Çoğu zaman, bir kesrin payı ve paydası, önce çarpanlara ayrılması gereken cebirsel ifadelerdir ve daha sonra aralarında aynı olanları bulduktan sonra hem payı hem de paydayı onlara bölerler, yani kesri azaltırlar. 7. sınıf cebir ders kitabının bir bölümünün tamamı bir polinomun çarpanlara ayrılması görevine ayrılmıştır. Faktorizasyon yapılabilir 3 yol ve bu yöntemlerin bir kombinasyonu.
1. Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması
Bilindiği gibi, bir polinomu bir polinomla çarpmak, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir. Çarpma polinomlarının kavrama dahil olan en az 7 (yedi) sık karşılaşılan durumu vardır. Örneğin,
Tablo 1. 1. Yolda Çarpanlara Ayırma
2. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak
Bu yöntem, dağıtıcı çarpım yasasının uygulanmasına dayanmaktadır. Örneğin,
Orijinal ifadenin her terimini çıkardığımız faktöre bölüyoruz ve parantez içinde bir ifade elde ediyoruz (yani, olanı çıkardığımıza bölmenin sonucu parantez içinde kalıyor). Öncelikle ihtiyacınız var çarpanı doğru belirleyin braketten çıkarılması gerekir.
Ortak faktör aynı zamanda parantez içindeki bir polinom da olabilir:
"Faktörlere ayırma" görevini gerçekleştirirken, toplam faktörü parantezlerin dışına çıkarırken işaretlere özellikle dikkat etmeniz gerekir. Parantez içindeki her terimin işaretini değiştirmek için (b-a) parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım -1 ve parantez içindeki her terim -1'e bölünecektir: (b - a) = - (a - b) .
Parantez içindeki ifadenin karesi (veya herhangi bir çift kuvveti) ise, o zaman parantez içindeki sayılar değiştirilebilir tamamen serbestçe, çünkü parantez içindeki eksiler çarpıldığında yine de artıya dönüşecektir: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 ve benzeri…
3. Gruplandırma yöntemi
Bazen bir ifadedeki tüm terimlerin ortak çarpanı olmayabilir, yalnızca bazılarının ortak çarpanı olabilir. O zaman deneyebilirsiniz grup terimleri parantez içinde, böylece her birinden bazı faktörler çıkarılabilir. Gruplama yöntemi- bu, ortak faktörlerin parantezlerden iki kez çıkarılmasıdır.
4. Aynı anda birden fazla yöntemi kullanmak
Bazen bir polinomu çarpanlarına ayırmak için bir değil birden fazla yöntemi aynı anda kullanmanız gerekir.
Bu konunun özeti "Faktörleştirme". Bundan sonra ne yapacağınızı seçin:
- Sonraki özete git:
Materyali pekiştirmek için birkaç örnek ele alınacak ve kesirleri en basit parçalara ayırma teorisi dikkate alınacaktır. Belirsiz katsayılar yöntemini ve kısmi değerler yöntemini ayrıntılı olarak ele alacağız ve olası tüm kombinasyonları inceleyeceğiz.
Basit kesirlere temel kesirler denir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kesirler ayırt edilir:
- ax-a;
- A(x - a)n;
- Mx + Nx2 + px + q;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
A, M, N, a, p, q sayılarıdır ve 3 ve 4 kesirlerinin diskriminantları sıfırdan küçüktür, yani ifadenin kökleri yoktur.
Bir ifadeyi basitleştirmek hesaplama işlevlerini daha hızlı hale getirir. Rasyonel bir kesrin basit kesirlerin toplamı olarak gösterimi benzerdir. Bunu yapmak için Laurent serileri kuvvet serilerine genişletmek veya integralleri bulmak için kullanılır.
Örneğin, ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x formundaki kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini almanız gerekiyorsa. Bundan sonra integrali basit kesirlere ayırmak gerekir. Bütün bunlar basit integrallerin oluşumuna yol açar. Bunu anlıyoruz
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
Örnek 1
Formun bir kısmını ayrıştırın - 2 x + 3 x 3 + x.
Çözüm
Bir polinomun payının derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğunda basit kesirlere ayrıştırma gerçekleşir. Aksi takdirde, tüm parçayı izole etmek için bölme kullanılır ve ardından kesirli-rasyonel fonksiyon ayrıştırılır.
Açıya göre bölme işlemini uygulayalım. Bunu anlıyoruz
Kesirin şu şekli alacağı sonucu çıkıyor
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Bu, böyle bir genişletmenin sonucun - 2 x + 3 x 3 + x'e eşit olmasına yol açacağı anlamına gelir.
