Aralık yönteminin eşitsizlikleri çözmek için evrensel olduğu kabul edilir. Bazen bu yönteme boşluk yöntemi de denir. Hem tek değişkenli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için hem de diğer türdeki eşitsizlikleri çözmek için kullanılabilir. Materyalimizde konunun tüm yönlerine dikkat etmeye çalıştık.

Bu bölümde sizi neler bekliyor? Aralık yöntemini analiz edeceğiz ve bunu kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritmaları ele alacağız. Yöntemin uygulamasının dayandığı teorik yönlere değinelim.

Konunun genellikle okul müfredatında yer almayan nüanslarına özellikle dikkat ediyoruz. Örneğin, aralıklardaki işaretlerin düzenlenmesine ilişkin kuralları ve aralıkların yöntemini genel biçimde, rasyonel eşitsizliklerle bağlantısı olmadan ele alalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritma

Aralık yönteminin okul cebir dersinde nasıl tanıtıldığını kim hatırlıyor? Genellikle her şey f(x) formundaki eşitsizliklerin çözülmesiyle başlar.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >veya ≥). Burada f(x) bir polinom veya polinomların bir oranı olabilir. Polinom ise şu şekilde temsil edilebilir:

• x değişkeni için katsayısı 1 olan doğrusal binomların çarpımı;
• baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden üç terimlilerin ve köklerinin negatif diskriminantının çarpımı.

İşte bu tür eşitsizliklere bazı örnekler:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Bu tür eşitsizlikleri çözmek için örneklerde verdiğimiz gibi aralık yöntemini kullanarak bir algoritma yazalım:

• pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz, bunun için eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin pay ve paydasını sıfıra eşitleyip elde edilen denklemleri çözüyoruz;
• bulunan sıfırlara karşılık gelen noktaları belirleriz ve bunları koordinat ekseninde çizgilerle işaretleriz;
• ifade işaretlerini tanımla f(x) eşitsizliğin sol tarafından her aralıkta çözülüyor ve bunları grafiğe yerleştiriyoruz;
• aşağıdaki kurala göre grafiğin gerekli bölümlerine gölgeleme uygularız: eşitsizliğin işaretleri varsa< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >veya ≥ ise “+” işaretiyle işaretlenen alanları gölgelendirerek vurguluyoruz.

Çalışacağımız desen şematik bir görünüme sahip olabilir. Aşırı detaylar çizimi aşırı yükleyebilir ve çözülmesini zorlaştırabilir. Ölçekle çok az ilgileneceğiz. Koordinat değerleri arttıkça noktaların doğru lokasyonuna bağlı kalmak yeterli olacaktır.

Katı eşitsizliklerle çalışırken, merkezi doldurulmamış (boş) olan daire şeklindeki bir noktanın gösterimini kullanacağız. Kesin olmayan eşitsizlikler durumunda paydanın sıfırlarına karşılık gelen noktaları boş, geri kalan tüm noktaları ise sıradan siyah olarak göstereceğiz.

İşaretli noktalar koordinat çizgisini birkaç sayısal aralığa böler. Bu, aslında bu eşitsizliğin çözümü olan sayısal bir kümenin geometrik temsilini elde etmemizi sağlar.

Boşluk Yöntemi Bilimi

Aralık yönteminin altında yatan yaklaşım, sürekli bir fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır: fonksiyon, bu fonksiyonun sürekli olduğu ve yok olmadığı (a, b) aralığında sabit bir işaret tutar. Aynı özellik sayısal ışınların (− ∞ , a) ve (bir, + ∞).

Fonksiyonun bu özelliği, giriş sınavlarına hazırlık için birçok ders kitabında verilen Bolzano-Cauchy teoremi ile doğrulanmaktadır.

Aralıklardaki işaretin sabitliği, sayısal eşitsizliklerin özelliklerine dayanarak da gerekçelendirilebilir. Örneğin x - 5 x + 1 > 0 eşitsizliğini alın. Pay ve paydanın sıfırlarını bulup sayı doğrusuna çizersek bir dizi aralık elde ederiz: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ve (5 , + ∞) .

Aralıklardan herhangi birini alalım ve tüm aralık boyunca eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin sabit bir işarete sahip olacağını gösterelim. Bu (− ∞ , − 1) aralığı olsun. Bu aralıktan herhangi bir t sayısını alalım. Şartları yerine getirecek< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Hem sonuçta ortaya çıkan eşitsizlikleri hem de sayısal eşitsizliklerin özelliğini kullanarak t + 1 olduğunu varsayabiliriz.< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения T(− ∞ , − 1) aralığında.

Negatif sayıları bölme kuralını kullanarak t - 5 t + 1 ifadesinin değerinin pozitif olacağını söyleyebiliriz. Bu, x - 5 x + 1 ifadesinin değerinin herhangi bir değer için pozitif olacağı anlamına gelir X arasından (− ∞ , − 1) . Bütün bunlar, örnek olarak alınan aralıkta ifadenin sabit bir işarete sahip olduğunu iddia etmemizi sağlar. Bizim durumumuzda bu “+” işaretidir.

