KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.
Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış Karmaşık sayıların bazı özellikleri ve bunlarla ilgili işlemler.
Basit rasyonel kesirlerin integrali.
Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. Buna denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.
Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).
Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.
Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.
3) 
(daha önce okuduk).
Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).
Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:
Örnek 1.
Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :
Örnek 2.
Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:
Örnek 3.
Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'ün basit kesirleri olacaktır. türleri:
Yukarıdaki açılımlarda bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:
1. eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.
2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.
3. kombine yöntem.
Örnek 5. Bir kesri genişletin 
en basitine.
Çözüm:
A ve B katsayılarını bulalım.
Yöntem 1 - özel değer yöntemi:
Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:
Cevap: 
Rasyonel kesirlerin integrali.
Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesirin, paydasının sıfıra eşit olmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali mevcuttur ve temel işlevler, yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar aracılığıyla ifade edilir.
Kanıt.
Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: 
. Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X)
ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.
Yorum. Bu durumda asıl zorluk paydanın çarpanlara ayrılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.
Örnek 1. İntegrali bulun
Daha önce de belirttiğim gibi, integral hesabında bir kesrin integralini almak için uygun bir formül yoktur. Ve bu nedenle üzücü bir eğilim var: Kesir ne kadar karmaşıksa, integralini bulmak da o kadar zor olur. Bu bağlamda, şimdi size anlatacağım çeşitli püf noktalarına başvurmanız gerekiyor. Hazırlıklı okuyucular hemen yararlanabilirler içindekiler:
- Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi
Yapay pay dönüştürme yöntemi
Örnek 1
Bu arada, dikkate alınan integral, değişken yönteminin değiştirilmesiyle de çözülebilir, ancak çözümü yazmak çok daha uzun sürecektir.
Örnek 2
Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Değişken değiştirme yönteminin artık burada işe yaramayacağını belirtmekte fayda var.
Dikkat, önemli! 1 ve 2 numaralı örnekler tipiktir ve sıklıkla meydana gelir. Özellikle, bu tür integraller sıklıkla diğer integrallerin çözümü sırasında, özellikle de irrasyonel fonksiyonların (köklerin) integrali alınırken ortaya çıkar.
Dikkate alınan teknik bu durumda da işe yarar. payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden büyükse.
Örnek 3
Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.
Payı seçmeye başlıyoruz.
Payı seçme algoritması şuna benzer:
1) Payda düzenlemem gerekiyor ama orada. Ne yapalım? Parantez içine alıp şununla çarpıyorum: .
2) Şimdi bu parantezleri açmaya çalışıyorum, ne oluyor? . Hmm... bu daha iyi, ama başlangıçta payda iki yok. Ne yapalım? Şununla çarpmanız gerekir:
3) Parantezleri tekrar açıyorum: . Ve işte ilk başarı! Doğru çıktı! Ancak sorun şu ki fazladan bir terim ortaya çıktı. Ne yapalım? İfadenin değişmesini önlemek için aynısını yapımıma eklemeliyim: 
. Hayat kolaylaştı. Payda tekrar düzenleme yapmak mümkün mü?
4) Mümkün. Hadi deneyelim: 
. İkinci terimin parantezlerini açın: 
. Üzgünüm ama önceki adımda aslında , yoktu. Ne yapalım? İkinci terimi şu şekilde çarpmanız gerekir: 
5) Yine kontrol etmek için ikinci dönemde parantezleri açıyorum: 
. Artık bu normaldir: 3. noktanın son yapısından türetilmiştir! Ama yine küçük bir "ama" var, fazladan bir terim ortaya çıktı, bu da ifademe eklemem gerektiği anlamına geliyor: 
Her şey doğru yapılırsa, tüm parantezleri açtığımızda integrandın orijinal payını almamız gerekir. Kontrol ediyoruz:
Kapüşon.
Böylece: 
Hazır. Son dönemde bir fonksiyonu diferansiyel altına alma yöntemini kullandım.
Cevabın türevini bulursak ve ifadeyi ortak bir paydaya indirgersek, o zaman tam olarak orijinal integrand fonksiyonunu elde ederiz. Bir toplama ayırmanın dikkate alınan yöntemi, bir ifadeyi ortak bir paydaya getirmenin ters eyleminden başka bir şey değildir.
Bu tür örneklerde payı seçmeye yönelik algoritma en iyi şekilde taslak halinde yapılır. Bazı becerilerle zihinsel olarak çalışacaktır. 11. kuvvet için seçim yaparken rekor kıran bir vakayı hatırlıyorum ve payın genişletilmesi Verd'in neredeyse iki satırını kaplıyordu.
Örnek 4
Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.
Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi
Sonraki kesir türlerini ele almaya devam edelim.
, , , (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).
Aslında derste arksinüs ve arktanjant ile ilgili birkaç durumdan bahsetmiştik. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi. Bu tür örnekler, fonksiyonun diferansiyel işaret altına alınması ve bir tablo kullanılarak daha da entegre edilmesiyle çözülür. Uzun ve yüksek logaritmalara sahip daha tipik örnekler:
Örnek 5
Örnek 6
Burada bir integral tablosu almanız ve hangi formüllerin ve Nasıl dönüşüm gerçekleşir. lütfen aklınızda bulundurun nasıl ve neden Bu örneklerdeki kareler vurgulanmıştır. Özellikle Örnek 6'da öncelikle paydayı şu biçimde temsil etmemiz gerekir: 
, sonra onu diferansiyel işaretinin altına getirin. Ve standart tablo formülünü kullanmak için tüm bunların yapılması gerekiyor 
.
Neden bakın, özellikle oldukça kısa oldukları için 7, 8 numaralı örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:
Örnek 7
Örnek 8
Belirsiz integrali bulun:
Bu örnekleri de kontrol etmeyi başarırsanız, büyük saygı duyarım; farklılaştırma becerileriniz mükemmeldir.
Tam kare seçim yöntemi
Formun integralleri 
(katsayılar ve sıfıra eşit değildir) çözülür tam kare çıkarma yöntemi zaten derste görünen Grafiklerin geometrik dönüşümleri.
Aslında bu tür integraller az önce baktığımız dört tablosal integralden birine indirgenebilir. Ve bu, tanıdık kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak elde edilir:
Formüller tam olarak bu yönde uygulanıyor, yani yöntemin fikri, ifadeleri paydada yapay olarak düzenlemek ve daha sonra ikisinden birine uygun şekilde dönüştürmektir.
Örnek 9
Belirsiz integrali bulun
Bu en basit örnek terim – birim katsayısı ile(ve bir sayı veya eksi değil).
Paydaya bakalım, burada iş açıkça şansa dönüyor. Paydayı dönüştürmeye başlayalım:
Açıkçası, 4 eklemeniz gerekiyor. Ve ifadenin değişmemesi için aynı dördü çıkarın:
Artık formülü uygulayabilirsiniz:
Dönüşüm tamamlandıktan sonra HER ZAMAN Ters hareketin yapılması tavsiye edilir: her şey yolunda, hata yok.
Söz konusu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir: 
Hazır. "Serbest" bir karmaşık fonksiyonu diferansiyel işaret altına alırsak: prensipte ihmal edilebilir
Örnek 10
Belirsiz integrali bulun:
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.
Örnek 11
Belirsiz integrali bulun:
Önünde bir eksi olduğunda ne yapmalı? Bu durumda, eksiyi parantezlerden çıkarmamız ve terimleri ihtiyacımız olan sıraya göre düzenlememiz gerekir: . Devamlı(bu durumda “iki”) Dokunma!
Şimdi parantez içine bir tane ekliyoruz. İfadeyi analiz ettiğimizde parantezlerin dışına bir tane eklememiz gerektiği sonucuna varıyoruz:
İşte formülü alıyoruz, uygulayın:
HER ZAMAN Taslağı kontrol ediyoruz:
, kontrol edilmesi gereken şey buydu.
Temiz örnek şuna benzer: 
Görevi daha da zorlaştırmak
Örnek 12
Belirsiz integrali bulun: 
Burada terim artık birim katsayı değil, “beş”tir.
(1) Eğer bir sabit varsa, o zaman onu hemen parantezlerden çıkarırız.
(2) Genel olarak, bu sabiti integralin dışına taşımak, böylece yolunuza çıkmaması her zaman daha iyidir.
(3) Açıkçası her şey formüle inecek. Terimi anlamamız gerekiyor, yani “iki”yi elde etmemiz gerekiyor
(4) Evet, . Bu, aynı kesiri ifadeye eklediğimiz ve çıkardığımız anlamına gelir.
(5) Şimdi tam bir kare seçin. Genel durumda hesaplamamız da gerekir, ancak burada uzun logaritma için bir formülümüz var 
ve eylemi gerçekleştirmenin bir anlamı yok; neden aşağıda açıklığa kavuşacak.
