Muhtemelen herkes parabolün ne olduğunu biliyor. Ancak aşağıda çeşitli pratik sorunları çözerken bunu nasıl doğru ve yetkin bir şekilde kullanacağımıza bakacağız.
Öncelikle cebir ve geometrinin bu terime kazandırdığı temel kavramları özetleyelim. Bu grafiğin tüm olası türlerini ele alalım.
Bu fonksiyonun tüm temel özelliklerini bulalım. Eğri yapısının (geometri) temellerini anlayalım. Bu tür bir grafiğin üst ve diğer temel değerlerini nasıl bulacağımızı öğrenelim.
Hadi öğrenelim: Denklemi kullanarak istenen eğriyi doğru bir şekilde nasıl oluşturacağınızı, nelere dikkat etmeniz gerektiğini. Bu eşsiz değerin insan yaşamındaki ana pratik uygulamasına bakalım.
Parabol nedir ve neye benziyor?
Cebir: Bu terim ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini ifade eder.
Geometri: Bu, bir takım belirli özelliklere sahip olan ikinci dereceden bir eğridir:
Kanonik parabol denklemi
Şekilde dikdörtgen bir koordinat sistemi (XOY), bir ekstremum, fonksiyonun apsis ekseni boyunca çizilen dallarının yönü gösterilmektedir.
Kanonik denklem:
y 2 = 2 * p * x,
burada p katsayısı parabolün (AF) odak parametresidir.
Cebirde farklı şekilde yazılacaktır:
y = a x 2 + b x + c (tanınabilir model: y = x 2).
İkinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafiği
Fonksiyonun bir simetri ekseni ve bir merkezi (ekstremum) vardır. Tanım alanı apsis ekseninin tüm değerleridir.
– (-∞, M) veya (M, +∞) fonksiyonunun değer aralığı, eğrinin dallarının yönüne bağlıdır. Buradaki M parametresi satırın üst kısmındaki fonksiyonun değeri anlamına gelir.
Bir parabolün dallarının nereye yönlendirildiği nasıl belirlenir
Bu tür bir eğrinin yönünü bir ifadeden bulmak için cebirsel ifadenin ilk parametresinden önceki işareti belirlemeniz gerekir. Eğer a˃ 0 ise yukarı doğru yönlendirilirler. Tam tersi olursa aşağı.
Formülü kullanarak bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur?
Ekstremumun bulunması birçok pratik problemin çözümünde temel adımdır. Elbette özel çevrimiçi hesap makinelerini açabilirsiniz, ancak bunu kendiniz yapabilmek daha iyidir.
Nasıl belirlenir? Özel bir formül var. b 0'a eşit olmadığında bu noktanın koordinatlarını aramamız gerekir.
Köşeyi bulma formülleri:
- x 0 = -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Örnek.
y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 şeklinde bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun köşelerini bulalım.
Bunun gibi bir satır için:
- x = -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Tepe noktasının koordinatlarını alıyoruz (-2, -41).
Parabol yer değiştirmesi
Klasik durum, ikinci dereceden bir fonksiyonda y = a x 2 + b x + c, ikinci ve üçüncü parametrelerin 0'a eşit olması ve = 1 - tepe noktasının (0; 0) noktasında olmasıdır.
Apsis veya ordinat eksenleri boyunca hareket, sırasıyla b ve c parametrelerindeki değişikliklerden kaynaklanmaktadır. Düzlemdeki çizgi, parametrenin değerine eşit birim sayısı kadar kaydırılacaktır.
Örnek.
Elimizde: b = 2, c = 3.
Bu, eğrinin klasik formunun apsis ekseni boyunca 2 birim parça ve ordinat ekseni boyunca 3 birim kaydırılacağı anlamına gelir.
İkinci dereceden denklem kullanarak parabol nasıl oluşturulur
Okul çocuklarının verilen parametreleri kullanarak bir parabolün nasıl doğru şekilde çizileceğini öğrenmesi önemlidir.
İfadeleri ve denklemleri analiz ederek aşağıdakileri görebilirsiniz:
- İstenilen çizginin ordinat vektörü ile kesişme noktası c'ye eşit bir değere sahip olacaktır.