Belirsiz katsayılar yöntemi için algoritma
Ayrışmayı doğru bir şekilde gerçekleştirmek için birkaç noktaya uymanız gerekir:
- Çarpanlara ayırın. Basamaklamayı, kısaltılmış çarpma formüllerini ve kök seçimini kullanabilirsiniz. Mevcut örnek x 3 + x = x x 2 + 1 basitlik açısından parantezlerden çıkarılmıştır.
- Bir kesirin katsayıları belirlenemeyen basit kesirlere ayrıştırılması.
Birkaç örneğe bakalım:
Örnek 2
Payda (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) şeklinde bir ifadeye sahip olduğunda, faktörlerin sayısı önemli değildir, kesir, birinci türden bir kesir olarak temsil edilebilir A x - a + B x - b + C x - c + D x - d, burada a, b, c ve d sayılardır, A, B, C ve D tanımsız katsayılardır.
Örnek 3
Payda (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 ifadesine sahip olduğunda, faktör sayısı da önemli değildir ve kesirin kendisi formun ikinci veya birinci türüne indirgenmelidir. :
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
burada mevcut a, b, c sayılardır ve A 1, A 2, B 1, B 2, B 3, B 4, C 1, C 2, C 3 tanımlanmamış katsayılardır. Polinomun derecesi ne kadarsa, elimizdeki terim sayısı da o kadardır.
Örnek 4
Payda x 2 + p x + q x 2 + r x + s şeklinde olduğunda, ikinci dereceden fonksiyonların sayısı önemli değildir ve kesir üçüncü tip P x + Q x 2 + p x formunu alır + q + R x + S x 2 + r x + s, burada mevcut p, q, r ve s sayılardır ve P, Q, R ve S belirli katsayılardır.
Örnek 5
Payda x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 formuna sahip olduğunda, faktör sayısı ve dereceleri önemli değildir, kesir formun üçüncü ve dörtlü türleri şeklinde temsil edilir
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
burada mevcut p, q, r ve s sayılardır ve P 1, P 2, P 3, P 4, R 1, R 2, S 1, S 2 belirlenmemiş katsayılardır.
Örnek 6
(x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 formunda bir payda olduğunda, kesir dördüncü tür şeklinde temsil edilmelidir.
A x - a + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Kesir örneğine bakalım. Bir kesir 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 formunun üçüncü türünün toplamına genişletildiğinde, burada A , B ve C belirlenmemiş katsayılardır.
Belirsiz bir katsayı varlığında basit kesirlerin elde edilen toplamını ortak bir paydaya indirgeyerek, x'in aynı kuvvetleri için gruplandırma yöntemini kullanırız ve şunu buluruz:
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
X 0'dan farklı olduğunda çözüm iki polinomun eşitlenmesine gelir. 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A elde ederiz. Aynı derecedeki katsayılar çakıştığında polinomlar eşit kabul edilir.
- Katsayıları x'in aynı kuvvetlerine eşitleme. Belirli katsayıların varlığında doğrusal denklem sistemini elde ederiz:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Belirsiz katsayıları bulmak için herhangi bir yöntemi kullanarak ortaya çıkan sistemi çözme: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Cevabı kaydediyoruz:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Sürekli kontroller yapılmalıdır. Bu, ortak bir paydaya indirgemenin şu şekilde olmasına katkıda bulunur:
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Belirsiz katsayılar yöntemi, bir kesri diğer en basit kesirlere ayırma yöntemi olarak kabul edilir.
Kısmi değer yönteminin kullanılması, doğrusal faktörlerin şu şekilde temsil edilmesine yardımcı olur:
x - a x - b x - c x - d .
Örnek 7
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x kesirini ayrıştırın.
Çözüm
Pay polinomunun derecesinin payda polinomunun derecesinden küçük olması koşuluyla bölme işlemine gerek yoktur. Çarpanlara ayırmaya devam etmek gerekir. İlk önce parantezlerden x'i çıkarmanız gerekir. Bunu anlıyoruz
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Kare trinomial x 2 - 5 x + 6'nın kökleri diskriminant tarafından değil Vieta teoremi tarafından bulunur. Şunu elde ederiz:
x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Üç terimli şu şekilde yazılabilir: x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Daha sonra payda değişecektir: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Böyle bir paydaya sahip olarak, kesri, katsayıları belirlenemeyen basit kesirlere ayırıyoruz. İfade şu şekli alacaktır:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Elde edilen sonuç ortak bir paydaya indirgenmelidir. Sonra şunu elde ederiz:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
Sadeleştirmeden sonra formun eşitsizliğine ulaşıyoruz
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Şimdi belirsiz katsayıları bulmaya geçiyoruz. Paydanın sıfır olması için, yani x = 0, x = 2 ve x = 3 değerlerinin eşitliğe dönüştürülmesi gerekir.