Pay ve paydanın sıfırlarını bulma

Sıfırları bulma algoritması basittir: pay ve paydadaki ifadeleri sıfıra eşitleriz ve elde edilen denklemleri çözeriz. Eğer zorluk yaşıyorsanız “Denklemleri çarpanlara ayırarak çözme” konusuna başvurabilirsiniz. Bu bölümde kendimizi sadece bir örneğe bakmakla sınırlayacağız.

x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 kesrini düşünün. Pay ve paydanın sıfırlarını bulmak için bunları sıfıra eşitleyerek denklemleri elde edip çözüyoruz: x (x − 0, 6) = 0 ve x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

İlk durumda, x = 0 ve x − 0, 6 = 0 olmak üzere iki denklem kümesine gidebiliriz, bu da bize 0 ve 0, 6 olmak üzere iki kök verir. Bunlar payın sıfırlarıdır.

İkinci denklem üç denklem kümesine eşdeğerdir x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Bir dizi dönüşüm gerçekleştiriyoruz ve x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0 elde ediyoruz. Birinci denklemin kökü 0, ikinci denklemin kökleri yoktur, negatif diskriminantlı olduğundan üçüncü denklemin kökü 5'tir. Bunlar paydanın sıfırlarıdır.

Bu durumda 0 hem payın sıfırı hem de paydanın sıfırıdır.

Genel olarak, bir eşitsizliğin sol tarafı mutlaka rasyonel olmayan bir kesir içerdiğinde, denklemleri elde etmek için pay ve payda da sıfıra eşittir. Denklemleri çözmek pay ve paydanın sıfırlarını bulmanızı sağlar.

Bir aralığın işaretini belirlemek basittir. Bunu yapmak için, belirli bir aralıkta rastgele seçilen herhangi bir nokta için eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin değerini bulabilirsiniz. Aralıkta keyfi olarak seçilen bir noktada ifade değerinin ortaya çıkan işareti, tüm aralığın işaretiyle çakışacaktır.

Bu açıklamaya bir örnekle bakalım.

Eşitsizliği x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 olarak alalım. Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin payında sıfır yoktur. Paydanın sıfırı - 3 sayısı olacaktır. Sayı doğrusunda iki aralık elde ediyoruz (− ∞ , − 3) ve (− 3 , + ∞) .

Aralıkların işaretlerini belirlemek için aralıkların her birinde keyfi olarak alınan noktalar için x 2 - x + 4 x + 3 ifadesinin değerini hesaplıyoruz.

İlk boşluktan (− ∞ , − 3) -4'ü alalım. Şu tarihte: x = − 4 elimizde (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 var. Negatif bir değer aldık; bu, tüm aralığın “-” işaretine sahip olacağı anlamına gelir.

boşluk için (− 3 , + ∞) Sıfır koordinatlı bir nokta ile hesaplamalar yapalım. x = 0'da 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 elde ederiz. Pozitif bir değer aldık, bu da tüm aralığın “+” işaretine sahip olacağı anlamına geliyor.

İşaretleri belirlemek için başka bir yol kullanabilirsiniz. Bunun için aralıklardan birindeki işareti bulup kaydedebilir veya sıfırdan geçerken değiştirebiliriz. Her şeyi doğru yapmak için, kurala uymak gerekir: sıfırdan geçerken paydayı, ancak payı değil veya payı, ancak paydayı değil, derecesi varsa, işareti zıt olana değiştirebiliriz. bu sıfırı veren ifade tektir ve derece çift ise işaretini değiştiremeyiz. Hem payın hem de paydanın sıfırı olan bir nokta almışsak, ancak bu sıfırı veren ifadelerin kuvvetlerinin toplamı tek ise işareti tersiyle değiştirebiliriz.

Bu materyalin ilk paragrafının başında incelediğimiz eşitsizliği hatırlarsak en sağdaki aralığa “+” işareti koyabiliriz.

Şimdi örneklere bakalım.

(x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 eşitsizliğini alın ve aralık yöntemini kullanarak çözün . Bunu yapmak için pay ve paydanın sıfırlarını bulmamız ve bunları koordinat doğrusu üzerinde işaretlememiz gerekiyor. Payın sıfırları nokta olacaktır 2 , 3 , 4 , payda noktası 1 , 3 , 4 . Bunları koordinat ekseninde tirelerle işaretleyelim.

Paydanın sıfırlarını boş noktalarla işaretliyoruz.

Kesin olmayan bir eşitsizlikle uğraştığımız için kalan çizgileri sıradan noktalarla değiştiriyoruz.

Şimdi aralıklara noktalar koyalım. En sağdaki boşluk (4 , + ∞) + işareti olacaktır.

Sağdan sola doğru ilerleyerek kalan aralıklara tabelalar koyacağız. 4 koordinatlı noktadan geçiyoruz. Bu hem payın hem de paydanın sıfırıdır. Özetle, bu sıfırlar ifadeleri verir (x - 4) 2 Ve x - 4. Üslerini 2 + 1 = 3 toplayıp tek sayı elde edelim. Bu, bu durumda geçiş sırasındaki işaretin tersine değiştiği anlamına gelir. (3, 4) aralığında eksi işareti olacaktır.

Koordinatı 3 olan noktadan (2, 3) aralığına geçiyoruz. Bu aynı zamanda hem pay hem de payda için sıfırdır. Bunu iki (x − 3) 3 ifadesi sayesinde elde ettik ve (x - 3) 5üslerinin toplamı 3 + 5 = 8'dir. Çift sayı elde etmek aralığın işaretini değiştirmeden bırakmamızı sağlar.

