Parçayı bölen m noktasının koordinatlarını bulun. Bu bağlamda bir segmentin bölünmesi

Yönlendirilmiş bir AB parçası verilsin; meselenin bu olduğunu söylüyorlar

Bu doğrunun M'si, AB parçasını X'e eşit bir oranda böler; burada keyfi bir gerçek sayıdır;

M noktası A ve B noktaları arasında (yani doğru parçasının içinde) yer aldığında

AB), bu durumda AM ve MB vektörleri aynı yöne yönlendirilir (Şekil 2) ve oran (1) pozitiftir.

M noktası doğru parçasının dışında kaldığında

AB ise, AM ve MB vektörleri zıt yönlere yönlendirilir (Şekil 3) ve oran (1) negatiftir.

M noktası tüm doğru boyunca gittiğinde (1) ilişkisinin nasıl değişeceğini görelim. M noktası A noktasıyla çakıştığında oran (1) sıfıra eşit olur; eğer M noktası AB doğru parçasından A'dan B'ye doğru geçiyorsa, bu durumda (1) oranı sürekli olarak artar ve M noktası B'ye yaklaştıkça keyfi olarak büyür. Ne zaman, kesir (1), paydası sıfır vektörüne dönüştüğü için anlamını kaybeder. Noktanın aynı yönde düz bir çizgi boyunca daha fazla hareket etmesiyle (Şekil 3'te, a, B'nin sağına), oran (1) negatif olur ve eğer Z, B'ye yeterince yakınsa, o zaman bu oran keyfi bir değere sahiptir. büyük mutlak değer.

O zamandan beri (§ 4'ün 8. Önerisi uyarınca) elimizde

Her zaman aynı yönde hareket eden M noktası (Şekil 3'te soldan sağa a) doğrudan sonsuza gittiğinde, kesir sıfıra yönelir (çünkü payı sabit kalır ve payda süresiz olarak artar) dolayısıyla - oranı -1'e yönelir.

Şimdi M'nin, A noktasının doğruyu (yani AB parçasını içermeyen yarım çizgiye) böldüğü iki yarım çizginin "soluna" gitmesine izin verin. Bu durumda M noktası A noktasından yeterince uzakta bulunuyorsa, o zaman yine keyfi olarak küçüktür ve bu nedenle formülde oran -1'den keyfi olarak çok az farklılık gösterir. M noktası A noktasına soldan yaklaştıkça (Şekil 3, b), oran (I) negatif kalarak sürekli olarak mutlak değerde azalır ve M noktası A noktasına döndüğünde sıfıra eşit olur.

Doğru üzerinde M noktasının hiçbir konumunda oranın -1'e eşit olmadığına dikkat edin. Aslında oran yalnızca M noktası AB doğru parçasının dışında kaldığında negatif olur. Ancak bu durumda AM ve MB segmentleri hiçbir zaman eşit olmaz;

Şimdi doğru üzerinde bir koordinat sistemi kurulsun ve bu sistemin orijini O olsun. A noktasının B noktasına kadar koordinatını ve değişken M noktasını da ile gösterelim. Daha sonra

Belirli bir AB parçasını belirli bir oranda bölen belirli bir C noktasının koordinatlarının hesaplanması aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilebilir:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

burada (xA; yA) ve (xB; yB), belirli bir AB segmentinin uçlarının koordinatlarıdır; sayı λ = AC/CB – AB segmentinin (xC; yC) koordinatlarına sahip C noktasına bölünme oranı.

AB doğru parçası C noktası ile ikiye bölünürse λ = 1 sayısı ve xC ve yC formülleri şu şekli alır:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

Problemlerde λ'nın bölümlerin uzunluklarının oranı olduğu ve dolayısıyla bu orana dahil edilen sayıların belirli bir ölçü birimindeki bölümlerin uzunlukları olmadığı unutulmamalıdır. Örneğin AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. Belirli bir parçanın ortasının koordinatlarını, uçlarının verilen koordinatlarını kullanarak arayın

Örnek 1.

A(-2; 3) ve B(6; -9) noktaları AB doğru parçasının uçlarıdır. AB doğru parçasının orta noktası olan C noktasını bulun.

