapladıktan sonra şunu elde ederiz: , a, yani segmentin uçlarındaki fonksiyonun farklı işaretleri var,

bu nedenle segmentin içinde bir kök vardır. Kökün konumu Şekil 2'de açıkça gösterilmiştir. 7.

Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım:

Segment üzerinde olduğundan türev bu segmentte monoton olarak artar ve maksimum değerini segmentin sağ ucunda yani noktasında alır. . Bu nedenle aşağıdaki değerlendirme doğrudur:

Böylece koşul sağlanır ve hesaplamaları sonlandırma kriteri kullanılabilir. Tabloda Şekil 2, hesaplama formülü kullanılarak elde edilen yaklaşımları göstermektedir. İlk yaklaşım olarak seçilen değer .

Tablo 2

Sonlandırma kriteri şu durumlarda sağlanır: . Yakınsama iki yönlüdür; bu yakınlaşmanın niteliksel doğası Şekil 1'de gösterilmektedir. 4. Kökün gerekli doğrulukla yaklaşık değeri.

Örnek 2. Denklemi basit yineleme yöntemini kullanarak 0,025 doğrulukla bir parça üzerinde çözün. Çözmek için orijinal denklem forma indirgenir. Bir değer seçmek için yukarıdaki formülü kullanırız. Daha sonra hesaplama formülü şuna benzer: İlk yaklaşım olarak belirli bir bölümün üst sınırını seçebilirsiniz.

O zamandan beri.

1.5. Newton yöntemi (teğet yöntemi)

Newton yöntemi doğrusal olmayan denklemlerin çözümünde en etkili yöntemdir. Kök olsun, yani . Fonksiyonun aralıkta sürekli olduğunu ve aralıkta iki kez sürekli türevlenebilir olduğunu varsayalım. Hadi koyalım . Fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizelim (Şekil 8).

Teğet denklemi şöyle görünecektir: .

İlk kesişimi, bu teğetin eksenle kesişme noktasının apsisini alarak, yani şunu koyarak elde ederiz: .

Aynısını noktayla, sonra noktayla vb. yapacağız, sonuç olarak bir yaklaşımlar dizisi elde edeceğiz ve

Formül (6) Newton yönteminin hesaplama formülü.

Newton yöntemi, basit yineleme yönteminin özel bir durumu olarak düşünülebilir;

Yöntemin yakınsaması. Newton yönteminin yakınsaması aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Denklemin basit bir kökü olsun ve bu kökün bazı komşuluklarında fonksiyon iki kez sürekli türevlenebilir olsun. O zaman kökün o kadar küçük bir komşuluğu vardır ki, bu komşuluktan keyfi bir başlangıç ​​yaklaşımı seçimiyle, formül (6) ile tanımlanan yineleme dizisi bu komşuluğun ötesine geçmez ve tahmin geçerlidir:

Newton yönteminin yakınsaması, ilk tahminin köke ne kadar yakın seçildiğine bağlıdır.

İlk yaklaşımın seçimi. Kökü içeren bir segment olsun. İlk yaklaşım olarak parçanın sonunu seçersek, o zaman yinelemeler (6) monoton olarak yakınsar. Pirinç. Şekil 8, ilk yaklaşım olarak parçanın sağ ucunun seçildiği duruma karşılık gelir: (Burada).

Yöntem hatası. Tahmin (7) pratik kullanım için uygun değildir. Uygulamada aşağıdaki hata tahminleri kullanılır:

Bitiş Kriterleri . Tahmin (8), Newton yönteminin yinelemelerinin sonu için aşağıdaki kriteri formüle etmemize olanak sağlar. Belirli bir doğruluk için eşitsizlik sağlanana kadar hesaplamalar yapılmalıdır.

Örnek. Denklemin negatif kökünü Newton yöntemini kullanarak 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Kökü ayırarak kökün aralıkta lokalize olmasını sağlayabilirsiniz. Bu aralıkta ve . ve olduğundan beri alabiliriz.

