Polinomların derecesi ve polinomun standart formu. Polinom kelimesinin anlamı

- polinomlar. Bu yazıda polinomlarla ilgili tüm başlangıç ​​ve gerekli bilgileri özetleyeceğiz. Bunlar, öncelikle bir polinomun tanımını ve polinomun terimlerinin, özellikle de serbest terimin ve benzer terimlerin tanımlarını içerir. İkinci olarak standart formdaki polinomlar üzerinde duracağız, uygun tanımını vereceğiz ve bunlara örnekler vereceğiz. Son olarak bir polinomun derecesinin tanımını tanıtacağız, onu nasıl bulacağımızı bulacağız ve polinomun terimlerinin katsayıları hakkında konuşacağız.

Sayfada gezinme.

Polinom ve terimleri - tanımlar ve örnekler

7. sınıfta polinomlar tek terimlilerden hemen sonra incelenir, bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü polinom tanımı monomiyaller aracılığıyla verilir. Polinomun ne olduğunu açıklamak için bu tanımı verelim.

Tanım.

Polinom tek terimlilerin toplamıdır; Bir monom, bir polinomun özel bir durumu olarak kabul edilir.

Yazılı tanım, polinomlara istediğiniz kadar örnek vermenize olanak tanır. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, vb. tek terimlilerden herhangi biri. bir polinomdur. Ayrıca tanım gereği 1+x, a 2 +b 2 ve polinomlardır.

Polinomları tanımlamanın kolaylığı için, bir polinom teriminin tanımı eklenmiştir.

Tanım.

Polinom terimleri bir polinomun kurucu monomlarıdır.

Örneğin, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 polinomu dört terimden oluşur: 3 x 4, −2 x y, 3 ve −y 3. Bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak kabul edilir.

Tanım.

İki ve üç terimden oluşan polinomların özel isimleri vardır - binom Ve üç terimli sırasıyla.

Yani x+y bir binomdur ve 2 x 3 q−q x x x+7 b bir üç terimlidir.

Okulda çoğunlukla çalışmak zorunda kalıyoruz doğrusal binom a x+b , burada a ve b bazı sayılardır ve x bir değişkendir, ayrıca c ikinci dereceden üç terimli a·x 2 +b·x+c, burada a, b ve c bazı sayılardır ve x bir değişkendir. Doğrusal binom örnekleri: x+1, x 7,2−4 ve kare üç terimli örnekleri: x 2 +3 x−5 ve .

Gösterimlerindeki polinomlar benzer terimlere sahip olabilir. Örneğin, 1+5 x−3+y+2 x polinomunda benzer terimler 1 ve −3'ün yanı sıra 5 x ve 2 x'tir. Kendi özel adları vardır; bir polinomun benzer terimleri.

Tanım.

Bir polinomun benzer terimleri Bir polinomdaki benzer terimlere denir.

Önceki örnekte 1 ve −3 ile 5 x ve 2 x çifti polinomun benzer terimleridir. Benzer terimlere sahip polinomlarda, formlarını basitleştirmek için benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştirebilirsiniz.

Standart formun polinomu

Tek terimlilerde olduğu gibi polinomlar için de standart form adı verilen bir form vardır. İlgili tanımı seslendirelim.

Bu tanıma dayanarak standart formdaki polinomlara örnekler verebiliriz. Yani 3 x 2 −x y+1 polinomları ve standart formda yazılmıştır. Ve 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ve x+x y 3 x z 2 +3 z ifadeleri standart biçimdeki polinomlar değildir, çünkü bunlardan ilki benzer 3 x 2 ve −x 2 terimlerini içerir ve ikincisi – biçimi standart olandan farklı olan bir tek terimli x·y 3 ·x·z 2.

Gerekirse polinomu her zaman standart forma indirebileceğinizi unutmayın.

Standart formdaki polinomlarla ilgili başka bir kavram, bir polinomun serbest terimi kavramıdır.

Tanım.

Bir polinomun serbest terimi harf kısmı olmayan standart formdaki bir polinomun üyesidir.

Başka bir deyişle, standart formdaki bir polinom bir sayı içeriyorsa buna serbest üye denir. Örneğin 5, x 2 z+5 polinomunun serbest terimidir, ancak 7 a+4 a b+b 3 polinomunun serbest terimi yoktur.

Bir polinomun derecesi - nasıl bulunur?