Çözüm.

Problem ifadesinde xA = -2; xB = 6; yA = 3 ve yB = -9. C(xC; yC)’yi bulmamız gerekiyor.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 formüllerini uygulayarak şunu elde ederiz:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

Böylece AB doğru parçasının ortası olan C noktasının koordinatları (-2; 3)'tür. (Şekil 1).
2. Orta ve diğer ucunun koordinatlarını bilerek belirli bir segmentin sonunun koordinatlarının hesaplanması

Örnek 2.

AB doğru parçasının bir ucu koordinatları (-3; -5) olan A noktasıdır ve orta noktası C(3; -2) noktasıdır. Segmentin ikinci ucunun koordinatlarını hesaplayın - B noktası.

Çözüm.

Problemin koşullarına göre xA = -3; yA = -5; xC = 3 ve yC = -2.

Bu değerleri xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 formüllerinde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

3 = (-3 + xB)/2 ve

2 = (-5 + uV)/2.

İlk denklemi xB için ve ikincisini yB için çözdükten sonra şunu buluruz: xB = 9 ve yB = 1, istenen B noktasının koordinatlarla (9; 1) belirleneceği ortaya çıkar. (Şekil 2).

3. Bir üçgenin köşelerinin koordinatlarının, kenarlarının orta noktalarının verilen koordinatlarından hesaplanması

Örnek 3.

ABC üçgeninin kenarlarının orta noktaları D(1; 3), E(-1; -2) ve F(4; -1) noktalarıdır. Bu üçgenin A, B ve C köşelerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm.

D noktası AB kenarının orta noktası, E noktası BC kenarının orta noktası ve F noktası AC kenarının orta noktası olsun. (Şekil 3). A, B ve C noktalarını bulmanız gerekiyor.

Üçgenin köşelerini A(xA; yA), B(xB; yB) ve C(xC; yC) ile gösteriyoruz ve xC = (xA + xB) formülüne göre D, E ve F noktalarının koordinatlarını biliyoruz. )/2, yC = (yA + уВ)/2 şunu elde ederiz:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

Denklemleri tam hallerine indirgeyelim:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

Sistemleri çözdükten sonra şunu elde ederiz:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
ya = 4; уВ = 2; уС = -6.

A(6; 4), B(-4; 2) ve C(2; -6) noktaları üçgenin gerekli köşeleridir.

4. Bir parçayı belirli bir oranda bölen noktaların koordinatlarının, bu parçanın uçlarının verilen koordinatlarına göre hesaplanması

Örnek 4.

AB doğru parçası C noktasına 3:5 oranında bölünür (A noktasından B noktasına kadar sayılır). AB doğru parçasının uçları A(2; 3) ve B(10; 11) noktalarıdır. C noktasını bulun.

Çözüm.

Problem ifadesinde xA = 2; xB = 10; ya = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. C(xC; yC)'yi bulun (Şekil 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ve yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Dolayısıyla elimizde C( 5; 6).

Kontrol edelim: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

Yorum. Problemin koşulları, parçanın bölünmesinin A noktasından B noktasına belirli bir oranda gerçekleştirildiğini göstermektedir. Bu belirtilmemiş olsaydı, problemin iki çözümü olurdu. İkinci çözüm: doğru parçasını B noktasından A noktasına bölmek.

Örnek 5.

Belirli bir AB segmenti 2: 3: 5 oranına bölünmüştür (A noktasından B noktasına kadar sayılır), uçları A (-11; 1) ve B (9; 11) koordinatlarına sahip noktalardır. Bu doğru parçasının bölünme noktalarını bulun.

Çözüm.

Doğru parçasının A'dan B'ye bölünme noktalarını C ve D ile gösterelim. Problem cümlesi şunu belirtiyor:
xA = -11; xB = 9; ya = 1; yB = 11. AC: CD: DB = 2: 3: 5 ise C(xC; yC) ve D(xD; yD)'yi bulun.

C noktası AB parçasını λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 oranında bölmektedir.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ve yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

Böylece C(-7;3).

D noktası AB doğru parçasının orta noktasıdır. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 formüllerini uygulayarak şunu buluruz:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. Bu, D'nin (-1; 6) koordinatlarına sahip olduğu anlamına gelir.

