Bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonunu bulun. Rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonu

Karakteristik fonksiyon rastgele değişken X rastgele bir değişkenin dağılımının Fourier dönüşümü denir:

Özellikler

Kanıt.

doğal olarak, bu özellik daha fazla sayıda terimi kapsar:

φ (T) düzgün süreklidir.

Kanıt.

Ortaya çıkan son ifade yalnızca şunlara bağlıdır: H. Sürekli bir rastgele değişken için şunu yazabiliriz:

Kanıt. Varsa k büyüklük anı X o zaman integral işareti altında farklılaşmayı kullanarak (ki bu mümkündür, çünkü P(X) var), şunu elde ederiz

Sonraki her farklılaşmayla birlikte “taşınır” Ben E[ X], yani sonra k elde ettiğimiz farklılaşmalar Ben k E[ X k] Bu sonuç şu şekilde gösterilebilir:

Karakteristik fonksiyon, bir rastgele değişkenin dağılımını benzersiz bir şekilde belirler.

Özel durumların kanıtı

İzin vermek X - tamsayı ayrık rastgele değişken ( k Z), sonra (ters Fourier dönüşümü)

(Katsayıları olan Fourier serileri P k), Daha sonra

Bunun için tüm şartlar k≠M 0 verir (diklik yoluyla) ve kalır

İzin vermek φ (T) gerçek çizgide kesinlikle integrallenebilir ve bir dağılım yoğunluğu vardır P(X) 11 .

Hadi deneyelim ifade etmek P(X) karakteristik fonksiyonu aracılığıyla. Fonksiyonun ters Fourier dönüşümünü yazalım φ :

Bunu akılda tutarak

O zamandan beri

Değişkenleri değiştirerek elde ederiz

ve bu nedenle

İkinci integralde (*)'de her iki integral limiti de aynı işaretlere sahipse 0 elde ederiz; farklıysa - sonlu bir sayı. Yani sıfırdan farklı bir sınır vardır. A<sen<B. Bu durumda, −∞'dan ∞'a kadar olan integral şuna eşit olarak görünecektir: π . Buradan

Kabul edilmiş:

buradan, P tamamen karakteristik fonksiyon tarafından belirlenir.

Kanıt..

Karakteristik fonksiyon kriteri

İşlev φ X (T) - rastgele bir değişkenin özelliği X ancak ve ancak:

φ X (0) = 1,

φ X (T) pozitif tanımlı.

İşlev φ (T) denir pozitif tanımlı(pozitif tanımlı), eğer

ve sıfıra eşitlik ancak şu durumlarda elde edilir: z Ben = 0Ben. Eşitliğe ulaşma koşulunu sıfıra indirirsek, şunu elde ederiz: negatif olmayan kesin işlev.

Hadi kontrol edelim karakteristik fonksiyonun pozitif tanımlı olduğu:

Gerekçe. Özellik 5'e göre),

Şu tarihte: k= 1, elde ederiz,

Şu tarihte: k= 2 -.

Eğer E ise X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Örnekler

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

Bunu görmek zor değil
. Dönüşümden sonra yazabilirsiniz
.

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Çözüm:çünkü 2 T 1/2 olasılıkla 0 değerini, 1/4 olasılıkla 2 ve −2 değerlerini alan ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Karakteristik fonksiyonu hesaplayın dejenere rastgele değişken: P(X= 0) = 1.

Çözüm..

Eğer P(X=C) = 1, elde ederiz.

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Kabul edilmiş: Bu, ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Çözüm. İzin vermek e=X–X′ , Daha sonra

Çözüm: Herhangi bir karakteristik fonksiyonun modülünün karesi yine bir karakteristik fonksiyondur.

İzin vermek X,e - karakteristik fonksiyonlara sahip rastgele değişkenler φ X (T) Ve φ e (T);A,B> 0 - öyle sabitler ki A+B= 1. Fonksiyonu düşünün

Bu karakteristik midir ve eğer öyleyse hangi rastgele değişken için?