Koordinatı 2 olan nokta payın sıfırıdır. x - 2 ifadesinin kuvveti 1'dir (tek). Bu, bu noktadan geçerken işaretin ters yönde değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

Geriye kalan son aralığa sahibiz (− ∞ , 1) . Koordinatı 1 olan nokta paydanın sıfırıdır. Bu ifadeden türetilmiştir (x - 1) 4, eşit derecede 4 . Bu nedenle işaret aynı kalır. Son çizim şöyle görünecek:

Aralık yöntemi özellikle bir ifadenin değerinin hesaplanması çok fazla çalışma gerektirdiğinde etkilidir. Bir ifadenin değerini hesaplama ihtiyacı buna bir örnek olabilir

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

3 - 3 4, 3 - 2 4 aralığında herhangi bir noktada.

Şimdi edinilen bilgi ve becerileri pratikte uygulamaya başlayalım.

Örnek 1

(x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm

Eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin kullanılması tavsiye edilir. Pay ve paydanın sıfırlarını bulun. Payın sıfırları 1 ve -5, paydanın sıfırları 7 ve 1'dir. Bunları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Katı olmayan bir eşitsizlikle uğraşıyoruz, bu nedenle paydanın sıfırlarını boş noktalarla işaretleyeceğiz ve payın sıfırını - 5 - normal doldurulmuş bir noktayla işaretleyeceğiz.

Sıfırdan geçerken işaret değiştirme kurallarını kullanarak aralıkların işaretlerini koyalım. Aralıktan keyfi olarak alınan bir noktada eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin değerini hesapladığımız en sağdaki aralıkla başlayalım. “+” işaretini alıyoruz. İşaretleri düzenleyerek koordinat çizgisi üzerindeki tüm noktalar boyunca sırayla ilerleyelim ve şunu elde edelim:

≤ işaretli katı olmayan bir eşitsizlikle çalışıyoruz. Bu da “-” işaretiyle işaretlenen yerleri gölgelendirerek işaretlememiz gerektiği anlamına geliyor.

Cevap: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Çoğu durumda rasyonel eşitsizliklerin çözülmesi, bunların istenen forma ön dönüştürülmesini gerektirir. Ancak bundan sonra aralık yöntemini kullanmak mümkün hale gelir. Bu tür dönüşümleri gerçekleştirmeye yönelik algoritmalar “Rasyonel eşitsizliklerin çözülmesi” materyalinde tartışılmaktadır.

İkinci dereceden üç terimlileri eşitsizliklere dönüştürme örneğine bakalım.

Örnek 2

(x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.

Çözüm

Eşitsizlik gösterimindeki ikinci dereceden üç terimlilerin ayırıcılarının gerçekten negatif olup olmadığına bakalım. Bu, eşitsizliğin formunun çözüm için aralık yöntemini kullanmamıza izin verip vermediğini belirlememizi sağlayacaktır.

Üç terimlinin diskriminantını hesaplayalım x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Şimdi üç terimli x 2 + 2 · x − 8'in diskriminantını hesaplayalım: D ' = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Gördüğünüz gibi eşitsizlik bir ön dönüşüm gerektiriyor. Bunu yapmak için üç terimli x 2 + 2 x − 8'i şu şekilde temsil ediyoruz: (x + 4) · (x - 2) ve ardından (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 eşitsizliğini çözmek için aralık yöntemini uygulayın.

Cevap: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Genelleştirilmiş aralık yöntemi f(x) formundaki eşitsizlikleri çözmek için kullanılır.< 0 (≤ , >, ≥) , burada f(x) tek değişkenli rastgele bir ifadedir X.

Tüm eylemler belirli bir algoritmaya göre gerçekleştirilir. Bu durumda, genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmeye yönelik algoritma, daha önce tartıştığımızdan biraz farklı olacaktır:

• f fonksiyonunun tanım tanım kümesini ve bu fonksiyonun sıfırlarını buluruz;
• koordinat eksenindeki sınır noktalarını işaretleyin;
• fonksiyonun sıfırlarını sayı doğrusuna çizin;
• aralıkların işaretlerini belirlemek;
• gölgeleme uygulayın;
• cevabını yaz.

Sayı doğrusunda, diğer şeylerin yanı sıra, tanım alanının bireysel noktalarını işaretlemek gerekir. Örneğin, bir fonksiyonun tanım tanım kümesi (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) kümesidir . Bu, koordinatları − 5, 1, 3 olan noktaları işaretlememiz gerektiği anlamına gelir. 4 , 7 Ve 10 . Puanlar − 5 ve 7 boş olarak gösterilecek, geri kalanı fonksiyonun sıfırlarından ayırt etmek için renkli kalemle vurgulanabilir.

Kesin olmayan eşitsizlikler durumunda, fonksiyonun sıfırları sıradan (gölgeli) noktalarla, katı eşitsizlikler durumunda ise boş noktalarla çizilir. Sıfırlar, tanım alanının sınır noktalarıyla veya bireysel noktalarıyla çakışırsa, eşitsizliğin türüne bağlı olarak yeniden siyaha boyanarak boş veya gölgeli hale getirilebilir.

Yanıt kaydı aşağıdakileri içeren sayısal bir kümedir:

• gölgeli alanlar;
• İşareti > veya ≥ olan bir eşitsizlikle ilgileniyorsak artı işaretiyle veya eşitsizliğin işaretleri varsa eksi işaretiyle tanım alanının bireysel noktaları< или ≤ .

Artık konunun en başında sunduğumuz algoritmanın, genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanan algoritmanın özel bir durumu olduğu anlaşıldı.

Genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanmanın bir örneğini ele alalım.

