Logaritmik farklılaşma
Temel fonksiyonların türevleri
Farklılaşmanın temel kuralları
Fonksiyon diferansiyeli
Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı A D X bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede
D f=f(X)-F(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
fonksiyonun diferansiyeli denir F(X) bu noktada X 0 ve gösterilir
df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.
Diferansiyel noktaya bağlıdır X 0 ve D artışından X. D'de X aynı zamanda bağımsız bir değişken olarak da bakıyorlar, yani her noktada diferansiyel, D artışının doğrusal bir fonksiyonudur X.
Bir fonksiyon olarak düşünürsek F(X)=x, sonra elde ederiz dx= D x,dy=Adx. Bu Leibniz'in notasyonuyla tutarlıdır.
Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu.
Pirinç. 4.3
1) f= yapı , f¢= 0,df= 0 gün x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Sonuçlar. (bkz.(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v, v(X 0)¹0 ve türevi mevcutsa, o halde f¢=(u¢v-v¢ sen)/v 2 .
Kısaltmak için şunu belirteceğiz sen=sen(X)sen 0 =sen(X 0), sonra
D'deki sınıra geçme x® 0 Gerekli eşitliği elde ederiz.
5) Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Teorem. f¢ varsa(X 0), g¢(X 0)ve x 0 =g(T 0), sonra bir mahallede t 0 karmaşık fonksiyon f tanımlanır(G(T))t noktasında türevlenebilir 0 Ve
Kanıt.
F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ sen(X 0).
F(G(T))-F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)- G(T 0))+ A( G(T))(G(T)- G(T 0)).
Bu eşitliğin her iki tarafını da ( t - t 0) ve hadi şu sınıra gidelim t®t 0 .
6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.
Teorem. F'nin sürekli ve kesinlikle monoton olmasına izin verin[a,b]. x noktasında olsun 0 Î( a,b)f¢ var(X 0)¹ 0 , sonra ters fonksiyon x=f -1 (sen)y noktasında var 0 türev eşittir
Kanıt. sayıyoruz F kesinlikle monoton olarak artıyor, o zaman F -1 (sen) süreklidir, monoton olarak [ kadar artar F(A),F(B)]. Hadi koyalım sen 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,
y - y 0 =D sen. Ters D fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı sen®0 Ş D X®0, elimizde
Limite geçerek gerekli eşitliği elde ederiz.
7) Çift bir fonksiyonun türevi tektir, tek bir fonksiyonun türevi çifttir.
Gerçekten eğer x® - x 0 , O - x®x 0 , Bu yüzden
Çift işlev için Tek işlev için
1) f= yapı, f¢(X)=0.
2) F(X)=x, f¢(X)=1.
3) F(X)= e x, f¢(X)= ex ,
4) F(X)=a x ,(bir x)¢ = balta içinde A.
5) içinde A.
6) F(X)=ln X,
Sonuçlar. (çift bir fonksiyonun türevi tektir)
7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M içinde X .
8) (günah X)¢= çünkü X,
9) (çünkü X)¢=- günah X,(çünkü X)¢= (günah( x+ p/2)) ¢= çünkü( x+ p/2)=-sin X.
10) (tg) X)¢= 1/çünkü 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/günah 2 X.
16)sh X, ch X.
f(x),, bundan şu sonuç çıkıyor f¢(X)=f(X)(in F(X))¢ .
Aynı formül farklı şekilde elde edilebilir F(X)=e içinde F(X) , f¢=e içinde F(X) (in F(X))¢.
Örnek. Bir fonksiyonun türevini hesaplama f=xx .
=x x = x x = x x = x x(in x+ 1).
Düzlemdeki noktaların geometrik konumu
buna bir fonksiyonun grafiği diyeceğiz, parametrik olarak verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonun parametrik spesifikasyonundan da bahsediyorlar.