Cevap: evet öyle. Karşılık gelen dağıtım fonksiyonlarına izin verin X Ve e - F X (X) Ve F e (sen). Fonksiyonu ele alalım. Açıkçası bu bir dağıtım fonksiyonudur, çünkü

O zaman olasılık yoğunluğu

Eğer φ (T) - karakteristik fonksiyon X, O φ (−T) - karakteristik fonksiyon (– X).

İzin vermek φ (TX(örnek 4'ten)).

, o zaman (T F φ (T)]

Çözüm) =Yeniden[

İzin vermek φ (T. Açıkça, F X (X) dağıtım fonksiyonuna karşılık gelir φ (T)]:

İzin vermek φ (T), sonra Re[ için X(örnek 4'ten)).

, o zaman (T) - miktarın karakteristik fonksiyonu φ (T)]

) =Ben[

Çözüm bazı rastgele değişkenlerin karakteristik fonksiyonu? , o zaman (0) = 0.

. Hayır değil çünkü

X ~ Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun.(0, 1):

N φ (T Haydi sayalım

), integral işareti altında farklılaşan:
Diferansiyel denklemi çözelim φ (0) = 1:

X~Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun.(A,σ başlangıç koşuluyla X 0 ~Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun. 2): Bu değeri şununla karşılaştıralım: X=A+σ X(0, 1). Bunu görmek kolaydır

Daha sonra, özelliğe göre 2)
Bu arada, az önce öğrencinin düzgün süreklilik hakkında hiçbir şey bilmemesi gerektiğini savundunuz ve şimdi ona delta fonksiyonları mı sunuyorsunuz? Neyse, hiçbir şey söylemeyeceğim.
Belirli bir fonksiyonun HF olduğunu göstermenin iki yolu vardır: ya Fourier'e göre ona karşılık gelen fonksiyonu bulmalı ve normalizasyon koşulunu karşıladığını ve pozitif olduğunu kontrol etmelisiniz ya da verilenin negatif olmayan kesinliğini kanıtlamalısınız. fonksiyonu ve Bochner-Khinchin teoremine bakın. Aynı zamanda, bir SV'nin diğer Rademacher SV'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil edilmesine ilişkin teoremlerin kullanılması, HF'nin temel özelliklerinin anlaşılmasına hiçbir şekilde katkıda bulunmaz; üstelik, yukarıda belirttiğim gibi, çözümünüz şunları içermektedir; örtülü bir Fourier serisi, yani aslında birinci yönteme karşılık geliyor.
Belirli bir fonksiyonun herhangi bir SV'nin HF'si olamayacağını göstermek gerektiğinde, HF'nin özelliklerinden birinin başarısızlığını tespit etmek yeterlidir: sıfırda birim değer, modülün bir ile sınırlı olması, doğru değerlerin elde edilmesi PDF anları için tekdüze süreklilik. Belirli bir fonksiyon aracılığıyla hesaplanan moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi, bu özelliklerden herhangi birinin yerine getirilmemesinin, belirli bir fonksiyonun uygunsuzluğunun tanınması için aynı temel olarak hizmet edebilmesi anlamında, düzgün sürekliliğin matematiksel olarak eşdeğer bir kontrolüdür. Bununla birlikte, moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi resmileştirilmiştir: farklılaştırın ve kontrol edin. Genel durumda tekdüze sürekliliğin kanıtlanması gerekir; bu, bir problemi çözme başarısını öğrencinin yaratıcı potansiyeline, "tahmin etme" yeteneğine bağlı kılar.
Bir SV'nin "inşası" tartışmasının bir parçası olarak, basit bir problemi düşünmeyi öneriyorum: Haydi, HF formundaki bir SV'yi inşa edelim: Nerede

Formülle sayı doğrusunun tamamında verilmiştir

X. f. Rastgele değişken X, tanımı gereği X'tir. f. olasılık dağılımı

X. f.'nin kullanımıyla ilgili yöntem ilk olarak A. M. Lyapunov tarafından kullanıldı ve daha sonra ana analitik yöntemlerden biri haline geldi. Olasılık teorisi yöntemleri. Örneğin olasılık teorisinde limit teoremlerinin kanıtlanmasında özellikle etkili bir şekilde kullanılır. 2 momentli bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler için merkezi limit teoremi, temel ilişkiye indirgenir

X'in temel özellikleri. f. 1) ve pozitif tanımlı, yani.

