Birçok özellikte bunun tersine benzer.

Ters bir matrisin özellikleri

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Nerede det (\displaystyle \\det) determinantı ifade eder.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) iki kare tersinir matris için bir (\displaystyle A) Ve B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Nerede (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) aktarılmış bir matrisi belirtir.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) herhangi bir katsayı için k ≠ 0 (\displaystyle k\değil =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Bir doğrusal denklem sistemini çözmek gerekiyorsa (b sıfır olmayan bir vektördür) burada x (\displaystyle x) istenen vektördür ve eğer A − 1 (\displaystyle A^(-1)) var o halde x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Aksi halde ya çözüm uzayının boyutu sıfırdan büyüktür ya da hiç çözüm yoktur.

Konuyla ilgili video

Ters matrisi bulma yöntemleri

Matris tersinirse, ters matrisi bulmak için aşağıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz:

Kesin (doğrudan) yöntemler

Jordan-Gauss yöntemi

İki matris alalım: A ve bekar e. Matris'i sunalım A Gauss-Jordan yöntemini kullanarak birim matrise satırlar boyunca dönüşümler uygulayarak (dönüşümleri sütunlar boyunca da uygulayabilirsiniz). Her işlemi ilk matrise uyguladıktan sonra aynı işlemi ikinciye de uygulayın. Birinci matrisin birim forma indirgenmesi tamamlandığında ikinci matris şuna eşit olacaktır: A−1.

Gauss yöntemini kullanırken, sol taraftaki ilk matris temel matrislerden biriyle çarpılacaktır. Λ ben (\displaystyle \Lambda _(i))(bir konum hariç, ana köşegen üzerinde olanlarla transveksiyon veya çapraz matris):

Tüm işlemleri uyguladıktan sonra ikinci matris şuna eşit olacaktır: Λ (\displaystyle \Lambda) yani istenilen olacaktır. Algoritma karmaşıklığı - Ö (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Cebirsel tamamlayıcı matrisini kullanma

Matrisin tersi matris bir (\displaystyle A)şeklinde temsil edilebilir

Nerede adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- ek matris (transpoze edilmiş matrisin karşılık gelen elemanları için cebirsel eklemelerden oluşan bir matris).

Algoritmanın karmaşıklığı, O det determinantının hesaplanmasına yönelik algoritmanın karmaşıklığına bağlıdır ve O(n²)·O det'e eşittir.

LU/LUP Ayrıştırmanın Kullanılması

Matris denklemi bir X = ben n (\displaystyle AX=I_(n)) ters matris için X (\displaystyle X) koleksiyon olarak değerlendirilebilir n (\displaystyle n) form sistemleri A x = b (\displaystyle Ax=b). Haydi belirtelim ben (\displaystyle i) matrisin inci sütunu X (\displaystyle X) başından sonuna kadar X ben (\displaystyle X_(i)); Daha sonra Bir X ben = e ben (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),Çünkü ben (\displaystyle i) matrisin inci sütunu ben n (\displaystyle I_(n)) birim vektör e ben (\displaystyle e_(i)). başka bir deyişle, ters matrisi bulmak, aynı matrise ve farklı sağ taraflara sahip n denklemin çözülmesine indirgenir. LUP ayrıştırması (O(n³) süresi) gerçekleştirildikten sonra, n denklemin her birinin çözümü O(n²) zaman alır, dolayısıyla işin bu kısmı da O(n³) süresi gerektirir.

A matrisi tekil değilse, bunun için LUP ayrıştırması hesaplanabilir. P A = L U (\displaystyle PA=LU). İzin vermek P Bir = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). O zaman ters matrisin özelliklerinden şunu yazabiliriz: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Bu eşitliği U ve L ile çarparsanız, formdaki iki eşitliği elde edebilirsiniz. U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ve D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Bu eşitliklerden ilki n² doğrusal denklem sistemidir. n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) sağ tarafların bilindiği (üçgen matrislerin özelliklerinden). İkincisi ayrıca n² doğrusal denklem sistemini temsil eder. n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) sağ tarafların bilindiği (ayrıca üçgen matrislerin özelliklerinden). Birlikte n² eşitliklerden oluşan bir sistemi temsil ederler. Bu eşitlikleri kullanarak, D matrisinin tüm n² elemanlarını yinelemeli olarak belirleyebiliriz. Daha sonra (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D eşitliğinden eşitliği elde ederiz. A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU ayrıştırmasının kullanılması durumunda, D matrisinin sütunlarının permütasyonuna gerek yoktur, ancak A matrisi tekil olmasa bile çözüm ıraksak olabilir.

Algoritmanın karmaşıklığı O(n³)'tür.

Yinelemeli yöntemler

Schultz yöntemleri

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ ben = 0 n Ψ k ben (\displaystyle (\begin(case)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Hata tahmini

İlk Yaklaşımın Seçilmesi

Burada ele alınan yinelemeli matris ters çevirme süreçlerinde başlangıç ​​yaklaşımını seçme sorunu, bunları, örneğin matrislerin LU ayrıştırmasına dayanan doğrudan ters çevirme yöntemleriyle rekabet eden bağımsız evrensel yöntemler olarak ele almamıza izin vermez. Seçim için bazı öneriler var U 0 (\displaystyle U_(0)) koşulun yerine getirilmesini sağlamak ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matrisin spektral yarıçapı birlikten küçüktür), bu sürecin yakınsaması için gerekli ve yeterlidir. Ancak bu durumda öncelikle tersinir matris A veya matrisin spektrumuna ilişkin tahminin yukarıdan bilinmesi gerekir. A A T (\displaystyle AA^(T))(yani, eğer A simetrik bir pozitif tanımlı matris ise ve ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), o zaman alabilirsin U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Nerede ; A keyfi tekil olmayan bir matris ise ve ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ) o zaman inanırlar U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), ayrıca nerede α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\right)); Elbette durumu basitleştirebilir ve bunun avantajından yararlanabilirsiniz. ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), koymak U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). İkinci olarak, başlangıç ​​matrisini bu şekilde belirlerken, bunun garantisi yoktur. ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) küçük olacak (hatta belki de ortaya çıkacak) ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) ve yüksek düzeyde yakınsama oranı hemen ortaya çıkmayacaktır.

Matris, dikdörtgen bir sayı tablosu şeklinde yazılmış ve kendisi ile diğer benzer nesneler arasında cebirsel işlemlere (toplama, çıkarma, çarpma vb.) izin veren matematiksel bir nesnedir. Matrisler üzerinde işlem yapma kuralları aşağıdaki gibi yapılır:

Doğrusal denklem sistemlerini yazmayı kolaylaştırmak için. Genellikle matris Latin alfabesinin büyük harfiyle gösterilir ve “(...)” parantezleriyle ayrılır (ayrıca bulunur)

köşeli parantezlerle “[…]”, çift düz çizgilerle “||…||”) vurgulanmıştır. Ve matrisi oluşturan sayılar (matris öğeleri), matrisin kendisiyle aynı harfle ancak küçüktür. matrisin her elemanının 2 alt simgesi vardır (a ij) - ilk "i" şunu belirtir:

elemanın bulunduğu satırın numarası, ikinci "j" ise sütunun numarasıdır.

Matrisler üzerinde işlemler

A matrisinin bir sayıyla çarpılması

A matrisinin her bir elemanının bu sayı ile çarpılmasıyla elemanları elde edilen B, yani B matrisinin her elemanı şuna eşittir:

b ij= λ a ij

Matris toplama A

C matrisinin elemanı eşittir

c ij= a ij+ b ij

A matrislerinin çıkarılması

c ij= a ij- b ij

A + Θ =A

Matris çarpımı(tanım: AB, daha az sıklıkla çarpma işaretiyle) - elemanları, birinci faktörün karşılık gelen satırındaki ve sütunun sütunundaki elemanların çarpımlarının toplamına eşit olan C matrisini hesaplama işlemidir. ikinci.

c ij= ∑ a ikb kj

İlk faktör, ikinci faktördeki satır sayısıyla aynı sayıda sütuna sahip olmalıdır.. A matrisinin B boyutu varsa, çarpımlarının boyutu AB = C olur.

Orada . Matris çarpımı değişmeli değildir. Bu, matrisler kare değilse, yalnızca birini diğeriyle çarpabileceğiniz, ancak bunun tersini yapamayacağınız gerçeğinden görülebilir. İçin

Kare matrislerde çarpmanın sonucu faktörlerin sırasına bağlıdır.

Yalnızca kare matrisler kuvvetlere yükseltilebilir.

Kimlik matrisi

Kare matrisler için kimlik matrisi E öyle ki herhangi bir çarpma

üzerindeki matris sonucu etkilemez, yani

EA = AE= Bir

Bir birim matris için birimler yalnızca eşittir

köşegenler, diğer elemanlar sıfırdır

Bazı kare matrisler için sözde bulunabilir.ters matris.

Ters matris A - 1 öyledir ki, matrisi bununla çarparsanız birim matrisi elde edersiniz

AA-1 = E

Ters matris her zaman mevcut değildir. Tersi mevcut olan matrislere denir

dejenere olmayanlar için, dejenere olmayanlar için. Bir matrisin tüm satırları (sütunları) vektörler olarak doğrusal olarak bağımsızsa tekil değildir. Maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı

(sütunlara) matrisin rütbesi denir. Bir matrisin determinantı, matrisin satırları üzerinde normalleştirilmiş çarpık simetrik doğrusal bir fonksiyoneldir. Matris

ancak ve ancak determinantının sıfır olması durumunda dejeneredir.

Matrislerin özellikleri

1. A + (B +C) = (A +B) +C

2. Bir + B= B+ Bir

3. A (BC) = (AB)C

4. A (B+ C) = AB+ AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Simetrik matris A'nın tüm temel açısal küçükleri A k > 0 değerine sahipse pozitif tanımlıdır (A > 0)

10. Simetrik matris A negatif tanımlıdır (A< 0), если матрица (−A )

pozitif tanımlıdır, yani herhangi bir k için k'inci derecedeki A k'nin asal minörü (− 1)k işaretine sahipse

Doğrusal denklem sistemleri

N bilinmeyenli m denklem sistemi

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

matris formunda temsil edilebilir

ve tüm sistem şu şekilde yazılabilir: AX = B

Matrisler üzerinde işlemler

a ij, A matrisinin elemanları olsun ve b ij, B matrisinin elemanları olsun.

A matrisinin bir sayıyla çarpılmasıλ (sembol: λA) bir matris oluşturmaktan oluşur

A matrisinin her elemanının bu sayı ile çarpılmasıyla elemanları elde edilen, yani B matrisinin her elemanı b'ye eşit olan B ij = λa ij

A matrisini yazalım

A matrisinin ilk elemanını 2 ile çarpın

Matris toplama A+ B, tüm elemanları A ve B matrisinin karşılık gelen tüm elemanlarının ikili toplamına eşit olan bir C matrisi bulma işlemidir, yani her biri

C matrisinin elemanı eşittir

c ij= a ij+ b ij

A+B A ve B matrislerini yazalım

Matrislerin ilk elemanlarının toplamasını yapalım

Değerleri önce yatay, sonra dikey (ya da tam tersi) olarak genişletelim.

A matrislerinin çıkarılması− B toplama işlemine benzer şekilde tanımlanır; bu, elemanları

c ij= a ij- b ij

Toplama ve çıkarma işlemlerine yalnızca aynı boyuttaki matrisler için izin verilir.

Bir sıfır matrisi Θ vardır, öyle ki onu başka bir A matrisine eklemek A'yı değiştirmez, yani

A + Θ =A

Sıfır matrisinin tüm elemanları sıfıra eşittir.

Yani, matrisleri çevrimiçi çözmeye yönelik hizmetler:

Matrislerle çalışma hizmeti, matrislerin temel dönüşümlerini gerçekleştirmenize olanak tanır.
Daha karmaşık bir dönüşüm gerçekleştirme göreviniz varsa, bu hizmet yapıcı olarak kullanılmalıdır.

Örnek. Verilen matrisler A Ve B bulmam lazım C = A -1 * B + B T,

1. İlk önce bulmalısın ters matrisA1 = A-1, ters matrisi bulma hizmetini kullanma;
2. Daha sonra matrisi bulduktan sonra A1 Hadi yapalım matris çarpımıA2 = A1 * B matris çarpım hizmetini kullanarak;
3. Hadi yapalım matris devrikA3 = B T (transpoze edilmiş bir matris bulma hizmeti);
4. Son olarak matrislerin toplamını bulalım İLE = A2 + A3(matrislerin toplamını hesaplama hizmeti) - ve en ayrıntılı çözümü içeren bir cevap alıyoruz!;

Matrislerin çarpımı

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• İlk faktör matrisini girin A
• İkinci faktör matrisini veya sütun vektörünü girin B

Bir matrisin bir vektörle çarpılması

Bir matrisin bir vektörle çarpımı hizmeti kullanılarak bulunabilir. Matris çarpımı
(Birinci faktör bu matris, ikinci faktör bu vektörün elemanlarından oluşan sütun olacaktır)

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• Matris girin A bunun için ters matrisi bulmamız gerekiyor
• Ters matrisi bulmaya yönelik ayrıntılı bir çözüm içeren bir yanıt alın

Matris determinantı

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matris girin A bunun için matrisin determinantını bulmamız gerekiyor

Matris Transpozu

Burada matris aktarımı algoritmasını takip edebilir ve benzer problemleri kendiniz nasıl çözeceğinizi öğrenebilirsiniz.
Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matris girin A aktarılması gereken

Matris sıralaması

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matris girin A, bunun için rütbeyi bulmanız gerekiyor

Matris özdeğerleri ve matris özvektörleri

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matris girin Aözvektörleri ve özdeğerleri (özdeğerler) bulmanız gereken

Matris üssü

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• Matris girin A, onu güce yükselteceksin
• Bir tamsayı girin Q- derece

Talimatlar. Çevrimiçi çözmek için denklem türünü seçmeniz ve karşılık gelen matrislerin boyutunu ayarlamanız gerekir.

Örnek No.1. Egzersiz yapmak. Matris denkleminin çözümünü bulun
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: A·X·B = C.
A matrisinin determinantı detA=-1'e eşittir
A tekil olmayan bir matris olduğundan, ters bir A-1 matrisi vardır. Soldaki denklemin her iki tarafını A -1 ile çarpın: Bu denklemin soldaki her iki tarafını A -1 ve sağdaki B -1 ile çarpın: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B-1 . A A -1 = B B -1 = E ve E X = X E = X olduğundan, X = A -1 C B -1

Ters matris A -1:
Ters B-1 matrisini bulalım.
Transpoze matris B T:
Ters matris B -1:
X matrisini şu formülü kullanarak ararız: X = A -1 ·C·B -1

Cevap:

Örnek No. 2. Egzersiz yapmak. Matris denklemini çöz
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: A·X = B.
A matrisinin determinantı detA=0'dır
A tekil bir matris olduğundan (determinantı 0 olduğundan) denklemin çözümü yoktur.

Örnek No. 3. Egzersiz yapmak. Matris denkleminin çözümünü bulun
Çözüm. Şunu belirtelim:
Daha sonra matris denklemi şu şekilde yazılacaktır: X A = B.
A matrisinin determinantı detA=-60'tır
A tekil olmayan bir matris olduğundan, ters bir A-1 matrisi vardır. Sağdaki denklemin her iki tarafını da A -1 ile çarpalım: X A A -1 = B A -1, buradan X = B A -1 sonucunu buluruz
A-1 ters matrisini bulalım.
Transpoze matris A T:
Ters matris A -1:
Aşağıdaki formülü kullanarak X matrisini arıyoruz: X = B A -1


Cevap: >

Ters matris- çok matris A −1 , bununla çarpıldığında orijinal matris A sonuçlar kimlik matrisi e:

Kare matris ancak ve ancak dejenere olmaması durumunda tersine çevrilebilir, yani belirleyici sıfıra eşit değil. Kare olmayan matrisler için ve tekil matrisler ters matris yoktur. Ancak bu kavramı genelleştirmek ve tanıtmak mümkündür. sözde ters matrisler, birçok özellikte bunun tersine benzer.

Matris denklemlerini çözme

Matris denklemleri şöyle görünebilir:

AX = B, HA = B, AXB = C,

burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir.

Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.

Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.

Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.

Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.

Örnek 2

AX = B denklemini çözün, eğer

Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1)

Doğrusal uzaylar

Doğrusal uzayın tanımı

İzin vermek V- kuralların belirlendiği, boş olmayan bir küme (bunun elemanlarına vektörler adını vereceğiz ve ...'i göstereceğiz):

1) herhangi iki öğe, öğelerin toplamı adı verilen üçüncü bir öğeye karşılık gelir (dahili işlem);

2) her biri belirli bir öğeye (harici operasyon) karşılık gelir.

Birçok V aksiyomlar karşılanırsa buna gerçek doğrusal (vektör) uzay denir:

BEN.

III. (sıfır eleman öyle ki ).

IV. (öğenin karşısındaki öğe), öyle ki

V.

VIII. Karmaşık bir doğrusal uzay benzer şekilde tanımlanır (yerine R C).

düşünülüyor

Doğrusal uzayın alt uzayı V kümesine doğrusal uzayın alt uzayı denir.