(6) Aslında formülü uygulayabiliriz 
, yalnızca "X" yerine elimizde var, bu da tablo integralinin geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Açıkça söylemek gerekirse, bir adım atlandı; entegrasyondan önce fonksiyonun diferansiyel işaret altında toplanması gerekirdi: 
ancak defalarca belirttiğim gibi bu genellikle ihmal ediliyor.
(7) Kökün altındaki cevapta, tüm parantezlerin geriye doğru genişletilmesi tavsiye edilir:
Zor? İntegral hesabının en zor kısmı bu değil. Bununla birlikte, ele alınan örnekler iyi hesaplama teknikleri gerektirdiğinden çok karmaşık değildir.
Örnek 13
Belirsiz integrali bulun:
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap dersin sonundadır.
Paydada kökleri olan ve bir ikame kullanarak dikkate alınan türden integrallere indirgenen integraller vardır; bunlar hakkında makalede okuyabilirsiniz; Karmaşık integraller ancak çok hazırlıklı öğrenciler için tasarlanmıştır.
Payın diferansiyel işareti altına alınması
Bu dersin son kısmıdır, ancak bu tür integraller oldukça yaygındır! Eğer yorgunsanız, belki yarın okumak daha iyidir? ;)
Ele alacağımız integraller önceki paragrafın integrallerine benzer, şu şekildedirler: veya 
(katsayılar ve sıfıra eşit değildir).
Yani artık payda doğrusal bir fonksiyona sahibiz. Bu tür integraller nasıl çözülür?
Bilindiği gibi, bazı x değişkenlerinin herhangi bir rasyonel fonksiyonu, bir polinom ve en basit, temel kesirlere ayrıştırılabilir. Dört tür basit kesir vardır:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Burada a, A, B, b, c reel sayılardır. Denklem x 2 + bx + c = 0 gerçek kökleri yoktur.
İlk iki türün kesirlerinin entegrasyonu
İlk iki kesrin integrali, integral tablosundaki aşağıdaki formüller kullanılarak yapılır:
,
, n ≠ - 1
.
1. Birinci türdeki kesirlerin integrali
Birinci türün bir kesri, t = x - a ikamesi ile bir tablo integraline indirgenir:
.
2. İkinci tip kesirlerin entegrasyonu
İkinci türün kesri aynı t = x - a ikamesi ile bir tablo integraline indirgenir:
.
3. Üçüncü tip kesirlerin entegrasyonu
Üçüncü türden bir kesrin integralini düşünün:
.
Bunu iki adımda hesaplayacağız.
3.1. Adım 1. Paydaki paydanın türevini seçin
Kesrin payındaki paydanın türevini yalnız bırakalım. Şunu belirtelim: u = x 2 + bx + c. Ayırt edelim: u′ = 2 x + b
;
.
.
.
Daha sonra
Ancak
,
Modül işaretini atladık çünkü .
.
Daha sonra:
Nerede
.
3.2. Adım 2. A = 0, B=1 ile integrali hesaplayın
,
Şimdi kalan integrali hesaplıyoruz:
Kesrin paydasını kareler toplamına getiriyoruz: 2 + bx + c = 0 Nerede .
Denklemin x olduğuna inanıyoruz
,
.
.
kökleri yoktur. Bu yüzden .
.
Bir değişiklik yapalım
,
Şimdi kalan integrali hesaplıyoruz:
Bu yüzden,
Böylece üçüncü türden bir kesrin integralini bulduk:
.
4. Dördüncü tip kesirlerin entegrasyonu
Ve son olarak dördüncü türden bir kesirin integralini düşünün:
.
Bunu üç adımda hesaplıyoruz.
.
4.1) Paydaki paydanın türevini seçin:
,
4.2) İntegrali hesaplayın
.
4.3) İntegralleri hesaplayın
azaltma formülünü kullanarak: 2 + bx + c. Ayırt edelim: u′ = 2 x + b
.
.
.
.
4.1. Adım 1. Paydanın türevini payda izole etmek
.
Paydanın türevini payda yaptığımız gibi yalnız bırakalım. u = x'i gösterelim
Sonunda elimizde:
.
4.2. Adım 2. n = 1 ile integrali hesaplayın
İntegrali hesaplayın
Hesaplaması şurada özetlenmiştir.
.
4.3. Adım 3. İndirgeme formülünün türetilmesi
.
Şimdi integrali düşünün
İkinci dereceden üç terimliyi karelerin toplamına indirgeriz:
.
.