Herhangi bir sonlu karmaşık sayı ve argüman koleksiyonu için

2) tüm eksen boyunca eşit şekilde sürekli

4)özellikle, yalnızca karşılık gelen olasılık simetrikse, yani gerçek değerleri alır (ve eşit bir fonksiyondur).

5) X. f. ölçüyü açıkça tanımlar; bir itiraz var:

Uçları sıfır m ölçüsüne sahip olan herhangi bir aralık (a, 6) için. Eğer integrallenebilirse (kesinlikle Riemann anlamında anlaşılırsa), o zaman karşılık gelen dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

6) X. f. iki olasılık ölçüsünün evrişimi (iki bağımsız rastgele değişkenin toplamı) onların X'idir. f.

Aşağıdaki üç özellik, bir rastgele değişkenin momentlerinin varlığı ile X. fonksiyonunun düzgünlük derecesi arasındaki bağlantıyı ifade eder.

7) Eğer biraz doğal P, o zaman tüm doğallar için X'ten r mertebesinde türevler mevcuttur. f. rastgele değişken X ve eşitlik geçerlidir

8) Varsa o zaman

9) Herkes için ise

o zaman herkes için geçerli

X.f yöntemini kullanma temel olarak X. fonksiyonlarının yukarıdaki özelliklerine ve ayrıca aşağıdaki iki teoreme dayanmaktadır.
Bochner teoremi (X. fonksiyonlarının sınıfının açıklaması). F fonksiyonu verilsin ve f(0)=1 olsun. F'nin X olabilmesi için. f. Belirli bir olasılık ölçüsünün sürekli ve pozitif tanımlı olması gerekli ve yeterlidir.
Levy teoremi (yazışma). Olasılık ölçümlerinin bir dizisi olsun ve bunların X.f dizisi olsun. Daha sonra belirli bir olasılık ölçüsüne zayıf bir şekilde yakınsar (yani, keyfi bir sürekli sınırlı fonksiyon için, ancak ve ancak her noktada belirli bir sürekli f fonksiyonuna yakınsarsa; yakınsama durumunda, fonksiyon şu şekildedir: göreceli (anlamda) Bir olasılık ölçümleri ailesinin zayıf yakınsaklığı), karşılık gelen X fonksiyonları ailesinin sıfırındaki eş-sürekliliğe eşdeğerdir.
Bochner teoremi, Fourier-Stieltjes dönüşümüne, Lévy's'deki olasılık ölçümlerinin bir yarı grubu (evrişim işlemine göre) ile sıfırda bire eşit pozitif belirli sürekli fonksiyonların bir yarı grubu (noktasal çarpmaya göre) arasında bakmamızı sağlar. teorem bunun cebirsel olduğunu belirtir. izomorfizm aynı zamanda topolojiktir. homeomorfizm, eğer olasılık ölçümlerinin yarı grubunda zayıf yakınsaklığın topolojisini ve pozitif tanımlı fonksiyonların yarı grubunda - sınırlı kümeler üzerinde düzgün yakınsaklığın topolojisini kastediyorsak.
X. f.'nin ifadeleri bilinmektedir. temel olasılıksal hastalıklar (bkz.), örneğin, X. f. Ortalama varyanslı Gauss ölçüsü
Negatif olmayan tam sayı rastgele değişkenler için X, X.f. ile birlikte analogu kullanılır -

X. f ile ilişkili. oran
X. f. sonlu boyutlu bir uzayda bir olasılık ölçüsü benzer şekilde tanımlanır:

Nerede x> araç . Yukarıda formüle edilen gerçekler X için de geçerlidir. f. olasılık ölçümleri

