Bugün derste bulmayı öğreneceğiz koşullu veya aynı zamanda adlandırıldıkları gibi, göreceli aşırılıklarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları ve her şeyden önce elbette koşullu ekstremumlardan bahsedeceğiz ikinin fonksiyonları Ve üç değişken Tematik problemlerin büyük çoğunluğunda bulunanlar.
Şu anda neyi bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor? Bu makale konunun "etrafında" olmasına rağmen, materyale başarılı bir şekilde hakim olmak için fazla bir şeye gerek yoktur. Bu noktada temel bilgileri bilmeniz gerekir. uzayın yüzeyleri, bulabilmek kısmi türevler (en azından ortalama düzeyde) ve acımasız mantığın gerektirdiği gibi anlamak koşulsuz aşırılıklar. Ancak hazırlık seviyeniz düşük olsa bile, ayrılmak için acele etmeyin; eksik olan tüm bilgi/beceriler gerçekten "yol boyunca alınabilir" ve hem de saatlerce işkence görmeden.
Öncelikle kavramın kendisini analiz edelim ve aynı zamanda en yaygın olanı hızlı bir şekilde tekrarlayalım. yüzeyler. Peki, koşullu ekstremum nedir? ...Buradaki mantık da daha az acımasız değil =) Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu, kelimenin genel anlamıyla, belirli bir koşul (veya koşullar) karşılandığında elde edilen bir ekstremumdur.
Keyfi bir "eğik" hayal edin uçak V Kartezyen sistem. Hiçbiri ekstremum burada ondan eser yok. Ama bu şimdilik geçerli. düşünelim eliptik silindir basitlik açısından - eksene paralel sonsuz yuvarlak bir "boru". Açıkçası, bu "boru" uçağımızdan "kesilecek" elips Bunun sonucunda üst noktasında maksimum, alt noktasında minimum olacaktır. Başka bir deyişle, düzlemi tanımlayan fonksiyon ekstrema ulaşır buna göre belirli bir dairesel silindir tarafından geçildiğini. Tam olarak "sağlandı"! Bu düzlemi kesen başka bir eliptik silindir neredeyse kesinlikle farklı minimum ve maksimum değerler üretecektir.
Çok net değilse durum gerçekçi bir şekilde simüle edilebilir (her ne kadar ters sırada olsa da): bir balta alın, dışarı çıkın ve kesin... hayır, Greenpeace sizi daha sonra affetmeyecektir - drenaj borusunu bir öğütücü ile kesmek daha iyidir =). Koşullu minimum ve koşullu maksimum, hangi yükseklikte ve ne altında olduğuna bağlı olacaktır. (yatay olmayan) kesim belli bir açıyla yapılır.
Hesaplamalara matematik kisvesi giydirmenin zamanı geldi. düşünelim eliptik paraboloit, sahip mutlak minimum noktada. Şimdi ekstremumu bulalım buna göre. Bu uçak eksene paraleldir, yani paraboloidi "keser" parabol. Bu parabolün tepesi koşullu minimum olacaktır. Üstelik düzlem koordinatların orijininden geçmediğinden nokta önemsiz kalacaktır. Resim sunmadınız mı? Hemen linkleri takip edelim! Çok, çok daha fazla zaman alacak.
Soru: Bu koşullu ekstremum nasıl bulunur? Çözmenin en basit yolu denklemi kullanmaktır (buna denir - durum veya bağlantı denklemi) örneğin şunu ifade edin: – ve bunu fonksiyonda değiştirin: 
Sonuç, tepe noktası gözleriniz kapalıyken "hesaplanan" bir parabolü tanımlayan bir değişkenin fonksiyonudur. Haydi bulalım kritik noktalar:
– kritik nokta.
Kullanılacak bir sonraki en kolay şey ekstremum için ikinci yeterli koşul:
Özellikle: bu, fonksiyonun noktasında minimuma ulaştığı anlamına gelir. Doğrudan hesaplanabilir: ama biz daha akademik bir yol izleyeceğiz. “Oyun” koordinatını bulalım:
,
koşullu minimum noktayı yazın, gerçekten düzlemde olduğundan emin olun (bağlantı denklemini karşılar):
ve fonksiyonun koşullu minimumunu hesaplayın:
buna göre (“katkı maddesi” gereklidir!!!).
Göz önünde bulundurulan yöntem pratikte hiçbir şüpheye yer bırakmadan kullanılabilir, ancak bir takım dezavantajları vardır. Birincisi, problemin geometrisi her zaman net değildir ve ikincisi, bağlantı denkleminden “x” veya “y”yi ifade etmek çoğu zaman kârsızdır. (eğer bir şeyi ifade etmek mümkünse). Şimdi koşullu ekstremumları bulmak için evrensel bir yöntem ele alacağız. Lagrange çarpanı yöntemi:
Örnek 1
Bağımsız değişkenlere ilişkin belirtilen bağlantı denklemiyle fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulun.
