Tek basamaklı en büyük asal sayı. Asal sayıların özelliklerine ilişkin teoriler

Tanım 1. Asal sayı- Yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen birden büyük bir doğal sayıdır.

Başka bir deyişle, bir sayı yalnızca iki farklı doğal böleni varsa asaldır.

Tanım 2. Kendisinden ve birinden başka bölenleri olan her doğal sayıya denir. bileşik bir sayı.

Yani asal sayı olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir. Tanım 1'den, bileşik bir sayının ikiden fazla doğal faktöre sahip olduğu sonucu çıkar. 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir çünkü yalnızca bir 1 böleni vardır ve ayrıca asal sayılarla ilgili birçok teorem birlik için geçerli değildir.

Tanım 1 ve 2'den, 1'den büyük her pozitif tam sayının ya asal sayı ya da bileşik sayı olduğu sonucu çıkar.

Aşağıda 5000'e kadar asal sayıları görüntüleyen program verilmiştir. Hücreleri doldurun, "Oluştur" butonuna tıklayın ve birkaç saniye bekleyin.

Asal sayılar tablosu

İfade 1. Eğer P- asal sayı ve A herhangi bir tamsayı, o zaman ya A bölünmüş P, veya P Ve A eş asal sayılar.

Gerçekten mi. Eğer P Asal sayı sadece kendisine ve 1'e bölünürse A bölünemez P, o zaman en büyük ortak bölen A Ve P 1'e eşittir. O halde P Ve A eş asal sayılar.

İfade 2. Birkaç sayının çarpımı ise A 1 , A 2 , A 3, ... bir asal sayıya bölünebilir P, ardından sayılardan en az biri A 1 , A 2 , A 3, ...bölünebilir P.

Gerçekten mi. Eğer sayıların hiçbiri bölünemiyorsa P, ardından sayılar A 1 , A 2 , A 3, ... göre asal sayılar olacaktır P. Ancak Sonuç 3'ten () şu sonuç çıkıyor: ürünleri A 1 , A 2 , A 3, ... aynı zamanda göreli olarak asaldır P bu da beyanın şartına aykırıdır. Bu nedenle sayılardan en az biri bölünebilir P.

Teorem 1. Herhangi bir bileşik sayı her zaman ve benzersiz bir şekilde, sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak temsil edilebilir.

Kanıt. İzin vermek k bileşik sayı ve izin ver A 1, 1'den ve kendisinden farklı bölenlerinden biridir. Eğer A 1 bileşiktir, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 1 ve başka bir bölen A 2. Eğer A 2 bileşik bir sayıdır, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 2 ve başka bir bölen A 3. Bu şekilde akıl yürütmek ve sayıları dikkate almak A 1 , A 2 , A 3 , ... azalınca bu seri sonlu sayıda terim içeriyorsa bazı asal sayılara ulaşacağız P 1. Daha sonra kşeklinde temsil edilebilir

Bir sayının iki ayrışımı olduğunu varsayalım k:

Çünkü k=p 1 P 2 P 3 ...bir asal sayıya bölünebilir Q 1 ise faktörlerden en az biri, örneğin P 1 ile bölünebilir Q 1. Ancak P 1 asal bir sayıdır ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünür. Buradan P 1 =Q 1 (çünkü Q 1 ≠1)

O zaman (2)'den hariç tutabiliriz P 1 ve Q 1:

Dolayısıyla, birinci açılımda bir veya daha fazla kez faktör olarak görünen her asal sayının, ikinci açılımda da en az aynı sayıda göründüğüne ve ikinci açılımda faktör olarak görünen herhangi bir asal sayının da tam tersi olduğuna inanıyoruz. bir veya daha fazla kez de ilk genişletmede en az aynı sayıda görünür. Dolayısıyla herhangi bir asal sayı, her iki açılımda da aynı sayıda çarpan olarak yer alır ve dolayısıyla bu iki açılım da aynıdır.■

Bileşik sayının genişletilmesi k aşağıdaki biçimde yazılabilir

Nerede P 1 , P 2, ... çeşitli asal sayılar, α, β, γ ... pozitif tamsayılar.

Genişleme (3) denir kanonik genişleme sayılar.

Asal sayılar doğal sayılar dizisinde eşit olmayan şekilde ortaya çıkar. Sıranın bazı kısımlarında daha fazlası var, diğerlerinde ise daha az. Sayı dizisinde ne kadar ilerlersek asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: En büyük asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtladı. Bu kanıtı aşağıda sunuyoruz.

Teorem 2. Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

Kanıt. Sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsayalım ve en büyük asal sayı olsun P. Bütün sayıları büyük sayalım P. İfadenin varsayımına göre bu sayıların bileşik olması ve asal sayılardan en az birine bölünebilmesi gerekir. Tüm bu asal sayıların artı 1'in çarpımı olan bir sayı seçelim:

Sayı z Daha PÇünkü 2p zaten daha fazlası P. P bu asal sayıların hiçbirine bölünemez çünkü her birine bölündüğünde 1 kalanını verir. Böylece bir çelişkiye varırız. Bu nedenle sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Bu teorem daha genel bir teoremin özel bir durumudur:

Teorem 3. Aritmetik bir ilerleme verilsin

Daha sonra herhangi bir asal sayı dahil N, dahil edilmelidir M, bu nedenle N dahil edilmeyen diğer temel faktörler M ve dahası, bu temel faktörler N belirtilenden daha fazla kez dahil edilmez M.

Bunun tersi de doğrudur. Bir sayının her asal çarpanı ise N sayıya en az aynı sayıda dahil edildi M, O M bölünmüş N.

İfade 3. İzin vermek A 1 ,A 2 ,A 3,... çeşitli asal sayılar dahil M Bu yüzden

Nerede Ben=0,1,...α , J=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Dikkat a ben kabul eder α +1 değerler, β j kabul ediyor β +1 değerler, γ k kabul ediyor γ +1 değerler, ... .

Asal sayılar, iki bin yıldan fazla bir süredir bilim adamlarının ve sıradan vatandaşların dikkatini çeken en ilginç matematiksel olaylardan biridir. Artık bilgisayar ve en modern bilgi programları çağında yaşıyor olmamıza rağmen asal sayılarla ilgili birçok bilmece henüz çözülmedi; hatta bilim adamlarının nasıl yaklaşacaklarını bilemedikleri bazı şeyler var.

Asal sayılar, temel aritmetik derslerinden bildiğimiz gibi, kalansız olarak yalnızca bire ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bu arada, bir doğal sayı yukarıda sayılanlara ek olarak başka bir sayıya bölünebiliyorsa buna bileşik sayı denir. En ünlü teoremlerden biri, herhangi bir bileşik sayının, asal sayıların benzersiz bir olası çarpımı olarak temsil edilebileceğini belirtir.

Bazı ilginç gerçekler. Birincisi, birim aslında ne asal sayılara ne de bileşik sayılara ait olmaması anlamında benzersizdir. Aynı zamanda, bilimsel toplulukta, resmi olarak gereksinimlerini tam olarak karşıladığı için onu özellikle birinci grupta sınıflandırmak hala gelenekseldir.

İkincisi, “asal sayılar” grubuna sığdırılan tek çift sayı doğal olarak ikidir. Başka herhangi bir çift sayı buraya gelemez, çünkü tanımı gereği kendisine ve bire ek olarak ikiye de bölünebilir.

Yukarıda belirtildiği gibi listesi bir ile başlayabilen asal sayılar, doğal sayılar dizisi kadar sonsuz bir diziyi temsil eder. Aritmetiğin temel teoremine dayanarak, asal sayıların asla kesintiye uğramadığı ve asla bitmediği sonucuna varabiliriz, aksi takdirde doğal sayılar dizisi kaçınılmaz olarak kesintiye uğrayacaktır.

Asal sayılar ilk bakışta sanıldığı gibi doğal serilerde rastgele görülmezler. Bunları dikkatlice analiz ettikten sonra, en ilginçleri "ikiz" sayılarla ilişkilendirilen çeşitli özellikleri hemen fark edebilirsiniz. Bu şekilde adlandırılmalarının nedeni, anlaşılmaz bir şekilde yan yana gelmeleri ve yalnızca eşit bir sınırlayıcıyla (beş ve yedi, on yedi ve on dokuz) ayrılmış olmalarıdır.

Yakından bakarsanız bu sayıların toplamının her zaman üçün katı olduğunu fark edeceksiniz. Üstelik soldakini üçe böldüğümüzde kalan hep iki, sağdaki ise hep bir kalıyor. Ek olarak, bu serinin tamamını, ana noktaları sayılar üçe ve ikiye bölündüğünde oluşan salınımlı sinüzoidler şeklinde hayal edersek, bu sayıların doğal seri boyunca dağılımı da tahmin edilebilir.

Asal sayılar yalnızca dünyanın her yerindeki matematikçiler tarafından yakından incelenmekle kalmıyor, aynı zamanda diğer şeylerin yanı sıra şifreografinin de temelini oluşturan çeşitli sayı serilerinin derlenmesinde uzun süredir başarıyla kullanılıyor. Bu harika unsurlarla ilgili çok sayıda gizemin hala çözülmeyi beklediğini kabul etmek gerekir; birçok sorunun yalnızca felsefi değil, aynı zamanda pratik önemi de vardır.

Sayılar farklıdır: doğal, rasyonel, rasyonel, tamsayı ve kesirli, pozitif ve negatif, karmaşık ve asal, tek ve çift, gerçek vb. Bu makaleden asal sayıların ne olduğunu öğrenebilirsiniz.

İngilizce'de hangi sayılara "basit" denir?

Çoğu zaman, okul çocukları matematikteki en basit sorulardan birine, asal sayının ne olduğuna dair ilk bakışta nasıl cevap vereceklerini bilmiyorlar. Asal sayıları sıklıkla doğal sayılarla (yani insanların nesneleri sayarken kullandıkları, bazı kaynaklarda sıfırla, bazılarında ise bir ile başlayan sayılar) karıştırırlar. Ancak bunlar tamamen iki farklı kavramdır. Asal sayılar doğal sayılardır, yani birden büyük olan ve yalnızca 2 doğal böleni olan tam sayılar ve pozitif sayılardır. Üstelik bu bölenlerden biri verilen sayı, ikincisi ise birdir. Örneğin üç asal sayıdır çünkü kendisinden ve birden başka hiçbir sayıya kalansız bölünemez.

Bileşik sayılar

Asal sayıların tersi bileşik sayılardır. Onlar da doğaldır, yine birden büyüktür, ancak iki değil, daha fazla sayıda böleni vardır. Yani örneğin 4, 6, 8, 9 vb. sayılar doğal, bileşik sayılardır ancak asal sayılar değildir. Gördüğünüz gibi bunlar çoğunlukla çift sayılardır, ancak hepsi değildir. Ancak "iki" bir çift sayıdır ve asal sayılar dizisinin "ilk sayısı"dır.