İlgili bir diğer önemli tanım ise bir polinomun derecesinin tanımıdır. Öncelikle standart formdaki bir polinomun derecesini tanımlarız; bu tanım, bileşimindeki monomların derecelerine dayanır.

Tanım.

Standart formdaki bir polinomun derecesi gösteriminde yer alan monomların kuvvetlerinin en büyüğüdür.

Örnekler verelim. 5 x 3 −4 polinomunun derecesi 3'e eşittir, çünkü içindeki 5 x 3 ve −4 monomları sırasıyla 3 ve 0 derecelerine sahiptir, bu sayıların en büyüğü polinomun derecesi olan 3'tür. tanım olarak. Ve polinomun derecesi 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 ve 1 sayılarından en büyüğüne yani 5'e eşittir.

Şimdi herhangi bir formdaki polinomun derecesini nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Tanım.

Keyfi biçimdeki bir polinomun derecesi standart formun karşılık gelen polinomunun derecesini çağırın.

Dolayısıyla, bir polinom standart biçimde yazılmamışsa ve derecesini bulmanız gerekiyorsa, o zaman orijinal polinomu standart biçime indirmeniz ve ortaya çıkan polinomun derecesini bulmanız gerekir - bu gerekli olacaktır. Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

Polinomun derecesini bulun 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Çözüm.

Öncelikle polinomu standart biçimde temsil etmeniz gerekir:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Ortaya çıkan standart form polinomu iki monom içerir: −2 · a 2 · b 2 · c 2 ve y 2 · z 2. Üslerini bulalım: 2+2+2=6 ve 2+2=4. Açıkçası, bu kuvvetlerin en büyüğü 6'dır ve bu, tanımı gereği standart formdaki bir polinomun kuvvetidir. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2 ve dolayısıyla orijinal polinomun derecesi., 2 x−0,5 x y+3 x+7 polinomunun 3 x ve 7'si.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

polinom, formun ifadesi

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

burada x, y, ..., w ≈ değişkenler ve A, B, ..., D (M katsayıları) ve k, l, ..., t (üsler ≈ negatif olmayan tamsayılar) ≈ sabitler. Ахkyl┘..wm formundaki bireysel terimlere M terimleri denir. Terimlerin sırası ve her terimdeki faktörlerin sırası keyfi olarak değiştirilebilir; aynı şekilde, sıfır katsayılı terimleri ve her bir terimin ≈ kuvvetleri sıfır katsayılı terimleri ekleyebilir veya çıkartabilirsiniz. Bir yapının bir, iki veya üç üyesi varsa buna monom, binom veya trinom denir. Bir denklemin iki terimi, aynı değişkenlerin üsleri ikili olarak eşitse benzer olarak adlandırılır. Benzer üyeler

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

bir tanesiyle değiştirilebilir (benzer terimler getiren). Benzer olanları indirgedikten sonra sıfır olmayan katsayılara sahip tüm terimlerin ikili olarak aynı olduğu ortaya çıkarsa (ancak belki farklı bir sırada yazılmışsa) ve ayrıca bu modellerin tüm katsayıları eşit çıkarsa iki modele eşit denir. sıfır. İkinci durumda, miktara özdeş sıfır adı verilir ve 0 işaretiyle gösterilir. Bir x değişkeninin miktarı her zaman şu şekilde yazılabilir:

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

burada a0, a1,..., an ≈ katsayıları.

Bir modelin herhangi bir üyesinin üslerinin toplamına o üyenin derecesi denir. M aynı şekilde sıfır değilse, sıfırdan farklı katsayılara sahip terimler arasında (bu tür terimlerin hepsinin verildiği varsayılır), en yüksek dereceden bir veya daha fazla vardır; bu en büyük dereceye M derecesi denir. Aynı sıfırın derecesi yoktur. Sıfır derecenin M.'si bir A terimine indirgenir (sabit, sıfıra eşit değil). Örnekler: xyz + x + y + z üçüncü dereceden bir polinomdur, 2x + y ≈ z + 1 birinci dereceden bir polinomdur (doğrusal M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2'nin derecesi yoktur, çünkü tamamen sıfırdır . Tüm üyeleri aynı dereceden olan bir modele homojen model veya form denir; birinci, ikinci ve üçüncü derecelerin formları doğrusal, ikinci dereceden, kübik olarak adlandırılır ve değişken sayısına göre (iki, üç) ikili (ikili), trigeminal (üçlü) (örneğin, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz bir trigeminal ikinci dereceden formdur).