Yüzeyleri tanıyor musunuz? ;-) ...Mutlu yüzlerinizi gördüğüme sevindim =)
Bu arada, bu problemin formülasyonundan, durumun neden çağrıldığı anlaşılıyor. bağlantı denklemi– fonksiyon argümanları bağlı ek bir koşul, yani bulunan uç noktaların mutlaka dairesel bir silindire ait olması gerekir.
Çözüm: ilk adımda bağlantı denklemini formda sunmanız ve oluşturmanız gerekir Lagrange işlevi:
, burada Lagrange çarpanı denir.
Bizim durumumuzda ve:
Koşullu ekstremum bulma algoritması "sıradan" bulma şemasına çok benzer aşırılıklar. Haydi bulalım kısmi türevler Lagrange fonksiyonları, “lambda” ise sabit olarak ele alınmalıdır:
Aşağıdaki sistemi oluşturup çözelim: 
Karışıklık standart olarak çözülür:
ifade ettiğimiz ilk denklemden 
;
ifade ettiğimiz ikinci denklemden 
.
Bağlantıları denklemde yerine koyalım ve basitleştirmeler yapalım: 
Sonuç olarak iki sabit nokta elde ederiz. Eğer öyleyse: 
eğer öyleyse: 
Her iki noktanın koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır. 
. Titiz insanlar da tam bir kontrol yapabilir: bunun için değiştirmeniz gerekir 
sistemin birinci ve ikinci denklemlerine yerleştirin ve ardından aynı işlemi setle yapın 
. Her şeyin “bir araya gelmesi” gerekiyor.
Bulunan durağan noktalar için yeterli ekstremum koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Bu sorunu çözmeye yönelik üç yaklaşımı tartışacağım:
1) İlk yöntem geometrik gerekçelendirmedir.
Fonksiyonun değerlerini sabit noktalarda hesaplayalım:
Daha sonra, yaklaşık olarak aşağıdaki içeriğe sahip bir cümle yazıyoruz: dairesel bir silindir tarafından bir düzlemin kesiti, üst tepe noktasında maksimuma ve alt tepe noktasında minimuma ulaşılan bir elipstir. Bu nedenle, daha büyük bir değer koşullu maksimum, daha küçük bir değer ise koşullu minimumdur.
Mümkünse bu yöntemi kullanmak daha iyidir - basittir ve bu karar öğretmenler tarafından dikkate alınır. (büyük bir artı, problemin geometrik anlamını anladığınızı göstermenizdir). Ancak, daha önce de belirtildiği gibi, neyin neyle ve nerede kesiştiği her zaman net değildir ve ardından analitik doğrulama kurtarmaya gelir:
2) İkinci yöntem, ikinci dereceden diferansiyel işaretlerin kullanımına dayanmaktadır. Durağan bir noktada ortaya çıkarsa, fonksiyon orada maksimuma ulaşır, ancak ulaşırsa minimuma ulaşır.
Haydi bulalım ikinci dereceden kısmi türevler:
ve bu farkı yaratın:
Bu, fonksiyonun maksimum noktasına şu noktada ulaştığı anlamına gelir;
at , bu, fonksiyonun bu noktada minimuma ulaştığı anlamına gelir 
.
Ele alınan yöntem çok iyidir, ancak bazı durumlarda 2. diferansiyelin işaretini belirlemenin neredeyse imkansız olması dezavantajına sahiptir. (genellikle bu durum ve/veya farklı işaretlerde olması durumunda gerçekleşir). Ve sonra “ağır toplar” kurtarmaya geliyor:
3) Bağlantı denklemini “X” ve “Y” ile ayıralım: 
ve aşağıdakileri oluşturun simetrik matris:
Durağan bir noktadaysa fonksiyon oraya ulaşır ( dikkat!) minimum, eğer – o zaman maksimum.
Değerin matrisini ve karşılık gelen noktayı yazalım: 
Haydi hesaplayalım belirleyici:
, dolayısıyla fonksiyonun noktasında bir maksimumu vardır.
Aynı şekilde değer ve puan için: 
Yani fonksiyonun noktasında minimumu vardır.
Cevap: buna göre:
Materyali kapsamlı bir şekilde analiz ettikten sonra, kendi kendine test için size birkaç tipik görev önermeden edemiyorum:
Örnek 2
Bağımsız değişkenleri denklemle ilişkiliyse fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulun
Örnek 3
Koşulu verilen fonksiyonun ekstremumunu bulun
Ve yine, özellikle yeterli koşulun analitik olarak doğrulanmasının bir hediye olmadığı son örnekte, görevlerin geometrik özünü anlamanızı şiddetle tavsiye ediyorum. Neyi hatırla 2. sipariş satırı denklemi kurar ve ne yüzey bu çizgi uzayda oluşur. Silindirin düzlemi hangi eğri boyunca keseceğini ve bu eğrinin neresinde minimum, nerede maksimum olacağını analiz edin.
Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Söz konusu problem çeşitli alanlarda, özellikle de - fazla ileri gitmeyeceğiz - geometride yaygın olarak kullanılmaktadır. Yarım litrelik şişeyle ilgili herkesin en sevdiği problemi çözelim (bkz. makalenin 7. örneği)Aşırı Zorluklar ) ikinci yol:
Örnek 4
Silindirik bir teneke kutunun hacmi şuna eşitse, kutuyu yapmak için en az miktarda malzeme kullanılmasını sağlayacak şekilde boyutları ne olmalıdır?
Çözüm: değişken bir taban yarıçapı, değişken yükseklik düşünün ve kutunun toplam yüzeyinin alanının bir fonksiyonunu oluşturun: 
(iki kapak alanı + yan yüzey alanı)
Lagrange çarpan yöntemi.
Lagrange çarpanı yöntemi doğrusal olmayan programlama problemlerini çözmenize olanak sağlayan yöntemlerden biridir.
Doğrusal olmayan programlama, doğrusal olmayan bir amaç fonksiyonu ve doğrusal olmayan kısıtlamalarla tanımlanan uygun çözümlerin bir bölgesi ile ekstrem problemleri çözme yöntemlerini inceleyen bir matematiksel programlama dalıdır. Ekonomide bu, sonuçların (verimliliğin), kaynak kullanımı ölçeğindeki (veya aynı anlama gelen üretim ölçeğindeki) değişikliklerle orantısız bir şekilde artması veya azalması gerçeğine karşılık gelir: örneğin, üretim maliyetlerinin üretim ölçeğindeki bölünmesi nedeniyle. işletmeleri değişken ve yarı sabit olarak ikiye ayırıyoruz; mallara olan talebin doygunluğu nedeniyle, sonraki her birimin satışının bir öncekinden daha zor olması vb.
Doğrusal olmayan programlama problemi, belirli bir amaç fonksiyonunun optimumunu bulma problemi olarak ortaya konmuştur.
F(x 1 ,…xn), F (X) → maksimum
koşullar karşılandığında
g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ B , X ≥ 0
Nerede X-gerekli değişkenlerin vektörü;
F (X) -amaç fonksiyonu;
G (X) - kısıtlama fonksiyonu (sürekli türevlenebilir);
B - kısıtlama sabitlerinin vektörü.
Doğrusal olmayan bir programlama probleminin çözümü (küresel maksimum veya minimum), kabul edilebilir kümenin sınırına veya iç kısmına ait olabilir.
Doğrusal programlama probleminden farklı olarak, doğrusal olmayan programlama probleminde optimumun mutlaka kısıtlamalarla tanımlanan bölgenin sınırında olması gerekmez. Başka bir deyişle görev, belirli bir fonksiyonun maksimum (veya minimum) elde edildiği, eşitsizlikler biçimindeki bir kısıtlama sistemine tabi olan değişkenlerin bu tür negatif olmayan değerlerini seçmektir. Bu durumda ne amaç fonksiyonunun ne de eşitsizliklerin formları belirtilmez. Farklı durumlar olabilir: amaç fonksiyonu doğrusal değildir ancak kısıtlamalar doğrusaldır; amaç fonksiyonu doğrusaldır ve kısıtlamalar (bunlardan en az biri) doğrusal değildir; hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlamalar doğrusal değildir.
Doğrusal olmayan programlama problemi doğa bilimleri, mühendislik, ekonomi, matematik, iş ilişkileri ve hükümet alanlarında bulunur.
Örneğin doğrusal olmayan programlama temel bir ekonomik sorunla ilgilidir. Dolayısıyla, sınırlı kaynakların tahsisi probleminde ya verimlilik, ya da eğer tüketici inceleniyorsa, kaynak kıtlığı koşullarını ifade eden kısıtlamaların varlığında tüketim maksimuma çıkarılmaktadır. Böyle genel bir formülasyonda problemin matematiksel formülasyonu imkansız olabilir, ancak özel uygulamalarda tüm fonksiyonların niceliksel formu doğrudan belirlenebilir. Örneğin bir sanayi kuruluşu plastik ürünler üretiyor. Burada üretim verimliliği kârla ölçülür ve kısıtlamalar mevcut işgücü, üretim alanı, ekipman verimliliği vb. olarak yorumlanır.
Maliyet etkinliği yöntemi aynı zamanda doğrusal olmayan programlama şemasına da uyar. Bu yöntem hükümette karar almada kullanılmak üzere geliştirilmiştir. Verimliliğin ortak bir işlevi refahtır. Burada doğrusal olmayan iki programlama problemi ortaya çıkmaktadır: Birincisi sınırlı maliyetlerle etkiyi maksimuma çıkarmak, ikincisi ise etkinin belirli bir minimum seviyenin üzerinde olması koşuluyla maliyetleri minimuma indirmektir. Bu problem genellikle doğrusal olmayan programlama kullanılarak iyi bir şekilde modellenir.