Burada .
.
Bir değişiklik yapalım. Dönüşümler gerçekleştirip parçalara entegre ediyoruz.:
.
Şununla çarp:
,
;
;
.
2(n - 1)
.
X ve I n'ye dönelim. 1
.
Yani, I n için indirgeme formülünü elde ettik:
Bu formülü tutarlı bir şekilde uygulayarak, I n integralini I'e indirgeyebiliriz.
Örnek
1.
İntegrali hesapla
;
;
.
Çözüm
.
2.
Paydanın türevini payda yalnız bırakalım.
.
3.
Burada
En basit kesrin integralini hesaplıyoruz.
İndirgeme formülünü uyguluyoruz: 1
integral için. 1
,
Bizim durumumuzda b =, c = 2
4 c - b 2 = 3 3
:
;
.
.
.
4.1. Adım 1. Paydanın türevini payda izole etmek
.
Bu formülü n = için yazıyoruz
.
ve n =
Buradan
İki polinomun $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ oranına rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir denir. Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.
Temel (basit) rasyonel kesirler dört türden rasyonel kesirlerdir:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide
$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Bu arada, bu kontrol için $x^2$ katsayısının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.
Rasyonel kesirlerin (doğru ve uygunsuz) örneklerinin yanı sıra rasyonel bir kesirin temel kesirlere ayrıştırılmasının örnekleri de bulunabilir. Burada sadece bunların entegrasyonuyla ilgili sorularla ilgileneceğiz. Temel kesirlerin entegrasyonuyla başlayalım. Dolayısıyla, yukarıdaki dört temel kesir tipinin her birinin aşağıdaki formüller kullanılarak entegrasyonu kolaydır. (2) ve (4) tipi kesirlerin integrali alınırken $n=2,3,4,\ldots$ varsayıldığını hatırlatmak isterim. Formül (3) ve (4), $p^2-4q koşulunun yerine getirilmesini gerektirir< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ikamesi yapılır, bundan sonra ortaya çıkan aralık şu şekilde olur: ikiye bölünmüş. Birincisi diferansiyel işaretinin altına girilerek hesaplanacak ve ikincisi $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde olacaktır. Bu integral yineleme ilişkisi kullanılarak alınır
\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)
Böyle bir integralin hesaplanması örnek 7'de tartışılmaktadır (üçüncü bölüme bakınız).
Rasyonel fonksiyonların (rasyonel kesirler) integrallerini hesaplama şeması:
- İntegral temel ise, (1)-(4) formüllerini uygulayın.
- İntegral temel değilse, onu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edin ve ardından (1)-(4) formüllerini kullanarak integral alın.
Rasyonel kesirleri entegre etmek için yukarıdaki algoritmanın yadsınamaz bir avantajı vardır - evrenseldir. Onlar. bu algoritmayı kullanarak entegre edebilirsiniz herhangi rasyonel kesir. Bu nedenle belirsiz bir integraldeki değişkenlerin neredeyse tüm değişiklikleri (Euler, Chebyshev, evrensel trigonometrik ikame), bu değişiklikten sonra aralığın altında rasyonel bir kesir elde edecek şekilde yapılır. Daha sonra algoritmayı buna uygulayın. Küçük bir not aldıktan sonra bu algoritmanın doğrudan uygulamasını örneklerle analiz edeceğiz.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Prensip olarak bu integralin, formülün mekanik uygulaması olmadan elde edilmesi kolaydır. Eğer integral işaretinden $7$ sabitini çıkarırsak ve $dx=d(x+9)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Detaylı bilgi için konuya bakmanızı tavsiye ederim. Bu tür integrallerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak açıklıyor. Bu arada formül, bu paragrafta "manuel" çözülürken uygulanan dönüşümlerin aynısıyla kanıtlanmıştır.
2) Yine iki yol var: Hazır formülü kullanın veya onsuz yapın. Formülü uygularsanız $x$'ın (4 rakamı) önündeki katsayının kaldırılması gerekeceğini dikkate almalısınız. Bunu yapmak için bu dördünü parantezlerden çıkaralım:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$
Şimdi formülü uygulama zamanı:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Formülü kullanmadan yapabilirsiniz. Üstelik sabit 4$'ı parantezlerden çıkarmadan bile. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Bu tür integrallerin bulunmasına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında ikame)” konusunda verilmiştir.
