Dik ise vektörü bulun. Belirli bir vektöre dik bir vektör bulma, örnekler ve çözümler

Bu makale, üç boyutlu uzayda bir düzlem üzerindeki iki vektörün dikliğinin anlamını ve bir veya bir vektör çiftinin tamamına dik bir vektörün koordinatlarını bulmayı ortaya koymaktadır. Konu, doğru ve düzlem denklemlerini içeren problemlere uygulanabilir.

İki vektörün dikliği için gerekli ve yeterli koşulu ele alacağız, verilen bir vektöre dik bir vektör bulma yöntemini çözeceğiz ve iki vektöre dik bir vektör bulma durumlarına değineceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İki vektörün dikliği için gerekli ve yeterli koşul

Düzlemde ve üç boyutlu uzayda dik vektörlerle ilgili kuralı uygulayalım.

Tanım 1

Sıfır olmayan iki vektör arasındaki açının 90°'ye eşit olması koşuluyla (π 2 radyan) denir. dik.

Bu ne anlama geliyor ve hangi durumlarda dikliklerini bilmek gerekir?

Çizim yoluyla diklik oluşturmak mümkündür. Bir vektörü belirli noktalardan bir düzlem üzerinde çizerken, aralarındaki açıyı geometrik olarak ölçebilirsiniz. Vektörlerin dikliği belirlense bile bu tamamen doğru olmayacaktır. Çoğu zaman, bu görevler bunu bir iletki kullanarak yapmanıza izin vermez, bu nedenle bu yöntem yalnızca vektörler hakkında başka hiçbir şey bilinmediğinde uygulanabilir.

Bir düzlemde veya uzayda sıfır olmayan iki vektörün dikliğini kanıtlamanın çoğu durumu şu şekilde yapılır: İki vektörün dikliği için gerekli ve yeterli koşul.

Teorem 1

a → , b → = 0 eşitliğini sağlamak için sıfır olmayan iki a → ve b → vektörünün sıfıra eşit skaler çarpımı, bunların dikliği için yeterlidir.

Kanıt 1

Verilen a → ve b → vektörlerinin dik olmasına izin verin, o zaman a ⇀, b → = 0 eşitliğini ispatlayacağız.

Tanımından vektörlerin nokta çarpımı eşit olduğunu biliyoruz verilen vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımı. Koşul gereği, a → ve b → diktir, bu da tanıma göre aralarındaki açının 90 ° olduğu anlamına gelir. O halde a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0'a sahibiz.

Kanıtın ikinci kısmı

a ⇀, b → = 0 olması koşuluyla, a → ve b →'nin dikliğini kanıtlayın.

Aslında kanıt öncekinin tam tersidir. a → ve b →'nin sıfır olmadığı bilinmektedir; bu, a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ eşitliğinden kosinüsü bulduğumuz anlamına gelir. Sonra cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 elde ederiz. Kosinüs sıfır olduğundan, a → ve b → vektörlerinin a →, b → ^ açısının 90 °'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz. Tanım gereği bu gerekli ve yeterli bir özelliktir.

Koordinat düzleminde diklik koşulu

Bölüm koordinatlarda skaler çarpım(a → , b →) = a x · b x + a y · b y eşitsizliğini gösterir; a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) koordinatlarına sahip vektörler için geçerlidir ve düzlemde ve (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y uzaydaki a → = (a x , a y , a z) ve b → = (b x , b y , b z) vektörleri için. Koordinat düzleminde iki vektörün dikliği için gerekli ve yeterli koşul a x · b x + a y · b y = 0'dır, üç boyutlu uzay için a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Bunu uygulamaya koyalım ve örneklere bakalım.

Örnek 1

İki a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) vektörünün diklik özelliğini kontrol edin.

Çözüm

Bu sorunu çözmek için skaler çarpımı bulmanız gerekir. Koşula göre sıfıra eşitse, bunlar diktir.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Koşul karşılanmıştır; bu, verilen vektörlerin düzleme dik olduğu anlamına gelir.