Örnek 3

Eşitsizliği çözün x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Çözüm

f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 olacak şekilde bir f fonksiyonu tanıtıyoruz. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Şimdi fonksiyonun sıfırlarını bulalım. Bunu yapmak için irrasyonel denklemi çözeceğiz:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Kök x = 12'yi elde ederiz.

Koordinat eksenindeki sınır noktalarını belirtmek için turuncu rengi kullanırız. Puan - 6, 4 doldurulacak, 7 boş bırakılacaktır. Şunu elde ederiz:

Katı bir eşitsizlikle çalıştığımız için fonksiyonun sıfırını boş bir siyah noktayla işaretleyelim.

İşaretleri tek tek belirliyoruz. Bunu yapmak için her aralıktan bir nokta alın, örneğin: 16 , 8 , 6 Ve − 8 ve bunların içindeki fonksiyonun değerini hesaplayın F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Yeni tanımlanan işaretleri yerleştirip eksi işaretiyle boşlukların üzerine gölgeleme uyguluyoruz:

Cevap “-” işaretli iki aralığın birleşimi olacaktır: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Yanıt olarak koordinatı - 6 olan bir nokta ekledik. Bu, katı bir eşitsizliği çözerken cevaba dahil etmeyeceğimiz fonksiyonun sıfırı değil, tanım kümesinin içinde yer alan tanım kümesinin sınır noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki değeri negatiftir, yani eşitsizliği karşılamaktadır.

Aralığın tamamını dahil etmediğimiz gibi 4. noktayı da cevaba dahil etmedik [4, 7). Bu noktada, belirtilen aralığın tamamında olduğu gibi, fonksiyonun değeri pozitiftir ve bu, çözülen eşitsizliği sağlamaz.

Daha net anlaşılması için bunu tekrar yazalım: Aşağıdaki durumlarda cevaba renkli noktalar dahil edilmelidir:

• bu noktalar taranmış boşluğun bir parçasıdır,
• bu noktalar, fonksiyonun tanım alanındaki bireysel noktalardır; fonksiyonun değerleri, çözülen eşitsizliği karşılar.

Cevap: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Giriş seviyesi

Aralık yöntemi. Nihai Kılavuz (2019)

Sadece bu yöntemi anlamanız ve avucunuzun içi gibi bilmeniz yeterli! Keşke rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanıldığı için ve bu yöntemi doğru bildiğiniz için bu eşitsizlikleri çözmenin şaşırtıcı derecede basit olması nedeniyle. Biraz sonra size bu eşitsizlikleri çözerken nasıl zaman kazanabileceğinize dair birkaç sır anlatacağım. Peki merak ettin mi? O zaman gidelim!

Yöntemin özü eşitsizliği faktörlere ayırmak (konuyu tekrar edin) ve faktörlerin ODZ'sini ve işaretini belirlemektir; şimdi her şeyi açıklayacağım. En basit örneği ele alalım: .

Değişkene göre bölünme olmadığından ve burada herhangi bir radikal (kök) gözlemlenmediğinden buraya kabul edilebilir değerler aralığını () yazmaya gerek yoktur. Buradaki her şey bizim için zaten çarpanlara ayrılmıştır. Ama rahatlamayın, bunların hepsi size temelleri hatırlatmak ve özü anlamak için!

Diyelim ki aralık yöntemini bilmiyorsunuz, bu eşitsizliği nasıl çözersiniz? Mantıksal olarak yaklaşın ve zaten bildiklerinizin üzerine inşa edin. İlk olarak, parantez içindeki her iki ifade de sıfırdan büyük veya sıfırdan küçükse sol taraf sıfırdan büyük olacaktır, çünkü “Artı” için “artı”, “artı”yı, “eksi” için “eksi” ise “artı”yı verir, değil mi? Ve eğer parantez içindeki ifadelerin işaretleri farklıysa, sonunda sol taraf sıfırdan küçük olacaktır. Parantez içindeki ifadelerin negatif veya pozitif olacağı değerleri bulmak için neye ihtiyacımız var?

Bir denklemi çözmemiz gerekiyor, bu eşitsizlikle tamamen aynı, sadece işaret yerine bir işaret olacak, bu denklemin kökleri, faktörlerin daha büyük olacağı sınır değerlerini belirlememize izin verecek veya sıfırdan küçük.

Ve şimdi aralıkların kendisi. Aralık nedir? Bu, sayı doğrusunda belirli bir aralıktır, yani iki sayı arasında bulunan tüm olası sayılar - aralığın uçları. Bu aralıkları kafanızda hayal etmek o kadar kolay değil, bu yüzden aralık çizmek yaygındır, şimdi size öğreteceğim.

Bir eksen çiziyoruz; tüm sayı serileri onun üzerinde yer alıyor. Noktalar, fonksiyonun sıfırları olarak adlandırılan, ifadenin sıfıra eşit olduğu değerler olan eksen üzerinde çizilir. Bu noktalar "belirlenmiştir", bu da eşitsizliğin doğru olduğu değerler arasında olmadıkları anlamına gelir. Bu durumda delinirler çünkü eşitsizliği işaretleyin ve değil, yani kesinlikle daha büyük ve daha büyük veya eşit değil.

Sıfırı işaretlemenin gerekli olmadığını, burada dairelerin bulunmadığını, sadece eksen boyunca anlayış ve yönlendirme için olduğunu söylemek istiyorum. Tamam, ekseni çizdik, noktaları (daha doğrusu daireleri) koyduk, sonra ne olacak, bu bana çözmede nasıl yardımcı olacak? - sen sor. Şimdi aralıklarla aralıklardan x'in değerini alın ve bunları eşitsizliğinizin yerine koyun ve çarpmanın hangi işaretle sonuçlandığını görün.