Yaktı.: Lukach E., Karakteristik fonksiyonlar, çev. İngilizce'den, M., 1979; Feller V., Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, cilt 2. çev. İngilizce'den, M., 1967; Prokhorov Yu.V., Rozanov Yu., Olasılık Teorisi. Temel kavramlar. Sınır teoremleri. Rastgele süreçler, 2. baskı, M., 1973; 3olotarev V. M., Tek boyutlu kararlı dağılımlar, Moskova, 1983.
NH. Vakhania.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Diğer sözlüklerde "KARAKTERİSTİK FONKSİYON" un ne olduğuna bakın: Karakteristik fonksiyon: Termodinamikteki karakteristik fonksiyon, bir sistemin termodinamik özelliklerinin belirlendiği bir fonksiyondur. Bir kümenin karakteristik işlevi, bir kümedeki bir öğenin üyeliğini belirleyen bir işlevdir;

- İlgili bağımsız termodinamik parametrelerden oluşan bir termodinamik sistemin durumunun bir fonksiyonu olup, özelliği, bu fonksiyon ve bu parametrelere göre türevleri aracılığıyla tüm termodinamik ... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu Karakteristik fonksiyon

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla...- işbirlikçi oyunlar teorisinde, oyundaki herhangi bir koalisyonun minimum kazanç miktarını belirleyen bir oran. İki koalisyon birleştiğinde H.f. birleşik olmayanlar için bu tür fonksiyonların toplamından daha az olmayacaktır... ... Ekonomik-matematik sözlüğü

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla...- Temel işlevlerle ilgili durumların belirlenmesi Bu işlevler, farklı işlevlere sahip farklı sistemler ve termodinamin sistemlerini koruma altına alır. atitikmenys: İngilizce. karakteristik fonksiyon rus. karakteristik fonksiyon... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karakteristik fonksiyon vok. Charakteristische Funktion, f rus. karakteristik fonksiyon, f pranc. Fonksiyon özelliği, f…

Fizikos terminų žodynas - Espace X kümeleri, 1 at'ye ve 0 at'ye eşit bir fonksiyondur (burada CE, Ev X'in tamamlayıcısıdır). Değerleri (0, 1) olan her fonksiyon bir X. fonksiyonudur. belirli bir kümenin, yani bir kümenin, X fonksiyonlarının özellikleri: ikili ayrık, sonra 6) eğer o zaman...	Matematik Ansiklopedisi	ak				(y)=	BENİM		+∞∫ ϕ k


(X)				(x)dx;					µk(y)

∫ (ϕ (x)
f(x)dx.			Rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonu	bilinen bir yasaya sahip rastgele değişken
dağılım, t – parametre, i =				− 1.
Karakteristik fonksiyon rastgele değişkenİsminde
Y = e itX fonksiyonunun matematiksel beklentisi:

					∑ e itx k p k , DSV için,
				k = 1
υX(t)= M =
					∫ e itX f (x )dx , NSV için.

Böylece karakteristik								υX(t)	ve dağıtım kanunu

rastgele değişkenler benzersiz bir şekilde ilişkilidir Fourier dönüşümü. Örneğin, bir X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğu f(x), karakteristik fonksiyonu aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir. ters Fourier dönüşümü:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.

		2 π−∞ ∫
Karakteristik fonksiyonun temel özellikleri:
	Z = aX + b miktarının karakteristik fonksiyonu, burada X rastgeledir
karakteristik fonksiyonun değeri υ X (t) eşittir
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	X rastgele değişkeninin k'inci mertebesinin başlangıç momenti şuna eşittir:
	α k (x )= υ X (k ) (0)i - k ,

burada υ X (k) (0), t = 0'daki karakteristik fonksiyonun k'inci türevinin değeridir.


3. Toplamın karakteristik fonksiyonu	Y = ∑ X k bağımsız
	k = 1

rastgele değişkenler terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir:


υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(T).
ben = 1
4. Normalin karakteristik fonksiyonu			rastgele değişken
m ve σ parametreleri şuna eşittir:
υ X (t) = eitm –	t 2 σ 2
υ X (t) = eitm –

DERS 8 İki boyutlu rastgele değişkenler. İki boyutlu dağıtım yasası

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), aynı deney sonucunda değerler alan iki tek boyutlu rastgele değişkenin kümesidir.