Doğrusal olmayan bir programlama problemini çözmenin sonuçları, hükümet kararlarının alınmasında faydalıdır. Ortaya çıkan çözüm elbette tavsiye edilir, dolayısıyla nihai bir karar vermeden önce doğrusal olmayan programlama probleminin varsayımlarını ve doğruluğunu incelemek gerekir.
Doğrusal olmayan problemler karmaşıktır; genellikle doğrusal olanlara yol açarak basitleştirilirler. Bunu yapmak için geleneksel olarak belirli bir alanda amaç fonksiyonunun bağımsız değişkenlerdeki değişimle orantılı olarak arttığı veya azaldığı varsayılır. Bu yaklaşıma parçalı doğrusal yaklaşımlar yöntemi denir ancak yalnızca belirli türdeki doğrusal olmayan problemlere uygulanabilir.
Belirli koşullar altında doğrusal olmayan problemler Lagrange fonksiyonu kullanılarak çözülür: eyer noktası bulunarak problemin çözümü bulunur. Bilimsel araştırmalara yönelik hesaplamalı algoritmalar arasında gradyan yöntemleri büyük bir yer tutar. Doğrusal olmayan problemler için evrensel bir yöntem yoktur ve görünüşe göre çok çeşitli oldukları için de olmayabilir. Multiekstremal problemlerin çözümü özellikle zordur.
Doğrusal olmayan bir programlama problemini bir denklem sisteminin çözümüne indirgemenizi sağlayan yöntemlerden biri, belirsiz çarpanların Lagrange yöntemidir.
Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak, eşitlik kısıtlamaları olan optimizasyon problemlerinde optimum noktaların belirlenmesine olanak sağlamak için gerekli koşullar esas olarak oluşturulur. Bu durumda kısıtlı problem, Lagrange çarpanları adı verilen bazı bilinmeyen parametreleri içeren eşdeğer bir koşulsuz optimizasyon problemine dönüştürülür.
Lagrange çarpan yöntemi, koşullu bir ekstremumdaki problemleri, sözde bir yardımcı fonksiyonun koşulsuz ekstremumundaki problemlere indirgemekten oluşur. Lagrange fonksiyonları.
Bir fonksiyonun ekstremum problemi için F(x 1, x 2,..., x n) koşullar altında (kısıt denklemleri) φ Ben(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, Ben= 1, 2,..., M Lagrange fonksiyonu şu şekle sahiptir:
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ ben φ i (x 1, x 2… x n)
Çarpanlar λ 1 , λ 2 , ..., λm isminde Lagrange çarpanları.
Eğer değerler x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirleyen denklemlerin çözümlerinin özü, yani diferansiyellenebilir fonksiyonlar için denklem sisteminin çözümleridir
bu durumda, oldukça genel varsayımlar altında, x 1 , x 2 , ..., x n f fonksiyonunun bir ekstremumunu sağlar.
Eşitlik biçiminde bir kısıtlamaya tabi olan n değişkenli bir fonksiyonu en aza indirme problemini düşünün:
f(x 1, x 2… x n)'yi en aza indirin (1)
h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2) kısıtlamaları altında
Lagrange çarpanı yöntemine göre bu problem aşağıdaki kısıtsız optimizasyon problemine dönüştürülür:
L(x,λ)=f(x)-λ*h(x)'i en aza indir (3)
L(x;λ) Fonksiyonuna Lagrange fonksiyonu denir,
λ, Lagrange çarpanı adı verilen bilinmeyen bir sabittir. λ işareti için herhangi bir gereklilik yoktur.
Belirli bir λ=λ 0 değeri için, L(x,λ) fonksiyonunun x'e göre koşulsuz minimumunun x=x 0 noktasında elde edilebileceğini ve x 0'ın h 1 (x 0)=0 denklemini karşıladığını varsayalım. . Daha sonra, görülmesi kolay olduğu gibi, x 0, (2)'yi hesaba katarak (1)'i en aza indirir, çünkü x'in (2) tatmin edici tüm değerleri için h 1 (x)=0 ve L(x,λ)=min f(x).
Elbette, koşulsuz minimum nokta x 0'ın koordinatının eşitliği (2) sağlaması için λ=λ 0 değerini seçmek gereklidir. Bu, λ'yı bir değişken olarak dikkate alarak, fonksiyonun (3) koşulsuz minimumunu λ fonksiyonu formunda bulursanız ve ardından eşitliğin (2) sağlandığı λ değerini seçerseniz yapılabilir. Bunu spesifik bir örnekle açıklayalım.