Not 1. Eğer x, y için sürekli [a,b] Ve X(T) segmentte kesinlikle monoton (örneğin, kesinlikle monoton bir şekilde artar), sonra [ a,b], a=x(A) , b=x(B) fonksiyon tanımlanmış F(X)=y(T(X)), nerede(X) – x(t)'nin tersi olan fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğiyle çakışıyor
Tanım alanı ise parametrik olarak verilen bir fonksiyon sonlu sayıda parçaya bölünebilir ,k= 1,2,...,N, her birinde bir fonksiyon var X(T) kesinlikle monotonsa, parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon sonlu sayıda sıradan fonksiyona ayrışır fk(X)=y(T -1 (X)) alan adlarıyla [ X(A k), X(B k)] bölümleri artırmak için X(T) ve alan adlarıyla [ X(B k), X(A k)] fonksiyonu azalan alanlar için X(T). Bu şekilde elde edilen fonksiyonlara parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları denir.
Şekilde parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir
Seçilen parametrelendirmeyle tanımlama alanı sin(2) fonksiyonunun katı monotonluğuna sahip beş bölüme ayrılmıştır T), Kesinlikle: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , ve buna göre grafik, bu bölümlere karşılık gelen beş net dala bölünecektir.
Pirinç. 4.4
Pirinç. 4.5
Noktaların aynı geometrik konumu için farklı bir parametrelendirme seçebilirsiniz.
Bu durumda bu türden yalnızca dört dal olacaktır. Katı monotonluk alanlarına karşılık gelecekler TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ işlevler günah(2 T).
Pirinç. 4.6
Sin(2) fonksiyonunun monotonluğunun dört bölümü T) uzun bir segmentte.
Pirinç. 4.7
Her iki grafiğin tek bir şekilde gösterilmesi, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini, her iki fonksiyonun monotonluk alanlarını kullanarak yaklaşık olarak tasvir etmenize olanak tanır.
Örnek olarak segmente karşılık gelen ilk dalı düşünün. TÎ . Bu bölümün sonundaki fonksiyon x= günah(2 T) -1 değerlerini alır ve 1 yani bu dal [-1,1]'de tanımlanacaktır. Bundan sonra ikinci fonksiyonun monotonluk alanlarına bakmanız gerekiyor. y=çünkü( T), üzerinde var monotonluğun iki bölümü . Bu da bize ilk dalın iki monotonluk bölümü olduğunu söylememizi sağlıyor. Grafiğin uç noktalarını bulduktan sonra, grafiğin monotonluğunun doğasını belirtmek için bunları düz çizgilerle birleştirebilirsiniz. Bunu her dalda yaptıktan sonra grafiğin belirgin dallarının monotonluk alanlarını elde ederiz (bunlar şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır)
Pirinç. 4.8
İlk tek değerli dal F 1 (X)=y(T(X)) , siteye karşılık gelen için belirlenecek XО[-1,1] . İlk tek değerli dal TÎ , XО[-1,1].
Diğer üç dalın tümü de bir tanım alanına sahip olacaktır [-1,1] .
Pirinç. 4.9
İkinci şube TÎ XО[-1,1].
Pirinç. 4.10
Üçüncü şube TÎ XО[-1,1]
Pirinç. 4.11
Dördüncü şube TÎ XО[-1,1]
Pirinç. 4.12
Yorum 2. Aynı fonksiyonun farklı parametrik ayarları olabilir. Farklılıklar her iki fonksiyonun kendisiyle de ilgili olabilir X(T), sen(T) , ve tanım alanı bu işlevler.
Aynı fonksiyon için farklı parametrik atamalara örnek
Ve TО[-1, 1] .
Not 3. Eğer x,y sürekli ise , X(T)- segmentte kesinlikle monoton ve türevleri var y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, o zaman var f¢(X 0)= .
Gerçekten mi, .
Son ifade aynı zamanda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları için de geçerlidir.
4.2 Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller
Daha yüksek türevler ve diferansiyeller. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevi. Leibniz'in formülü.
Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun.
(2)
Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir.
;
.
O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:
Burada ve fonksiyonların ve değişkene (parametreye) göre türevleridir.
Genellikle şu şekilde yazılırlar:
.
O halde sistem (2) şu şekilde yazılabilir:
.
Kanıt
.
Koşullara göre fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:
Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.
Kural kanıtlandı.
.
İkinci şekilde kanıt
.
Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
Gösterimi tanıtalım:
;
;
;
.
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.
Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
.
Koşullara göre fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
(1)
, tarihinde. Daha sonra
(2)
Yüksek dereceli türevler
.
Daha yüksek dereceli türevleri bulmak için farklılaşmanın birkaç kez yapılması gerekir. Diyelim ki parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini aşağıdaki biçimde bulmamız gerekiyor:
(3)
Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim.
.
Bunu yapmak için türev kesir formülünü yerine koyalım ve uygulayalım:
.
Daha sonra
Buradan fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini elde ederiz:
.
Ayrıca parametrik formda da verilmektedir. İlk satırın şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:
İşleme devam ederek üçüncü ve daha yüksek dereceli bir değişkenden fonksiyonların türevlerini elde edebilirsiniz.
;
.
Türev için bir notasyon eklememize gerek olmadığını unutmayın.
Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
Örnek 1
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm
;
.
göre türevlerini buluyoruz.
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
Uygularız:
.
Burada .
Gerekli türev:
Cevap
Örnek 1
Örnek 2
.
Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun:
.
Güç fonksiyonları ve kökleri için formüller kullanarak parantezleri genişletelim:
.
Türevi bulma:
.
Burada .
Türevi bulma.
Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü uyguluyoruz.
Örnek 1
İstenilen türevi buluyoruz:
Örnek 3
Örnek 1'de parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun ikinci ve üçüncü dereceden türevlerini bulun:
Örnek 1'de birinci dereceden türevi bulduk:
.
Tanımı tanıtalım.
.
O halde fonksiyon 'a göre türevdir.
.
Parametrik olarak belirtilir:
'ye göre ikinci türevi bulmak için, 'ye göre birinci türevi bulmamız gerekir.
ile ayırt edelim.
.
Örnek 1'de türevini bulduk:
.
göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.
Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:
Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Burada .
Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:
'ye göre türevini bulun.
Bunu yapmak için onu eşdeğer biçimde yeniden yazıyoruz:
İtibaren TÜçüncü dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir: X Yorum Sırasıyla ve'nin türevleri olan ve değişkenlerini girmenize gerek yoktur. Daha sonra şu şekilde yazabilirsiniz: Parametrik gösterimde ikinci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir: TÜçüncü dereceden türev. x, y değişkenlerinin üçüncü bir t değişkeninin (parametre adı verilen) fonksiyonları olduğu bir düzlem üzerinde bir çizgi tanımlamayı düşünün: (Her bir değer için belirli bir aralıktan itibaren belirli değerler karşılık gelir Ve y, bir dolayısıyla düzlemin belirli bir M(x,y) noktası. Ne zaman.
Eğer x = φ(t) fonksiyonunun tersi t = Ф(x) varsa, o zaman bu ifadeyi y = g(t) denkleminde yerine koyarsak, y = g(Ф(x)) elde ederiz; bu, şunu belirtir: sen bir fonksiyonu olarak X. Bu durumda denklemlerin (2.2) fonksiyonu tanımladığını söylüyoruz. sen parametrik olarak.
Örnek 1.İzin vermek M(x,y)– yarıçaplı bir daire üzerinde rastgele bir nokta R ve orijine odaklanmıştır. İzin vermek T– eksen arasındaki açı Öküz ve yarıçap OM(bkz. Şekil 2.3). Daha sonra Her bir değer için aracılığıyla ifade edilir T:
Denklemler (2.3) bir çemberin parametrik denklemleridir. t parametresini denklemlerden (2.3) hariç tutalım. Bunu yapmak için her denklemin karesini alır ve eklersek şunu elde ederiz: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) veya x 2 + y 2 = R 2 – Kartezyen denklemde bir dairenin denklemi koordinat sistemi. İki fonksiyonu tanımlar: Bu fonksiyonların her biri parametrik denklemlerle (2.3) verilir, ancak birinci fonksiyon ve ikincisi için.