Cevap: evet, verilen a → ve b → vektörleri diktir.

Örnek 2

Koordinat vektörleri i → , j → , k → verilmiştir. i → - j → ve i → + 2 · j → + 2 · k → vektörlerinin dik olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm

Vektör koordinatlarının nasıl belirlendiğini hatırlamak için şu makaleyi okumalısınız: Dikdörtgen koordinat sisteminde vektör koordinatları. Böylece, verilen i → - j → ve i → + 2 · j → + 2 · k → vektörlerinin karşılık gelen (1, - 1, 0) ve (1, 2, 2) koordinatlarına sahip olduğunu buluruz. Sayısal değerleri yerine koyarız ve şunu elde ederiz: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

İfade sıfıra eşit değildir, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, bu da i → - j → ve i → + 2 j → + 2 k → vektörlerinin olduğu anlamına gelir. şartı sağlanmadığı için dik değildir.

Cevap: hayır, i → - j → ve i → + 2 · j → + 2 · k → vektörleri dik değildir.

Örnek 3

a → = (1, 0, - 2) ve b → = (λ, 5, 1) vektörleri verilmiştir. Bu vektörlerin dik olduğu λ değerini bulun.

Çözüm

Uzayda iki vektörün diklik koşulunu kare biçiminde kullanırsak, şunu elde ederiz:

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Cevap: vektörler λ = 2 değerinde diktir.

Gerekli ve yeterli koşullar altında bile diklik sorununun imkansız olduğu durumlar vardır. İki vektör üzerindeki bir üçgenin üç kenarına ilişkin bilinen veriler göz önüne alındığında, şunu bulmak mümkündür: vektörler arasındaki açı ve kontrol edin.

Örnek 4

Kenarları A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm olan bir A B C üçgeni verildiğinde, A B → ve A C → vektörlerinin dikliğini kontrol edin.

Çözüm

A B → ve A C → vektörleri dik ise, A B C üçgeni dikdörtgen olarak kabul edilir. Daha sonra BC'nin üçgenin hipotenüsü olduğu Pisagor teoremini uyguluyoruz. B C 2 = A B 2 + A C 2 eşitliği doğru olmalıdır. Buradan 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 çıkar. Bu, A B ve A C'nin A B C üçgeninin bacakları olduğu anlamına gelir, dolayısıyla A B → ve A C → diktir.

Belirli bir vektöre dik olan bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağını öğrenmek önemlidir. Bu, vektörlerin dik olması koşuluyla hem düzlemde hem de uzayda mümkündür.

Bir düzlemde verilen bir vektöre dik olan bir vektörün bulunması.

Sıfırdan farklı bir vektör a → düzlemde sonsuz sayıda dik vektöre sahip olabilir. Bunu koordinat çizgisi üzerinde gösterelim.

Sıfırdan farklı bir vektör verildiğinde → a düz çizgisi üzerinde yer almaktadır. Daha sonra, a doğrusuna dik herhangi bir doğru üzerinde bulunan belirli bir b →, a →'ya dik hale gelir. i → vektörü j → vektörüne veya λ · j → vektörlerinden herhangi birine dikse ve λ sıfır dışında herhangi bir gerçek sayıya eşitse, o zaman b → vektörünün a → = (a x , a y)'ye dik koordinatlarını bulma ) sonsuz çözüm kümesine indirgenir. Ancak a → = (a x , a y)'ye dik olan vektörün koordinatlarını bulmak gerekir. Bunu yapmak için, vektörlerin diklik koşulunu aşağıdaki biçimde yazmak gerekir: a x · b x + a y · b y = 0. Dik vektörün istenen koordinatları olan b x ve b y'ye sahibiz. a x ≠ 0 olduğunda, b y'nin değeri sıfır değildir ve b x, a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x eşitsizliğinden hesaplanabilir. a x = 0 ve a y ≠ 0 için b x'e sıfır dışında herhangi bir değer atarız ve b y = - a x · b x a y ifadesinden b y'yi buluruz.

