Hayatta sıklıkla matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalacağız: okulda, üniversitede ve ardından çocuğumuzun ev ödevlerine yardım etmek. Belirli mesleklerdeki insanlar matematikle günlük olarak karşılaşacaklardır. Bu nedenle matematik kurallarını ezberlemek veya hatırlamakta fayda var. Bu yazıda bunlardan birine bakacağız: Dik üçgenin kenarını bulma.

Dik üçgen nedir

Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Dik üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir ve bu şeklin açılarından biri 90 derecedir. Dik açıyı oluşturan kenarlara bacaklar, dik açının karşısındaki kenara ise hipotenüs adı verilir.

Dik üçgenin ayağını bulma

Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak ele almak istiyorum.

Dik üçgenin kenarını bulmak için Pisagor teoremi

Hipotenüsü ve kenarı biliyorsak, bilinmeyen kenarın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b ise kenarlardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².

Örnek. Hipotenüs 5 cm, kenar ise 3 cm'dir. Formülü dönüştürüyoruz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Sonra çözüyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Dik üçgenin kenarını bulmak için trigonometrik oranlar

Bir dik üçgenin diğer kenarları ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir kenar da bulabilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonları kullanarak bir bacak bulmak için dört seçenek vardır: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant. Aşağıdaki tablo sorunları çözmemize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri değerlendirelim.

Sinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının sinüsü (sin), karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Formül: sin=a/c, burada a, verilen açının karşısındaki kenardır ve c, hipotenüstür. Daha sonra formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a=sin*c.

Örnek. Hipotenüs 10 cm ve A açısı 30 derecedir. Tabloyu kullanarak A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Daha sonra dönüştürülmüş formülü kullanarak şunu çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Kosinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının kosinüsü (cos), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Formül: cos=b/c, burada b, belirli bir açıya bitişik kenardır ve c, hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.

Örnek. A açısı 60 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Teğet kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının tanjantı (tg), karşı tarafın bitişik kenara oranıdır. Formül: tg=a/b, burada a, açının karşısındaki kenardır ve b, bitişik kenardır. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.

Örnek. A açısı 45 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının tanjantını hesaplıyoruz, şuna eşittir: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm)'dir.

Kotanjant kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Açı kotanjantı (ctg), bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Formül: ctg=b/a, burada b, açıya bitişik bacak ve karşı bacaktır. Başka bir deyişle, kotanjant "tersine çevrilmiş bir teğettir". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.

Örnek. A açısı 30 derece, karşı kenar ise 5 cm'dir. Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesaplıyoruz: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Artık dik üçgende bir bacağı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Gördüğünüz gibi o kadar da zor değil, asıl önemli olan formülleri hatırlamak.

Çevrimiçi hesap makinesi.
Üçgen çözme.

Bir üçgeni çözmek, üçgeni tanımlayan herhangi üç öğeden altı öğesinin tamamını (yani üç kenar ve üç açı) bulmaktır.

Bu matematik programı, kullanıcı tarafından belirlenen \(a\) kenarından \(b, c\) kenarlarını ve \(\alpha \) açısını ve iki komşu açı \(\beta \) ve \(\gamma \)'yi bulur.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm bulma sürecini de gösteriyor.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, ortaokullardaki lise öğrencileri için testlere ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları

Sayılar yalnızca tam sayı olarak değil kesirli olarak da belirtilebilir.
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin 2,5 veya 2,5 gibi ondalık kesirleri girebilirsiniz.

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Sinüs teoremi

Teorem

Bir üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinüs teoremi

Teorem
ABC üçgeninde AB = c, BC = a, CA = b olsun. Daha sonra
Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından eksi bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Üçgenleri çözme

Bir üçgeni çözmek, üçgeni tanımlayan herhangi üç öğeden altı öğesinin tamamını (yani üç kenar ve üç açı) bulmak anlamına gelir.

Bir üçgenin çözülmesiyle ilgili üç probleme bakalım. Bu durumda ABC üçgeninin kenarları için şu notasyonu kullanacağız: AB = c, BC = a, CA = b.