Örnek 2. Parametrik denklemler
yarı eksenli bir elips tanımlayın a, b(Şekil 2.4). Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T elipsin kanonik denklemini elde ederiz:
Örnek 3. Bir sikloid, eğer bu daire düz bir çizgide kaymadan yuvarlanıyorsa, bir daire üzerinde yatan bir nokta ile tanımlanan bir çizgidir (Şekil 2.5). Sikloidin parametrik denklemlerini tanıtalım. Yuvarlanan dairenin yarıçapı şöyle olsun: A, nokta M Sikloidi tanımlayan hareketin başlangıcı koordinatların kökenine denk geliyordu. 
Koordinatları belirleyelim X, y puan M daire bir açıyla döndükten sonra T
(Şekil 2.5), t = ÐMCB. Yay uzunluğu M.B. segmentin uzunluğuna eşit O.B.çember kaymadan yuvarlandığından dolayı
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – maliyet = a(1 – maliyet).
Böylece sikloidin parametrik denklemleri elde edilir:
Bir parametreyi değiştirirken T 0'dan 2π daire bir tur döner ve nokta M bir sikloidin bir yayını tanımlar. Denklemler (2.5) şunu verir: sen bir fonksiyonu olarak X. Her ne kadar fonksiyon x = a(t – sint) ters bir işlevi vardır, ancak temel işlevler cinsinden ifade edilmez, dolayısıyla işlev y = f(x) temel işlevlerle ifade edilmez.
Denklemler (2.2) ile parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini ele alalım. Belirli bir t değişim aralığında x = φ(t) fonksiyonu ters fonksiyona sahiptir t = F(x), Daha sonra y = g(Ф(x)). İzin vermek x = φ(t), y = g(t) türevleri var ve x"t≠0. Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre y"x=y"t×t"x. Ters fonksiyonun türevini alma kuralına dayanarak, bu nedenle:
Ortaya çıkan formül (2.6), parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmayı sağlar.
Örnek 4. Fonksiyonun sen, bağlı olarak X, parametrik olarak belirtilir:
Çözüm. 
.
Örnek 5. Eğimi bulun k parametrenin değerine karşılık gelen M 0 noktasında sikloide teğettir.
Çözüm. Sikloid denklemlerinden: y" t = asint, x" t = a(1 – maliyet), Bu yüzden 
Bir noktada teğet eğim M0 değerine eşit t 0 = π/4:
DİFERANSİYEL FONKSİYONU
Fonksiyonun bu noktada olmasına izin verin x 0 türevi vardır. Tanım gereği: 
bu nedenle limitin özelliklerine göre (Bölüm 1.8), burada A– sonsuz küçük Δx → 0. Buradan
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Δx → 0 olduğundan, eşitlikteki ikinci terim (2.7), ile karşılaştırıldığında daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. 
, bu nedenle Δy ve f " (x 0)×Δx eşdeğerdir, sonsuz küçüktür (f "(x 0) ≠ 0 için).
Böylece, Δy fonksiyonunun artışı, ilk f "(x 0)×Δx olan iki terimden oluşur. ana kısım Δy artışı, Δx'e göre doğrusal (f "(x 0)≠ 0 için).
Diferansiyel x 0 noktasındaki f(x) fonksiyonuna, fonksiyonun artışının ana kısmı denir ve şöyle gösterilir: ölmek veya df(x0). Buradan,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)
Örnek 1. Bir fonksiyonun diferansiyelini bulun ölmek ve y = x 2 fonksiyonu için Δy fonksiyonunun artışı:
1) keyfi X ve Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Çözüm
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Eğer x 0 = 20, Δx = 0,1 ise Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.
Eşitliği (2.7) şu şekilde yazalım:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Δy artışı diferansiyelden farklıdır ölmekΔx'e kıyasla daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir değere kadar, bu nedenle yaklaşık hesaplamalarda, Δx yeterince küçükse yaklaşık Δy ≈ dy eşitliği kullanılır.
Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) olduğunu düşünürsek yaklaşık bir formül elde ederiz:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Örnek 2. Yaklaşık olarak hesaplayın.
Çözüm. Dikkate almak:
Formül (2.10)'u kullanarak şunu elde ederiz:
Yani ≈ 2,025.
Diferansiyelin geometrik anlamını ele alalım df(x 0)(Şekil 2.6). 