Örnek 5

Koordinatları a → = (- 2 , 2) olan bir vektör verildiğinde. Buna dik bir vektör bulun.

Çözüm

İstenilen vektörü b → (b x , b y) olarak gösterelim. Koordinatları a → ve b → vektörlerinin dik olması koşulundan bulunabilir. O zaman şunu elde ederiz: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . b y = 1'i atayıp yerine şunu koyalım: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Dolayısıyla formülden b x = - 2 - 2 = 1 2 elde ederiz. Bu, b → = (1 2 , 1) vektörünün a → 'ye dik bir vektör olduğu anlamına gelir.

Cevap: b → = (1 2 , 1) .

Üç boyutlu uzayla ilgili soru sorulursa sorun aynı prensibe göre çözülür. Belirli bir a → = (a x, a y, a z) vektörü için sonsuz sayıda dik vektör vardır. Bunu üç boyutlu koordinat düzleminde düzelteceğiz. Verilen a → a doğrusu üzerinde uzanıyor. a düzlüğüne dik olan düzlem α ile gösterilir. Bu durumda, α düzleminden sıfır olmayan herhangi bir b → vektörü a →'ya diktir.

b → sıfır olmayan vektör a → = (a x , a y , a z)'ye dik olan koordinatları bulmak gerekir.

b → b x , b y ve b z koordinatlarıyla verilsin. Bunları bulmak için iki vektörün diklik koşulu tanımını uygulamak gerekir. a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 eşitliği sağlanmalıdır. Koşuldan a → sıfır değildir, bu, koordinatlardan birinin sıfıra eşit olmayan bir değere sahip olduğu anlamına gelir. a x ≠ 0, (a y ≠ 0 veya a z ≠ 0) olduğunu varsayalım. Dolayısıyla a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 eşitsizliğinin tamamını bu koordinata bölme hakkına sahibiz, b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y ifadesini elde ederiz + a z · b z a x . b y ve b x koordinatlarına herhangi bir değer atarız, b x = - a y · b y + a z · b z a x formülüne göre b x'in değerini hesaplarız. İstenilen dik vektör a → = (a x, a y, a z) değerine sahip olacaktır.

Bir örnek kullanarak kanıta bakalım.

Örnek 6

Koordinatları a → = (1, 2, 3) olan bir vektör verildiğinde. Verilene dik bir vektör bulun.

Çözüm

İstenilen vektörü b → = (b x , b y , b z) ile gösterelim. Vektörlerin dik olması koşuluna göre skaler çarpım sıfıra eşit olmalıdır.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

b y = 1, b z = 1'in değeri ise b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Buradan b → (- 5 , 1 , 1) vektörünün koordinatları çıkar. Vektör b → verilene dik vektörlerden biridir.

Cevap: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Verilen iki vektöre dik bir vektörün koordinatlarını bulma

Üç boyutlu uzayda vektörün koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Doğrusal olmayan a → (a x , a y , a z) ve b → = (b x , b y , b z) vektörlerine diktir. a → ve b → vektörlerinin eşdoğrusal olması koşuluyla problemde a → veya b →'ye dik bir vektör bulmak yeterli olacaktır.

Çözerken vektörlerin vektör çarpımı kavramı kullanılır.

Vektörlerin vektör çarpımı a → ve b →, hem a → hem de b →'ye aynı anda dik olan bir vektördür. Bu sorunu çözmek için a → × b → vektör çarpımı kullanılır. Üç boyutlu uzay için a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z şeklindedir

Örnek bir problem kullanarak vektör çarpımına daha detaylı bakalım.

Örnek 7

b → = (0, 2, 3) ve a → = (2, 1, 0) vektörleri verilmiştir. Verilere dik olan herhangi bir vektörün koordinatlarını aynı anda bulun.