. Bu yüzden . Sonuç olarak aşağıdakileri elde ederiz ve bu nedenle .

O zamandan beri

Çözüm Word formatında hazırlanmıştır.

Bir işleve girme kuralları

Denklemleri sayısal olarak çözmenin en etkili yollarından biri yineleme yöntemi. Bu yöntemin özü aşağıdaki gibidir. f(x)=0 denklemi verilsin.
Bunu eşdeğer denklemle değiştirelim
Kök x 0'ın başlangıç ​​yaklaşımını seçelim ve bunu denklemin (1) sağ tarafına koyalım. Sonra bir sayı alırız

x 1 =φ(x 0). (2)

x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)

Veya ξ=φ(ξ).
Dolayısıyla, ξ limiti denklemin (1) köküdür ve formül (3) kullanılarak herhangi bir doğruluk derecesiyle hesaplanabilir.

Pirinç. 1a Şek. 1b

Pirinç. 2.

|φ′(x)|>1 - ıraksak süreç

Şekil 1a, 1b'de |φ′(x)| kökünün yakınında.<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, o zaman yineleme süreci farklı olabilir (bkz. Şekil 2).

Yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşullar

φ′(x n)(x n -x n-1)

x n ∈ nerede
Sonra alırız

|x n+1 -x n |≤φ′(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |

|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (4)

ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
veya
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |

, (5)

. (6)

|x n -x n -1 |<ε

Yineleme yönteminin yakınsaması yakınsama katsayısı α=q ile doğrusaldır. Gerçekten de elimizde
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c)·(ξ-x n-1), dolayısıyla |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.

Yorum. x= φ(x) denkleminin ξ∈(a,b) kökünün bir komşuluğunda φ’(x) türevinin sabit bir işaretini koruduğunu ve |φ’(x)|≤q eşitsizliğinin olduğunu varsayalım.<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Eğer φ’(x) negatifse, ardışık yaklaşımlar kök etrafında salınır.
f(x)=0 denklemini x= φ(x) biçiminde temsil etmenin bir yolunu düşünelim.
φ(x) fonksiyonu |φ’(x)| olacak şekilde belirtilmelidir. kökün yakınında küçüktü.
M 1 ve M 1 bilinsin - f'(x) türevinin en küçük ve en büyük değerleri
0f(x)=0 denklemini eşdeğer denklemiyle değiştirelim
x = x - λf(x).
φ(x) = x- λf(x)'i ayarlayalım. λ parametresini, kök ξ civarında eşitsizlik olacak şekilde seçelim.

0≤|φ′(x)|=|1-λ·f′(x)|≤q≤1

0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q

x n = x n -1 – f(x n)/f’(x).

Excel'de Yineleme Yöntemi

Yineleme yöntemini kullanarak bir fonksiyonun sıfırlarını bulma işlemi aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Bu hizmeti kullanarak bir şablon edinin.
2. B2, B3 hücrelerindeki aralıkları belirtin.
3. Yineleme satırlarını gereken duyarlılığa kopyalayın (D sütunu).

Örnek. e -x -x=0, x=∈, ε=0,001 denkleminin kökünü bulun (8)
Çözüm.
Denklemi (8) x=x-λ(e -x -x) formunda temsil edelim.
f(x)= e - x -x fonksiyonunun türevinin maksimum değerini bulalım.
maksimum f′(x)=maks(-(e -x +1)) ≈ -1,37. Anlam . Böylece aşağıdaki denklemi çözüyoruz
x=x+0,73(e - x -x)
Ardışık yaklaşımların değerleri tabloda verilmiştir.

Doğrusal olmayan denklemleri çözme

Diyelim ki denklemi çözmemiz gerekiyor

Nerede
– doğrusal olmayan sürekli fonksiyon.