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgeni çözme

Verilen: \(a, b, \angle C\). \(c, \açı A, \açı B\)'yi bulun

Çözüm
1. Kosinüs teoremini kullanarak \(c\)'yi buluruz:

3. \(\açı B = 180^\daire -\açı A -\açı C\)

Bir üçgeni yan ve komşu açılarıyla çözme

Verilen: \(a, \angle B, \angle C\). \(\A açısı A, b, c\)'yi bulun

Çözüm
1. \(\açı A = 180^\circ -\angle B -\angle C\)

Üç kenarı kullanarak üçgen çözme

Verilen: \(a, b, c\). \(\açı A, \açı B, \açı C\)'yi bulun

Çözüm
1. Kosinüs teoremini kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Benzer şekilde B açısını da buluyoruz.
3. \(\açı C = 180^\daire -\açı A -\açı B\)

İki kenarı ve bilinen bir kenarın karşısındaki açıyı kullanarak bir üçgeni çözme

Verilen: \(a, b, \angle A\). \(c, \B açısı, \C açısı\)'nı bulun

Çözüm
1. Sinüs teoremini kullanarak \(\sin B\)'yi buluruz:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Gösterimi tanıtalım: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D sayısına bağlı olarak aşağıdaki durumlar mümkündür:
Eğer D > 1 ise böyle bir üçgen mevcut değildir çünkü \(\sin B\) 1'den büyük olamaz
D = 1 ise, benzersiz bir \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \) vardır.
If D If D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

3. Sinüs teoremini kullanarak c tarafını hesaplıyoruz:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Birincisi dik açıya bitişik olan bölümlerdir ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90 derecelik açının karşısında yer alır. Pisagor üçgeni, kenarları doğal sayılara eşit olan üçgendir; bu durumda uzunluklarına “Pisagor üçlüsü” adı verilir.

Mısır üçgeni

Şimdiki neslin geometriyi şu anda okullarda öğretildiği şekliyle tanıyabilmesi için, geometri birkaç yüzyıl boyunca gelişmiştir. Temel nokta Pisagor teoremi olarak kabul edilir. Dikdörtgenin kenarlarının 3, 4, 5 olduğu tüm dünyada bilinmektedir.

Çok az insan "Pisagor pantolonları her yöne eşittir" ifadesine aşina değildir. Ancak gerçekte teorem şöyle görünür: c 2 (hipotenüsün karesi) = a 2 + b 2 (bacakların karelerinin toplamı).

Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m vb.) olan üçgene “Mısırlı” denir. İlginç olan şekilde yazılı olanın bire eşit olmasıdır. İsim, Yunan filozoflarının Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.

Piramitleri inşa ederken mimarlar ve araştırmacılar 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, görünümü hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.

İnşaatçılar dik açı oluşturmak için üzerine 12 düğümlü bir halat kullandılar. Bu durumda dik üçgen oluşturma olasılığı %95'e çıkmıştır.

Rakamların eşitliğinin işaretleri

• İkinci üçgendeki aynı elemanlara eşit olan dik üçgendeki dar açı ve uzun kenar, rakamların eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını dikkate alarak ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dolayısıyla ikinci kritere göre üçgenler aynıdır.
• İki rakamı üst üste bindirirken, onları birleştirdiklerinde tek bir ikizkenar üçgen olacak şekilde döndürüyoruz. Özelliğine göre kenarlar, daha doğrusu hipotenüsler eşittir, tabandaki açılar da eşittir, yani bu şekiller aynıdır.

İlk işarete dayanarak, üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır; asıl mesele, iki küçük tarafın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.

Özü bacağın eşitliği ve dar açı olan ikinci kritere göre üçgenler aynı olacaktır.

Dik açılı bir üçgenin özellikleri

Dik açıdan alçaltılan yükseklik, figürü iki eşit parçaya böler.

Bir dik üçgenin kenarları ve medyanı şu kuralla kolaylıkla tanınabilir: Hipotenüs üzerine yerleştirilen medyan bunun yarısına eşittir. hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.

Bir dik üçgende 30°, 45° ve 60° açıların özellikleri geçerlidir.

• 30° açıyla karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağı unutulmamalıdır.
• Açı 45° ise ikinci dar açı da 45° olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
• 60°lik açının özelliği üçüncü açının ölçüsünün 30° olmasıdır.