En aza indirge f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0 kısıtı altında
Karşılık gelen kısıtsız optimizasyon problemi şu şekilde yazılır:
en aza indirge L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Çözüm. L gradyanının iki bileşenini sıfıra eşitleyerek şunu elde ederiz:
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Sabit x° noktasının minimuma karşılık gelip gelmediğini kontrol etmek için, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L(x;u) fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplıyoruz,
bunun pozitif tanımlı olduğu ortaya çıkıyor.
Bu, L(x,u)'nun x'in dışbükey bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 koordinatları global minimum noktayı belirler. λ'nın optimal değeri, x 1 0 ve x 2 0 değerlerinin 2x 1 + x 2 =2 denkleminde değiştirilmesiyle bulunur; buradan 2λ+λ/2=2 veya λ 0 =4/5 olur. Böylece koşullu minimuma x 1 0 =4/5 ve x 2 0 =2/5'te ulaşılır ve min f(x) = 4/5'e eşittir.
Örnekten problemi çözerken, L(x;λ)'yi iki değişken x 1 ve x 2'nin bir fonksiyonu olarak ele aldık ve ayrıca λ parametresinin değerinin kısıtlamanın karşılanacağı şekilde seçildiğini varsaydık. Sistemin çözümü ise
J=1,2,3,…,n
λ açık fonksiyonlar şeklinde elde edilemiyorsa, n+1 bilinmeyenli n+1 denklemden oluşan aşağıdaki sistemin çözülmesiyle x ve λ değerleri bulunur:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Belirli bir sistemin olası tüm çözümlerini bulmak için sayısal arama yöntemlerini (örneğin Newton yöntemi) kullanabilirsiniz. Çözümlerin her biri için (), x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplamalı ve bu matrisin pozitif tanımlı (yerel minimum) veya negatif tanımlı (yerel maksimum) olup olmadığını bulmalıyız. ).
Lagrange çarpanı yöntemi, problemin eşitlikler şeklinde çeşitli kısıtlamalara sahip olduğu duruma genişletilebilir. gerektiren genel bir problem düşünün.
f(x)'i en aza indirin
h k =0, k=1, 2, ..., K kısıtlamaları altında.
Lagrange fonksiyonu aşağıdaki formu alır:
Burada λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrange çarpanları, yani değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyen parametreler. L'nin x'e göre kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek, n bilinmeyenli aşağıdaki n denklem sistemini elde ederiz:
Yukarıdaki sisteme λ vektörünün fonksiyonları şeklinde bir çözüm bulmak zorsa, eşitlikler biçiminde kısıtlamalar ekleyerek sistemi genişletebilirsiniz.
n + K bilinmeyenli n + K denklemlerinden oluşan genişletilmiş sistemin çözümü, L fonksiyonunun durağan noktasını belirler. Daha sonra, hesaplama temelinde gerçekleştirilen bir minimum veya maksimumun kontrol edilmesi için bir prosedür uygulanır. L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanları, tek kısıtlamalı bir problem durumunda yapıldığına benzer şekilde, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir. Bazı problemler için, n+K bilinmeyenli, n+K denklemlerden oluşan genişletilmiş bir sistemin çözümü olmayabilir ve Lagrange çarpan yönteminin uygulanamaz olduğu ortaya çıkar. Ancak bu tür görevlerin pratikte oldukça nadir olduğunu belirtmek gerekir.
Kısıtlamalar sisteminin yalnızca denklemler içerdiğini, değişkenlerin negatif olmama koşulu olmadığını ve ve ve'nin kısmi türevleriyle birlikte sürekli fonksiyonlar olduğunu varsayarak, doğrusal olmayan programlamanın genel probleminin özel bir durumunu ele alalım. Bu nedenle, denklem sistemini (7) çözerek, fonksiyonun (6) uç değerlere sahip olabileceği tüm noktaları elde ederiz.
Lagrange çarpanı yöntemi için algoritma
1. Lagrange fonksiyonunu oluşturun.
2. Lagrange fonksiyonunun x J ,λ i değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun ve bunları sıfıra eşitleyin.
3. Denklem sistemini (7) çözüyoruz, problemin amaç fonksiyonunun ekstremum olabileceği noktaları buluyoruz.
4. Bir ekstremum için şüpheli noktalardan ekstrema ulaşılan noktaları buluyoruz ve bu noktalardaki fonksiyon (6) değerlerini hesaplıyoruz.
Örnek.
İlk veriler:Üretim planına göre firmanın 180 adet ürün üretmesi gerekiyor. Bu ürünler iki teknolojik yöntemle üretilebilmektedir. 1. yöntemle x 1 ürün üretirken maliyetler 4x 1 +x 1 2 ruble, 2. yöntemle x 2 ürün üretirken ise 8x 2 +x 2 2 ruble oluyor. Üretim maliyetlerinin minimum düzeyde olması için her yöntemi kullanarak kaç ürün üretilmesi gerektiğini belirleyin.