Denklem çözme yöntemleri doğrudan ve yinelemeli olarak ikiye ayrılır. Doğrudan yöntemler, bir formülü kullanarak bir çözümü hesaplamanıza (örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma) olanak tanıyan yöntemlerdir.

İteratif yöntemler, bazı başlangıç ​​yaklaşımlarının belirlendiği ve kesin çözüme yakınlaşan bir yaklaşımlar dizisinin oluşturulduğu, sonraki her bir yaklaşımın öncekiler kullanılarak hesaplandığı yöntemlerdir.

Sorunun tam çözümü 3 aşamaya ayrılabilir:

Denklemin (1) köklerinin sayısını, niteliğini ve konumunu belirleyin.

Köklerin yaklaşık değerlerini bulun, yani.

köklerin büyüyeceği aralıkları belirtin (kökleri ayırın).

Köklerin değerini gerekli doğrulukla bulun (kökleri belirtin).
İlk iki problemin çözümü için çeşitli grafiksel ve analitik yöntemler vardır. Denklemin (1) köklerini ayırmanın en belirgin yöntemi, fonksiyonun grafiğinin kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemektir.
apsis ekseni ile. Apsisler
grafik kesişme noktaları

akslı

denklemin kökleri (1)
Denklemin (1) kökleri için izolasyon aralıkları, bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özelliklerine ilişkin teoremlere dayanarak analitik olarak elde edilebilir.
Örneğin, fonksiyon
segmentte sürekli
Denklemin (1) en az bir kökü vardır (tek sayıda kök).

Eğer fonksiyon
Bolzano-Cauchy teoreminin koşullarını karşılar ve bu aralıkta monotondur, sonra
Denklemin (1) yalnızca bir kökü vardır. Dolayısıyla denklem (1) vardır.
Aşağıdaki koşullar karşılanırsa tek bir kök:

Eğer bir fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli olarak türevlenebilirse, o zaman Rolle teoreminden bir sonuç kullanabiliriz; buna göre bir kök çifti arasında her zaman en az bir durağan nokta bulunur. Bu durumda sorunu çözmek için algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

Kökleri ayırmak için kullanışlı bir araç da Sturm teoreminin kullanılmasıdır.

Üçüncü problemin çözümü çeşitli yinelemeli (sayısal) yöntemlerle gerçekleştirilir: dikotomi yöntemi, basit yineleme yöntemi, Newton yöntemi, akor yöntemi vb.

Örnek Denklemi çözelim
yöntem basit yineleme. Hadi ayarlayalım
. Fonksiyonun grafiğini oluşturalım.

Grafik, denklemimizin kökünün segmente ait olduğunu gösteriyor
yani
denklemimizin kökünün izolasyon segmentidir. Bunu analitik olarak kontrol edelim, yani. koşulların yerine getirilmesi (2):

Basit iterasyon yönteminde orijinal denklemin (1) forma dönüştürüldüğünü hatırlayalım.
ve yinelemeler aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

(3)

Formül (3)'ü kullanarak hesaplamalar yapmaya bir yineleme denir. Koşul karşılandığında yinelemeler durur
, Nerede - kökü bulmada mutlak hata veya
, Nerede -göreceli hata.

Koşul yerine getirilirse basit yineleme yöntemi yakınsar
İçin
. Bir işlev seçme
yinelemeler için formül (3)'te yöntemin yakınsamasını etkileyebilirsiniz. En basit durumda
artı veya eksi işaretiyle.