Kısacası, örneğin alırsak, onu burada yerine koyarsak, işe yarayacaktır, bu da eşitsizliğin onu aldığımız noktadan itibaren tüm aralık boyunca (tüm aralık boyunca) geçerli olacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle, eğer x 'den'e ise eşitsizlik doğrudur.

Aynısını, ile arasındaki aralık için de yapıyoruz, alıyoruz veya örneğin yerine koyuyoruz, işareti belirliyoruz, işaret “eksi” olacaktır. Ve aynısını, işaretin "artı" olduğu son, üçüncü aralık için de yapıyoruz. Çok fazla metin var ama yeterince net değil, değil mi?

Eşitsizliğe bir kez daha bakın.

Artık sonuç olarak elde edilecek işaretleri de aynı eksene uyguluyoruz. Örneğimde kesikli çizgi, eksenin pozitif ve negatif bölümlerini gösterir.

Eşitsizliğe bakın - çizime, tekrar eşitsizliğe - ve tekrar çizime net bir şey var mı? Şimdi eşitsizliğin hangi X aralıklarında doğru olacağını söylemeye çalışın. Doğru, 'den'ye eşitsizliği de 'den'ye doğru olacak, ama 'den'e kadar olan aralıkta eşitsizlik sıfırdır ve bu aralık bizi pek ilgilendirmiyor çünkü eşitsizliğin bir işareti var.

Artık anladığınıza göre yapmanız gereken tek şey cevabı yazmak! Yanıt olarak, sol tarafın sıfırdan büyük olduğu aralıkları yazıyoruz; bu, X'in eksi sonsuzdan eksi bire ve ikiden artı sonsuza kadar olan aralığa ait olduğu anlamına gelir. Parantezlerin, aralığın sınırlandığı değerlerin eşitsizliğin çözümü olmadığı, yani cevaba dahil edilmedikleri, ancak yalnızca örneğin şuna kadar olmadığını belirttiği anlamına geldiğini açıklığa kavuşturmak gerekir: çözüm.

Şimdi sadece aralığı çizmeniz gerekmeyecek bir örnek:

Eksene noktalar koymadan önce ne yapılması gerektiğini düşünüyorsunuz? Evet, bunu faktörlere ayırın:

Aralıklar çiziyoruz ve işaretleri yerleştiriyoruz, işaretin kesinlikle sıfırdan küçük olması nedeniyle noktaları deldiğimize dikkat edin:

Bu konunun başında söz verdiğim bir sırrı size söylemenin zamanı geldi! Peki ya size işareti belirlemek için her aralıktaki değerleri yerine koymanız gerekmediğini, ancak aralıklardan birinde işareti belirleyebileceğinizi ve geri kalandaki işaretleri değiştirebileceğinizi söylesem!

Böylece tabelaları asarken biraz zaman kazandık - Birleşik Devlet Sınavında kazanılan zamanın zarar vermeyeceğini düşünüyorum!

Cevabı yazıyoruz:

Şimdi kesirli rasyonel eşitsizliğin bir örneğini düşünün - her iki tarafın da rasyonel ifadeler olduğu bir eşitsizlik (bkz.).

Bu eşitsizlik hakkında ne söyleyebilirsiniz? Ve buna kesirli-rasyonel bir denklem olarak bakalım, ilk önce ne yapacağız? Hemen köklerin olmadığını görüyoruz, bu kesinlikle rasyonel olduğu anlamına geliyor, ancak o zaman bu bir kesirdir ve hatta paydada bir bilinmeyen var!

Doğru, ODZ'ye ihtiyacımız var!

Öyleyse daha da ileri gidelim, burada biri hariç tüm faktörler birinci dereceden bir değişkene sahip, ancak x'in ikinci dereceye sahip olduğu bir faktör var. Genellikle eşitsizliğin sol tarafının sıfır değeri aldığı noktalardan birinden geçtikten sonra işaretimiz değişti, bunun için her faktörde x'in neye eşit olması gerektiğini belirledik. Ama burada her zaman olumlu çünkü herhangi bir sayının karesi > sıfır ve pozitif bir terim.

Bunun eşitsizliğin anlamını etkileyeceğini düşünüyor musunuz? Bu doğru - etkilemeyecek! Eşitsizliği güvenli bir şekilde her iki parçaya bölebilir ve böylece bu faktörü ortadan kaldırabiliriz, böylece göze batmaz.

Aralıkları çizmenin zamanı geldi; bunu yapmak için, çarpanların sıfırdan büyük ve küçük olacağı sınır değerlerini belirlemeniz gerekir. Ama dikkat edin burada bir işaret var yani eşitsizliğin sol tarafının sıfır değerini aldığı noktayı seçmeyeceğiz, çözüm sayısına dahildir, böyle bir noktamız var, burası x'in bire eşit olduğu noktadır. Paydanın negatif olduğu noktayı renklendirecek miyiz? - Tabii ki değil!

Payda sıfır olmamalıdır, dolayısıyla aralık şöyle görünecektir:

Bu şemayı kullanarak cevabı kolayca yazabilirsiniz, sadece artık yeni bir braket türünün emrinizde olduğunu söyleyeceğim - kare! İşte bir parantez [ değerin çözüm aralığına dahil olduğunu söylüyor, yani. cevabın bir parçası, bu braket eksen üzerinde doldurulmuş (sabitlenmemiş) bir noktaya karşılık gelir.