Matematiğin katsayıları ile ilgili olarak, bunların belirli bir alana (bkz. Cebirsel alan), örneğin rasyonel, gerçek veya karmaşık sayılar alanına ait olduğu varsayılır. Değişme, kombinasyon ve dağılım yasalarına dayanan bir model üzerinde toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri gerçekleştirilerek yine bir model elde edilir. Böylece belirli bir alandaki katsayılara sahip tüm modeller kümesi bir halka oluşturur (bkz. Cebirsel). halka) ≈ belirli bir alan üzerinde bir polinom halkası; bu halkanın sıfır böleni yoktur yani 0'a eşit olmayan sayıların çarpımı 0 veremez.

İki polinom P(x) ve Q(x) için P = QR olacak şekilde bir R(x) polinomu bulmak mümkünse, bu durumda P'nin Q'ya bölünebildiği söylenir; Q'ya bölen denir ve R ≈ bölüm. Eğer P, Q'ya bölünemiyorsa, P = QR + S olacak şekilde P(x) ve S(x) polinomları bulunabilir ve S(x)'in derecesi Q(x)'in derecesinden küçüktür.

Bu işlemi tekrar tekrar uygulayarak, P ve Q'nun en büyük ortak böleni, yani P ve Q'nun bu polinomların herhangi bir ortak bölenine bölünebilen bir böleni bulunabilir (bkz. Öklid algoritması). Belirli bir alandaki katsayılarla daha düşük dereceli bir matrisin ürünü olarak temsil edilebilen bir matrise indirgenebilir (belirli bir alanda), aksi halde indirgenemez denir. İndirgenemez sayılar, tamsayılar teorisindeki asal sayılara benzer şekilde sayılar halkasında rol oynar. Dolayısıyla, örneğin teorem doğrudur: Eğer PQ çarpımı indirgenemez bir R polinomuna bölünebiliyorsa ancak P, R'ye bölünemiyorsa, o zaman Q, R'ye bölünebilir olmalıdır. Derecesi sıfırdan büyük olan her M, bir R polinomuna ayrıştırılabilir. verilen alanı benzersiz bir şekilde indirgenemez faktörlerin bir ürününe (sıfır dereceli faktörlere kadar) dönüştürür. Örneğin rasyonel sayılar alanında indirgenemeyen x4 + 1 polinomu çarpanlara ayrılır

reel sayılar alanında ve karmaşık sayılar alanında dört faktörle. Genel olarak, bir x değişkeninin her modeli, gerçek sayılar alanında birinci ve ikinci dereceden faktörlere ve karmaşık sayılar alanında birinci dereceden faktörlere (cebirin temel teoremi) ayrıştırılır. İki veya daha fazla değişken için artık bunu söylemek mümkün değildir; örneğin x3 + yz2 + z3 polinomu herhangi bir sayı alanında indirgenemez.

X, y, ..., w değişkenlerine belirli sayısal değerler verilirse (örneğin gerçek veya karmaşık), o zaman M de belirli bir sayısal değer alacaktır. Buradan her modelin karşılık gelen değişkenlerin bir fonksiyonu olarak değerlendirilebileceği anlaşılmaktadır. Bu fonksiyon süreklidir ve değişkenlerin herhangi bir değeri için türevlenebilir; tam bir rasyonel fonksiyon, yani değişkenlerden ve bazı sabitlerden (katsayılar) belirli bir sırayla yapılan toplama, çıkarma ve çarpma yoluyla elde edilen bir fonksiyon olarak nitelendirilebilir. Rasyonel fonksiyonların tamamı daha geniş bir rasyonel fonksiyonlar sınıfına dahildir; burada listelenen eylemlere bölme de eklenir: herhangi bir rasyonel fonksiyon, iki M'nin bir bölümü olarak temsil edilebilir. Son olarak, rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlar sınıfında yer alır.

Matematiğin en önemli özelliklerinden biri, herhangi bir sürekli fonksiyonun matematik tarafından keyfi olarak küçük bir hatayla değiştirilebilmesidir (Weierstrass teoremi; tam formülasyonu, verilen fonksiyonun bazı sınırlı, kapalı noktalar kümesinde, örneğin gerçek çizginin bir bölümü). Matematiksel analizlerle kanıtlanan bu gerçek, doğa bilimleri ve teknolojinin herhangi bir sayısında incelenen nicelikler arasındaki her türlü ilişkinin matematiksel olarak yaklaşık olarak ifade edilmesini mümkün kılar. Böyle bir ifadeye yönelik yöntemler matematiğin özel bölümlerinde incelenmiştir (bkz. Fonksiyonların yaklaşımı ve enterpolasyonu, En küçük kareler yöntemi).