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine M 0 (x0, f(x 0)) noktasında bir teğet çizelim, φ KM0 teğeti ile Ox ekseni arasındaki açı olsun, sonra f"( x 0) = tanφ ΔM0NP'den:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ancak PN, x x 0'dan x 0 + Δx'e değiştikçe teğet ordinatın artışıdır.
Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki diferansiyeli, teğetin ordinatındaki artışa eşittir.
Fonksiyonun diferansiyelini bulalım
y = x. (x)" = 1 olduğundan dx = 1×Δx = Δx olur. Bağımsız değişken x'in diferansiyelinin artışına eşit olduğunu varsayacağız, yani dx = Δx.
Eğer x keyfi bir sayı ise, o zaman (2.8) eşitliğinden df(x) = f "(x)dx elde ederiz, dolayısıyla 
.
Dolayısıyla, bir y = f(x) fonksiyonunun türevi, diferansiyelinin argümanın diferansiyeline oranına eşittir.
Bir fonksiyonun diferansiyelinin özelliklerini ele alalım.
Eğer u(x), v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise, aşağıdaki formüller geçerlidir:
Bu formülleri kanıtlamak için bir fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümü için türev formülleri kullanılır. Örneğin formül (2.12)'yi kanıtlayalım:
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım: y = f(x), x = φ(t), yani. y = f(φ(t))
O halde dy = y" t dt, ancak y" t = y" x ×x" t, yani dy =y" x x" t dt. dikkate alındığında,
x" t = dx olursa, dy = y" x dx =f "(x)dx elde ederiz.
Dolayısıyla, x =φ(t) olan karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli y = f(x) dy = f "(x)dx biçimine sahiptir; bu, x'in bağımsız bir değişken olduğu durumla aynıdır. Bu özellik denir diferansiyel formunun değişmezliği A.
Şu ana kadar bu doğruların noktalarının güncel koordinatlarını doğrudan birleştiren bir düzlem üzerindeki doğruların denklemlerini ele aldık. Bununla birlikte, bir çizgiyi tanımlamanın başka bir yöntemi sıklıkla kullanılır; burada mevcut koordinatlar üçüncü bir değişkenin fonksiyonları olarak kabul edilir.
Bir değişkenin iki fonksiyonu verilsin
t'nin aynı değerleri için kabul edilir. O zaman bu t değerlerinden herhangi biri belirli bir değere ve belirli bir y değerine ve dolayısıyla belirli bir noktaya karşılık gelir. T değişkeni, fonksiyonların tanım alanındaki (73) tüm değerleri geçtiğinde, nokta düzlemdeki belirli bir C çizgisini tanımlar. Denklemlere (73) bu doğrunun parametrik denklemleri denir ve değişken denir. bir parametre.
Fonksiyonun ters bir fonksiyona sahip olduğunu varsayalım. Bu fonksiyonu denklemlerin (73) ikincisinde yerine koyarsak denklemi elde ederiz.
y'yi bir fonksiyon olarak ifade etmek
Bu fonksiyonun parametrik olarak denklemler (73) ile verildiğini kabul edelim. Bu denklemlerden denklem (74)'e geçişe parametre eliminasyonu adı verilir. Parametrik olarak tanımlanan işlevler göz önüne alındığında, parametrenin hariç tutulması hem gerekli değildir hem de pratik olarak her zaman mümkün değildir.
Çoğu durumda, parametrenin farklı değerleri göz önüne alındığında, formülleri (73) kullanarak bağımsız değişkenin ve fonksiyonun karşılık gelen değerlerini hesaplamak çok daha uygundur.
Örneklere bakalım.
Örnek 1. Merkezi orijinde ve yarıçapı R olan bir daire üzerinde rastgele bir nokta olsun. Bu noktanın Kartezyen koordinatları x ve y, burada t ile gösterdiğimiz kutup yarıçapı ve kutup açısı aracılığıyla aşağıdaki gibi ifade edilir ( bkz. Bölüm I, § 3, paragraf 3):
Denklemlere (75) bir dairenin parametrik denklemleri denir. İçlerindeki parametre 0 ila 0 arasında değişen kutup açısıdır.