Alan, üç formülden biri kullanılarak kolayca bulunabilir:

1. yükseklik ve alçaldığı taraf boyunca;
2. Heron'un formülüne göre;
3. yanlarda ve aralarındaki açıda.

Dik üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacakları iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni dikkate almak ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak alanın iki katı ile hipotenüs uzunluğu arasında da bir ilişki vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiği için ilk ifadedir.

Dik üçgene uygulanan teoremler

Sağ üçgen geometrisi aşağıdaki gibi teoremlerin kullanımını içerir:

Geometride açı, bir noktadan (açının tepe noktasından) çıkan iki ışının oluşturduğu şekildir. Açılar çoğunlukla derece cinsinden ölçülür; tam açı veya devrim 360 derecedir. Çokgenin türünü ve diğer açılarının büyüklüğünü veya dik üçgen söz konusu olduğunda iki kenarının uzunluğunu biliyorsanız, çokgenin açısını hesaplayabilirsiniz.

Adımlar

Çokgen Açılarının Hesaplanması

Çokgenin açı sayısını sayın.

Çokgenin tüm açılarının toplamını bulun. Bir çokgenin tüm iç açılarının toplamını bulma formülü (n - 2) x 180'dir; burada n, çokgenin kenar sayısı ve açılarıdır. Yaygın olarak karşılaşılan bazı çokgenlerin açı toplamları şunlardır:

• Bir üçgenin (üç kenarlı çokgen) açılarının toplamı 180 derecedir.
• Bir dörtgenin (dört kenarlı çokgen) açılarının toplamı 360 derecedir.
• Bir beşgenin (beş kenarlı çokgen) açılarının toplamı 540 derecedir.
• Bir altıgenin (altı kenarlı çokgen) açılarının toplamı 720 derecedir.
• Bir sekizgenin (sekiz kenarlı çokgen) açılarının toplamı 1080 derecedir.

1. Çokgenin düzenli olup olmadığını belirleyin. Düzgün çokgen, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu bir çokgendir. Düzenli çokgen örnekleri arasında bir eşkenar üçgen ve bir kare yer alır; Washington'daki Pentagon ise normal bir beşgen şeklinde inşa edilmiştir ve bir dur işareti normal bir sekizgen şeklindedir.

   Bir çokgenin bilinen açılarını toplayın ve sonra bu toplamı tüm açıların toplamından çıkarın. Bu tür geometri problemlerinin çoğu, daha az girdi verisi gerektirdiğinden üçgenler veya dörtgenlerle ilgilidir; biz de aynısını yapacağız.

   • Bir üçgenin iki açısı sırasıyla 60 dereceye ve 80 dereceye eşitse bu sayıları ekleyin. Sonuç 140 derece olacaktır. Daha sonra bu miktarı üçgenin tüm açılarının toplamından, yani 180 dereceden çıkarın: 180 - 140 = 40 derece. (Tüm açıları eşit olmayan üçgene eşkenar üçgen denir.)
   • Bu çözümü a = 180 - (b + c) formülüyle yazabilirsiniz; burada a, değerinin bulunması gereken açı, b ve c ise bilinen açıların değerleridir. Üçten fazla kenarı olan çokgenler için, 180 değerini o türdeki çokgenin açılarının toplamıyla değiştirin ve bilinen her açı için parantez içindeki toplama bir terim ekleyin.
   • Bazı çokgenlerin, bilinmeyen bir açıyı hesaplamanıza yardımcı olacak kendi "püf noktaları" vardır. Örneğin ikizkenar üçgen, iki kenarı ve iki açısı eşit olan bir üçgendir. Paralelkenar, karşılıklı kenarları ve zıt açıları eşit olan bir dörtgendir.

   Dik üçgenin açılarının hesaplanması

   1. Hangi verileri bildiğinizi belirleyin. Açılarından biri dik olduğundan dik üçgen denir. Aşağıdakilerden birini biliyorsanız, kalan iki açıdan birinin büyüklüğünü bulabilirsiniz:

      Hangi trigonometrik fonksiyonun kullanılacağını belirleyin. Trigonometrik fonksiyonlar bir üçgenin üç kenarından ikisinin oranını ifade eder. Altı trigonometrik fonksiyon vardır, ancak en yaygın kullanılanlar şunlardır:

İçinde yazılı olan daire (r). Bunu yapmak için altı kat artırın ve üçün kareköküne bölün: A = r*6/√3.