3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ancak bunun gerçekten üçüncü türün temel kesri olduğundan emin olmak için $p^2-4q koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Aynı örneği hazır bir formül kullanmadan çözelim. Paydanın türevini payda izole etmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. Payda yalnız bırakmamız gereken $2x+10$ ifadesidir. Şu ana kadar pay sadece $4x+7$ içeriyor, ancak bu çok uzun sürmeyecek. Pay'a aşağıdaki dönüşümü uygulayalım:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Artık payda gerekli ifade $2x+10$ görünür. İntegralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
İntegrali ikiye bölelim. Buna göre integralin kendisi de "çatallıdır":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
İlk önce ilk integralden bahsedelim, yani. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, integralin payı paydanın diferansiyelini içerir. Kısacası, bunun yerine $( 2x+10)dx$ ifadesinin yerine $d(x^2+10x+34)$ yazıyoruz.
Şimdi ikinci integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Paydada tam bir kare seçelim: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ayrıca $dx=d(x+5)$ hesabını da hesaba katıyoruz. Şimdi daha önce elde ettiğimiz integrallerin toplamı biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
İlk integralde $u=x^2+10x+34$ değişimini yaparsak, o zaman $\int\frac(du)(u)$ biçimini alır ve ikinci formülü basitçe uygulayarak elde edilebilir. . İkinci integrale gelince, $u=x+5$ değişikliği onun için de uygundur, bundan sonra $\int\frac(du)(u^2+9)$ biçimini alacaktır. Bu belirsiz integraller tablosundaki en saf on birinci formüldür. İntegrallerin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Formülü uygularken aldığımız cevabın aynısını aldık ki bu kesinlikle şaşırtıcı değil. Genel olarak formül, bu integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı yöntemlerle kanıtlanır. Dikkatli okuyucunun burada bir sorusu olabileceğine inanıyorum, bu yüzden onu formüle edeceğim:
Soru No.1
Belirsiz integraller tablosundaki ikinci formülü $\int \frac(d(x^2+10x+34)(x^2+10x+34)$ integraline uygularsak, aşağıdakileri elde ederiz:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Çözümde neden modül yoktu?
1. sorunun cevabı
Soru tamamen doğal. Modül yalnızca herhangi bir $x\in R$ için $x^2+10x+34$ ifadesinin sıfırdan büyük olması nedeniyle eksikti. Bunu çeşitli şekillerde göstermek oldukça kolaydır. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan $(x+5)^2+9 > 0$ . Tam kare seçimini kullanmadan farklı düşünebilirsiniz. $10^2-4\cdot 34=-16'dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (eğer bu mantıksal zincir şaşırtıcıysa, ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için grafiksel yönteme bakmanızı tavsiye ederim). Her durumda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yani. Bir modül yerine normal parantezleri kullanabilirsiniz.
1 numaralı örneğin tüm noktaları çözüldü, geriye kalan tek şey cevabı yazmak.
Cevap:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Örnek No.2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.
İlk bakışta, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrand kesri üçüncü türün temel kesrine çok benzer; $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Görünüşe göre tek fark, $x^2$'ın önündeki $3$ katsayısıdır, ancak katsayıyı kaldırmak uzun sürmez (parantezlerin dışına koyun). Ancak bu benzerlik ortadadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kesri için $p^2-4q koşulu zorunludur< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
$x^2$ öncesindeki katsayımız bire eşit değil, dolayısıyla $p^2-4q koşulunu kontrol edin< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ olduğundan $3x^2-5x-2$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir. Bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı anlamına gelir ve $\int\frac(7x+12)(3x^2-) uygulanır ) 5x-2)dx$ formülünün integraline ulaşmak mümkün değildir.
Eğer verilen rasyonel kesir temel kesir değilse, o zaman temel kesirlerin toplamı olarak temsil edilmesi ve sonra entegre edilmesi gerekir. Kısacası patikadan yararlanın. Rasyonel bir kesirin temel kesirlere nasıl ayrıştırılacağı ayrıntılı olarak yazılmıştır. Paydayı çarpanlara ayırarak başlayalım:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Alt interkal fraksiyonu bu formda sunuyoruz:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$
$A$ ve $B$ katsayılarını bulmak için iki standart yol vardır: belirlenmemiş katsayılar yöntemi ve kısmi değerlerin yerine konulması yöntemi. $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ yerine kısmi değer ikame yöntemini uygulayalım:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Katsayılar bulunduğundan geriye kalan tek şey bitmiş genişlemeyi yazmaktır:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Prensip olarak bu girişi bırakabilirsiniz, ancak daha doğru seçeneği seviyorum:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Orijinal integrale dönersek, ortaya çıkan genişlemeyi onun yerine koyarız. Daha sonra integrali ikiye bölüp her birine formülü uyguluyoruz. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Cevap: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Örnek No.3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.