Çözüm

Çözmek için vektörlerin vektör çarpımını bulmanız gerekir. (Lütfen paragrafa bakın bir matrisin determinantının hesaplanması vektörü bulmak için). Şunu elde ederiz:

a → × b → = ben → j → k → 2 1 0 0 2 3 = ben → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 ben → + (- 6) j → + 4 k →

Cevap: (3 , - 6 , 4) - verilen a → ve b →'ye aynı anda dik olan bir vektörün koordinatları.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Talimatlar

Orijinal vektör çizimde dikdörtgen iki boyutlu bir koordinat sisteminde tasvir edilmişse ve burada dikey bir vektör oluşturulması gerekiyorsa, bir düzlemdeki vektörlerin diklik tanımından devam edin. Böyle bir yönlendirilmiş parça çifti arasındaki açının 90°'ye eşit olması gerektiğini belirtir. Bu tür vektörlerden sonsuz sayıda oluşturulabilir. Bu nedenle, düzlem üzerinde herhangi bir uygun yere orijinal vektöre dik bir çizin, üzerine belirli bir sıralı nokta çiftinin uzunluğuna eşit bir parça yerleştirin ve uçlarından birini dik vektörün başlangıcı olarak atayın. Bunu bir iletki ve cetvel kullanarak yapın.

Orijinal vektör iki boyutlu koordinatlar ā = (X₁;Y₁) ile veriliyorsa, bir çift dik vektörün skaler çarpımının sıfıra eşit olması gerektiğini varsayalım. Bu, istenen vektör için (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 eşitliğini sağlayacak koordinatları seçmeniz gerektiği anlamına gelir. Bu şu şekilde yapılabilir: herhangi birini seçin. X₂ koordinatı için sıfır olmayan bir değer belirleyin ve Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ formülünü kullanarak Y₂ koordinatını hesaplayın. Örneğin, ā = (15;5) vektörü için apsisi bire ve ordinatı -(15*1)/5 = -3'e eşit olan bir ō vektörü olacaktır; ö = (1;-3).

Üç boyutlu ve diğer herhangi bir ortogonal koordinat sistemi için, vektörlerin dikliği için aynı gerekli ve yeterli koşul doğrudur; bunların skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır. Bu nedenle, eğer başlangıçtaki yönlendirilmiş parça ā = (X₁,Y₁,Z₁) koordinatlarıyla veriliyorsa, ona dik olan sıralı nokta çifti için (ā,ō) koşulunu sağlayan koordinatları seçin. ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. En kolay yol, X₂ ve Y₂'ye tek değerler atamak ve Z₂'yi basitleştirilmiş Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* eşitliğinden) hesaplamaktır. 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Örneğin, ā = (3,5,4) vektörü için bu şu formu alacaktır: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Daha sonra apsisi ve koordinatını alın. dik vektör birdir ve bu durumda -(3+5)/4 = -2'ye eşit olacaktır.

Kaynaklar:

Dik ise vektörü bulun

Bunlara dik denir vektör arasındaki açı 90°'dir. Dik vektörler çizim araçları kullanılarak oluşturulur. Koordinatları biliniyorsa, vektörlerin dikliği analitik yöntemler kullanılarak kontrol edilebilir veya bulunabilir.

İhtiyacın olacak

- iletki;
- pusula;
- cetvel.

Talimatlar

Verilen vektöre dik bir vektör oluşturun. Bunu yapmak için, vektörün başlangıcı olan noktaya ona dik bir çizgi çizin. Bu, 90°'lik bir açı ayarlayan bir iletki kullanılarak yapılabilir. İletkiniz yoksa bunu yapmak için pusula kullanın.

Bunu vektörün başlangıç noktasına ayarlayın. İsteğe bağlı yarıçapa sahip bir daire çizin. Daha sonra, ilk dairenin vektörün bulunduğu çizgiyle kesiştiği noktalarda merkezleri olan iki tane oluşturun. Bu dairelerin yarıçapları birbirine eşit ve oluşturulan ilk daireden daha büyük olmalıdır. Dairelerin kesişme noktalarında, başlangıç noktasındaki orijinal vektöre dik olacak bir düz çizgi çizin ve üzerine buna dik bir vektör çizin.

ohm Bunu yapmak için öncelikle segment kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 1

Her iki tarafı da noktalarla sınırlanan bir doğru parçasına segment adını vereceğiz.

Tanım 2

Bir segmentin uçları onu sınırlayan noktalardır.

Bir vektörün tanımını tanıtmak için, bir parçanın uçlarından birine başlangıcı diyelim.

Tanım 3

Sınır noktası başlangıcı ve sonu olan bir doğru parçasına vektör (yönlendirilmiş parça) adını vereceğiz.

Gösterim: \overline(AB), A noktasında başlayıp B noktasında biten bir AB vektörüdür.

Aksi halde küçük bir harfle: \overline(a) (Şekil 1).

Tanım 4

Düzlemin herhangi bir noktasına sıfır vektörü adını vereceğiz.

Sembol: \overline(0) .

Şimdi doğrudan eşdoğrusal vektörlerin tanımını verelim.

Daha sonra ihtiyaç duyacağımız skaler çarpımın tanımını da tanıtacağız.

Tanım 6

Verilen iki vektörün skaler çarpımı, bu iki vektörün uzunluklarının bu vektörler arasındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşit olan bir skalerdir (veya sayıdır).

Matematiksel olarak şöyle görünebilir:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Nokta çarpımı aşağıdaki gibi vektör koordinatları kullanılarak da bulunabilir.

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Orantılılık yoluyla diklik işareti

Teorem 1

Sıfır olmayan vektörlerin birbirine dik olabilmesi için bu vektörlerin skaler çarpımlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

Gereklilik: Bize koordinatları (α_1,α_2,α_3) ve (β_1,β_2,β_3) olan ve birbirlerine dik olan \overline(α) ve \overline(β) vektörleri verilsin. O halde aşağıdaki eşitliği kanıtlamamız gerekir.

\overline(α) ve \overline(β) vektörleri dik olduğundan aralarındaki açı 90^0'dır. Tanım 6'daki formülü kullanarak bu vektörlerin skaler çarpımını bulalım.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Yeterlilik: Eşitliğin doğru olmasına izin verin \overline(α)\cdot \overline(β)=0. \overline(α) ve \overline(β) vektörlerinin birbirine dik olacağını kanıtlayalım.

Tanım 6'ya göre eşitlik doğru olacaktır

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Bu nedenle \overline(α) ve \overline(β) vektörleri birbirine dik olacaktır.

Teorem kanıtlandı.

Örnek 1

(1,-5,2) ve (2,1,3/2) koordinatlarına sahip vektörlerin dik olduğunu kanıtlayın.

Kanıt.

Yukarıda verilen formülü kullanarak bu vektörlerin skaler çarpımını bulalım.

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Bu, Teorem 1'e göre bu vektörlerin dik olduğu anlamına gelir.

Çapraz çarpımı kullanarak verilen iki vektöre dik bir vektör bulma

Öncelikle vektör çarpımı kavramını tanıtalım.

Tanım 7

İki vektörün vektör çarpımı, verilen her iki vektöre dik olacak bir vektör olacak ve uzunluğu, bu vektörlerin uzunluklarının, bu vektörler arasındaki açının sinüsü ile çarpımına ve ayrıca bu vektörün iki ile çarpımına eşit olacaktır. ilk olanlar Kartezyen koordinat sistemiyle aynı yönelime sahiptir.

Tanım: \overline(α)х\overline(β) x.

Vektör çarpımını bulmak için formülü kullanacağız

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

İki vektörün çapraz çarpımının vektörü bu vektörlerin her ikisine de dik olduğundan vektör olacaktır. Yani, iki vektöre dik bir vektör bulmak için onların vektör çarpımını bulmanız yeterlidir.

Örnek 2

Koordinatları \overline(α)=(1,2,3) ve \overline(β)=(-1,0,3) olan vektörlere dik bir vektör bulun

Bu vektörlerin vektörel çarpımını bulalım.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2)x

Soruyla ilgili bölümde yazar tarafından verilen iki vektöre dik bir vektör bulun Anna Afanasyeva en iyi cevap şudur: Paralel olmayan iki vektöre dik bir vektör, onların vektör çarpımı xb olarak bulunur, bunu bulmak için, ilk satırı I, j, k birim vektörlerinden oluşacak bir determinant oluşturmanız gerekir. ikincisi - a vektörünün koordinatlarından, üçüncüsü - b vektörünün koordinatlarından. Belirleyicinin ilk çizgi boyunca bir genişleme olduğu kabul edilir, sizin durumunuzda akhv=20i-10k veya ahv=(20,0,-10) elde edersiniz.

Yanıtlayan: 22 cevap[guru]

Merhaba! İşte sorunuzun yanıtlarını içeren bir dizi konu: verilen iki vektöre dik bir vektör bulma

Yanıtlayan: uzanmak[acemi]
Paralel olmayan iki vektöre dik bir vektör, vektör çarpımı xb olarak bulunur, onu bulmak için, ilk satırı koordinatlardan I, j, k birim vektörlerinden oluşacak olan bir determinant oluşturmanız gerekir. a vektörünün üçüncüsü - b vektörünün koordinatlarından. Belirleyicinin ilk çizgi boyunca bir genişleme olduğu kabul edilir, sizin durumunuzda akhv=20i-10k veya ahv=(20,0,-10) elde edersiniz.

Yanıtlayan: HAYKA[guru]
Kabaca şu şekilde çözelim; Ama önce her şeyi kendiniz okuyun!! !
d=-c+a+2b ise d ve r vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayın; r=-b+2a.
A vektörünün modülü 4, b vektörünün modülü 6'dır. a ve b vektörleri arasındaki açı 60 derecedir, c vektörü a ve b vektörlerine diktir.
E ve F noktaları ABCD paralelkenarının sırasıyla AD ve BC kenarlarında yer alır; AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) EF vektörünü m = AB vektörü ve n = AD vektörü cinsinden ifade edin. b) EF = x eşitlik vektörünün CD vektörü ile çarpımı x'in herhangi bir değerini tutabilir mi? .

Birim vektör: , burada – vektör modülü.

Cevap:
.

Not. Birim vektörün koordinatları birden fazla olmamalıdır.

6.3. Bir vektörün uzunluğunu ve yön kosinüslerini bulun . Önceki paragraftaki cevapla karşılaştırın. Sonuç çıkarın.

Bir vektörün uzunluğu onun modülüdür:

Ve vektörleri belirtmenin yollarından birinin formülünü kullanarak kosinüs yönünü bulabiliriz:

Bundan yön kosinüslerinin birim vektörün koordinatları olduğunu görüyoruz.

Cevap:
,
,
,
.

6.4. Bulmak
.

Bir vektörü bir sayı ile çarpma, toplama ve modül işlemlerini gerçekleştirmek gerekir.

Vektörlerin koordinatlarını bir sayı ile terim terim çarpıyoruz.

Vektörlerin koordinatlarını terim terim topluyoruz.

Vektörün modülünün bulunması.

Cevap:

6.5. Vektör koordinatlarını belirleyin
, vektöre eşdoğrusal bunu bilerek
ve vektörün tersi yönde yönlendirilir .

Vektör vektöre eşdoğrusal yani birim vektörü birim vektöre eşittir yalnızca eksi işaretiyle, çünkü ters yöne yönlendirildi.

Birim vektörün uzunluğu 1'e eşittir; bu, onu 5 ile çarparsanız uzunluğunun beşe eşit olacağı anlamına gelir.

Buluyoruz

Cevap:

6.6. Nokta Çarpımlarını Hesapla
Ve
. Vektörler dik mi? Ve ,Ve kendi aralarında mı?

Vektörlerin skaler çarpımını yapalım.

Vektörler dik ise skaler çarpımları sıfırdır.