Yarıçapı (R) bilerek uzunluğu da hesaplayabilirsiniz. taraflar(A) doğru üçgen. Bu yarıçap, önceki formülde kullanılanın iki katıdır; bu nedenle onu üç katına çıkarın ve üçün kareköküne bölün: A = R*3/√3.

(P) eşkenar tarafından üçgen uzunluğunu hesapla taraflar(A) bu şekildeki kenarların uzunlukları aynı olduğundan daha da basittir. Çevreyi üçe bölmeniz yeterli: A = P/3.

İkizkenar üçgende uzunluğun hesaplanması taraflar bilinen bir çevre boyunca bu biraz daha karmaşıktır - ayrıca kenarlardan en az birinin uzunluğunu da bilmeniz gerekir. Uzunluğu biliniyorsa taraflarŞeklin tabanında yatan A, herhangi bir kenarın (B) uzunluğunu, çevre (P) ile tabanın boyutu arasındaki farkın yarısı kadarını bulun: B = (P-A)/2. Ve eğer yan kenar biliniyorsa, kenar uzunluğunun iki katını çevreden çıkararak tabanın uzunluğunu belirleyin: A = P-2*B.

Düzlemde düzgün bir üçgenin kapladığı alanı (S) bilmek onun uzunluğunu bulmak için de yeterlidir. taraflar(A). Alanın üçün köküne oranının karekökünü alın ve sonucu ikiye katlayın: A = 2*√(S/√3).

Herhangi bir kenardan birinin uzunluğunu hesaplamak için diğer ikisinin uzunluklarını bilmek yeterlidir. Gerekli kenar (C) ise, bunu yapmak için bilinen kenarların (A ve B) uzunluklarının karekökünü bulun: C = √(A²+B²). Bacaklardan birinin uzunluğunu hesaplamanız gerekiyorsa, hipotenüs ve diğer bacağın uzunluklarından karekök alınmalıdır: A = √(C²-B²).

Kaynaklar:

• eşkenar üçgenin kenarı nasıl hesaplanır

Genel durumda, yani. Bir üçgenin eşkenar, ikizkenar veya dik olup olmadığına dair bir bilgi olmadığında kenarlarının uzunluklarını hesaplamak için trigonometrik fonksiyonları kullanmak zorunda kalırız. Uygulama kuralları sinüs, kosinüs ve teğet teoremi adı verilen teoremlerle belirlenir.

Talimatlar

Rastgele bir kenarın uzunluğunu hesaplamanın bir yolu üçgen sinüs teoremlerini varsayar. Buna göre karşılarındaki açıların kenar uzunluklarının oranı üçgen eşittir. Bu, problemin koşullarından en az bir kenarın ve şeklin köşelerindeki iki açının bilindiği durumlar için bir kenarın uzunluğu için bir formül türetmemize olanak sağlar. Bu iki açıdan (α ve β) hiçbiri bilinen A tarafı ile hesaplanan B tarafı arasında değilse, bilinen tarafın uzunluğunu komşu bilinen β açısının sinüsüyle çarpın ve diğer bilinen açının sinüsüne bölün. a: B = A*sin(β)/sin(α).

Bilinen iki (α ve γ) açıdan biri (γ) oluşuyorsa, birinin uzunluğu (A) cinsinden veriliyorsa ve ikincisinin (B) hesaplanması gerekiyorsa aynı teoremi uygulayın. Bir üçgendeki açıların toplamına ilişkin teoremi de hatırlarsak, çözüm önceki adımda elde edilen formüle indirgenebilir - bu değer her zaman 180°'dir. Bu teoremi kullanarak bilinen iki açının değerlerinin 180°'den çıkarılmasıyla hesaplanabilen formülde β açısı bilinmiyor. Bu değeri denklemde yerine koyarsanız B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α) formülünü elde edersiniz.