- Grafiğin tüm noktaları (x ekseni boyunca) fonksiyonun ana uç noktasına göre simetrik olacaktır.
Ayrıca böyle bir fonksiyonun diskriminantı (D) bilinerek OX ile kesişim noktaları bulunabilir:
D = (b 2 - 4 * a * c).
Bunu yapmak için ifadeyi sıfıra eşitlemeniz gerekir.
Bir parabolün köklerinin varlığı sonuca bağlıdır:
- D ˃ 0, o zaman x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D = 0 ise x 1, 2 = -b / (2*a);
- D ˂ 0 ise OX vektörüyle kesişme noktası yoktur.
Bir parabol oluşturmak için algoritmayı alıyoruz:
- dalların yönünü belirlemek;
- tepe noktasının koordinatlarını bulun;
- ordinat ekseniyle kesişimi bulun;
- x ekseniyle kesişimi bulun.
Örnek 1.
y = x 2 - 5 * x + 4 fonksiyonu göz önüne alındığında. Bir parabol oluşturmak gereklidir. Algoritmayı takip ediyoruz:
- a = 1, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
- ekstrem koordinatlar: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- ordinat ekseni ile y = 4 değerinde kesişir;
- diskriminantı bulalım: D = 25 - 16 = 9;
- kök arıyorum:
- X1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).
Örnek 2.
y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 fonksiyonu için bir parabol oluşturmanız gerekir. Verilen algoritmaya göre hareket ediyoruz:
- a = 3, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
- ekstrem koordinatlar: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- y ekseni ile y = -1 değerinde kesişecektir;
- diskriminantı bulalım: D = 4 + 12 = 16. Yani kökler:
- X1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
Elde edilen noktaları kullanarak bir parabol oluşturabilirsiniz.
Directrix, eksantriklik, bir parabolün odağı
Kanonik denkleme göre F'nin odağının koordinatları vardır (p/2, 0).
AB düz çizgisi bir direktriktir (belirli bir uzunluktaki bir parabolün bir tür akoru). Denklemi: x = -p/2.
Eksantriklik (sabit) = 1.
Çözüm
Öğrencilerin lisede okudukları bir konuya baktık. Artık bir parabolün ikinci dereceden fonksiyonuna bakarak tepe noktasını nasıl bulacağınızı, dalların hangi yöne yönlendirileceğini, eksenler boyunca bir yer değiştirme olup olmadığını ve bir inşaat algoritmasına sahip olarak grafiğini çizebileceğinizi biliyorsunuz.
Okuyucuların geri kalanının paraboller ve hiperboller hakkındaki okul bilgilerini önemli ölçüde genişletmelerini öneriyorum. Hiperbol ve parabol - bunlar basit mi? ...bekliyorum =)
Hiperbol ve kanonik denklemi
Materyalin sunumunun genel yapısı önceki paragrafa benzeyecektir. Bir hiperbolün genel konsepti ve onu oluşturma görevi ile başlayalım.
Bir hiperbolün kanonik denklemi, pozitif gerçek sayıların bulunduğu formdadır. Lütfen şunu unutmayın: elips, burada şart koşulmuyor yani “a”nın değeri “olmak”ın değerinden küçük olabilir.
Şunu söylemeliyim ki, oldukça beklenmedik bir şekilde... "okul" hiperbolünün denklemi kanonik gösterime pek benzemiyor bile. Ancak bu gizem yine de bizi beklemek zorunda kalacak ama şimdilik kafamızı kaşıyalım ve söz konusu eğrinin hangi karakteristik özelliklere sahip olduğunu hatırlayalım. Hayal gücümüzün ekranına yayalım bir fonksiyonun grafiği ….
Bir hiperbolün iki simetrik dalı vardır.