$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Pay ikinci dereceden bir polinom içerir ve payda üçüncü dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan, yani; 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Tek yapmamız gereken verilen integrali üçe bölüp formülü her birine uygulamak. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Cevap: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Bu konuya ilişkin örneklerin analizinin devamı ikinci bölümde yer almaktadır.
Burada aşağıdaki rasyonel kesirlerin integralinin alınmasına ilişkin üç örnek için ayrıntılı çözümler sunuyoruz:
,
,
.
Örnek 1
İntegrali hesaplayın:
.
Örnek
Burada integral işareti rasyonel bir fonksiyondur, çünkü integral polinomların bir kesridir. Payda polinom derecesi ( 3 ) pay polinomunun derecesinden küçüktür ( 4 ). Bu nedenle öncelikle kesrin tamamını seçmeniz gerekir.
1.
Kesirin tamamını seçelim. x'i böl 4
x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
.
.
2.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için kübik denklemi çözmeniz gerekir:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
x = yerine koyalım 1
:
.
1
. 1
:
.
.
x'e böl -
.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü.
Denklemin kökleri: , .
.
3.
Daha sonra
.
Kesri en basit haline ayıralım.
.
Böylece şunu bulduk:
Haydi entegre olalım.
Cevap
İntegrali hesaplayın:
.
Örnek
Burada kesrin payı sıfır dereceli bir polinomdur ( 1 =x0). Payda üçüncü dereceden bir polinomdur. Çünkü 0 < 3 ise kesir doğrudur. Bunu basit kesirlere ayıralım.
1.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni 3
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 3, -1, -3
.
x = yerine koyalım 1
:
.
Böylece bir kök x = bulduk 1
. x'i böl 3 + 2 x - 3 1
:
x'te -
.
Bu yüzden,
İkinci dereceden denklemin çözümü: X.
2 + x + 3 = 0 Diskriminantı bulun: D = 1 2 - 4 3 = -11< 0
.
.
2.
.
D'den beri:
(2.1)
.
x = yerine koyalım 1
ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Böylece paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ettik: 1 = 0
,
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (2.1)
. 0
:
O zaman x-;
.
yerine koyalım (2.1)
x = 2
:
;
1 = 3 A - C;
.
.
3.
Böylece şunu bulduk:
(2.2)
.
hadi eşitleyelim
;
;
.
x için katsayılar 2
.
.
0 = A + B Xİkinci integrali hesaplamak için paydaki paydanın türevini izole edip paydayı kareler toplamına indiririz. I hesapla Denklemden beri x
gerçek kökleri yoktur, bu durumda x (2.2)
:
.
Haydi entegre olalım.
2 + x + 3 > 0
İntegrali hesaplayın:
.
Örnek
. 3 Bu nedenle modül işareti ihmal edilebilir. 4 teslim ediyoruz 3 < 4 Örnek 3
1.
Burada integral işaretinin altında polinomların bir kısmı var. Bu nedenle integral rasyonel bir fonksiyondur. Paydaki polinomun derecesi eşittir
.
En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2
.
x = yerine koyalım -1
:
.
Böylece bir kök x = bulduk -1
. .:
x'te -
.
Kesirin paydasının polinomunun derecesi şuna eşittir:
.
. 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2
.
x = yerine koyalım -1
:
.
Çünkü -1
ise kesir doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrıştırılabilir. Ancak bunu yapmak için paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir.
.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için dördüncü derecenin denklemini çözmeniz gerekir: 2 + 2 = 0
(-1) = x + 1
.
2.
Şimdi üçüncü derece denklemi çözmemiz gerekiyor:
.
Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur Böylece başka bir kök x = bulduk:
(3.1)
.
x = yerine koyalım -1
. 1 = 0
,
.
Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız: (3.1)
:
;
.
x = yerine koyalım -1
Denklemden beri x 1 = 0
:
;
;
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (3.1)
. 0
:
gerçek kökleri olmadığında paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:;
.
yerine koyalım (3.1)
x = 3
:
;
Kesri en basit haline ayıralım. Şu formda bir genişletme arıyoruz:;
.
Kesrin paydasından kurtuluruz, ile çarparız
.
3.
Böylece şunu bulduk:
.