Peki aynı cevabı aldınız mı?

Bunu faktörlere ayırıyoruz ve her şeyi bir tarafa taşıyoruz; sonuçta onunla karşılaştırmak için sağda sıfır bırakmamız yeterli:

Son dönüşümde paydayı olduğu kadar paydayı da elde etmek için eşitsizliğin her iki tarafını da çarptığım gerçeğine dikkatinizi çekerim. Bir eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpıldığında eşitsizliğin işaretinin ters yönde değiştiğini unutmayın!!!

ODZ'yi yazıyoruz:

Aksi takdirde payda sıfıra gidecek ve hatırladığınız gibi sıfıra bölemezsiniz!

Katılıyorum, ortaya çıkan eşitsizlik pay ve paydayı azaltmak için cazip geliyor! Bu yapılamaz; bazı kararları veya ODZ'yi kaybedebilirsiniz!

Şimdi noktaları eksene kendiniz yerleştirmeye çalışın. Sadece noktaları çizerken, işarete göre eksen üzerinde gölgeli olarak çizilmiş gibi görünen değeri olan bir noktanın gölgeli olmayacağına dikkat etmeniz gerektiğini not edeceğim. oyulmuş! Neden sordun? Ve ODZ'yi hatırlayın, sıfıra bu şekilde bölmeyeceksiniz, değil mi?

Unutmayın, ODZ önce gelir! Tüm eşitsizlikler ve eşit işaretler bir şey söylüyorsa ve ODZ başka bir şey söylüyorsa, büyük ve güçlü ODZ'ye güvenin!

Pekala, aralıkları siz oluşturdunuz, eminim değişimle ilgili ipucumu anladınız ve bu şekilde elde ettiniz (aşağıdaki resme bakın) Şimdi üzerini çizin ve aynı hatayı bir daha yapmayın! Hangi hata? - sen sor.

Aralıkları ve işaretleri olan aşağıdaki eksen doğru olacaktır:

Ve dikkat edelim ki ilgilendiğimiz işaret başlangıçtaki işaret değil (eşitsizliği ilk gördüğümüzde işaret oradaydı), dönüşümlerden sonra işaret olarak değişti, yani aralıklarla ilgileniyoruz bir işaretle.

Cevap:

Ayrıca, herhangi bir aralığa girmeyen eşitsizliğin köklerinin olduğu durumlar olduğunu da söyleyeceğim, yanıt olarak bunlar küme parantezleri içinde yazılıyor, örneğin: . Bu tür durumlar hakkında daha fazla bilgiyi ortalama seviye makalesinde okuyabilirsiniz.

Eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak nasıl çözüleceğini özetleyelim:

1. Sağda yalnızca sıfır bırakarak her şeyi sol tarafa taşıyoruz;
2. ODZ'yi buluyoruz;
3. Eşitsizliğin tüm köklerini eksene çiziyoruz;
4. Aralıklardan birinden keyfi bir tane alıyoruz ve kökün ait olduğu aralıktaki işareti belirliyoruz, işaretleri değiştiriyoruz, eşitsizlikte birkaç kez tekrarlanan köklere dikkat ederek işaretin bunlardan geçerken değişip değişmediğine bağlı; tekrarlanma veya tekrarlanma sayısının eşitliği veya tekliği;
5. Yanıt olarak, noktalama işaretli ve delinmemiş noktaları gözlemleyerek (bkz. ODZ) aralarına gerekli parantez türlerini yerleştirerek aralıklar yazıyoruz.

Ve son olarak en sevdiğimiz bölüm “kendin yap”!

Örnekler:

Cevaplar:

ARALIK YÖNTEMİ. ORTA SEVİYE

Doğrusal fonksiyon

Formun bir fonksiyonuna doğrusal denir. Örnek olarak bir fonksiyonu ele alalım. At pozitif ve negatif at'tır. Nokta, () fonksiyonunun sıfırıdır. Bu fonksiyonun işaretlerini sayı ekseninde gösterelim:

“Fonksiyon noktadan geçerken işaret değiştirir” diyoruz.

Fonksiyonun işaretlerinin fonksiyon grafiğinin konumuna karşılık geldiği görülmektedir: grafik eksenin üzerindeyse işaret “ ”, altındaysa “ ” olur.

Ortaya çıkan kuralı keyfi bir doğrusal fonksiyona genelleştirirsek aşağıdaki algoritmayı elde ederiz:

• Fonksiyonun sıfırını bulma;
• Sayı ekseninde işaretliyoruz;
• Sıfırın karşıt taraflarında fonksiyonun işaretini belirleriz.

İkinci dereceden fonksiyon

Umarım ikinci dereceden eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi hatırlıyorsunuzdur? Değilse konuyu okuyun. Size ikinci dereceden bir fonksiyonun genel formunu hatırlatmama izin verin: .

Şimdi ikinci dereceden fonksiyonun hangi işaretleri aldığını hatırlayalım. Grafiği bir paraboldür ve fonksiyon, parabolün eksenin üzerinde olduğu durumlar için " " işaretini ve parabolün eksenin altında olması durumunda " " işaretini alır:

Bir fonksiyonun sıfırları varsa (değerler), parabol ekseni iki noktada keser - karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri. Böylece eksen üç aralığa bölünür ve fonksiyonun işaretleri her kökten geçerken dönüşümlü olarak değişir.

Her seferinde parabol çizmeden işaretleri bir şekilde belirlemek mümkün müdür?