Belirtilen problemin amaç fonksiyonu şu şekildedir:
® dk. x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0 koşulları altında.
1. Lagrange fonksiyonunu oluşturun
.
2.
Kısmi türevleri x 1, x 2, λ'ya göre hesaplıyoruz ve bunları sıfıra eşitliyoruz: 
3.
Ortaya çıkan denklem sistemini çözerek x 1 =91,x 2 =89'u buluruz
4. Amaç fonksiyonu x 2 =180-x 1'i değiştirerek tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz, yani f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) ) 2
4x 1 -364=0 hesaplıyoruz,
buradan x 1 * =91, x 2 * =89 elde ederiz.
Cevap: Birinci yöntemle üretilen ürün sayısı x 1 =91, ikinci yöntemle x 2 =89 olup, amaç fonksiyonunun değeri 17.278 rubleye eşittir.
Yöntemin açıklaması
Nerede . Gerekçe
Lagrange çarpanı yöntemi için aşağıdaki gerekçe, bunun kesin bir kanıtı değildir. Yöntemin geometrik anlamını anlamaya yardımcı olan buluşsal akıl yürütmeyi içerir.
İki boyutlu kasa
Seviye çizgileri ve eğri.
Denklemin belirttiği koşul altında iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunun bulunması gereksin. 
. Tüm fonksiyonların sürekli türevlenebilir olduğunu ve bu denklemin düzgün bir eğri tanımladığını varsayacağız. S uçakta. Daha sonra sorun, fonksiyonun ekstremumunu bulmaya indirgenir. F eğri üzerinde S. Ayrıca şunu varsayacağız S eğimin olduğu noktalardan geçmez F 0'a döner.
Düzlemde fonksiyon düzeyinde çizgiler çizelim F(yani eğriler). Geometrik değerlendirmelerden fonksiyonun ekstremumunun olduğu açıktır. F eğri üzerinde S yalnızca teğet olan noktalar olabilir S ve karşılık gelen seviye çizgisi çakışmaktadır. Aslında eğer eğri S seviye çizgisini geçer F enine bir noktada (yani sıfır olmayan bir açıda), ardından eğri boyunca hareket ederek S bir noktadan daha büyük bir değere karşılık gelen seviye çizgilerine ulaşabiliriz F ve daha az. Dolayısıyla böyle bir nokta ekstrem nokta olamaz.
Dolayısıyla bizim durumumuzda bir ekstremum için gerekli koşul teğetlerin çakışması olacaktır. Analitik formda yazmak için, fonksiyonların gradyanlarının paralelliğine eşdeğer olduğuna dikkat edin. F ve belirli bir noktada ψ, çünkü gradyan vektörü seviye çizgisine teğete diktir. Bu durum aşağıdaki biçimde ifade edilir:
burada λ Lagrange çarpanı olan sıfırdan farklı bir sayıdır.
Şimdi düşünelim Lagrange işlevi, ve λ'ya bağlı olarak:
Ekstremum için gerekli bir koşul, eğimin sıfıra eşit olmasıdır. Türev alma kurallarına uygun olarak şeklinde yazılır.
İlk iki denklemi yerel ekstremum (1) için gerekli koşula, üçüncüsü ise denklemine eşdeğer olan bir sistem elde ettik. . Ondan bulabilirsiniz. Ayrıca, aksi takdirde fonksiyonun gradyanı F o noktada ortadan kayboluyor 
bu da varsayımlarımızla çelişiyor. Bu şekilde bulunan noktaların koşullu ekstremumun istenen noktaları olmayabileceğine dikkat edilmelidir; dikkate alınan koşul gereklidir, ancak yeterli değildir. Yardımcı fonksiyon kullanarak koşullu ekstremumu bulma L ve burada iki değişkenin en basit durumu için uygulanan Lagrange çarpanı yönteminin temelini oluşturur. Yukarıdaki mantığın, koşulları tanımlayan keyfi sayıda değişken ve denklem durumuna genelleştirilebileceği ortaya çıktı.
Lagrange çarpanı yöntemine dayanarak, Lagrange fonksiyonunun ikinci türevlerinin analizini gerektiren koşullu bir ekstremum için bazı yeterli koşulları kanıtlamak mümkündür.
Başvuru
- Lagrange çarpanı yöntemi, birçok alanda (örneğin ekonomide) ortaya çıkan doğrusal olmayan programlama problemlerini çözmek için kullanılır.
- Belirli bir ortalama bit hızında ses ve video verilerinin kodlanmasının kalitesini optimize etme problemini çözmenin ana yöntemi (bozulma optimizasyonu - İngilizce. Hız-Bozulma optimizasyonu).
Ayrıca bakınız
Bağlantılar
- Zorich V. A. Matematiksel analiz. Bölüm 1. - ed. 2, rev. ve ek - M.: FAZİS, 1997.
Wikimedia Vakfı.
2010.