5. Bu parçanın uçlarının koordinatları ve bu parçanın bölündüğü parça sayısı verilmişse, parçayı bölen noktaların koordinatlarının hesaplanması

Örnek 6.

Doğru parçasının uçları A(-8; -5) ve B(10; 4) noktalarıdır. Bu doğru parçasını üç eşit parçaya bölen C ve D noktalarını bulun.

Çözüm.

Problemin koşullarından xA = -8 olduğu bilinmektedir; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ve n = 3. C(xC; yC) ve D(xD; yD)'yi bulun (Şekil 5).

C noktasını bulalım. AB parçasını λ = 1/2 oranında bölüyor. A noktasından B noktasına bölüyoruz. xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ve yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Böylece C(-2; -2).

CB segmentinin bölünmesi 1: 1 oranında gerçekleştirilir, bu nedenle formülleri kullanırız

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Böylece D(4; 1) olur.

Bölme noktaları C(-2; -2) ve D(4; 1).

Not: D noktası, AB parçasını 2:1 oranında bölerek bulunabilir. Bu durumda xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) formüllerini tekrar uygulamak gerekecektir. + λyB) / (1 + λ).

Örnek 7.

A(5; -6) ve B(-5; 9) noktaları doğru parçasının uçlarıdır. Verilen parçayı beş eşit parçaya bölecek noktaları bulun.

Çözüm.

A'dan B'ye ardışık bölme noktaları C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ve F(xF; yF) olsun. Problemin koşulları şunu söylüyor: xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ve n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) formüllerini kullanarak C noktasını buluruz. AB parçasını λ = 1/4 oranında böler:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ve yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, biz C noktasının koordinatlarının (3; -3) olduğunu anlayın.

AB segmentinin D noktasına bölünmesi 2: 3 oranında yapılır (yani λ = 2/3), bu nedenle:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ve yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, yani D (1; 0).

E noktasını bulalım. AB parçasını λ = 2/3 oranında böler:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ve yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Böylece Böylece E(-1; 3).

F noktası AB parçasını λ = 4/1 oranında böler, dolayısıyla:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ve yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

Bölme noktaları C(-2; -2); D(4;1); E(-1;3) ve F(-3;6).

Hala sorularınız mı var? Segment bölme problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyali tamamen veya kısmen kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

M(x;y) noktası verilen iki M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) noktasından geçen bir doğru üzerinde yer alıyorsa ve λ = M 1 M/MM 2 oranı şöyledir: verildiğinde, M noktasının M 1 M 2 parçasını böldüğü, ardından M noktasının koordinatları

formüllerle belirlenir

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

M noktası, M 1 M 2 segmentinin orta noktası ise, koordinatları formüllerle belirlenir.

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. Homojen bir çubuğun verilen A(3; -5) ve 6(-1; 1) uçları. Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin.

87. Homojen bir çubuğun ağırlık merkezi M(1; 4) noktasındadır ve uçlarından biri P(-2; 2) noktasındadır. Bu çubuğun diğer ucundaki Q noktasının koordinatlarını belirleyin

88. A(1; -3), 6(3; -5) ve C(-5; 7) üçgeninin köşeleri verildiğinde. Kenarlarının orta noktalarını belirleyin.

89. A(3; - 1) ve B(2; 1) olmak üzere iki nokta verilmiştir. Tanımlamak:

1) B noktasına göre A noktasına simetrik olan M noktasının koordinatları;

2) A noktasına göre B noktasına simetrik olan N noktasının koordinatları.

90. M(2; -1), N(-1; 4) ve P(-2; 2) noktaları üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Köşelerini belirleyin.

91. Bir paralelkenarın üç köşesi verilmiştir: A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). B'nin karşısındaki dördüncü D köşesini belirleyin.

92. A(-3; 5), B(1; 7) paralelkenarının bitişik iki köşesi ve M(1; 1) köşegenlerinin kesişme noktası verilmiştir. Diğer iki köşeyi tanımlayın.