Alt sıra

Bir dizi asal sayı oluşturmak için tüm doğal sayılar arasından tanımlarını dikkate alarak seçim yapmak, yani çelişkili hareket etmek gerekir. Pozitif doğal sayıların her birinin ikiden fazla böleni olup olmadığını incelemek gerekir. Asal sayılardan oluşan bir seri (dizi) oluşturmaya çalışalım. Liste iki ile başlar, sadece kendisine ve bire bölünebildiği için üç ile devam eder. Dört sayısını düşünün. Dört ve bir dışında bölenleri var mı? Evet bu sayı 2'dir. Yani dört asal sayı değildir. Beş de asaldır (1 ve 5 dışında başka hiçbir sayıya bölünemez), ancak altı bölünebilir. Ve genel olarak tüm çift sayıları takip ederseniz "iki" dışında hiçbirinin asal olmadığını fark edeceksiniz. Bundan iki dışındaki çift sayıların asal olmadığı sonucuna varırız. Başka bir keşif: Üçün kendisi dışında, ister çift ister tek olsun, üçe bölünebilen tüm sayılar da asal değildir (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, vb.). Aynı şey beşe ve yediye bölünebilen sayılar için de geçerlidir. Bütün bunların çokluğu da basit değil. Özetleyelim. Yani basit tek basamaklı sayılar, bir ve dokuz hariç tüm tek sayıları içerir ve "iki" bile çift sayılardır. Onlarlık sayılar (10, 20,... 40, vb.) basit değildir. İki basamaklı, üç basamaklı vb. asal sayılar yukarıdaki ilkelere göre belirlenebilir: Kendileri ve bir dışında başka böleni yoksa.

Asal sayıların özelliklerine ilişkin teoriler

Asal sayılar da dahil olmak üzere tam sayıların özelliklerini inceleyen bir bilim vardır. Bu, yüksek denilen bir matematik dalıdır. Tamsayıların özelliklerinin yanı sıra cebirsel ve aşkın sayılar ve bu sayıların aritmetiği ile ilgili çeşitli kökenlerdeki fonksiyonlarla da ilgilenmektedir. Bu çalışmalarda temel ve cebirsel yöntemlerin yanı sıra analitik ve geometrik yöntemler de kullanılmaktadır. Özellikle “Sayı Teorisi” asal sayıların incelenmesiyle ilgilidir.

Asal sayılar doğal sayıların “yapı taşlarıdır”

Aritmetikte temel teorem adı verilen bir teorem vardır. Buna göre, biri dışında herhangi bir doğal sayı, çarpanları asal sayı olan ve çarpanların sırası tek olan bir çarpım olarak temsil edilebilir, bu da temsil yönteminin benzersiz olduğu anlamına gelir. Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmasına denir. Bu işlemin başka bir adı daha var; sayıların çarpanlara ayrılması. Buna dayanarak asal sayılara, doğal sayıların oluşturulması için “yapı malzemesi”, “bloklar” denilebilir.

Asal sayıları arayın. Basitlik testleri

Farklı zamanlardan birçok bilim adamı, asal sayıların bir listesini bulmak için bazı ilkeler (sistemler) bulmaya çalıştı. Bilim, Atkin eleği, Sundartham eleği ve Eratosthenes eleği adı verilen sistemleri biliyor. Ancak anlamlı sonuçlar vermezler ve asal sayıları bulmak için basit bir test kullanılır. Matematikçiler de algoritmalar yarattılar. Bunlara genellikle asallık testleri denir. Mesela Rabin ve Miller'ın geliştirdiği bir test var. Kriptograflar tarafından kullanılır. Kayal-Agrawal-Sasquena testi de var. Bununla birlikte, yeterli doğruluğa rağmen hesaplanması çok zordur ve bu da pratik önemini azaltır.

Asal sayılar kümesinin bir sınırı var mıdır?

Antik Yunan bilim adamı Öklid, “Elementler” adlı kitabında asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunu yazmıştı. Şunu söyledi: “Bir an için asal sayıların bir sınırı olduğunu düşünelim. Daha sonra bunları birbiriyle çarpalım ve bir tanesini çarpıma ekleyelim. Bu basit işlemler sonucunda elde edilen sayı herhangi bir asal sayı dizisine bölünemez çünkü kalan her zaman bir olacaktır. Bu, henüz asal sayılar listesinde yer almayan başka bir sayının olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla varsayımımız doğru değildir ve bu kümenin limiti olamaz. Öklid'in ispatının yanı sıra, on sekizinci yüzyıl İsviçreli matematikçisi Leonhard Euler tarafından verilen daha modern bir formül de vardır. Buna göre ilk n sayının toplamının tersinin toplamı, n sayısı arttıkça sınırsız olarak büyümektedir. Asal sayıların dağılımına ilişkin teoremin formülü ise şöyle: (n), n/ln (n) kadar artar.