Kare bir trinomiyalin çarpanlara ayrılabileceğini hatırlayın:

Örneğin: .

Kökleri eksen üzerinde işaretleyelim:

Bir fonksiyonun işaretinin ancak kökten geçerken değişebileceğini hatırlıyoruz. Bu gerçeği kullanalım: Eksenin köklerle bölündüğü üç aralığın her biri için, fonksiyonun işaretini yalnızca keyfi olarak seçilen bir noktada belirlemek yeterlidir: aralığın geri kalan noktalarında işaret aynı olacaktır. .

Örneğimizde: parantez içindeki her iki ifade de pozitiftir (örneğin yerine koyun). Eksen üzerine “ ” işareti koyuyoruz:

Peki, (örneğin yerine koyun) her iki parantez de negatif olduğunda, bu da çarpımın pozitif olduğu anlamına gelir:

işte bu aralık yöntemi: Her aralıktaki faktörlerin işaretlerini bilerek tüm çarpımın işaretini belirleriz.

Fonksiyonun hiç sıfır içermediği veya yalnızca bir tane olduğu durumları da ele alalım.

Eğer onlar orada değilse, o zaman kökler de yoktur. Bu da “kökten geçiş” olmayacağı anlamına gelir. Bu, fonksiyonun tüm sayı doğrusunda yalnızca bir işaret aldığı anlamına gelir. Bir fonksiyona yerleştirilerek kolayca belirlenebilir.

Yalnızca bir kök varsa parabol eksene dokunur, dolayısıyla fonksiyonun işareti kökten geçerken değişmez. Bu tür durumlar için nasıl bir kural üretebiliriz?

Böyle bir fonksiyonu çarpanlara ayırırsanız iki özdeş çarpan elde edersiniz:

Ve herhangi bir kare ifade negatif değildir! Bu nedenle fonksiyonun işareti değişmez. Bu gibi durumlarda, içinden geçerken işaretin değişmediği kökü bir kareyle daire içine alarak vurgulayacağız:

Böyle bir köke kat diyeceğiz.

Eşitsizliklerde aralık yöntemi

Artık ikinci dereceden herhangi bir eşitsizlik parabol çizmeden çözülebilir. İkinci dereceden fonksiyonun işaretlerini eksene yerleştirmek ve eşitsizliğin işaretine bağlı olarak aralıkları seçmek yeterlidir. Örneğin:

Eksen üzerindeki kökleri ölçelim ve işaretleri yerleştirelim:

Eksenin " " işaretli kısmına ihtiyacımız var; Eşitsizlik katı olmadığından köklerin kendileri de çözüme dahil edilir:

Şimdi rasyonel bir eşitsizliği düşünün - her iki tarafı da rasyonel ifadeler olan bir eşitsizlik (bkz.).

Örnek:

Burada biri hariç tüm faktörler “doğrusal”dır, yani yalnızca birinci kuvvete kadar bir değişken içerirler. Aralık yöntemini uygulamak için bu tür doğrusal faktörlere ihtiyacımız var - köklerinden geçerken işaret değişir. Ancak çarpanın hiçbir kökü yoktur. Bu, her zaman pozitif olduğu anlamına gelir (bunu kendiniz kontrol edin) ve bu nedenle tüm eşitsizliğin işaretini etkilemez. Bu, eşitsizliğin sol ve sağ taraflarını ona bölebileceğimiz ve böylece ondan kurtulabileceğimiz anlamına gelir:

Artık her şey ikinci dereceden eşitsizliklerde olduğu gibi: Faktörlerin her birinin hangi noktalarda sıfır olacağını belirliyoruz, bu noktaları eksen üzerinde işaretliyoruz ve işaretleri düzenliyoruz. Çok önemli bir gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum:

Cevap: . Örnek: .

Aralık yöntemini uygulayabilmek için eşitsizliğin parçalarından birinin olması gerekir. Bu nedenle sağ tarafı sola kaydıralım:

Pay ve payda aynı faktöre sahiptir, ancak onu azaltmak için acele etmeyin! Sonuçta bu noktayı vurgulamayı unutabiliriz. Bu kökü kat olarak işaretlemek daha iyidir, yani içinden geçerken işaret değişmeyecektir:

Cevap: .

Ve çok açıklayıcı bir örnek daha:

Yine pay ve paydanın aynı çarpanlarını iptal etmiyoruz, çünkü bunu yaparsak, noktayı özellikle delmeyi hatırlamamız gerekecek.

• : tekrarlanan zamanlar;
• : zamanlar;
• : kez (payda ve paydada bir).

Çift sayı olması durumunda, öncekiyle aynı şeyi yaparız: noktanın etrafına bir kare çizeriz ve kökten geçerken işareti değiştirmeyiz. Ancak tek sayı olması durumunda bu kural geçerli değildir: kökten geçerken işaret yine de değişecektir. Dolayısıyla böyle bir kökle sanki kat değilmiş gibi ek bir şey yapmıyoruz. Yukarıdaki kurallar tüm çift ve tek kuvvetler için geçerlidir.

Cevapta ne yazmalıyız?