Eğer x = 0 ise şunu elde ederiz:
2 0 2 - 0 - 7 = Bir (0 - 3) (0 - 2) + B 0 (0 - 2) + C 0 (0 - 3) - 7 = 6 Bir ⇒ A = - 7 6
Eğer x = 2 ise
2 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B 2 (2 - 2) + C 2 (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Eğer x = 3 ise
2 3 2 - 3 - 7 = Bir (3 - 3) (3 - 2) + B 3 (3 - 2) + C 3 (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Cevap: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 1 x + 8 3 1 x - 3 + 1 2 1 x - 2
Katsayı yöntemi ve kısmi değer yöntemi yalnızca bilinmeyenleri bulma yöntemleri bakımından farklılık gösterir. Bu yöntemler bir ifadeyi hızla basitleştirmek için birleştirilebilir.
Örnek 8
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 ifadesini basit kesirlere ayırın.
Çözüm
Koşullu olarak, polinomun payının derecesinin paydadan küçük olması, denklemin şu şekli alacağı anlamına gelir:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Ortak bir paydaya indiriyoruz. Bizde buna sahibiz
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C3 (x - 1) (x + 1) + C2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3 ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Payları eşitleyelim ve şunu elde edelim
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Yukarıda yazılanlardan paydanın sıfırlarının x = 1, x = - 1 ve x = 3 olduğu açıktır. Daha sonra kısmi çözüm yöntemini uyguluyoruz. Bunu yapmak için x değerlerini yerine koyalım. eğer x=1 ise şunu elde ederiz:
5 = - 16 Bir ⇒ Bir = 5 16
Eğer x = - 1 ise
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C3 ⇒ C3 = 157 8
Bundan, C 1 ve C 3 değerlerini bulmanız gerektiği anlaşılmaktadır.
Bu nedenle, elde edilen değeri payın yerine koyarız, sonra
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Aynı kuvvetlere sahip benzer terimleri göstermek için parantezleri açalım. Formun bir ifadesine gelelim
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Karşılık gelen katsayıları aynı derecelerle eşitlemek gerekir, o zaman istenen C 1 ve C 3 değerini bulabiliriz. Şimdi sistemi çözmemiz gerekiyor:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
İlk denklem C 1 = 103 128 ve ikinci C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 103 128 = 293 32'yi bulmayı mümkün kılar.
Çözümün sonucu, kesirin istenen en basit forma ayrıştırılmasıdır:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Not
Belirsiz katsayılar yöntemi doğrudan uygulansaydı, sistemde birleştirilmiş beş doğrusal denklemin tamamının çözülmesi gerekecekti. Bu yöntem, değişkenlerin değerlerinin aranmasını ve toplamda daha fazla çözümü kolaylaştırır. Bazen birkaç yöntem kullanılır. Bu, ifadenin tamamını hızlı bir şekilde basitleştirmek ve sonucu bulmak için gereklidir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Bazı tanımlarla başlayalım. N'inci dereceden (veya n'inci dereceden) bir polinom, $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0) biçiminde bir ifade olacaktır. )x ^(n)+a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Örneğin $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ifadesi, derecesi $14$ olan bir polinomdur. Şu şekilde gösterilebilir: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
İki polinomun oranına $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ denir rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir. Daha doğrusu, bir değişkenin (yani $x$ değişkeninin) rasyonel bir fonksiyonudur.
Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.
Örnek No.1
Aşağıdaki kesirlerden hangilerinin rasyonel olduğunu belirtiniz. Kesir rasyonel ise doğru olup olmadığını öğrenin.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Bu kesir $\sin x$ içerdiğinden rasyonel değildir. Rasyonel bir kesir buna izin vermez.
2) İki polinomun oranına sahibiz: $5x^2+3x-8$ ve $11x^9+25x^2-4$. Dolayısıyla tanıma göre $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ ifadesi rasyonel bir kesirdir. Paydaki polinomun derecesi $2$'a ve paydadaki polinomun derecesi $9$'a eşit olduğundan, bu kesir uygundur (çünkü $2)< 9$).
3) Bu kesrin hem payı hem de paydası polinomlar (çarpanlara ayrılmış) içerir. Pay ve payda polinomlarının hangi biçimde sunulduğu bizim için hiç önemli değil: çarpanlara ayrılmış olup olmadıkları. İki polinomun oranı olduğundan, tanıma göre $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ifadesi ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ rasyonel bir kesirdir.
Belirli bir kesrin uygun olup olmadığı sorusunu cevaplamak için pay ve paydadaki polinomların kuvvetlerinin belirlenmesi gerekir. Pay ile başlayalım, yani. $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ ifadesinden. Bu polinomun derecesini belirlemek için elbette parantezleri açabilirsiniz. Ancak, biz yalnızca $x$ değişkeninin en büyük kuvvetiyle ilgilendiğimiz için bunu çok daha basit bir şekilde yapmak mantıklıdır. Her parantezden $x$ değişkenini en büyük dereceye kadar seçiyoruz. $(2x^3+8x+4)$ parantezinden $x^3$ alırız, $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ parantezinden $(x^4) alırız ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ ve $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ parantezinden $x^7$ öğesini seçiyoruz. Daha sonra parantezleri açtıktan sonra $x$ değişkeninin en büyük kuvveti şu şekilde olacaktır:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Payda yer alan polinomun derecesi 46$'dır. Şimdi paydaya dönelim, yani. $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ ifadesine. Bu polinomun derecesi payla aynı şekilde belirlenir, yani.
$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Payda 41. dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi (yani 46), paydadaki polinomun derecesinden (yani 41) küçük olmadığı için rasyonel kesir $\frac((2x^3+8x+4)(8x) olur. ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ yanlış.
4) $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ kesirinin payı $3$ sayısını içerir, yani. sıfır derece polinomu. Pay, resmi olarak şu şekilde yazılabilir: $3x^0=3\cdot1=3$. Paydada derecesi $6\cdot 4=24$'a eşit olan bir polinomumuz var. İki polinomun oranı rasyonel bir kesirdir. 0$'dan beri< 24$, то данная дробь является правильной.
Cevap: 1) kesir rasyonel değildir; 2) rasyonel kesir (uygun); 3) rasyonel kesir (düzensiz); 4) rasyonel kesir (uygun).
Şimdi temel kesirler kavramına geçelim (bunlara en basit rasyonel kesirler de denir). Dört tür temel rasyonel kesir vardır:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide
$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Bu arada, bu kontrol için $x^2$ öncesindeki katsayının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.
Görev şu şekildedir: verilen doğru rasyonel bir kesri temel rasyonel kesirlerin toplamı olarak temsil eder. Bu sayfada sunulan materyal bu sorunun çözümüne ayrılmıştır. Öncelikle aşağıdaki koşulun karşılandığından emin olmanız gerekir: uygun rasyonel kesirin paydasındaki polinom, bu ayrıştırmanın yalnızca $(x-a)^n$ veya $(x^ biçimindeki parantezleri içerecek şekilde çarpanlara ayrılmasıdır) 2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Paydada yer alan $(x-a)$ formundaki her bir parantez, $\frac(A)(x-a)$ kesrine karşılık gelir.
- Paydada bulunan $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) formundaki her bir parantez, $n$ kesirlerin toplamına karşılık gelir: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q biçimindeki her bir parantez< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) formundaki her bir parantez< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Kesir uygun değilse, yukarıdaki şemayı uygulamadan önce, onu tamsayı kısmının (polinom) ve uygun rasyonel kesrin toplamına bölmelisiniz. Bunun tam olarak nasıl yapıldığına daha sonra bakacağız (bkz. örnek 2, nokta 3). Paylardaki harf gösterimleri hakkında birkaç kelime (ör. $A$, $A_1$, $C_2$ ve benzeri). Zevkinize uygun herhangi bir harfi kullanabilirsiniz. Sadece bu harflerin olması önemlidir. çeşitli tüm temel kesirlerde. Bu parametrelerin değerlerini bulmak için belirlenmemiş katsayılar yöntemini veya kısmi değerleri değiştirme yöntemini kullanın (bkz. Örnek No. 3, No. 4 ve No. 5).