En büyük asal sayı nedir?

Aynı Leonard Euler, zamanının en büyük asal sayısını bulmayı başardı. Bu 2 31 - 1 = 2147483647'dir. Ancak 2013 yılına kadar asal sayılar listesindeki en doğru en büyük sayı hesaplandı - 2 57885161 - 1. Buna Mersenne sayısı denir. Yaklaşık 17 milyon ondalık basamak içerir. Gördüğünüz gibi, bir 18. yüzyıl bilim adamının bulduğu sayı bundan birkaç kat daha küçüktür. Bu olması gerektiği gibiydi, çünkü Euler bu hesaplamayı manuel olarak yapıyordu, oysa çağdaşımıza muhtemelen bir bilgisayar yardım ediyordu. Üstelik bu sayı Amerikan fakültelerinden birinin Matematik Fakültesi'nde de elde edildi. Bu bilim insanının adını taşıyan sayılar Luc-Lemaire asallık testini geçiyor. Ancak bilim burada durmak istemiyor. 1990 yılında Amerika Birleşik Devletleri'nde (EFF) kurulan Electronic Frontier Foundation, büyük asal sayıları bulanlara parasal bir ödül teklif etti. Ve 2013 yılına kadar ödül 1 ila 10 milyon ondalık sayı arasından bulan bilim insanlarına veriliyordu, bugün bu rakam 100 milyondan 1 milyara ulaştı. Ödüller 150 ila 250 bin ABD doları arasında değişiyor.

Özel asal sayıların adları

Bazı bilim adamlarının oluşturduğu algoritmalar sayesinde bulunan ve basitlik testini geçen sayılara özel sayı deniyor. İşte bunlardan bazıları:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills ve diğerleri.

Adını yukarıda adı geçen bilim adamlarının adını taşıyan bu sayıların basitliği, aşağıdaki testler kullanılarak belirlenmektedir:

1.Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge ve diğerleri.

Modern bilim bununla bitmiyor ve muhtemelen yakın gelecekte dünya, en büyük asal sayıyı bularak 250.000 dolarlık ödülü almayı başaranların isimlerini öğrenecek.

Bölenlerin numaralandırılması. Tanım gereği sayı N yalnızca 2'ye ve 1 ve kendisi dışındaki diğer tam sayılara eşit olarak bölünemediğinde asaldır. Yukarıdaki formül gereksiz adımları ortadan kaldırır ve zaman tasarrufu sağlar: örneğin bir sayının 3'e bölünüp bölünemediğini kontrol ettikten sonra 9'a bölünüp bölünemediğini kontrol etmeye gerek yoktur.

• Floor(x) işlevi, x'i x'ten küçük veya ona eşit olan en yakın tam sayıya yuvarlar.

Modüler aritmetik hakkında bilgi edinin."X mod y" işlemi (mod, Latince "modulo" yani "modül" kelimesinin kısaltmasıdır) "x'i y'ye böl ve kalanı bul" anlamına gelir. Başka bir deyişle, modüler aritmetikte belirli bir değere ulaşıldığında buna denir. modül, sayılar tekrar sıfıra "döner". Örneğin bir saat, zamanı 12 modülüyle tutar: saat 10, 11 ve 12'yi gösterir ve sonra 1'e döner.

• Çoğu hesap makinesinde mod tuşu bulunur. Bu bölümün sonunda bu fonksiyonun büyük sayılar için manuel olarak nasıl değerlendirileceği gösterilmektedir.