Diğer sözlüklerde “Lagrange Çarpanları”nın ne olduğuna bakın: Lagrange çarpanları - klasik yöntemlerden birini, çarpanları çözme yöntemini kullanarak çözerken, dışbükey programlamanın (özellikle doğrusal programlamanın) ekstrem bir probleminin amaç fonksiyonunu dönüştüren ek faktörler... ...
Ekonomik ve matematiksel sözlük Lagrange çarpanları - Ekstrem dışbükey programlama probleminin (özellikle doğrusal programlamanın) amaç fonksiyonunu, klasik yöntemlerden biri olan çarpanları çözme yöntemini (Lagrange yöntemi) kullanarak çözerken dönüştüren ek faktörler.... ...
Teknik Çevirmen Kılavuzu Mekanik. 1) 1. tür Lagrange denklemleri, mekanik hareketin diferansiyel denklemleri. Dikdörtgen koordinat eksenleri üzerine projeksiyonlarda verilen ve sözde olanları içeren sistemler. Lagrange çarpanları. J. Lagrange tarafından 1788'de elde edildi. Holonomik bir sistem için ... ...
Fiziksel ansiklopedi Mekanik hareketleri tanımlayan 2. dereceden mekanik adi diferansiyel denklemler. kendilerine uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki sistemler. Lu.u. J. Lag aralığı tarafından iki biçimde kurulmuştur: L. u. 1. tür veya Kartezyen koordinatlardaki denklemler... ...
1) Hidromekanikte, ortamın koordinatları olan Lagrange değişkenlerinde akışkan (gaz) hareketinin denklemi. Fransızca alındı bilim adamı J. Lagrange (yaklaşık 1780). L. u. ortamın hareket kanunu bağımlılıklar şeklinde belirlenir... ... Mekanik. 1) 1. tür Lagrange denklemleri, mekanik hareketin diferansiyel denklemleri. Dikdörtgen koordinat eksenleri üzerine projeksiyonlarda verilen ve sözde olanları içeren sistemler. Lagrange çarpanları. J. Lagrange tarafından 1788'de elde edildi. Holonomik bir sistem için ... ...
Lagrange çarpanı yöntemi, m kısıtlamalarına göre i'nin birden m'ye değiştiği f(x) fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulmaya yönelik bir yöntem. İçindekiler 1 Yöntemin açıklaması ... Wikipedia
Çok değişkenli ve fonksiyonelli fonksiyonların koşullu ekstremumlarındaki problemlerin çözümünde kullanılan bir fonksiyon. L. f.'nin yardımıyla. Koşullu ekstremumdaki problemlerde optimallik için gerekli koşullar yazılmıştır. Bu durumda sadece değişkenleri ifade etmek gerekli değildir... Mekanik hareketleri tanımlayan 2. dereceden mekanik adi diferansiyel denklemler. kendilerine uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki sistemler. Lu.u. J. Lag aralığı tarafından iki biçimde kurulmuştur: L. u. 1. tür veya Kartezyen koordinatlardaki denklemler... ...
Koşullu ekstremumdaki problemlerin çözüm yöntemi; L.M.M, bu sorunları, sözde bir yardımcı fonksiyonun koşulsuz uç noktasındaki sorunlara indirgemekten oluşur. Lagrange fonksiyonları. f (x1, x2,..., xn) fonksiyonunun ekstremum problemi için... ...
Koşullu bir ekstremumdaki problemler incelenirken Lagrange fonksiyonunun oluşturulduğu değişkenler. Doğrusal yöntemlerin ve Lagrange fonksiyonunun kullanılması, koşullu ekstremum içeren problemlerde gerekli optimallik koşullarını tekdüze bir şekilde elde etmemizi sağlar... Mekanik hareketleri tanımlayan 2. dereceden mekanik adi diferansiyel denklemler. kendilerine uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki sistemler. Lu.u. J. Lag aralığı tarafından iki biçimde kurulmuştur: L. u. 1. tür veya Kartezyen koordinatlardaki denklemler... ...
1) hidromekanikte, akışkan ortamın hareket denklemleri, ortam parçacıklarının koordinatları olan Lagrange değişkenleriyle yazılmıştır. L. u. ortam parçacıklarının hareket yasası, koordinatların zamana bağımlılığı şeklinde belirlenir ve onlardan... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
|
Lagrange yöntemi─ örtülü fonksiyonlar olarak yazılan kısıtlamaların, adı verilen yeni bir denklem biçiminde bir amaç fonksiyonu ile birleştirildiği, kısıtlı bir optimizasyon problemini çözmek için bir yöntemdir. Lagrange.
Genel doğrusal olmayan programlama probleminin özel bir durumunu ele alalım:
Doğrusal olmayan bir denklem sistemi verildiğinde (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Fonksiyonun en küçük (veya en büyük) değerini bulun (2)
(2) f(x1,x2,…,xn),
değişkenlerin negatif olmama koşulu yoksa ve f(x1,x2,…,xn) ve gi(x1,x2,…,xn) kısmi türevleriyle birlikte sürekli olan fonksiyonlarsa.