Denklemlerin (75) terimin karesi alınır ve eklenirse, o zaman özdeşlik sayesinde parametre elimine edilir ve iki temel fonksiyonu tanımlayan Kartezyen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi elde edilir:
Bu fonksiyonların her biri denklemler (75) ile parametrik olarak belirtilir, ancak bu fonksiyonların parametre aralıkları farklıdır. Bunlardan ilki için; Bu fonksiyonun grafiği üstteki yarım dairedir. İkinci fonksiyonun grafiği alt yarım dairedir.
Örnek 2. Aynı anda bir elips düşünün
ve merkezi orijinde ve yarıçapı a olan bir daire (Şekil 138).
Elipsin her M noktasına, M noktasıyla aynı apsise sahip olan ve Ox ekseninin aynı tarafında bulunan dairenin bir N noktasını ilişkilendiririz. N noktasının ve dolayısıyla M noktasının konumu tamamen noktanın kutup açısı t tarafından belirlenir. Bu durumda ortak apsisleri için şu ifadeyi elde ederiz: x = a. M noktasındaki koordinatı elipsin denkleminden buluyoruz:
İşaret, M noktasının koordinatı ile N noktasının koordinatının aynı işaretlere sahip olması gerektiği için seçilmiştir.
Böylece elips için aşağıdaki parametrik denklemler elde edilir:
Burada t parametresi 0 ila 0 arasında değişir.
Örnek 3. Merkezi a) noktasında ve yarıçapı a olan ve başlangıç noktasında x eksenine açıkça değen bir daire düşünün (Şekil 139). Bu çemberin x ekseni boyunca kaymadan yuvarlandığını varsayalım. Daha sonra, ilk anda koordinatların başlangıcına denk gelen dairenin M noktası, sikloid adı verilen bir çizgiyi tanımlar.
Sabit noktası O konumundan M konumuna hareket ettiğinde dairenin dönme açısını t parametresi olarak t parametresi olarak alarak sikloidin parametrik denklemlerini türetelim. Daha sonra M noktasının koordinatları ve y'si için şunu elde ederiz: aşağıdaki ifadeler:
Dairenin eksen boyunca kaymadan yuvarlanması nedeniyle OB parçasının uzunluğu BM yayının uzunluğuna eşittir. BM yayının uzunluğu a yarıçapı ile t merkez açısının çarpımına eşit olduğundan, o zaman . Bu yüzden . Ama Bu nedenle,
Bu denklemler sikloidin parametrik denklemleridir. T parametresi 0'dan değiştiğinde daire bir tam dönüş yapacaktır. M noktası sikloidin bir yayını tanımlayacaktır.
Burada t parametresinin hariç tutulması hantal ifadelere yol açar ve pratik olarak pratik değildir.
Çizgilerin parametrik tanımı özellikle mekanikte sıklıkla kullanılır ve parametrenin rolü zaman tarafından oynanır.
Örnek 4. Yatayla a açısında başlangıç hızıyla bir toptan ateşlenen merminin yörüngesini belirleyelim. Maddi bir nokta olduğunu düşünerek hava direncini ve merminin boyutlarını ihmal ediyoruz.
Bir koordinat sistemi seçelim. Koordinatların başlangıç noktası olarak merminin namludan çıkış noktasını alalım. Ox eksenini yatay olarak, Oy eksenini ise dikey olarak yönlendirerek silah namlusu ile aynı düzleme yerleştirelim. Eğer yerçekimi kuvveti olmasaydı, mermi Ox ekseniyle bir açı yaparak düz bir çizgide hareket ederdi ve t zamanında merminin t zamanındaki koordinatları sırasıyla eşit olurdu. ile: . Yerçekimi nedeniyle, merminin bu ana kadar belirli bir miktarda dikey olarak alçalması gerekir. Bu nedenle, gerçekte, t zamanında, merminin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Bu denklemler sabit miktarlar içerir. T değiştiğinde mermi yörünge noktasındaki koordinatlar da değişecektir. Denklemler, parametrenin zaman olduğu mermi yörüngesinin parametrik denklemleridir.
İlk denklemden ifade etmek ve onu yerine koymak
ikinci denklemde mermi yörüngesinin denklemini şu şekilde elde ederiz: Bu bir parabol denklemidir.
