5. sınıftan itibaren öğrenciler farklı şekillerdeki alanlar kavramına aşina olmaya başlarlar. Dikdörtgenin alanına özel bir rol verilmiştir, çünkü bu rakam çalışılması en kolay olanlardan biridir.
Alan Konseptleri
Herhangi bir şeklin kendi alanı vardır ve alanın hesaplanması birim kareye, yani uzun kenarı 1 mm veya 1 cm, 1 dm vb. olan bir kareye dayanmaktadır. Böyle bir şeklin alanı $1*1 = 1mm^2$ veya $1cm^2$ vb.'ye eşittir. Alan kural olarak – S harfiyle gösterilir.
Alan, parçaların çerçevelediği şeklin kapladığı düzlemin kısmının boyutunu gösterir.
Dikdörtgen, tüm açılarının ölçüsü aynı derece ve 90 dereceye eşit olan, karşılıklı kenarları paralel ve çiftler halinde eşit olan bir dörtgendir.
Uzunluk ve genişlik ölçü birimlerine özellikle dikkat edilmelidir. Eşleşmeleri gerekiyor. Birimler eşleşmiyorsa dönüştürülür. Kural olarak, daha büyük bir birimi daha küçük bir birim haline getirirler, örneğin uzunluk dm ve genişlik cm olarak verilirse dm cm'ye dönüştürülür ve sonuç $cm^2$ olur.
Dikdörtgen alan formülü
Formülsüz bir dikdörtgenin alanını bulmak için şeklin bölündüğü birim karelerin sayısını saymanız gerekir.
Pirinç. 1. Birim karelere bölünmüş dikdörtgen
Dikdörtgen 15 kareye bölünmüştür yani alanı 15 cm2’dir. Şeklin genişlikte 3 kare ve uzunlukta 5 kare kapladığını belirtmekte fayda var, bu nedenle birim karelerin sayısını hesaplamak için uzunluğu genişlikle çarpmanız gerekir. Dörtgenin kenarı ne kadar küçükse genişlik, uzunluğu da o kadar uzun olur. Böylece dikdörtgenin alanı için formülü türetebiliriz:
S = a · b, burada a,b şeklin genişliği ve uzunluğudur.
Örneğin dikdörtgenin uzunluğu 5 cm, genişliği 4 cm ise alanı 4*5 = 20 cm2 olacaktır.
Köşegenini kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplama
Bir dikdörtgenin alanını köşegen boyunca hesaplamak için aşağıdaki formülü uygulamanız gerekir:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Görev, köşegenler arasındaki açının değerlerini ve köşegenin değerini veriyorsa, keyfi dışbükey dörtgenler için genel formülü kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Köşegen, bir şeklin zıt noktalarını birleştiren bir çizgi parçasıdır. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür.
Pirinç. 2. Köşegenleri çizilmiş dikdörtgen
Örnekler
Konuyu güçlendirmek için görev örneklerini göz önünde bulundurun:
1 numara. Şekildekiyle aynı şekle sahip bir bahçe arsasının alanını bulun.
Pirinç. 3. Sorunun çizimi
Çözüm:
Alanı çıkarmak için şekli iki dikdörtgene bölmeniz gerekir. Birinin boyutları 10 m ve 3 m, diğerinin ise 5 m ve 7 m olacak şekilde alanlarını buluyoruz.
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Bu bahçe arsasının alanı $S = 65 m^2$ olacaktır.
2 numara. Köşegeni d = 6 cm ve köşegenler arasındaki açı α = 30 0 ise dikdörtgenin alanını çıkarın.
Çözüm:
Değer $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\üzerinde(2)) * 6^2 * (1\üzerinde(2)) =9 cm^2$
Böylece $S=9 cm^2$ olur.
Köşegenler dikdörtgeni 4 şekle, 4 üçgene böler. Bu durumda üçgenler çiftler halinde eşittir. Bir dikdörtgenin içine bir köşegen çizerseniz, şekli iki eşit dik üçgene böler. Ortalama derecelendirme: 4.4. Alınan toplam puan: 214.
Talimatlar
Örneğin (a) kenarlarından birinin uzunluğunun 7 cm olduğunu biliyorsunuz ve çevre dikdörtgen(P) 20 cm'ye eşittir. çevre herhangi bir şeklin kenarlarının uzunluklarının toplamına eşittir ve dikdörtgen zıt kenarlar eşitse, o zaman çevre a şu şekilde görünecektir: P = 2 x (a + b) veya P = 2a + 2b. Bu formülden, basit bir işlem kullanarak ikinci kenarın (b) uzunluğunu bulabileceğiniz sonucu çıkar: b = (P – 2a): 2. Yani bizim durumumuzda b kenarı (20 – 2 x)'e eşit olacaktır. 7) : 2 = 3 cm'dir.