93. ABCD paralelkenarının A(2; 3), 6(4; -1) ve C(0; 5) adlı üç köşesi verilmiştir. Dördüncü köşe noktası D'yi bulun.

94. A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) üçgeninin köşeleri verildiğinde. B köşesinden çizilen ortancanın uzunluğunu belirleyin.

95. A(1;-3) ve B(4;3) noktalarının sınırladığı doğru parçası üç eşit parçaya bölünüyor. Bölme noktalarının koordinatlarını belirleyin.

96. A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) üçgeninin köşeleri verildiğinde. B köşesindeki iç açısının açıortayının AC tarafıyla kesişme noktasını bulun.

97. A(3; -5), B(-3; 3) ve C(-1; -2) üçgeninin köşeleri verildiğinde. A köşesindeki iç açısının açıortayının uzunluğunu belirleyin.

98. A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) üçgeninin köşeleri verildiğinde. A köşesindeki dış açısının açıortayının BC kenarının devamı ile kesişme noktasını bulun.

99. A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) üçgeninin köşeleri verildiğinde. B köşesindeki dış açısının açıortayının uzunluğunu belirleyin.

100. Aynı doğru üzerinde bulunan A(1; -1), B(3; 3) ve C(4; 5) adlı üç nokta veriliyor. Her birinin diğer ikisinin sınırladığı doğru parçasını böldüğü λ oranını belirleyin.

101. P(2; 2) ve Q (1; 5) noktalarıyla üç eşit parçaya ayrılan doğru parçasının A ve B uçlarının koordinatlarını belirleyin.

102. Düz çizgi M 1 (-12; -13) ve M 2 (- 2; -5) noktalarından geçer. Bu doğru üzerinde apsisi 3 olan bir nokta bulun.

103. Düz çizgi M(2; -3) ve N(-6; 5) noktalarından geçer. Bu doğru üzerinde koordinatı -5 olan bir nokta bulun.

104. A(7; -3) ve B(23;. -6) noktalarından düz bir çizgi geçmektedir. Bu doğrunun apsis ekseniyle kesişme noktasını bulun.

105. A(5; 2) ve B(-4; -7) noktalarından düz bir çizgi geçmektedir. Bu doğrunun ordinat ekseniyle kesişme noktasını bulun.

106. A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ve D(5; 8) dörtgeninin köşeleri verildiğinde. AC köşegeninin BD köşegenini böldüğü oranı belirleyin.

107. A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ve D(6; 10) dörtgeninin köşeleri verildiğinde. AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktasını belirleyin.

108. A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) ve C(x 3 ; y 3) homojen üçgen plakasının köşeleri verilmiştir. Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin,

Not. Ağırlık merkezi refüjlerin kesişme noktasındadır.

109. Üçgenin kenarortaylarının kesişimindeki M noktası apsis ekseninde yer alır, iki köşesi A(2; -3) ve B(-5; 1) noktalarıdır, üçüncü köşe C ordinat ekseninde yer alır . M ve C noktalarının koordinatlarını belirleyin.

110. A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ve C(x 3; y 3) homojen üçgensel plakasının köşeleri verilmiştir. Kenarlarının orta noktalarını birleştirirseniz yeni bir homojen üçgen plaka oluşur. Her iki levhanın ağırlık merkezlerinin çakıştığını kanıtlayın.

Not. 108. sorunun sonucunu kullanın.

111. Homojen bir plaka, kenarı 12'ye eşit olan bir kare şeklindedir, burada kare bir kesim yapılır, kesimin düz çizgileri karenin merkezinden geçer, eksenler

koordinatlar plakanın kenarları boyunca yönlendirilir (Şekil 4). Bu plakanın ağırlık merkezini belirleyiniz.

112. Homojen bir plaka, kenarları a ve b'ye eşit olan ve içinde dikdörtgen bir kesimin yapıldığı bir dikdörtgen şekline sahiptir; kesme çizgileri merkezden geçer, koordinat eksenleri plakanın kenarları boyunca yönlendirilir (Şekil 5). Bu plakanın ağırlık merkezini belirleyiniz.

113. Homojen bir plaka, bir kenarı 2a'ya eşit olan ve bir üçgenin kesildiği bir kare şeklindedir; kesme çizgisi iki bitişik tarafın orta noktalarını birleştirir, koordinat eksenleri plakanın kenarları boyunca yönlendirilir (Şekil 6). Plakanın ağırlık merkezini belirleyin.

114. Aşağıdaki A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ve C(x 3; y 3) noktalarında m, n ve p kütleleri yoğunlaşmıştır. Bu üç kütleli sistemin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyiniz.

115. A (4; 2), B (7; -2) ve C (1; 6) noktaları, düzgün telden yapılmış bir üçgenin köşeleridir. Bu üçgenin ağırlık merkezini belirleyiniz.

M 1, M 2, M 3 noktaları aynı doğru üzerinde olsun. M noktasının M 1 M 2 parçasını λ(λ≠-1)'e göre böldüğünü söylüyorlar, eğer .
M 1 ve M 2 noktalarının koordinatlarının bir koordinat sistemine göre bilinmesine izin verin: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), sonra koordinatları Aynı koordinat sistemine göre M(x, y, z) noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:
M noktası M 1 M 2 doğru parçasının ortasındaysa, o zaman yani λ=1 ve formüller (*) şu şekli alacaktır:

(**)

Çözmek için aşağıdaki hesap makinesini kullanın:

1. Noktalar iki koordinatla belirtilir: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. Noktalar üç koordinatla belirtilir: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

Örnek No.1. Bir üçgen, köşelerinin A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) koordinatlarıyla tanımlanır. D(x, y, z)'nin koordinatlarını, yani medyanlarının kesişim noktalarını bulun.

Örnek No.2. AB doğru parçası, A noktasından itibaren sayılarak λ=1/4 oranında C(4,1) noktasına bölünür. B(8,5) ise A'nın koordinatlarını bulun.
Çözüm. Formülleri (*) uygulayarak şunu elde ederiz:
buradan x=3, y=0'ı buluruz.

Örnek No. 3. AB doğru parçası C(3, -1) ve D(1,4) noktaları ile üç eşit parçaya bölünmüştür. Parçanın uçlarının koordinatlarını bulun.
Çözüm. A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2)'yi gösterelim. C noktası AD doğru parçasının ortasıdır, dolayısıyla (**) formüllerini kullanarak şunları buluruz: dolayısıyla x 1 = 5, y 1 = -6. B noktasının koordinatları da benzer şekilde bulunur: x 2 = -1, y 2 = 9.

Bir parçayı belirli bir oranda bölmenin koşulları olduğunda, ayırıcı görevi gören noktanın koordinatlarını belirleyebilmek gerekir. Problemi bir düzlem üzerinde ortaya koyarak bu koordinatları bulmak için bir formül türetelim.

İlk veriler: dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y ve üzerinde verilen A (x A, y A) ve B (x B, y B) koordinatlarıyla çakışmayan iki nokta verilmiştir. Ve ayrıca A B parçasını λ'ya (bazı pozitif gerçek sayılar) göre bölen bir C noktası verilmiştir. C: x C ve y C noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.

Problemi çözmeye başlamadan önce verilen koşulun anlamını biraz açıklayalım: “C noktası A B doğru parçasını λ’ya göre bölüyor”. İlk olarak, bu ifade, C noktasının A B doğru parçası üzerinde (yani A ve B noktaları arasında) bulunduğunu gösterir. İkinci olarak, verilen koşula göre A C ve C B segmentlerinin uzunluklarının oranının λ'ya eşit olduğu açıktır. Onlar. eşitlik doğrudur:

Bu durumda A noktası parçanın başlangıcı, B noktası ise parçanın sonudur. C noktasının BA A parçasını belirli bir oranda böldüğü verilmiş olsaydı, eşitlik doğru olurdu: .

Tamamen açık bir gerçek şu ki, eğer λ = 1 ise, o zaman C noktası A B doğru parçasının orta noktasıdır.

Sorunu vektörleri kullanarak çözelim. A, B noktalarını ve C noktasını belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde keyfi olarak gösterelim. Bu noktaların yarıçap vektörlerini ve A C → ve C B → vektörlerini oluşturalım. Problemin koşullarına göre C noktası A B doğru parçasını λ'ya göre bölmektedir.

Noktanın yarıçap vektörünün koordinatları noktanın koordinatlarına eşitse, eşitlikler doğrudur: O A → = (x A, y A) ve O B → = (x B, y B).

Vektörün koordinatlarını belirleyelim: C noktasının problemin koşullarına göre bulunması gereken koordinatlarına eşit olacaktır.

Vektör toplama işlemini kullanarak eşitlikleri yazıyoruz: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

Problemin koşullarına göre, C noktası A B parçasını λ'ya göre böler, yani. A C = λ · C B eşitliği doğrudur.

A C → ve C B → vektörleri aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve eş yönlüdür. Problemin koşullarına göre λ > 0 ise, bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemine göre şunu elde ederiz: A C → = λ · C B → .

İfadeyi yerine koyarak dönüştürelim: C B → = O B → - O C → .

AC → = λ · (O B → - O C →) .

O C → = O A → + A C → eşitliğini O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) olarak yeniden yazarız.

Vektörler üzerindeki işlemlerin özelliklerini kullanarak son eşitlikten şu sonuç çıkar: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

Şimdi O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → vektörünün koordinatlarını doğrudan hesaplamamız gerekiyor.

O A → ve O B → vektörleri üzerinde gerekli işlemleri yapalım.

Ö A → = (x A , y A) ve Ö B → = (x B , y B), sonra O A → + λ · Ö B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

Böylece, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · Ö B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

Özetlemek gerekirse: A B parçasını belirli bir λ oranında bölen C noktasının koordinatları şu formüllerle belirlenir: x C = x A + λ · x B 1 + λ ve y C = y A + λ · y B 1 + λ .

Uzayda bir parçayı belirli bir oranda bölen bir noktanın koordinatlarının belirlenmesi

Başlangıç ​​verileri: dikdörtgen koordinat sistemi O x y z, verilen A (x A, y A, z A) ve B (x B, y B, z B) koordinatlarına sahip noktalar.

C noktası A B parçasını λ'ya göre böler. C noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.

Yukarıdaki durumdaki mantığın aynısını düzlemde kullanarak eşitliğe ulaşırız:

Ö C → = 1 1 + λ (O A → + λ Ö B →)

Vektörler ve, A ve B noktalarının yarıçap vektörleridir; bunun anlamı:

O A → = (x A , y A , z A) ve O B → = (x B , y B , z B) , dolayısıyla

Ö C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · Ö B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

Böylece, A B parçasını uzayda belirli bir λ oranında bölen C noktası koordinatlara sahiptir: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 +λ)

Belirli örnekler kullanarak teoriye bakalım.

Örnek 1

İlk veriler: C noktası A B parçasını beşe üç oranında bölüyor. A ve B noktalarının koordinatları A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) ile verilmektedir.

Çözüm

Problemin koşullarına göre λ = 5 3. Yukarıda elde ettiğimiz formülleri uygulayalım ve şunu elde edelim:

x Bir + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z Bir + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

Cevap: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)

Örnek 2

İlk veriler: A B C üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek gerekir.

Köşelerinin koordinatları verilmiştir: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

Çözüm

Herhangi bir üçgenin ağırlık merkezinin kenarortaylarının kesişme noktası olduğu bilinmektedir (bu M noktası olsun). Medyanların her biri, tepe noktasından sayılarak 2'ye 1 oranında M noktasına bölünür. Buna dayanarak sorulan sorunun cevabını bulacağız.

A D'nin A B C üçgeninin kenarortayı olduğunu varsayalım. M noktası kenarortayların kesişme noktasıdır, M (x M, y M, z M) koordinatlarına sahiptir ve üçgenin ağırlık merkezidir. Medyanların kesişme noktası olarak M, AD segmentini 2'ye 1 oranında böler, yani. λ = 2.

D noktasının koordinatlarını bulalım. AD medyan olduğundan, D noktası B C segmentinin ortasıdır. Ardından, segmentin ortasının koordinatlarını bulmak için formülü kullanarak şunu elde ederiz:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

M noktasının koordinatlarını hesaplayalım:

x M = x Bir + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z Bir + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

Cevap: (1 3, 0, 7 3)

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.