İki boyutlu rastgele değişkenler, bileşenlerinin Ω X , Ω Y değer kümeleri ve ortak (iki boyutlu) dağılım yasasıyla karakterize edilir. X,Y bileşenlerinin türüne bağlı olarak ayrık, sürekli ve karışık iki boyutlu rastgele değişkenler ayırt edilir.

İki boyutlu bir rastgele değişken (X, Y), x0y düzleminde rastgele bir nokta (X, Y) olarak veya orijinden (X, Y) noktasına yönlendirilen rastgele bir vektör olarak geometrik olarak temsil edilebilir.

İki boyutlu dağıtım fonksiyonu iki boyutlu rastgele değişken

(X ,Y ) iki olayın (X) ortaklaşa gerçekleşme olasılığına eşittir<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrik olarak iki boyutlu dağılım fonksiyonu F(x, y)

rastgele bir noktanın (X,Y) vuruşu
sonsuz		ile çeyrek	en üstte
(x,y) noktası solda ve onun altında yer almaktadır.
Bileşen X değerleri aldı
x gerçek sayısından daha küçük, bu
	dağıtım		FX(x) ve
Y bileşeni – gerçekte daha az
sayılar y,			dağıtım
Bilginize(y).

İki boyutlu dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. 0 ≤ F(x ,y )≤ 1.

olasılık

. (x,y)

Kanıt. Bu özellik, dağılım fonksiyonunun olasılık olarak tanımından kaynaklanmaktadır: olasılık, 1'i aşmayan, negatif olmayan bir sayıdır.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), eğer x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), eğer y 2 >y 1 ise.

Kanıt. F(x ,y )'nin azalan olmayan bir fonksiyon olduğunu kanıtlayalım.

değişken x. Olasılığı göz önünde bulundurun

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

p(X)'ten beri< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Aynı şekilde y için de.

4. Tek boyutlu özelliklere geçiş:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Dikdörtgen bir alana çarpma olasılığı
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).				(β,γ)
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).
Dağıtım işlevi - çoğu


evrensel
dağıtım
kullanılmış		nasıl olduğuna dair açıklamalar		(β,δ)
sürekli,		ve ayrık	(α,δ)
sürekli,		ve ayrık	(α,δ)
iki boyutlu rastgele değişkenler.
iki boyutlu rastgele değişkenler.

Dağıtım matrisi

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), Ω X ve Ω Y bileşenlerinin değer kümeleri sayılabilir kümeler ise ayrıktır. Bu tür niceliklerin olasılıksal özelliklerini tanımlamak için iki boyutlu bir dağılım fonksiyonu ve bir dağılım matrisi kullanılır.

Dağıtım matrisi X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) bileşeninin değerlerini, Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 bileşeninin değerlerini içeren dikdörtgen bir tablodur. , …,y m ) ve p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m değerlerinin tüm olası çiftlerinin olasılıkları.

xi\yj





	X ben )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Y bileşeninin olasılık dağılım serisine geçiş:

	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

ben = 1

İki boyutlu dağıtım yoğunluğu

İki boyutlu bir rastgele değişken (X ,Y ) eğer sürekli ise

F(x,y) dağılım fonksiyonu her argüman için sürekli, türevlenebilir bir fonksiyondur ve ikinci bir fonksiyonu vardır.

karışık türev ∂ 2 F(x, y).

∂ x ∂y

İki boyutlu dağılım yoğunluğu f(x, y ) koordinatları olan bir noktanın yakınındaki olasılık yoğunluğunu karakterize eder ( x, y ) ve dağılım fonksiyonunun ikinci karma türevine eşittir:

∫∫ f(x, y) dxdy.

İki boyutlu yoğunluğun özellikleri:

1.f(x ,y )≥ 0.

2. Normalleştirme koşulu:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .