Birinci dereceden homojen trigonometrik denklem örnekleri. Doğrusal olmayan denklemlere sahip sistemler

Bu video dersiyle öğrenciler homojen trigonometrik denklemler konusunu çalışabilecekler.

Tanımları verelim:

1) birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem sin x + b cos x = 0'a benzer;

2) ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0'a benzer.

a sin x + b cos x = 0 denklemini düşünün. Eğer a sıfıra eşitse denklem b cos x = 0 gibi görünecektir; b sıfıra eşitse denklem sin x = 0 gibi görünecektir. Bunlar en basit dediğimiz ve önceki konularda daha önce çözülmüş denklemlerdir.

Şimdi a ve b'nin sıfıra eşit olmadığı seçeneği düşünün. Denklemin parçalarını kosinüs x'e bölerek dönüşümü gerçekleştiriyoruz. Bir tg x + b = 0 alırsak, o zaman tg x - b/a'ya eşit olacaktır.

Yukarıdakilerden a sin mx + b cos mx = 0 denkleminin I dereceli homojen bir trigonometrik denklem olduğu sonucu çıkar. Bir denklemi çözmek için parçalarını cos mx'e bölün.

Örnek 1'e bakalım. 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0'ı çözün. Öncelikle denklemin parçalarını kosinüs (x/2)'ye bölün. Sinüs bölü kosinüs teğet olduğunu bilerek 7 tan (x/2) - 5 = 0 elde ederiz. İfadeyi dönüştürerek tan (x/2) değerinin 5/7'ye eşit olduğunu buluruz. Bu denklemin çözümü x = arktan a + πn şeklindedir, bizim durumumuzda x = 2 arktan (5/7) + 2πn.

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 denklemini düşünün:

1) sıfıra eşit olduğunda denklem b sin x cos x + c cos 2 x = 0 gibi görünecektir. Dönüştürerek cos x (b sin x + c cos x) = 0 ifadesini elde ederiz ve iki çözümü çözmeye devam ederiz. denklemler. Denklemin parçalarını kosinüs x'e böldükten sonra b tg x + c = 0 elde ederiz, bu da tg x = - c/b anlamına gelir. x = arktan a + πn olduğunu bildiğimizde, bu durumda çözüm x = arktan (- с/b) + πn olacaktır.

2) a sıfıra eşit değilse, denklemin kısımlarını kosinüs kareye bölerek ikinci dereceden olacak bir teğet içeren bir denklem elde ederiz. Bu denklem yeni bir değişken getirilerek çözülebilir.

3) c sıfıra eşit olduğunda denklem a sin 2 x + b sin x cos x = 0 formunu alacaktır. Bu denklem sinüs x'i parantezden çıkararak çözülebilir.

1. Denklemin sin 2 x içerip içermediğine bakın;

2. Denklem a sin 2 x terimini içeriyorsa, denklem her iki tarafı kare kosinüse bölerek ve ardından yeni bir değişken ekleyerek çözülebilir.

3. Denklem sin 2 x içermiyorsa denklem cosx'i parantezlerden çıkararak çözülebilir.

Örnek 2'yi ele alalım. Kosinüsü parantezlerden çıkaralım ve iki denklem elde edelim. İlk denklemin kökü x = π/2 + πn'dir. İkinci denklemi çözmek için bu denklemin parçalarını kosinüs x'e böleriz ve dönüşümle x = π/3 + πn elde ederiz. Cevap: x = π/2 + πn ve x = π/3 + πn.

Örnek 3'ü, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 formundaki bir denklemi çözelim ve bunun - π'den π'ye kadar olan segmente ait köklerini bulalım. Çünkü Bu denklem homojen değildir, homojen hale getirmek gerekiyor. sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanarak sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 denklemini elde ederiz. Denklemin tüm kısımlarını cos 2 x'e bölerek tg 2 2x + elde ederiz. 2tg 2x + 1 = 0 Yeni bir z = tan 2x değişkeninin girdisini kullanarak, kökü z = 1 olan denklemi çözeriz. Sonra tan 2x = 1 olur, bu da x = π/8 + (πn)/2 anlamına gelir. . Çünkü problemin koşullarına göre - π'den π'ye kadar olan segmente ait kökleri bulmanız gerekir, çözüm - π şeklinde olacaktır.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

METİN KOD ÇÖZME:

Homojen trigonometrik denklemler

Bugün “Homojen trigonometrik denklemlerin” nasıl çözüldüğüne bakacağız. Bunlar özel tipte denklemlerdir.

Tanımı tanıyalım.

Formun denklemi ve günah x+BçünküX = 0 (ve sinüs x artı be kosinüs x sıfıra eşittir) birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır;

formun denklemi ve günah 2 x+Bgünah xçünküX+larçünkü 2 X= 0 (ve sinüs kare x artı be sinüs x kosinüs x artı se kosinüs kare x eşittir sıfır) ikinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır.