Şimdi, her iki bitişik kenarın (a ve b) uzunluklarını bilerek, bunları S = ab alan formülünde yerine koyabilirsiniz. Bu durumda dikdörtgen 7x3 = 21'e eşit olacaktır. Ölçü birimlerinin (santimetre) iki tarafının uzunluğunu da birbiriyle çarptığınız için ölçü birimlerinin artık santimetre kare olmayacağını unutmayın.
Kaynaklar:
- Bir dikdörtgenin çevresi nedir?
Dört kenar ve dört dik açıdan oluşan düz bir şekil. Tüm rakamlardan kare dikdörtgen diğerlerinden daha sık hesaplanması gerekir. Bu ve kare daireler ve kare bahçe arsası ve kare masa veya raf yüzeyleri. Örneğin, bir odaya duvar kağıdı yapıştırmak için şunları hesaplarlar: kare dikdörtgen duvarları.
Talimatlar
Bu arada, dikdörtgen kolayca hesaplanabilir kare. Dikdörtgen olanı tamamlamanız yeterli dikdörtgen böylece hipotenüs köşegen olur dikdörtgen. O zaman belli olacak kareçok dikdörtgen bir üçgenin bacaklarının çarpımına eşittir ve kare buna göre üçgenin kendisi bacakların çarpımının yarısına eşittir.
Konuyla ilgili video
Paralelkenarın özel bir durumu (dikdörtgen) yalnızca Öklid geometrisinde bilinmektedir. sen dikdörtgen Bütün açılar eşittir ve her biri ayrı ayrı 90 derecedir. Özel mülklere dayalı dikdörtgen ve ayrıca bir paralelkenarın karşıt kenarların paralelliği ile ilgili özelliklerinden de bulunabilir. taraflar verilen köşegenler boyunca şekiller ve bunların kesişme açısı. Tarafların hesaplanması dikdörtgen Ortaya çıkan şekillerin özelliklerinin ek inşaatlarına ve uygulamalarına dayanmaktadır.
Talimatlar
Köşegenlerin kesişme noktasını işaretlemek için A harfini kullanın. Yapıların oluşturduğu EFA'yı düşünün. Mülkiyete göre dikdörtgen köşegenleri A kesişim noktasına eşit ve ikiye bölünmüştür. FA ve EA değerlerini hesaplayınız. EFA üçgeni ikizkenar olduğundan ve taraflar EA ve FA birbirine eşittir ve sırasıyla EG köşegeninin yarısına eşittir.
Daha sonra ilk EF'yi hesaplayın dikdörtgen. Bu kenar, ele alınan EFA üçgeninin bilinmeyen üçüncü tarafıdır. Kosinüs teoremine göre EF kenarını bulmak için uygun formülü kullanın. Bunu yapmak için, FA EA kenarlarının önceden elde edilen değerlerini ve aralarındaki bilinen açının kosinüsünü kosinüs formülüne değiştirin. Ortaya çıkan EF değerini hesaplayın ve kaydedin.
Diğer tarafı bul dikdörtgen F.G. Bunu yapmak için başka bir EFG üçgenini düşünün. Hipotenüs EG ve kenar EF'nin bilindiği dikdörtgen şeklindedir. Pisagor teoremine göre uygun formülü kullanarak FG'nin ikinci ayağını bulun.
En basit düz geometrik şekilleri ifade eder ve paralelkenarın özel durumlarından biridir. Böyle bir paralelkenarın ayırt edici özelliği, dört köşenin tamamındaki dik açılardır. Taraflarla sınırlı dikdörtgen kare kenarlarının boyutları, köşegenleri ve aralarındaki açılar, yazılı dairenin yarıçapı vb. kullanılarak çeşitli şekillerde hesaplanabilir.
Talimatlar
Köşegeni oluşturan açının (α) büyüklüğü biliniyorsa dikdörtgen bir tarafında, bu köşegenin uzunluğunun (C) yanı sıra, alanı hesaplamak için bir dikdörtgendeki trigonometrik tanımları kullanabilirsiniz. Buradaki sağ üçgen, dörtgenin iki tarafı ve köşegeninden oluşur. Kosinüs tanımından, kenarlardan birinin uzunluğunun köşegen uzunluğu ile açının çarpımına eşit olacağı sonucu çıkar, değer bilinir. Sinüs tanımından diğer tarafın uzunluğunun formülünü türetebiliriz - bu, köşegen uzunluğunun ve aynı açının sinüsünün çarpımına eşittir. Bu özdeşlikleri önceki adımdaki formülde yerine koyarsak, alanı bulmak için bilinen bir açının sinüs ve kosinüsünü ve köşegen uzunluğunu çarpmanız gerektiği ortaya çıkar. dikdörtgen: S=sin(α)*cos(α)*С².