Uygulamada sıklıkla ifade edilir
doğrudan denklemden (1). Yakınsama koşulu karşılanmıyorsa, onu (3) formuna dönüştürün ve seçin. Denklemimizi formda temsil edelim
(denklemden x'i ifade edin). Yöntemin yakınsama durumunu kontrol edelim:

İçin
. Lütfen yakınsama koşulunun sağlanmadığını unutmayın.
, bu yüzden kök yalıtımının bir bölümünü alıyoruz
. Bu arada, denklemimizi formda sunarken şunu not ediyoruz:
, yöntemin yakınsama koşulu karşılanmadı:
segmentte
. Grafik şunu gösteriyor
fonksiyondan daha hızlı artar
(|tg| teğetin eğim açısı
segmentte
)

Haydi seçelim
. Yinelemeleri aşağıdaki formüle göre düzenliyoruz:

Yineleme sürecini belirli bir doğrulukla programlı olarak düzenliyoruz:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

abs(x1-x)> eps bunu yaparken

x1:=f1(x):

yazdır(evalf(x1,8)):

yazdır(mutlak(x1-x))):

:printf("Yineleme sayısı.=%d ",k):

son:

19. yinelemede denklemimizin kökünü aldık

mutlak hatayla

Denklemimizi çözelim Newton'un yöntemi. Newton yöntemindeki yinelemeler aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

Newton yöntemi, bir fonksiyonla basit yineleme yöntemi olarak düşünülebilirse, Newton yönteminin yakınsaklığının koşulu şu şekilde yazılacaktır:

.

Bizim notasyonumuzda
ve segmentte yakınsama koşulu karşılanıyor
grafikte görülebileceği gibi:

Newton yönteminin ikinci dereceden bir hızda yakınsadığını ve ilk yaklaşımın köke yeterince yakın seçilmesi gerektiğini hatırlayın. Hesaplamaları yapalım:
, başlangıç ​​yaklaşımı, . Yinelemeleri aşağıdaki formüle göre düzenliyoruz:

Yineleme sürecini belirli bir doğrulukla programlı olarak düzenliyoruz. 4. yinelemede denklemin kökünü elde ederiz

İle
Örnek olarak kübik denklemleri kullanarak doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerine baktık; doğal olarak bu yöntemler çeşitli doğrusal olmayan denklem türlerini çözer. Örneğin denklemi çözmek

Newton'un yöntemi ile
, [-1.5;-1]'deki denklemin kökünü bulun:

Egzersiz yapmak: Doğrusal olmayan denklemleri doğrulukla çözün

0.

bir parçayı ikiye bölmek (ikilik)

basit yineleme.

Newton (teğetler)

Sekantlar – akorlar.

Görev seçenekleri şu şekilde hesaplanır: listedeki sayı 5'e bölünür (
), tamsayı kısmı denklem numarasına, geri kalanı ise yöntem numarasına karşılık gelir.

Egzersiz yapmak:

1) Yineleme yöntemini kullanarak sistemi çözün

2) Newton yöntemini kullanarak sistemi çözün

0,001 doğrulukla doğrusal olmayan denklemler.

Görev No. 1 Yineleme yöntemini kullanarak, doğrusal olmayan denklem sistemini 0,001 doğrulukla çözün.

Teorik kısım.

Yineleme yöntemi matematik problemlerini sayısal olarak çözme yöntemidir. Bunun özü, bir sonraki, daha doğru yaklaşım için istenen değerin bilinen bir yaklaşımına (yaklaşık değeri) dayalı bir arama algoritması bulmaktır. Belirtilen algoritmaya göre yaklaşım sırasının yakınsaması durumunda kullanılır.

Bu yöntem aynı zamanda ardışık yaklaşımlar yöntemi, tekrarlanan ikameler yöntemi, basit yinelemeler yöntemi vb. olarak da adlandırılır.

Newton'un yöntemi Newton'un algoritması (teğet yöntemi olarak da bilinir), belirli bir fonksiyonun kökünü (sıfır) bulmak için yinelemeli bir sayısal yöntemdir. Yöntem ilk olarak İngiliz fizikçi, matematikçi ve gökbilimci Isaac Newton (1643-1727) tarafından önerildi. Çözüm arayışı ardışık yaklaşımlar oluşturularak gerçekleştirilir ve basit yineleme ilkelerine dayanır. Yöntem ikinci dereceden yakınsamaya sahiptir. Yöntemin bir geliştirmesi akorlar ve teğetler yöntemidir. Newton'un yöntemi aynı zamanda çok boyutlu bir uzay durumunda birinci türevin veya gradyanın sıfırını belirlemenin gerekli olduğu optimizasyon problemlerini çözmek için de kullanılabilir. Gerekçe

Denklemi basit yineleme yöntemini kullanarak sayısal olarak çözmek için, aşağıdaki forma indirgenmesi gerekir: daralma eşlemesi nerede.

Yöntemin en iyi yakınsaması için koşulun bir sonraki yaklaşım noktasında karşılanması gerekir. Bu denklemin çözümü şu şekilde aranır:

Yaklaşım noktasının köke "yeterince yakın" olduğunu ve verilen fonksiyonun sürekli olduğunu varsayarsak, son formül şöyledir:

Bunu dikkate alarak fonksiyon şu ifadeyle tanımlanır:

Kökün yakınındaki bu işlev, sıkıştırılmış bir haritalama gerçekleştirir ve denklemin sayısal çözümünü bulmaya yönelik algoritma, yinelemeli bir hesaplama prosedürüne indirgenir:

.

Görev seçenekleri

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Örnek ödev

№1. 1)
2)

Yineleme yöntemini kullanarak doğrusal olmayan bir denklem sistemini çözme örneği

Bu sistemi şu şekilde yeniden yazalım:

Kökleri grafiksel olarak ayırıyoruz (Şekil 1). Grafikten sistemin bölgede yer alan bir çözümü olduğunu görüyoruz. D: 0<X<0,3;-2,2<sen<-1,8.

Aşağıdaki formda yazdığımız sistemin çözümünü iyileştirmek için yineleme yönteminin uygulanabilir olduğundan emin olalım:

O zamandan beri D bölgesindeyiz

+ = ;

+ =

Böylece yakınsama koşulları sağlanmıştır.

Tablo No.2

N
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

İlk yaklaşımlar olarak alıyoruz x-o=0,15, y 0 =-2.

(Tablo No. 2). Daha sonra cevap yazılacaktır:

Newton yöntemini kullanarak doğrusal olmayan denklem sistemini çözmeye bir örnek

Kökleri grafiksel olarak ayırıyoruz (Şekil 2). Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım ve birinci ve ikinci denklemlere dahil edilmiştir (Tablo I).

X değerleri aşağıdaki koşullara göre alınabilir: ilk denklemden 1≤1,2x+0,4≤1, yani 1,16≤х≤0,5; ikinci denklemden, yani . Böylece, .

Sistemin iki çözümü var. Bunlardan D: 0,4 bölgesine ait olan bir tanesini açıklayalım.<X<0,5;

0,76<sen<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Tablo No.3

Newton yöntemini kullanarak kökleri hassaslaştırıyoruz:

Nerede ; ;

;
;

Tüm hesaplamalar tablo 3'e göre yapılır.

Güvenlik soruları

1) İki doğrusal olmayan denklem sistemini çözmenin olası durumlarını grafik üzerinde gösterin.

2) Bir n-lineer denklem sistemini çözme probleminin ifadesini formüle edin.

3) İki doğrusal olmayan denklem sistemi durumunda basit yineleme yönteminin yineleme formüllerini verin.

4) Newton yönteminin yerel yakınsaklığına ilişkin bir teorem formüle edin.

5) Newton'un yöntemini pratikte kullanırken ortaya çıkan zorlukları listeleyin.

6) Newton yönteminin nasıl değiştirilebileceğini açıklayın.

7) İki doğrusal olmayan denklem sistemini basit yineleme ve Newton yöntemlerini kullanarak çözmek için bir algoritmayı blok diyagramlar biçiminde çizin.

3 numaralı laboratuvar çalışması

Ardışık yaklaşım yöntemi olarak da adlandırılan basit yineleme yöntemi, bilinmeyen bir miktarın değerini kademeli olarak geliştirerek bulmaya yönelik matematiksel bir algoritmadır. Bu yöntemin özü, adından da anlaşılacağı gibi, ilk yaklaşımdan sonrakileri kademeli olarak ifade ederek, giderek daha hassas sonuçlar elde edilmesidir. Bu yöntem, belirli bir fonksiyondaki bir değişkenin değerini bulmak için ve ayrıca hem doğrusal hem de doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözerken kullanılır.

SLAE'leri çözerken bu yöntemin nasıl uygulandığını ele alalım. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:

1. Orijinal matristeki yakınsama koşulunun yerine getirilip getirilmediğinin kontrol edilmesi. Yakınsama teoremi: Sistemin orijinal matrisi köşegen baskınlığa sahipse (yani, her satırda, ana köşegenin elemanlarının mutlak değeri, ikincil köşegenlerin mutlak değerdeki elemanlarının toplamından daha büyük olmalıdır), o zaman basit yineleme yöntemi yakınsaktır.

2. Orijinal sistemin matrisi her zaman köşegensel bir üstünlüğe sahip değildir. Bu gibi durumlarda sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu sağlayan denklemlere dokunulmaz ve sağlamayanlarla doğrusal kombinasyonlar yapılır; İstenilen sonuç elde edilene kadar çarpın, çıkarın, denklemleri birbirine ekleyin.

Ortaya çıkan sistemde ana köşegen üzerinde uygunsuz katsayılar varsa, bu tür bir denklemin her iki tarafına i * x i ile formun terimleri eklenir; bunların işaretleri köşegen elemanların işaretleriyle çakışmalıdır.

3. Ortaya çıkan sistemin normal forma dönüştürülmesi:

x - =β - +α*x -

Bu, örneğin şu şekilde yapılabilir: ilk denklemden x 1'i diğer bilinmeyenler cinsinden ifade edin, ikinciden - x 2'ye, üçüncüden - x 3'e vb. Bu durumda aşağıdaki formülleri kullanırız:

α ij = -(a ij / a ii)

ben = b i /a ii
Ortaya çıkan normal form sisteminin yakınsama koşulunu karşıladığından tekrar emin olmalısınız:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n

4. Aslında ardışık yaklaşımlar yöntemini uygulamaya başlıyoruz.

x(0) ilk yaklaşımdır, x(1)'i onun üzerinden ifade edeceğiz, sonra x(2)'den x(1)'e kadar ifade edeceğiz. Matris formundaki genel formül şuna benzer:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Gerekli doğruluğu elde edene kadar hesaplıyoruz:

maks |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Öyleyse basit yineleme yöntemini uygulamaya koyalım. Örnek:
SLAE'yi çözün:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 doğrulukla ε=10 -3

Çapraz elemanların modülde baskın olup olmadığına bakalım.

Yakınsama koşulunu yalnızca üçüncü denklemin sağladığını görüyoruz. Birinci ve ikinciyi dönüştürelim ve ikinciyi birinci denkleme ekleyelim:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Üçüncüden birinciyi çıkarıyoruz:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Orijinal sistemi eşdeğer bir sisteme dönüştürdük:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Şimdi sistemi normal şekline getirelim:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Yinelemeli sürecin yakınsamasını kontrol ediyoruz:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, yani. koşul karşılanır.

0,3947
İlk tahmin x(0) = 0,4762
0,8511

Bu değerleri normal form denkleminde değiştirerek aşağıdaki değerleri elde ederiz:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Yeni değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Verilen koşulu sağlayan değerlere yaklaşana kadar hesaplamalara devam ediyoruz.

x(7) = 0,441091

Elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol edelim:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Bulunan değerlerin orijinal denklemlere yerleştirilmesiyle elde edilen sonuçlar, denklemin koşullarını tam olarak karşılamaktadır.

Gördüğümüz gibi basit yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar veriyor ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve hantal hesaplamalar yapmak zorunda kaldık.