İşaretlerin değişimi ihlal edilirse çok dikkatli olmanız gerekir çünkü eşitsizlik katı değilse cevap şunları içermelidir: tüm gölgeli noktalar. Ancak bazıları sıklıkla ayrı durur, yani gölgeli alana dahil edilmezler. Bu durumda, bunları cevaba yalıtılmış noktalar olarak ekliyoruz (küme parantezleri içinde):

Örnekler (kendiniz karar verin):

Cevaplar:

1. Faktörler arasında basit ise köktür çünkü şeklinde temsil edilebilir.
   .

ARALIK YÖNTEMİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde aralık yöntemi kullanılır. Faktörlerin işaretlerinden ürünün işaretinin çeşitli aralıklarla belirlenmesinden oluşur.

Aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözmek için algoritma.

• Sağda yalnızca sıfır bırakarak her şeyi sol tarafa taşıyoruz;
• ODZ'yi buluyoruz;
• Eşitsizliğin tüm köklerini eksene çiziyoruz;
• Aralıklardan birinden keyfi bir tane alıyoruz ve kökün ait olduğu aralıktaki işareti belirliyoruz, işaretleri değiştiriyoruz, eşitsizlikte birkaç kez tekrarlanan köklere dikkat ederek işaretin bunlardan geçerken değişip değişmediğine bağlı; tekrarlanma veya tekrarlanma sayısının eşitliği veya tekliği;
• Yanıt olarak, delinmiş ve delinmemiş noktaları gözlemleyerek (ODZ'ye bakınız) aralarına gerekli parantez türlerini yerleştirerek aralıklar yazıyoruz.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Aralık yöntemi f(x) > 0 formundaki karmaşık eşitsizlikleri çözmek için tasarlanmış özel bir algoritmadır. Algoritma 5 adımdan oluşur:

1. f(x) = 0 denklemini çözün. Böylece eşitsizlik yerine çözülmesi çok daha kolay bir denklem elde ederiz;
2. Elde edilen tüm kökleri koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin. Böylece düz çizgi birkaç aralığa bölünecektir;
3. Köklerin çokluğunu bulun. Kökler çift sayıdaysa kökün üstüne bir halka çizin. (Çift sayıda özdeş çözüm varsa, kök bir kat olarak kabul edilir)
4. En sağdaki aralıktaki f(x) fonksiyonunun işaretini (artı veya eksi) bulun. Bunu yapmak için f(x)'in yerine işaretli köklerin sağında olacak herhangi bir sayıyı koymak yeterlidir;
5. Kalan aralıklarla işaretleri değiştirerek işaretleyin.

Bundan sonra geriye bizi ilgilendiren aralıkları yazmak kalıyor. Eşitsizlik f(x) > 0 biçimindeyse “+” işaretiyle, eşitsizlik f(x) biçimindeyse “-” işaretiyle işaretlenir.< 0.

Kesin olmayan eşitsizlikler durumunda (≤ , ≥), f(x) = 0 denkleminin çözümü olan noktaların aralıklara dahil edilmesi gerekir;

Örnek 1:

Eşitsizliği çözün:

(x - 2)(x + 7)< 0

Aralık yöntemini kullanarak çalışıyoruz.

1. Adım: Eşitsizliği bir denklemle değiştirin ve çözün:

(x - 2)(x + 7) = 0

Çarpan ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşittir:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

İki kökümüz var.

Adım 2: Bu kökleri koordinat çizgisi üzerinde işaretliyoruz. Sahibiz:

3. Adım: fonksiyonun işaretini en sağdaki aralıkta (x = 2 işaretli noktanın sağında) buluruz. Bunu yapmak için x = 2 sayısından büyük herhangi bir sayıyı almanız gerekir. Örneğin, x = 3'ü alalım (ancak kimse x = 4, x = 10 ve hatta x = 10.000 almayı yasaklamaz).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

f(3) = 10 > 0 elde ederiz (10 pozitif bir sayıdır), dolayısıyla en sağdaki aralığa artı işareti koyarız.

Adım 4: kalan aralıklardaki işaretleri not etmeniz gerekir. Her kökten geçerken işaretin değişmesi gerektiğini hatırlıyoruz. Örneğin x = 2 kökünün sağında bir artı var (önceki adımda bundan emin olmuştuk), yani solunda bir eksi olmalı. Bu eksi (−7; 2) aralığının tamamına uzanır, dolayısıyla x = −7 kökünün sağında bir eksi vardır. Dolayısıyla x = −7 kökünün solunda bir artı var. Bu işaretleri koordinat ekseninde işaretlemeye devam ediyor.

Şu şekle sahip olan orijinal eşitsizliğe dönelim:

(x - 2)(x + 7)< 0

Yani fonksiyonun sıfırdan küçük olması gerekir. Bu, yalnızca bir aralıkta görünen eksi işaretiyle ilgilendiğimiz anlamına gelir: (−7; 2). Cevap bu olacak.

Örnek 2:

Eşitsizliği çözün:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Çözüm:

İlk önce denklemin köklerini bulmanız gerekir

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

İlk parantezi daraltalım ve şunu elde edelim:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Bu denklemleri çözersek şunu elde ederiz:

Noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim:

Çünkü x 2 ve x 3 çoklu köklerse, o zaman doğru üzerinde ve onun üzerinde bir nokta olacaktır” döngü”.

En soldaki noktadan küçük herhangi bir sayıyı alıp orijinal eşitsizliğin yerine koyalım. -1 sayısını alalım.

Denklemin çözümünü (bulunan X) eklemeyi unutmayın, çünkü eşitsizliğimiz katı değil.

Cevap: () U ∪[-6;4]∪\sol\(6\sağ\)\)

Örnek.(OGE'den atama) Eşitsizliği \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) aralık yöntemini kullanarak çözün
Çözüm:

Cevap : \((-∞;-8]∪}