Fena bir ilerleme değil! Herhangi bir abartı bu özelliklere sahiptir ve şimdi bu çizginin yakasına gerçek bir hayranlıkla bakacağız:
Örnek 4
Denklemin verdiği hiperbolü oluşturun
Çözüm: İlk adımda bu denklemi kanonik forma getiriyoruz. Lütfen standart prosedürü unutmayın. Sağ tarafta "bir" elde etmeniz gerekiyor, bu nedenle orijinal denklemin her iki tarafını da 20'ye bölüyoruz: 
Burada her iki kesri de azaltabilirsiniz, ancak her birini yapmak daha optimaldir üç katlı:
Ve ancak bundan sonra azaltmayı gerçekleştirin:
Paydalardaki kareleri seçin:
Dönüşümleri bu şekilde gerçekleştirmek neden daha iyidir? Sonuçta sol taraftaki kesirler hemen indirgenip elde edilebilir. Gerçek şu ki, söz konusu örnekte biraz şanslıydık: 20 sayısı hem 4'e hem de 5'e bölünebilir. Genel durumda böyle bir sayı işe yaramaz. Örneğin denklemi düşünün. Burada bölünebilirlik varken her şey daha hüzünlü ve üç katlı kesirler artık mümkün değil: 
O halde emeklerimizin meyvesini - kanonik denklemi - kullanalım:
Bir hiperbol nasıl oluşturulur?
Bir hiperbol oluşturmak için geometrik ve cebirsel olmak üzere iki yaklaşım vardır.
Pratik açıdan pusulayla çizim yapmak... Hatta ütopik bile diyebilirim, bu yüzden yardımcı olmak için bir kez daha basit hesaplamalar kullanmak çok daha karlı.
Önce bitmiş çizim, sonra yorumlar olmak üzere aşağıdaki algoritmaya uymanız önerilir:
Uygulamada, rastgele bir açıyla döndürme ve hiperbolün paralel ötelenmesi kombinasyonuyla sıklıkla karşılaşılır. Bu durum sınıfta tartışılır. 2. dereceden doğru denkleminin kanonik forma indirgenmesi.
Parabol ve kanonik denklemi
Bitti! O tek kişi. Birçok sırrı açığa çıkarmaya hazır. Bir parabolün kanonik denklemi, gerçek sayı olan forma sahiptir. Standart konumunda parabolün "yan tarafında" olduğunu ve tepe noktasının orijinde olduğunu fark etmek kolaydır. Bu durumda fonksiyon bu çizginin üst dalını, fonksiyon ise alt dalını belirtir. Parabolün eksene göre simetrik olduğu açıktır. Aslında neden rahatsız olalım:
Örnek 6
Bir parabol oluşturun
Çözüm: Tepe noktası biliniyor, ek noktalar bulalım. Denklem 
parabolün üst yayını belirler, denklem ise alt yayını belirler.
Hesaplamaların kaydını kısaltmak için hesaplamaları “tek fırçayla” gerçekleştireceğiz: 
Kompakt kayıt için sonuçlar bir tabloda özetlenebilir.
Temel bir noktadan noktaya çizim yapmadan önce, katı bir formül oluşturalım.
parabolün tanımı:
Bir parabol, düzlemde belirli bir noktaya ve bu noktadan geçmeyen belirli bir çizgiye eşit uzaklıkta olan tüm noktaların kümesidir.
Nokta denir odak paraboller, düz çizgi - müdire (tek "es" ile yazılır) paraboller. Kanonik denklemin sabiti "pe" denir odak parametresi, odaktan direktriye olan mesafeye eşittir. Bu durumda . Bu durumda, odağın koordinatları vardır ve doğrultman denklem tarafından verilir.
Örneğimizde: 
Bir parabolün tanımını anlamak, bir elips ve bir hiperbolün tanımlarını anlamaktan bile daha kolaydır. Bir parabol üzerindeki herhangi bir nokta için, parçanın uzunluğu (odak noktasından noktaya olan mesafe) dik olanın uzunluğuna (noktadan doğrultmana olan mesafe) eşittir:
Tebrikler! Birçoğunuz bugün gerçek bir keşif yaptınız. Bir hiperbol ve bir parabolün hiç de "sıradan" fonksiyonların grafikleri olmadığı, belirgin bir geometrik kökene sahip olduğu ortaya çıktı.
Açıkçası, odak parametresi arttıkça grafiğin dalları yukarı ve aşağı "yükselecek" ve eksene sonsuz derecede yaklaşacaktır. “Pe” değeri azaldıkça eksen boyunca sıkışmaya ve esnemeye başlayacaklardır.