Örnek No.2
Verilen rasyonel kesirleri temel olanlara ayırın (parametreleri bulmadan):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Rasyonel bir kesirimiz var. Bu kesirin payı 4. dereceden bir polinom içerir ve paydası derecesi 17$'a eşit olan bir polinom içerir (bu derecenin nasıl belirleneceği 1 numaralı örneğin 3 numaralı paragrafında ayrıntılı olarak açıklanmaktadır). Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan bu kesir doğrudur. Bu kesrin paydasına dönelim. Tamamen $(x-a)^n$ biçiminin altına giren $(x-5)$ ve $(x+2)^4$ parantezleriyle başlayalım. Ayrıca $(x^2+3x+10)$ ve $(x^2+11)^5$ parantezleri de vardır. $(x^2+3x+10)$ ifadesi $(x^2+px+q)^n$ biçimindedir, burada $p=3$; $q=10$, $n=1$. $p^2-4q=9-40=-31 olduğundan< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Sonuç şu şekilde yazılabilir:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
O halde $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ kesri başka bir biçimde temsil edilebilir:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+) 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
$\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ kesri uygun bir rasyonel kesirdir, çünkü paydaki polinomun derecesi (yani 2) şundan küçüktür: paydadaki polinomun derecesi (yani 3). Şimdi bu kesrin paydasına bakalım. Payda, çarpanlara ayrılması gereken bir polinom içerir. Bazen Horner'ın şeması çarpanlara ayırma için kullanışlıdır, ancak bizim durumumuzda terimleri gruplandırmanın standart "okul" yöntemiyle idare etmek daha kolaydır:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$
Önceki paragraflardaki yöntemlerin aynısını kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Sonunda elimizde:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Bu konuya ikinci bölümde devam edilecektir.
Ana özelliklerine dayanmaktadır: Bir kesrin payı ve paydası sıfır olmayan aynı polinomla bölünürse, eşit bir kesir elde edilecektir.
Yalnızca çarpanları azaltabilirsiniz!
Polinomların üyeleri kısaltılamaz!
Cebirsel bir kesri azaltmak için öncelikle pay ve paydadaki polinomların çarpanlara ayrılması gerekir.
Kesirleri azaltma örneklerine bakalım.
Kesrin payı ve paydası tek terimler içerir. Temsil ediyorlar iş(sayılar, değişkenler ve bunların kuvvetleri), çarpanlar azaltabiliriz.
Sayıları en büyük ortak bölenlerine, yani bu sayıların her birinin bölündüğü en büyük sayıya göre azaltıyoruz. 24 ve 36 için bu 12'dir. İndirgemeden sonra 24'ten 2, 36'dan 3 kalır.
Dereceleri en düşük endekse sahip derece kadar azaltıyoruz. Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı bölene bölüp üsleri çıkarmak anlamına gelir.
a² ve a⁷ a²'ye indirgenir. Bu durumda a²'nin payında bir kalır (sadece indirgeme sonrasında başka çarpan kalmadığında 1 yazarız. 24'ten 2 kalır, dolayısıyla a²'den kalan 1'i yazmayız). a⁷'dan indirgeme sonrasında a⁵ kalır.
b ve b, b ile azaltılır; elde edilen birimler yazılmaz.
c³° ve c⁵, c⁵ olarak kısaltılmıştır. C³º'den geriye kalan c²⁵, c⁵'den ise birdir (bunu yazmıyoruz). Böylece,
Bu cebirsel kesrin payı ve paydası polinomlardır. Polinomların terimlerini iptal edemezsiniz! (örneğin 8x² ve 2x'i azaltamazsınız!). Bu oranı azaltmak için ihtiyacınız var. Payın ortak çarpanı 4x'tir. Parantez içinden çıkaralım:
Hem pay hem de payda aynı faktöre sahiptir (2x-3). Kesri bu faktörle azaltıyoruz. Payda 4x, paydada - 1 elde ettik. Cebirsel kesirlerin 1 özelliğine göre kesir 4x'e eşittir.
Yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz (bu kesri 25x² azaltamazsınız!). Bu nedenle kesrin pay ve paydasındaki polinomların çarpanlara ayrılması gerekir.
Pay toplamın tam karesi, payda ise kareler farkıdır. Kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak ayrıştırıldıktan sonra şunu elde ederiz:
Kesri (5x+1) kadar azaltıyoruz (bunu yapmak için paydaki iki rakamın üstünü üs olarak çizin ve (5x+1)² (5x+1) bırakın):
Payın ortak çarpanı 2'dir, bunu parantezlerden çıkaralım. Payda küplerin farkının formülüdür:
Açılım sonucunda pay ve payda aynı çarpanı aldı (9+3a+a²). Kesri bununla azaltıyoruz:
Paydaki polinom 4 terimden oluşur. birinci terimi ikinciyle, üçüncüyü dördüncüyle ve ilk parantezdeki x² ortak faktörünü çıkarın. Paydayı küplerin toplamı formülünü kullanarak ayrıştırıyoruz:
Payda ortak çarpanı (x+2) parantezlerden çıkaralım:
Kesri (x+2) kadar azaltın:
