1. Görev.
Hangi parametre değerlerinde A denklem ( A - 1)X 2 + 2X + A- 1 = 0'ın tam olarak bir kökü var mı?
1. Çözüm.
Şu tarihte: A= 1 denklem 2'dir X= 0 ve açıkça tek bir kökü var X= 0. Eğer A 1 numara, o zaman bu denklem ikinci derecedendir ve ikinci dereceden trinomiyalin diskriminantının sıfıra eşit olduğu parametre değerleri için tek bir köke sahiptir. Diskriminantı sıfıra eşitleyerek parametre için bir denklem elde ederiz A
4A 2 - 8A= 0, dolayısıyla A= 0 veya A = 2.
1. Cevap: denklemin tek kökü var AÖ (0; 1; 2).
2. Görev.
Tüm parametre değerlerini bulun A Denklemin iki farklı kökü var X 2 +4balta+8A+3 = 0.
2. Çözüm.
Denklem X 2 +4balta+8A+3 = 0'ın iki farklı kökü vardır ancak ve ancak şu şartla D =
16A 2 -4(8A+3) > 0. (4 ortak çarpanıyla indirgedikten sonra) 4 elde ederiz A 2 -8A-3 > 0, dolayısıyla
2. Cevap:
| A O (-Ґ ; 1 – | TS 7 2 |
) VE (1 + | TS 7 2 |
; Ґ ). |
3. Görev.
biliniyor ki
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Fonksiyonun grafiğini çizin F 1 (X) en A = 1.
b) Hangi değerde A fonksiyon grafikleri F 1 (X) Ve F 2 (X) tek bir ortak noktanız var mı?
3. Çözüm.
3.a. Haydi dönüşelim F 1 (X) aşağıdaki gibi
Bu fonksiyonun grafiği A= 1 sağdaki şekilde gösterilmektedir.
3.b. Hemen şunu belirtelim ki fonksiyonların grafikleri sen =
kx+B Ve sen = balta 2 +bx+C
(A No. 0) tek bir noktada kesişir ancak ve ancak ikinci dereceden denklem varsa kx+B =
balta 2 +bx+C tek bir kökü vardır. Görünümü Kullanma F 1 tanesi 3.a Denklemin diskriminantını eşitleyelim A = 6X-X 2-6'dan sıfıra. Denklem 36-24-4'ten A= 0 elde ederiz A= 3. Aynısını denklem 2 için yapın X-A = 6X-X 2 -6 bulacağız A= 2. Bu parametre değerlerinin problemin koşullarını sağladığını doğrulamak kolaydır. Cevap: A= 2 veya A = 3.
4. Görev.
Tüm değerleri bul A eşitsizliğin çözüm kümesi X 2 -2balta-3A i 0 segmentini içerir.
4. Çözüm.
Parabol tepe noktasının ilk koordinatı F(X) =
X 2 -2balta-3A eşit X 0 =
A. İkinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerinden, koşul F(X) Segmentteki i 0, üç sistemden oluşan bir kümeye eşdeğerdir
tam olarak iki çözümü var mı?
5. Çözüm.
Bu denklemi formda yeniden yazalım. X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Bu ikinci dereceden bir denklemdir; diskriminantının sıfırdan büyük olması durumunda tam olarak iki çözümü vardır. Diskriminantı hesapladığımızda tam olarak iki kökün bulunması koşulunun eşitsizliğin sağlanması olduğunu buluruz. A 2 +A-6 > 0. Eşitsizliği çözerken şunu buluruz: A < -3 или A> 2. Eşitsizliklerden birincisinin doğal sayılarda çözümü olmadığı açıktır, ikincisinin en küçük doğal çözümü ise 3 sayısıdır.
5. Cevap: 3.
6. Problem (10 tuş)
Tüm değerleri bul A, bunun için fonksiyonun grafiği veya bariz dönüşümlerden sonra, A-2 = |
2-A| . Son denklem eşitsizliğe eşdeğerdir A ben 2.
6. Cevap: A O \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6).$
Cevapları birleştirip gerekli seti elde ediyoruz: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Cevap.$a\in(-\infty;-3)\fincan$.
$a$ parametresinin hangi değerleri için $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ eşitsizliğinin çözümü yoktur?
Çözüm
- Eğer $a = 0$ ise, bu eşitsizlik çözümü olmayan $5 \leqslant 0$ eşitsizliğine dönüşür. Dolayısıyla $a = 0$ değeri problemin koşullarını karşılamaktadır.
- Eğer $a > 0$ ise, eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden trinomiyalin grafiği, dalları yukarıya bakan bir paraboldür. $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$ hesaplayalım. Parabol x ekseninin üzerinde yer alıyorsa, yani kare trinomialin kökleri olmadığında ($D) eşitsizliğin çözümü yoktur.< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Eğer $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Cevap.$a \in \left$ kökler arasında yer alır, dolayısıyla iki kök olmalıdır (yani $a\ne 0$). $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ parabolünün dalları yukarı doğru yönlendirilirse $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ ve $y(1) > 0$.
Durum I.$a > 0$ olsun. Daha sonra
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Yani, bu durumda $a > 3$'ın hepsinin uygun olduğu ortaya çıkıyor.
Durum II.$a olsun< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Yani, bu durumda tüm $a'ların uygun olduğu ortaya çıkıyor< -1$.
Cevap.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Her biri için denklem sisteminin geçerli olduğu $a$ parametresinin tüm değerlerini bulun.
$ \begin(case) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(case) $
tam olarak iki çözümü var.
Çözüm
İkinciyi birinciden çıkarın: $(x-y)^2 = 1$. Daha sonra
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(dizi)\sağ. $
Elde edilen ifadeleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak iki ikinci dereceden denklem elde ederiz: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ ve $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Her birinin diskriminantı $D = 16a-4$'dır.
İlk ikinci dereceden denklemin kök çiftinin ikinci ikinci dereceden denklemin kök çiftiyle çakışmasının olamayacağına dikkat edin, çünkü birincinin köklerinin toplamı $-1$ ve ikincisinin toplamı 1'dir. .
Bu, bu denklemlerin her birinin bir kökü olması gerektiği, o zaman orijinal sistemin iki çözümü olacağı anlamına gelir. Yani, $D = 16a - 4 = 0$.
Cevap.$a=\dfrac(1)(4)$
Her biri için $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ denkleminin iki kökü olan $a$ parametresinin tüm değerlerini bulun.
Çözüm
Denklemi şu şekilde yeniden yazalım:
9$|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0,$
$f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$ fonksiyonunu düşünün.
$x\geqslant 3$ olduğunda, ilk modül artı işaretiyle genişletilir ve fonksiyon şu biçimi alır: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Modüllerin herhangi bir şekilde genişletilmesiyle sonucun $k\geqslant 5-3-1=1>0$ katsayılı doğrusal bir fonksiyon olacağı açıktır, yani bu fonksiyon belirli bir aralıkta süresiz olarak artar.
Şimdi $x aralığını ele alalım<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Böylece, bu fonksiyonun minimum noktasının $x=3$ olduğunu anladık. Bu, orijinal denklemin iki çözüme sahip olabilmesi için fonksiyonun minimum noktadaki değerinin sıfırdan küçük olması gerektiği anlamına gelir. Yani aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Solsağok\dörtlü |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Cevap.$a \in (-24; 18)$ $a$ parametresinin hangi değerleri için $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ denkleminin benzersiz bir kökü vardır? Bir değişiklik yapalım: $t = 5^x > 0$. Daha sonra orijinal denklem ikinci dereceden bir denklem biçimini alır: $t^2-3t+a-1 =0$. Bu denklemin bir pozitif kökü veya biri pozitif, diğeri negatif olmak üzere iki kökü varsa, orijinal denklemin tek bir kökü olacaktır. Denklemin diskriminantı: $D = 13-4a$. Ortaya çıkan diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda, yani $a = \dfrac(13)(4)$ için bu denklemin bir kökü olacaktır. Bu durumda kök $t=\dfrac(3)(2) > 0$, dolayısıyla bu $a$ değeri uygundur. Biri pozitif, diğeri pozitif olmayan iki kök varsa, o zaman $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ ve $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Yani, $a\in(-\infty;1]$ Cevap.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Sistemin ilgili olduğu $a$ parametresinin tüm değerlerini bulun $ \begin(case)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(case) $ tam olarak iki çözümü var. Sistemi aşağıdaki forma dönüştürelim: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(case)$ $a$ parametresi logaritmanın tabanında olduğundan, ona şu kısıtlamalar uygulanır: $a>0$, $a \ne 1$. $y$ değişkeni logaritmanın argümanı olduğundan, $y > 0$ olur. Sistemin her iki denklemini de birleştirdikten sonra şu denkleme geçiyoruz: $\log_a y = y^2$. $a$ parametresinin hangi değerleri aldığına bağlı olarak iki durum mümkündür: Cevap.$a\in(0;1)$ $a > 1$ olduğu durumu ele alalım. $t$'ın büyük mutlak değerleri için $f(t) = a^t$ fonksiyonunun grafiği $g(t) = t$ düz çizgisinin üzerinde yer aldığından, tek ortak nokta yalnızca bir nokta olabilir teğetlik. $t_0$ teğetlik noktası olsun. Bu noktada $f(t) = a^t$'nin türevi birliğe (teğet açının tanjantı) eşit olur, ayrıca her iki fonksiyonun değerleri çakışır, yani sistem gerçekleşir: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ Buradan $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)) $ Aynı zamanda doğrudan ve üstel fonksiyonların başka hiçbir ortak noktası olmadığı açıktır. Cevap.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$Çözüm
Çözüm