Temel cebirde, bir polinom bazen son eylemin toplama veya çıkarma olduğu cebirsel ifade olarak adlandırılır; örneğin

Aydınlatılmış. : Kurosh A.G., Course of Higher Algebra, 9. baskı, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Yüksek cebir, 2. baskı, M., 1965.

Tanım gereği bir polinom, monomların toplamını temsil eden cebirsel bir ifadedir.

Örneğin: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 polinomlardır ve z/(x - x*y^2 + 4) ifadesi bir polinom değildir çünkü tek terimlilerin toplamı değildir. Bir polinom bazen polinom olarak da adlandırılır ve bir polinomun parçası olan monomlar, bir polinomun veya monomiyallerin üyeleridir.

Polinomun karmaşık kavramı

Bir polinom iki terimden oluşuyorsa buna binom, üç terimden oluşuyorsa buna trinom denir. Fournomial, fivenomial ve diğerleri isimleri kullanılmaz ve bu gibi durumlarda sadece polinom denir. Bu tür isimler, terim sayısına bağlı olarak her şeyi yerine koyar.

Ve tek terimli terimi sezgisel hale geliyor. Matematiksel açıdan bakıldığında monom, polinomun özel bir durumudur. Bir monom, bir terimden oluşan bir polinomdur.

Tıpkı bir monom gibi, bir polinomun da kendi standart formu vardır. Bir polinomun standart formu, içinde terim olarak yer alan tüm monomların standart bir formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği bir polinomun böyle bir gösterimidir.

Polinomun standart formu

Bir polinomu standart forma indirgeme prosedürü, monomların her birini standart forma indirgemek ve ardından tüm benzer monomları bir araya toplamaktır. Bir polinomun benzer terimlerinin toplanmasına benzerlerin indirgenmesi denir.
Örneğin, 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b polinomunda benzer terimleri sunalım.

4*a*b^2*c^3 ve 6*a*b^2*c^3 terimleri burada benzerdir. Bu terimlerin toplamı 10*a*b^2*c^3 tek terimli olacaktır. Bu nedenle, orijinal polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b, 10*a*b^2*c^3 - a* olarak yeniden yazılabilir. B . Bu giriş bir polinomun standart formu olacaktır.

Herhangi bir mononomun standart bir forma indirgenebileceği gerçeğinden, aynı zamanda herhangi bir polinomun standart bir forma indirgenebileceği sonucu çıkar.

Bir polinom standart bir forma indirgendiğinde polinomun derecesi gibi bir kavramdan bahsedebiliriz. Bir polinomun derecesi, belirli bir polinomun içerdiği en yüksek monom derecesidir.
Yani, örneğin, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 beşinci dereceden bir polinomdur, çünkü polinomun içerdiği monomların maksimum derecesi (5*x^3*y^) 2) beşincidir.

Veya, kesinlikle, formun sonlu resmi toplamıdır

Özellikle, bir değişkendeki bir polinom, formun sonlu resmi toplamıdır.

Bir polinom kullanılarak “cebirsel denklem” ve “cebirsel fonksiyon” kavramları türetilir.

Çalışma ve uygulama[ | ]

Polinom denklemlerinin ve çözümlerinin incelenmesi belki de "klasik cebirin" ana amacıydı.

Matematikteki bir dizi dönüşüm polinomların incelenmesiyle ilişkilidir: sıfır, negatif ve ardından karmaşık sayıların dikkate alınmasının yanı sıra grup teorisinin bir matematik dalı olarak ortaya çıkışı ve özel sınıfların tanımlanması Analizde işlevler.

Daha karmaşık fonksiyon sınıflarıyla karşılaştırıldığında polinomlarla ilişkili hesaplamaların teknik basitliği ve ayrıca polinom kümesinin Öklid uzayının kompakt alt kümeleri üzerindeki sürekli fonksiyonlar uzayında yoğun olması (bkz. Weierstrass'ın yaklaşım teoremi), aşağıdakilere katkıda bulunmuştur: Matematiksel analizde seri genişletme ve polinom genişletme yöntemlerinin geliştirilmesi.

Polinomlar, nesnesi polinom sistemlerinin çözümleri olarak tanımlanan kümeler olan cebirsel geometride de önemli bir rol oynar.

Polinomları çarparken katsayıları dönüştürmenin özel özellikleri cebirsel geometride, cebirde, düğüm teorisinde ve matematiğin diğer dallarında polinomlardaki çeşitli nesnelerin özelliklerini kodlamak veya ifade etmek için kullanılır.

İlgili tanımlar[ | ]

• Formun polinomu c x 1 ben 1 x 2 ben 2 ⋯ x n ben n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) isminde tek terimli veya tek terimliçoklu indeks ben = (i 1 , … , ben n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Çoklu indekse karşılık gelen tek terimli ben = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\noktalar ,\,0)) isminde Ücretsiz Üye.
• Tam derece(sıfır olmayan) tek terimli c ben x 1 ben 1 x 2 ben 2 ⋯ x n ben n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (N))) tamsayı denir | ben | = ben 1 + ben 2 + ⋯ + ben n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• Birçok çoklu indeks BEN, bunun için katsayılar c ben (\displaystyle c_(I)) sıfır olmayan, denir polinomun taşıyıcısı ve dışbükey gövdesi Newton'un çok yüzlüsü.
• Polinom derecesi monomlarının kuvvetlerinin maksimumu denir. Aynı sıfırın derecesi ayrıca değerle belirlenir. − ∞ (\displaystyle -\infty).
• İki tek terimlinin toplamı olan polinoma denir binom veya binom,
• Üç tek terimlinin toplamı olan polinoma denir üç terimli.
• Polinomun katsayıları genellikle belirli bir değişmeli halkadan alınır. R (\displaystyle R)(çoğunlukla alanlar, örneğin gerçek veya karmaşık sayı alanları). Bu durumda, toplama ve çarpma işlemlerine göre polinomlar bir halka oluşturur (ayrıca halka üzerinde birleşimli-değişmeli cebir) R (\displaystyle R) sıfır bölenler olmadan) belirtilir R[ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
• Bir polinom için p (x) (\displaystyle p(x)) bir değişken, denklemi çözme p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) kökü denir.

Polinom fonksiyonları[ | ]

İzin vermek bir (\displaystyle A) bir halka üzerinde bir cebir var R (\displaystyle R). Keyfi polinom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) bir polinom fonksiyonunu tanımlar

En sık ele alınan durum A = R (\displaystyle A=R).

Eğer R (\displaystyle R) gerçek veya karmaşık sayılardan oluşan bir alandır (aynı zamanda sonsuz sayıda öğe içeren herhangi bir alandır), fonksiyon f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) p polinomunu tamamen tanımlar. Ancak genel olarak bu doğru değildir, örneğin: polinomlar p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) Ve p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) itibaren Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x])özdeş eşit fonksiyonları tanımlayın Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

Bir gerçek değişkenin polinom fonksiyonuna tam rasyonel fonksiyon denir.

Polinom türleri[ | ]

Özellikler [ | ]

Bölünebilme [ | ]

İndirgenemez polinomların polinom halkasındaki rolü, asal sayıların tamsayılar halkasındaki rolüne benzer. Örneğin teorem doğrudur: eğer polinomların çarpımı p q (\displaystyle pq) indirgenemez bir polinomla bölünebilirse, o zaman P veya Q bölü λ (\displaystyle \lambda). Sıfırdan büyük dereceli her polinom, belirli bir alanda benzersiz bir şekilde indirgenemez faktörlerin bir çarpımına (sıfır dereceli faktörlere kadar) ayrıştırılabilir.

Örneğin, bir polinom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2) Rasyonel sayılar alanında indirgenemeyen, reel sayılar alanında üç faktöre, karmaşık sayılar alanında ise dört faktöre ayrışır.

Genel olarak, bir değişkendeki her polinom x (\displaystyle x) gerçek sayılar alanında birinci ve ikinci dereceden faktörlere, karmaşık sayılar alanında birinci dereceden faktörlere (cebirin temel teoremi) ayrışır.

İki veya daha fazla değişken için artık bunu söylemek mümkün değildir. Herkes için her alanın üstünde n > 2 (\displaystyle n>2) polinomlar var n (\displaystyle n) Bu alanın herhangi bir uzantısında indirgenemeyen değişkenler. Bu tür polinomlara kesinlikle indirgenemez denir.