Herhangi bir parabolün dışmerkezliği birliğe eşittir:
Bir parabolün dönüşü ve paralel ötelenmesi
Parabol matematikteki en yaygın çizgilerden biridir ve onu gerçekten sık sık oluşturmanız gerekecektir. Bu nedenle, lütfen bu eğrinin konumu için tipik seçenekleri tartışacağım dersin son paragrafına özellikle dikkat edin.
! Not : Önceki eğrilerde olduğu gibi, koordinat eksenlerinin dönüşü ve paralel ötelenmesinden bahsetmek daha doğrudur, ancak yazar, okuyucunun bu dönüşümler hakkında temel bir anlayışa sahip olması için kendisini sunumun basitleştirilmiş bir versiyonuyla sınırlayacaktır.
Bir parabol, parabolün doğrultmanı adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktalardan ve parabolün odağı olan belirli bir noktadan oluşan sonsuz bir eğridir. Bir parabol konik bir kesittir, yani bir düzlem ile dairesel bir koninin kesişimini temsil eder.
Genel olarak, bir parabolün matematiksel denklemi şu şekildedir: y=ax^2+bx+c, burada a sıfıra eşit değildir, b, fonksiyon grafiğinin orijine göre yatay yer değiştirmesini yansıtır ve c, dikeydir. fonksiyon grafiğinin orijine göre yer değiştirmesi. Ayrıca, eğer a>0 ise, grafiği çizerken yukarı doğru yönlendirileceklerdir ve eğer aParbolün özellikleri
Parabol, parabolün odağından geçen ve parabolün doğrultusuna dik bir simetri eksenine sahip ikinci dereceden bir eğridir.
Bir parabolün özel bir optik özelliği vardır; bu, ışık ışınlarının simetri eksenine paralel olarak odaklanmasını ve parabolün tepe noktasında parabolün içine yönlendirilmesini ve parabolün tepe noktasına yönlendirilen bir ışık ışınının, parabolün tepe noktasına göre paralel ışık ışınlarına odaklanmasını içeren özel bir optik özelliğe sahiptir. aynı eksen.
Bir parabolü herhangi bir teğete göre yansıtırsanız, parabolün görüntüsü onun direktrisinde görünecektir. Tüm paraboller birbirine benzerdir, yani bir parabolün her iki A ve B noktasına karşılık |A1,B1| ifadesinin geçerli olduğu A1 ve B1 noktaları vardır. = |A,B|*k, burada k, sayısal değerde her zaman sıfırdan büyük olan benzerlik katsayısıdır.
Hayatta bir parabolün tezahürü
Büyük uzay nesnelerinin yakınından yüksek hızla geçen kuyruklu yıldızlar veya asteroitler gibi bazı kozmik cisimler parabol şeklinde bir yörüngeye sahiptir. Küçük kozmik cisimlerin bu özelliği, uzay aracının yerçekimi manevralarında kullanılır.
Geleceğin kozmonotlarını eğitmek için yerde parabolik bir yörünge boyunca özel uçak uçuşları gerçekleştiriliyor, böylece dünyanın yerçekimi alanında ağırlıksızlık etkisi sağlanıyor.
Günlük yaşamda çeşitli aydınlatma armatürlerinde parabollere rastlamak mümkündür. Bunun nedeni parabolün optik özelliğidir. Işık ışınlarını odaklama ve odak dışı bırakma özelliklerine dayanan bir parabol kullanmanın en son yollarından biri, Rusya'nın güney bölgelerinde enerji tedarik sektörüne giderek daha fazla dahil olan güneş panelleridir.
Parabol, düzlemde belirli bir F noktasına ve bu noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeridir. Bu geometrik tanım ifade eder bir parabolün yönsel özelliği.
Bir parabolün yönsel özelliği
F noktasına parabolün odağı denir, d çizgisi parabolün doğrultmanıdır, odak noktasından doğrultuya indirilen dikin orta noktası O parabolün tepe noktasıdır, p odaktan doğrultuya olan mesafedir parabolün parametresidir ve parabolün tepe noktasından odağına olan uzaklık \frac(p)(2) odak uzaklığıdır (Şekil 3.45, a). Doğrultmana dik olan ve odak noktasından geçen düz çizgiye parabolün ekseni (parabolün odak ekseni) denir. Parabolün rastgele bir M noktasını odağına bağlayan FM segmentine M noktasının odak yarıçapı denir. Bir parabolün iki noktasını birleştiren doğru parçasına parabolün kirişi denir.
Bir parabolün rastgele bir noktası için, odağa olan mesafenin doğrultmana olan mesafeye oranı bire eşittir. , ve parabollerin yönsel özelliklerini karşılaştırarak şu sonuca varırız: parabolün dışmerkezliği tanım gereği bire eşittir (e=1).
Bir parabolün geometrik tanımı Yönsel özelliğini ifade eden analitik tanımına eşdeğerdir - bir parabolün kanonik denklemiyle tanımlanan çizgi:
Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.45, b). Koordinat sisteminin orijini olarak parabolün O köşesini alıyoruz; apsis ekseni olarak odak noktasından direktrise dik olarak geçen düz çizgiyi alıyoruz (üzerindeki pozitif yön O noktasından F noktasına kadardır); Apsis eksenine dik olan ve parabolün tepe noktasından geçen düz çizgiyi ordinat ekseni olarak alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy sağa olacak şekilde seçilmiştir).
Bir parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak bir parabol için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odağın koordinatlarını belirliyoruz F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ve doğrultman denklemi x=-\frac(p)(2) . Bir parabole ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:
FM=MM_d,
Nerede M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- M(x,y) noktasının doğrultmana dik izdüşümü. Bu denklemi koordinat biçiminde yazıyoruz:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Denklemin her iki tarafının karesini alırız: (\sol(x-\frac(p)(2)\sağ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Benzer terimleri getirdiğimizde şunu elde ederiz: kanonik parabol denklemi
y^2=2\cdot p\cdot x, onlar. seçilen koordinat sistemi kanoniktir.
Akıl yürütmeyi ters sırayla yürüterek, koordinatları denklemi (3.51) karşılayan tüm noktaların ve yalnızca bunların parabol adı verilen noktaların konumuna ait olduğunu gösterebiliriz. Dolayısıyla bir parabolün analitik tanımı, parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.
Kutupsal koordinat sisteminde parabol denklemi
Fr\varphi kutupsal koordinat sistemindeki bir parabolün denklemi (Şekil 3.45, c) şu şekildedir:
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), burada p parabolün parametresidir ve e=1 onun dışmerkezliğidir.
Aslında, kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak parabolün F odağını ve kutupsal eksen olarak - F noktasında başlayan, doğrultuya dik ve onunla kesişmeyen bir ışın seçiyoruz (Şekil 3.45, c). . O zaman bir parabolün geometrik tanımına (yön özelliği) göre, bir parabole ait rastgele bir M(r,\varphi) noktası için MM_d=r elde ederiz. Çünkü MM_d=p+r\cos\varphi, parabol denklemini koordinat biçiminde elde ederiz:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Kutupsal koordinatlarda elips, hiperbol ve parabol denklemlerinin çakıştığını, ancak dışmerkezlikleri farklı olduğundan farklı çizgileri tanımladıklarını unutmayın (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 için).
Parabol denklemindeki parametrenin geometrik anlamı
Hadi açıklayalım parametrenin geometrik anlamı kanonik parabol denkleminde p. Denklem (3.51)'de x=\frac(p)(2)'yi yerine koyarsak, y^2=p^2 elde ederiz, yani. y=\pm p . Bu nedenle, p parametresi, parabolün eksenine dik olarak odağından geçen parabolün kirişinin uzunluğunun yarısı kadardır.
Parabolün odak parametresi bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi, odak eksenine dik olarak odağından geçen akorun uzunluğunun yarısı denir (bkz. Şekil 3.45, c). Kutupsal koordinatlarda bir parabol denkleminden \varphi=\frac(\pi)(2) r=p elde ederiz, yani. parabolün parametresi odak parametresiyle çakışır.
Notlar 3.11.
1. Bir parabolün p parametresi onun şeklini karakterize eder. P ne kadar büyük olursa, parabolün dalları o kadar geniş olur, p sıfıra o kadar yakın olur, parabolün dalları o kadar dar olur (Şekil 3.46).
2. y^2=-2px denklemi (p>0 için), ordinat ekseninin solunda yer alan bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47,a). Bu denklem, x ekseninin (3.37) yönü değiştirilerek kanonik hale getirilir. İncirde. Şekil 3.47,a verilen Oxy koordinat sistemini ve kanonik Ox"y"yi göstermektedir.
3. Denklem (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 ekseni apsis eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabol tanımlar (Şekil 3.47,6). Bu denklem paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.
Denklem (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, ayrıca ekseni ordinat eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47, c). Bu denklem, paralel çeviri (3.36) kullanılarak ve yeniden adlandırılarak kanonik olana indirgenir. koordinat eksenleri (3.38). Şekil 3.47,b,c'de verilen Oxy koordinat sistemleri ve Ox"y" kanonik koordinat sistemleri gösterilmektedir.
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 tepe noktası noktası olan bir paraboldür O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right) Ekseni ordinat eksenine paralel olan parabolün dalları yukarıya (a>0 için) veya aşağıya (a için) yönlendirilir.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\sağ)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
bu, (y")^2=2px" kanonik biçimine indirgenmiştir; burada p=\sol|\frac(1)(2a)\sağ|, değiştirmeyi kullanarak y"=x+\frac(b)(2a) Ve x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
İşaret, baş katsayı a'nın işaretiyle çakışacak şekilde seçilir. Bu değiştirme şu bileşime karşılık gelir: paralel transfer (3.36) ile x_0=-\frac(b)(2a) Ve y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), koordinat eksenlerinin (3.38) yeniden adlandırılması ve<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ve bir<0 соответственно.
5. Kanonik koordinat sisteminin x ekseni parabolün simetri ekseni y değişkeninin -y ile değiştirilmesi denklemi (3.51) değiştirmediğinden. Başka bir deyişle, parabole ait M(x,y noktasının koordinatları ile M noktasına göre x eksenine göre simetrik olan M"(x,-y) noktasının koordinatları denklemi sağlar. (3.S1) kanonik koordinat sisteminin eksenleri denir. parabolün ana eksenleri.
Örnek 3.22. Oxy kanonik koordinat sisteminde y^2=2x parabolünü çizin. Odak parametresini, odak koordinatlarını ve doğrultman denklemini bulun.
Çözüm. Apsis eksenine göre simetrisini dikkate alarak bir parabol inşa ediyoruz (Şekil 3.49). Gerekirse parabolün bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, parabol denkleminde x=2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Sonuç olarak koordinatları (2;2),\,(2;-2) olan noktalar parabole aittir.
Verilen denklemi kanonik denklemle (3.S1) karşılaştırarak odak parametresini belirleriz: p=1. Odak koordinatları x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, yani F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). x=-\frac(p)(2) direktrisinin denklemini oluşturuyoruz, yani. x=-\frac(1)(2) .
Elips, hiperbol ve parabolün genel özellikleri
1. Yön özelliği bir elipsin, hiperbolün, parabolün tek bir tanımı olarak kullanılabilir (bkz. Şekil 3.50): düzlemdeki noktaların yeri; her biri için belirli bir F noktasına olan mesafenin (odak), belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye olan mesafeye d (doğrultman) oranı sabittir ve dışmerkezliğe e eşittir , denir:
a) eğer 0\leqslant e ise<1 ;
b) e>1 ise;
c) e=1 ise parabol.
2. Bir elips, hiperbol ve parabol, dairesel bir koninin kesitlerindeki düzlemler olarak elde edilir ve bu nedenle bunlara denir. konik bölümler. Bu özellik aynı zamanda bir elipsin, hiperbolün ve parabolün geometrik tanımı olarak da kullanılabilir.
3. Elips, hiperbol ve parabolün ortak özellikleri şunlardır: iki sektörlü mülk onların teğetleri. Altında teğet Bir noktada bir çizgiye K, söz konusu çizgi üzerinde kalan M noktası K noktasına doğru yöneldiğinde KM sekantının sınırlayıcı konumu olarak anlaşılmaktadır. Bir doğruya teğet olan noktaya dik olan ve teğet noktasından geçen doğruya denir normal bu satıra.
Bir elips, hiperbol ve parabolün teğetlerinin (ve normallerinin) bisektörel özelliği aşağıdaki şekilde formüle edilir: Bir elips veya hiperbolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, a, b); parabolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılar oluşturur ve ondan doğrultmana bırakılan dik(Şekil 3.51, c). Başka bir deyişle, elipsin K noktasındaki teğeti, F_1KF_2 üçgeninin dış açısının ortasıdır (ve normal, üçgenin F_1KF_2 iç açısının ortasıdır); hiperbolün teğeti, F_1KF_2 üçgeninin iç açısının ortayıdır (ve normal, dış açının ortasıdır); parabolün teğeti FKK_d üçgeninin iç açısının ortasıdır (ve normal, dış açının ortasıdır). Bir parabolün bisektörel özelliği, parabolün sonsuzda bir noktada ikinci bir odağa sahip olduğunu varsayarsak, bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi aynı şekilde formüle edilebilir.
4. Bisektörel özelliklerden şu sonuç çıkıyor elips, hiperbol ve parabolün optik özellikleri"odaklanma" teriminin fiziksel anlamını açıklıyor. Bir elips, hiperbol veya parabolün odak ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyleri hayal edelim. Bu yüzeylere yansıtıcı kaplama uygulandığı takdirde eliptik, hiperbolik ve parabolik aynalar elde edilir. Optik yasasına göre, bir ışık ışınının aynaya gelme açısı yansıma açısına eşittir; Gelen ve yansıyan ışınlar yüzeye normalle eşit açılar oluşturur ve hem ışınlar hem de dönme ekseni aynı düzlemdedir. Buradan aşağıdaki özellikleri elde ederiz:
– ışık kaynağı eliptik bir aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları başka bir odakta toplanır (Şekil 3.52, a);
– ışık kaynağı hiperbolik aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları sanki başka bir odaktan geliyormuş gibi uzaklaşır (Şekil 3.52, b);
– ışık kaynağı parabolik bir aynanın odağındaysa, aynadan yansıyan ışık ışınları odak eksenine paralel gider (Şekil 3.52, c).
5. Çap özelliği elips, hiperbol ve parabol şu şekilde formüle edilebilir:
– Bir elipsin paralel kirişlerinin (hiperbol) orta noktaları, elipsin merkezinden (hiperbol) geçen bir düz çizgi üzerinde yer alır.;
– Bir parabolün paralel kirişlerinin orta noktaları, parabolün düz, eşdoğrusal simetri ekseni üzerinde yer alır.
Bir elipsin (hiperbol, parabol) tüm paralel kirişlerinin orta noktalarının geometrik odağına denir. elipsin çapı (hiperbol, parabol), bu akorlarla eşlenik.
Bu, çapın dar anlamda tanımıdır (bkz. örnek 2.8). Daha önce, bir elipsin, hiperbolün, parabolün ve diğer ikinci dereceden çizgilerin çapının, tüm paralel kirişlerin orta noktalarını içeren düz bir çizgi olduğu geniş anlamda bir çap tanımı verilmişti. Dar anlamda bir elipsin çapı, merkezinden geçen herhangi bir kiriştir (Şekil 3.53,a); bir hiperbolün çapı, hiperbolün merkezinden geçen herhangi bir düz çizgidir (asimptotlar hariç) veya böyle bir düz çizginin parçasıdır (Şekil 3.53,6); Bir parabolün çapı, parabolün belirli bir noktasından simetri eksenine doğru uzanan herhangi bir ışındır (Şekil 3.53, c).
Her biri diğer çapa paralel olarak tüm kirişleri ikiye bölen iki çapa eşlenik denir. Şekil 3.53'te kalın çizgiler bir elipsin, hiperbolün ve parabolün eşlenik çaplarını göstermektedir.
K noktasında elipse (hiperbol, parabol) teğet, M_1M_2 paralel kesenlerinin sınır konumu olarak tanımlanabilir; söz konusu çizgi üzerinde kalan M_1 ve M_2 noktaları K noktasına doğru eğilim gösterir. Bu tanımdan, akorlara paralel bir teğetin, bu akorlara eşlenik çapın ucundan geçtiği sonucu çıkar.
6. Elips, hiperbol ve parabolün yukarıda verilenlere ek olarak çok sayıda geometrik özelliği ve fiziksel uygulaması vardır. Örneğin, Şekil 3.50, F ağırlık merkezinin yakınında bulunan uzay nesnelerinin yörüngelerinin bir gösterimi olarak hizmet edebilir.