Çapraz uzunluğa (C) ek olarak dikdörtgen Köşegenlerin oluşturduğu açının (β) büyüklüğü biliniyorsa, şeklin alanını hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlardan birini de kullanabilirsiniz - sinüs. Köşegenin uzunluğunun karesini alın ve sonucu bilinen açının sinüsünün yarısıyla çarpın: S=С²*sin(β)/2.
Dikdörtgenin içine yazılan dairenin (r) değeri biliniyorsa, alanı hesaplamak için bu değeri ikinci kuvvete yükseltin ve sonucu dört katına çıkarın: S=4*r². İçine sığması mümkün olan dörtgen bir kare olacaktır ve kenarının uzunluğu, yazılı dairenin çapına, yani yarıçapın iki katına eşittir. Formül, yarıçap cinsinden ifade edilen kenar uzunluklarının ilk adımdaki özdeşliğe yerleştirilmesiyle elde edilir.
Uzunluklar (P) ve kenarlardan biri (A) biliniyorsa dikdörtgen, daha sonra bu çevrenin içindeki alanı bulmak için kenar uzunluğunun çarpımının yarısını ve çevre uzunluğu ile bu kenarın iki uzunluğu arasındaki farkı hesaplayın: S=A*(P-2*A)/2.
Konuyla ilgili video
Bir çokgenin çevresini veya alanını bulma görevi yalnızca geometri derslerindeki öğrencilerle karşı karşıya değildir. Bazen bir yetişkin tarafından çözülebilir. Hiç bir oda için gerekli duvar kağıdı miktarını hesaplamak zorunda kaldınız mı? Ya da belki bir çitle çevrelemek için yazlık evinizin uzunluğunu ölçtünüz? Bu nedenle, önemli projelerin uygulanması için geometrinin temelleri bilgisi bazen vazgeçilmezdir.
Konsepte zaten aşina olduk şeklin alanı, alan ölçüm birimlerinden birini öğrendi - santimetre kare. Bu dersimizde dikdörtgenin alanını hesaplamak için bir kural türeteceğiz.
Santimetre kareye bölünen rakamların alanını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz.
Örneğin:
Birinci şeklin alanının 8 cm2, ikinci şeklin alanının ise 7 cm2 olduğunu tespit edebiliriz.
Kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Sorunu çözmek için dikdörtgeni her biri 3 cm 2'lik 4 şeride bölüyoruz.
O zaman dikdörtgenin alanı 3 * 4 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Aynı dikdörtgen, her biri 4 cm2'lik 3 şeride bölünebilir.
O zaman dikdörtgenin alanı 4 * 3 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Her iki durumda da Bir dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden sayılar çarpılır.
Her dikdörtgenin alanını bulun.
AKMO dikdörtgenini düşünün.
Bir şeritte 6 cm2 var ve bu dikdörtgende bu tür 2 şerit var. Bu, aşağıdaki işlemi gerçekleştirebileceğimiz anlamına gelir:
6 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini temsil eder. Yani dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenarlarını çarptık.
KDCO dikdörtgenini düşünün.
KDCO dikdörtgeninde bir şeritte 2 cm2 vardır ve bu tür 3 şerit vardır. Dolayısıyla işlemi gerçekleştirebiliriz.
3 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini belirtir. Bunları çarparak dikdörtgenin alanını bulduk.
Şu sonuca varabiliriz: Dikdörtgenin alanını bulmak için her seferinde rakamı santimetre kareye bölmenize gerek yok.
Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için uzunluğunu ve genişliğini bulmanız (dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları aynı ölçü birimlerinde ifade edilmelidir) ve ardından elde edilen sayıların çarpımını (alan) hesaplamanız gerekir. karşılık gelen alan birimleriyle ifade edilecektir)
Özetleyelim: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğu ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Sorunu çözün.
Dikdörtgenin uzunluğu 9 cm ve genişliği 2 cm ise dikdörtgenin alanını hesaplayın.