Bizim durumumuzda vektörlerin olduğunu görüyoruz. Ve dik.

Cevap:
,
vektörler dik değildir.

Not. Skaler çarpımın geometrik anlamı pratikte pek kullanışlı değildir, ancak hala mevcuttur. Böyle bir eylemin sonucu geometrik olarak gösterilebilir ve hesaplanabilir.

6.7. Bir kuvvetin uygulandığı maddi bir noktanın yaptığı işi bulun
B noktasından C noktasına taşınırken.

Skaler çarpımın fiziksel anlamı iştir. Kuvvet vektörü burada , yer değiştirme vektörü
. Ve bu vektörlerin çarpımı gerekli iş olacaktır.

İş bulmak

6.8. Bir tepe noktasında iç açıyı bulun A ve dış tepe açısı C üçgen ABC .

Vektörlerin skaler çarpımının tanımından açıyı bulma formülünü elde ederiz: .

İÇİNDE
Bir noktadan çıkan vektörler arasındaki açı olarak iç açıyı arayacağız.

Dış açıyı bulmak için vektörleri bir noktadan çıkacak şekilde birleştirmeniz gerekir. Resim bunu açıklıyor.

şunu belirtmekte yarar var
, sadece farklı başlangıç koordinatlarına sahipler.

Gerekli vektörleri ve açıları bulma

Cevap: A köşesindeki iç açı = , B köşesindeki dış açı = .

6.9. Vektörlerin izdüşümlerini bulun: ve

Vektör vektörlerini hatırlayalım:
,
,
.

İzdüşüm aynı zamanda skaler çarpımdan da bulunur.

-projeksiyon B Açık A.

Daha önce elde edilen vektörler

,
,

Projeksiyonu bulma

İkinci projeksiyonu bulma

Cevap:
,

Not. Bir projeksiyon bulurken eksi işareti, projeksiyonun vektörün kendisine değil, ters yönde bu vektörün üzerinde bulunduğu çizgiye indiği anlamına gelir.

6.10. Hesaplamak
.

Vektörlerin vektör çarpımını yapalım

Modülü bulalım

Vektörlerin vektör çarpımının tanımından vektörler arasındaki açının sinüsünü buluyoruz

Cevap:
,
,
.

6.11. Bir üçgenin alanını bulun ABC ve C noktasından inen yüksekliğin uzunluğu.

Bir vektör çarpımının modülünün geometrik anlamı, bu vektörlerin oluşturduğu paralelkenarın alanı olmasıdır. Ve bir üçgenin alanı paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Bir üçgenin alanı aynı zamanda yüksekliğin ve tabanın çarpımı olarak ikiye bölünerek de bulunabilir; buradan yüksekliği bulma formülü elde edilebilir.

Böylece yüksekliği buluyoruz

Cevap:
,
.

6.12. Vektörlere dik birim vektörü bulun Ve .

Nokta çarpımın sonucu, iki orijinale dik olan bir vektördür. Birim vektör ise uzunluğuna bölünen bir vektördür.

Daha önce şunu bulduk:

Cevap:
.

6.13. Kuvvet momentinin büyüklüğünü ve yön kosinüslerini belirleyin
, C noktasına göre A'ya uygulanır.

Bir vektör çarpımının fiziksel anlamı kuvvet momentidir. Bu görev için bir örnek verelim.

Kuvvet anını bulma

Cevap:
.

6.14. Vektörler yalan mı söylüyor? ,Ve aynı düzlemde mi? Bu vektörler uzayın temelini oluşturabilir mi? Neden? Eğer yapabiliyorlarsa vektörü bu tabana genişletin
.

Vektörlerin aynı düzlemde olup olmadığını kontrol etmek için bu vektörlerin karışık çarpımının yapılması gerekir.

Karışık çarpım sıfıra eşit değildir, bu nedenle vektörler aynı düzlemde (eş düzlemde değil) yer almaz ve bir temel oluşturabilir. Haydi ayrıştıralım bu temelde.