Bu soruna çözüm bulmak için aşağıdaki yöntemi uygulayabilirsiniz: 1. Lagrange çarpanları adı verilen λ1, λ2,..., λm değişkenlerinden oluşan bir küme girin, Lagrange fonksiyonunu oluşturun (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Lagrange fonksiyonunun xi ve λi değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun ve bunları sıfıra eşitleyin.
3. Denklem sistemini çözerek problemin amaç fonksiyonunun ekstremum olabileceği noktaları bulun.
4. Uç nokta değil şüpheli olan noktalardan uç noktaya ulaşılan noktaları bulun ve bu noktalardaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın .
4. f fonksiyonunun elde edilen değerlerini karşılaştırın ve en iyisini seçin.
Üretim planına göre firmanın 180 adet ürün üretmesi gerekiyor. Bu ürünler iki teknolojik yöntemle üretilebilmektedir. Yöntem I kullanılarak x1 ürün üretilirken maliyetler 4*x1+x1^2 ruble, yöntem II kullanılarak x2 ürün üretilirken ise 8*x2+x2^2 ruble olur. Toplam üretim maliyetinin minimum olması için her yöntemi kullanarak kaç ürün üretilmesi gerektiğini belirleyin.
Çözüm: Problemin matematiksel formülasyonu, iki değişkenli bir fonksiyonun en küçük değerinin belirlenmesinden oluşur:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, x1 +x2 = 180 olması koşuluyla.
Lagrange fonksiyonunu oluşturalım:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Kısmi türevlerini x1, x2, λ'ya göre hesaplayalım ve 0'a eşitleyelim:
λ'yı ilk iki denklemin sağ taraflarına taşıyıp sol taraflarını eşitlersek, 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 veya x1 − x2 = 2 elde ederiz.
Son denklemi x1 + x2 = 180 denklemiyle birlikte çözersek x1 = 91, x2 = 89 buluruz, yani koşulları sağlayan bir çözüm elde etmiş oluruz:
Değişkenlerin bu değerleri için amaç fonksiyonu f'nin değerini bulalım:
F(x1, x2) = 17278
Bu nokta uç bir nokta için şüphelidir. İkinci kısmi türevleri kullanarak (91.89) noktasında f fonksiyonunun minimuma sahip olduğunu gösterebiliriz.
LAGRANGE YÖNTEMİ
1759'da J. Lagrange tarafından belirtilen ikinci dereceden bir formu kareler toplamına indirgemek için bir yöntem. Verilmesine izin ver
değişkenlerden x 0 , X 1 ,...,xn.
alandan alınan katsayılarla közellikleri Bu formun kanonik hale getirilmesi gerekmektedir. akıl
değişkenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümünü kullanarak. L. m aşağıdakilerden oluşur. Form (1)'in tüm katsayılarının sıfıra eşit olmadığını varsayabiliriz.
Bu nedenle iki durum mümkündür. 1) Bazıları için G,
çapraz Sonra f 1 (x) formunun bir değişken içermediği yer xg . 
2) Eğer her şey
Ancak
O f 2 (x) formunun iki değişken içermediği yer xg Ve xh.
(4)'teki kare işaretlerin altındaki formlar doğrusal olarak bağımsızdır. (3) ve (4) formunun dönüşümleri uygulanarak, sonlu sayıda adımdan sonra (1) formu, doğrusal olarak bağımsız doğrusal formların karelerinin toplamına indirgenir. Kısmi türevler kullanılarak formül (3) ve (4) şu şekilde yazılabilir: Yaktı. : G a n t ma k her F. R., Matrisler teorisi, 2. baskı, M., 1966; K u rosh A.G., Course of Higher Algebra, 11. baskı, M., 1975; Alexandrov P. S., Analitik geometri üzerine dersler..., M., 1968.
I. V. Proskuryakov. Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi
.
I. M. Vinogradov.- Lagrange yöntemi, Lagrange fonksiyonunun eyer noktasını (x*, λ*) bularak bir dizi matematiksel programlama problemini çözmeye yönelik bir yöntemdir; bu, bu fonksiyonun kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle elde edilir. ... ... - klasik yöntemlerden birini, çarpanları çözme yöntemini kullanarak çözerken, dışbükey programlamanın (özellikle doğrusal programlamanın) ekstrem bir probleminin amaç fonksiyonunu dönüştüren ek faktörler... ...
I. M. Vinogradov.- Bu fonksiyonun xi ve?i'ye göre kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen, Lagrange fonksiyonunun eyer noktasını (x*, ?*) bularak bir takım matematiksel programlama problemlerini çözmeye yönelik bir yöntem. . Lagrangian'a bakınız. )