Şöyle düşünelim. Bu problemde dikdörtgenin hem uzunluğu hem de genişliği bilinmektedir. Bu nedenle şu kuralı uyguluyoruz: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Çözümü yazalım.
Cevap: dikdörtgen alan 18cm 2
Böyle bir alana sahip bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının başka hangi uzunlukları olduğunu düşünüyorsunuz?
Şöyle düşünebilirsiniz. Alan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının çarpımı olduğundan çarpım tablosunu hatırlamanız gerekir. 18 cevabını vermek için hangi sayılar çarpılır?
Doğru, 6 ile 3'ü çarptığınızda yine 18 elde edersiniz. Bu, bir dikdörtgenin kenarlarının 6 cm ve 3 cm olabileceği ve alanının da 18 cm 2 olacağı anlamına gelir.
Sorunu çözün.
Dikdörtgenin uzunluğu 8 cm, genişliği 2 cm'dir. Alanını ve çevresini bulun.
Dikdörtgenin uzunluğunu ve genişliğini biliyoruz. Alanı bulmak için uzunluğunun ve genişliğinin çarpımını bulmanız gerektiğini, çevreyi bulmak için ise uzunluk ve genişliğin toplamını ikiyle çarpmanız gerektiğini unutmamak gerekir.
Çözümü yazalım.
Cevap: Dikdörtgenin alanı 16 cm2, çevresi 20 cm'dir.
Sorunu çözün.
Dikdörtgenin uzunluğu 4 cm, genişliği 3 cm'dir. Üçgenin alanı nedir? (resme bakınız)
Problemdeki soruyu cevaplamak için öncelikle dikdörtgenin alanını bulmanız gerekiyor. Bunun için uzunluğu genişlikle çarpmamız gerektiğini biliyoruz.
Çizime bakın. Köşegenin dikdörtgeni iki eşit üçgene nasıl böldüğünü fark ettiniz mi? Bu nedenle bir üçgenin alanı dikdörtgenin alanından 2 kat daha azdır. Yani 12'ye 2 kat azaltmamız gerekiyor.
Cevap:Üçgenin alanı 6 cm2'dir.
Bugün sınıfta dikdörtgenin alanını hesaplama kuralını öğrendik ve dikdörtgenin alanını bulma problemlerini çözerken bu kuralı uygulamayı öğrendik.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri: Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 1. M., “Aydınlanma”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri: Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. M., “Aydınlanma”, 2012.
3. M.I.Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. M., “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testler. M., “Sınav”, 2012 (127 s.)
2. "Prosveshcheniye" yayınevi ()
1. Dikdörtgenin uzunluğu 7 cm, genişliği 4 cm'dir. Dikdörtgenin alanını bulun.
2. Karenin bir kenarı 5 cm'dir. Karenin alanını bulun.
3. Alanı 18 cm2 olan dikdörtgenler için olası seçenekleri çizin.
4. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.
L * H = S Bir dikdörtgenin alanını bulmak için genişliği uzunlukla çarpmanız gerekir. Başka bir deyişle şu şekilde ifade edilebilir: Dikdörtgenin alanı kenarların çarpımına eşittir.
1. Bir hesaplama örneği verelim dikdörtgenin alanı nasıl bulunur, kenarlar bilinen miktarlara eşittir, örneğin genişlik 4 cm, uzunluk 8 cm.
Kenarları olan bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? 4 ve 8 cm: Çözüm basit! 4x8 = 32 cm2. Bu kadar basit bir sorunu çözmek için dikdörtgenin kenarlarının çarpımını hesaplamanız veya genişliği uzunlukla çarpmanız gerekir, bu alan olacaktır!
2. Dikdörtgenin özel bir durumu karedir, bu durum dikdörtgenin kenarlarının eşit olduğu durumdur, bu durumda yukarıdaki formülü kullanarak karenin alanını bulabilirsiniz.
Dikdörtgenin alanı nedir?
Bir dikdörtgenin alanını hesaplama yeteneği, çok sayıda günlük veya teknik problemi çözmek için temel bir beceridir. Bu bilgi hayatın hemen hemen her alanında uygulanır! Örneğin inşaat veya gayrimenkulde herhangi bir yüzeye ihtiyaç duyulan durumlarda. Arsa alanlarını, arsaları, evlerin duvarlarını, yaşam alanlarını hesaplarken... bu bilginin yararlı olamayacağı tek bir insan faaliyet alanını adlandırmak imkansızdır!
Eğer bir dikdörtgenin alanının hesaplanması size zorluk çıkarır - sadece hesap makinemizi kullanın! O, gerekli tüm hesaplamaları anında sağlayacak ve çözümün metnini ayrıntılı olarak açıklamalarla birlikte yazacaktır.