1)

, Eğer: Doğrusal uzay vektör sistemi L formlar temel Doğrusal uzay vektör sistemi V Doğrusal uzay vektör sistemi eğer bu vektör sistemi sıralıysa, doğrusal olarak bağımsızsa ve herhangi bir vektör

sistem vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi 1 , ..., Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e N Doğrusal uzay vektör sistemi temel oluşturur herhangi bir vektör varsa X Doğrusal uzay vektör sistemi itibaren

herhangi bir vektör varsaşeklinde sunulabilir Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi= C 1 · 1 +C 2·e e · Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e .

2 + ...+С

Temel farklı şekilde tanımlanabilir. Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi 1 , ..., Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e Herhangi bir sıralı doğrusal bağımsız sistem vektörler N- Doğrusal uzay vektör sistemi e boyutlu doğrusal uzay

bu alanın temelini oluşturur. eÇünkü Doğrusal uzay vektör sistemi e , uzayın boyutu herhangi bir vektör varsa,Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi 1 , ..., Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e uzayın doğrusal bağımsız vektörlerinin maksimum sayısı, ardından vektörler sistemi herhangi bir vektör varsa doğrusal olarak bağımlı ve dolayısıyla vektör Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi 1 , ..., Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e :

herhangi bir vektör varsa = herhangi bir vektör varsa vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi 1 + herhangi bir vektör varsa 2 1 +C 2 2 + ...+ herhangi bir vektör varsa e · Başka bir deyişle, doğrusal olarak bağımsız sıralı bir vektör sistemi e .

1 · Bir vektörün tabana göre ayrıştırılması.

sadece Teorem 1. (Doğrusal olarak bağımsız ve vektör üreten sistemlerdeki vektörlerin sayısı hakkında.) Doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemindeki vektörlerin sayısı, aynı vektörleri üreten herhangi bir sistemdeki vektörlerin sayısını aşmaz. vektör

uzay.

Kanıt. Rastgele doğrusal bağımsız bir vektör sistemi, keyfi üreten bir sistem olsun. Bunu varsayalım. Çünkü üreten sistem, o zaman vektör dahil uzayın herhangi bir vektörünü temsil eder. Bunu bu sisteme bağlayalım. Doğrusal olarak bağımlı ve üreten bir vektör sistemi elde ediyoruz:

. Daha sonra bu sistemin önceki vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir vektörü vardır ve lemma sayesinde sistemden çıkarılabilir ve geri kalan vektör sistemi hala üretiliyor olacaktır. Geriye kalan vektör sistemini yeniden numaralandıralım:

Sonra her şey tekrarlanır. Bu sistemde öncekilerle doğrusal olarak ifade edilen bir vektör vardır ve bu bir vektör olamaz çünkü orijinal sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve vektör, vektör cinsinden doğrusal olarak ifade edilmez. Bu, bunun vektörlerden yalnızca biri olabileceği anlamına gelir. Sistemden çıkardıktan sonra yeniden numaralandırdıktan sonra üretim sistemi olacak sistemi elde ediyoruz. Bu süreci devam ettirerek, adımlarla bir vektör üreten sistem elde ederiz: , nerede , çünkü tahminimize göre. Bu, bu sistemin bir jeneratör olarak aynı zamanda vektörü de temsil ettiği anlamına gelir; bu da sistemin doğrusal bağımsızlığı koşuluyla çelişir.

Teorem 1 kanıtlandı.

Teorem 2. (Tabandaki vektörlerin sayısı hakkında.) Herhangi bir vektör bazında uzay aynı sayıda vektör içerir.

Kanıt. ve bir vektör uzayının iki keyfi tabanı olsun. Herhangi bir temel, doğrusal olarak bağımsız ve üreten bir vektör sistemidir.

Çünkü birinci sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve ikincisi, Teorem 1'e göre üretir.

Benzer şekilde, ikinci sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve birincisi üretmektedir, o halde . Bunu takip eder, vb.

Teorem 2 kanıtlandı.

Bu teorem aşağıdaki tanımı girmenizi sağlar.

Tanım. Bir K alanı üzerindeki V vektör uzayının boyutu, tabanındaki vektörlerin sayısıdır.

Tanım: veya .

Vektör koordinatları— mümkün olan tek katsayılar doğrusal kombinasyon temel vektörler seçilenlerde koordinat sistemi, bu vektöre eşit.