Günlük hayatımızda alan gibi bir kavramla uğraşmak zorundayız. Yani örneğin bir ev inşa ederken ihtiyaç duyulan malzeme miktarını hesaplayabilmek için bunu bilmeniz gerekir. Bahçe arsasının büyüklüğü aynı zamanda alanıyla da karakterize edilecektir. Bu tanım olmadan bir apartman dairesinde tadilat bile yapılamaz. Bu nedenle dikdörtgenin alanının nasıl bulunacağı sorusu çok sık gündeme geliyor ve sadece okul çocukları için önemli değil.
Bilmeyenler için dikdörtgen, karşılıklı kenarları eşit ve açıları 90 derece olan düz bir şekildir. Matematikte alanı belirtmek için İngilizce S harfi kullanılır: Metrekare, santimetre vb. cinsinden ölçülür.
Şimdi dikdörtgenin alanı nasıl bulunur sorusuna detaylı bir cevap vermeye çalışacağız. Bu değeri belirlemenin birkaç yolu vardır. Çoğu zaman genişlik ve uzunluğu kullanarak alanı belirleme yöntemiyle karşılaşırız.
Genişliği b ve uzunluğu k olan bir dikdörtgen alalım. Belirli bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için genişliği uzunlukla çarpmanız gerekir. Bütün bunlar şu şekilde görünecek bir formül biçiminde temsil edilebilir: S = b * k.
Şimdi belirli bir örnek kullanarak bu yönteme bakalım. 2 metre genişliğinde ve 7 metre uzunluğunda bir bahçe arsasının alanının belirlenmesi gerekmektedir.
S = 2 * 7 = 14 m2
Matematikte, özellikle de matematikte, çoğu durumda dikdörtgenin uzunluğunu veya genişliğini bilmediğimiz için alanı başka yollarla belirlememiz gerekir. Aynı zamanda bilinen başka nicelikler de mevcuttur. Bu durumda dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
- Köşegenin uzunluğunu ve dikdörtgenin herhangi bir kenarıyla köşegeni oluşturan açılardan birini biliyorsak, o zaman bu durumda alanı hatırlamamız gerekecek. iki eşit dik üçgen. O halde belirlenen değere dönelim. Öncelikle açının kosinüsünü belirlemeniz gerekir. Ortaya çıkan değeri köşegen uzunluğuyla çarpın. Sonuç olarak dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğunu elde ederiz. Benzer şekilde, ancak sinüs tanımını kullanarak ikinci tarafın uzunluğunu belirleyebilirsiniz. Şimdi bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Evet çok basit, elde edilen değerleri çarpın.
Formül formunda şöyle görünecektir:
S = cos(a) * sin(a) * d2, burada d köşegenin uzunluğudur
- Bir dikdörtgenin alanını belirlemenin başka bir yolu da içine yazılan dairedir. Dikdörtgenin kare olması durumunda kullanılır. Bu yöntemi kullanmak için bilmeniz gerekenler Bir dikdörtgenin alanı bu şekilde nasıl hesaplanır? Tabii ki formüle göre. Bunu kanıtlamayacağız. Ve şuna benziyor: S = 4 * r2, burada r yarıçaptır.
Yarıçap yerine yazılı dairenin çapını biliyoruz. O zaman formül şöyle görünecek:
S=d2, burada d çaptır.
- Kenarlardan biri ve çevresi biliniyorsa, bu durumda dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Bunu yapmak için bir dizi basit hesaplama yapmanız gerekir. Bildiğimiz gibi bir dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir, dolayısıyla bilinen uzunluğun ikiyle çarpımı çevre değerinden çıkarılmalıdır. Sonucu ikiye bölün ve ikinci tarafın uzunluğunu bulun. O zaman standart teknik her iki tarafı da çarpmak ve dikdörtgenin alanını elde etmektir. Formül formunda şöyle görünecektir:
S=b* (P - 2*b), burada b kenar uzunluğu, P ise çevredir.
Gördüğünüz gibi bir dikdörtgenin alanı çeşitli yollarla belirlenebilir. Her şey, bu konuyu ele almadan önce bildiğimiz miktarlara bağlıdır. Tabii ki, en son matematik yöntemlerine hayatta neredeyse hiç karşılaşılmıyor, ancak okuldaki birçok problemin çözümünde faydalı olabilirler. Belki bu makale sorunlarınızı çözmek için faydalı olacaktır.