Eğer a=0, o zaman denklem şu şekli alır BçünküX = 0.

Eğer B = 0 , sonra elde ederiz ve günah x= 0.

Bu denklemler temel trigonometriktir ve çözümlerini önceki konularımızda tartışmıştık.

düşünelim her iki katsayının da sıfıra eşit olmadığı durum. Denklemin her iki tarafını da bölelim AgünahX+ BçünküX = 0 üye üye çünküX.

X'in kosinüsü sıfır olmadığı için bunu yapabiliriz. Sonuçta eğer çünküX = 0 , o zaman denklem AgünahX+ BçünküX = 0 formu alacak AgünahX = 0 , A≠ 0, dolayısıyla günahX = 0 . Bu imkansız çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre günah 2 x+çünkü 2 X=1 .

Denklemin her iki tarafının bölünmesi AgünahX+ BçünküX = 0 üye üye çünküXşunu elde ederiz: + =0

Dönüşümleri gerçekleştirelim:

1. Çünkü = tg x, o halde =ve tg x

2 azaltmak çünküX, Daha sonra

Böylece aşağıdaki ifadeyi elde ederiz ve tg x + b =0.

Dönüşümü gerçekleştirelim:

1.b'yi ters işaretli ifadenin sağ tarafına taşıyın

ve tg x =- b

2. Çarpandan kurtulalım ve denklemin her iki tarafını a'ya bölerek

ten rengi x= -.

Sonuç: Formun denklemi bir günahMx+Bçünkümx = 0 (ve sinüs em x artı be kosinüs em x eşittir sıfır) birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak da adlandırılır. Bunu çözmek için her iki tarafı da ikiye böleriz çünkümx.

ÖRNEK 1. 7 sin - 5 cos = 0 denklemini çözün (yedi sinüs x bölü iki eksi beş kosinüs x bölü iki eşittir sıfır)

Çözüm. Denklem teriminin her iki tarafını da cos'a bölersek, şunu elde ederiz:

1. = 7 tan (sinüs/kosinüs oranı bir teğet olduğundan, yedi sinüs x ikiye bölü kosinüs x ikiye eşittir 7 tan x ikiye eşittir)

2. -5 = -5 (cos kısaltmasıyla)

Böylece denklemi elde ettik

7tg - 5 = 0, İfadeyi dönüştürelim, eksi beşi sağa kaydırıp işaretini değiştirelim.

Denklemi tg t = a biçimine indirgedik; burada t=, a =. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan a + πn ise denklemimizin çözümü şu şekilde olacaktır:

Arctg + πn, x'i bulun

x=2 arktan + 2πn.

Cevap: x=2 arktan + 2πn.

İkinci dereceden homojen trigonometrik denkleme geçelim

Agünah 2 x+b günah x çünkü x +İleçünkü 2 x= 0.

Birkaç durumu ele alalım.

I. Eğer a=0, o zaman denklem şu şekli alır BgünahXçünküX+larçünkü 2 X= 0.

e'yi çözerken Daha sonra denklemleri çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Onu çıkaracağız çünküX parantezlerin ötesinde şunu elde ederiz: çünküX(BgünahX+larçünküX)= 0 . Nerede çünküX= 0 veya

b günah x +İleçünkü x= 0. Ve bu denklemleri nasıl çözeceğimizi zaten biliyoruz.

Denklem teriminin her iki tarafını da cosх'a bölelim, şunu elde ederiz:

1 (sinüs/kosinüs oranı bir teğet olduğundan).

Böylece denklemi elde ederiz: B tgx+c=0

Denklemi t= x, a = olmak üzere tg t = a formuna indirdik. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan a + πn ise denklemimizin çözümü şöyle olacaktır:

x = arktan + πn, .

II. Eğer a≠0, sonra denklemin her iki tarafını terim terime böleriz çünkü 2 X.

(Benzer şekilde tartışarak, birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem durumunda kosinüs x sıfıra gidemez).

III. Eğer c=0, o zaman denklem şu şekli alır Agünah 2 X+ BgünahXçünküX= 0. Bu denklem çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülebilir (çıkarıyoruz) günahX braketin ötesinde).

Bu, denklemi çözerken şu anlama gelir: Agünah 2 X+ BgünahXçünküX+larçünkü 2 X= 0 Algoritmayı takip edebilirsiniz:

ÖRNEK 2. Sinxcosx - cos 2 x= 0 denklemini çözün (sinüs x çarpı kosinüs x eksi üç çarpı kosinüs kare x'in kökü sıfıra eşittir).

Çözüm. Bunu çarpanlara ayıralım (cosx'i parantezlerin dışına çıkaralım). Aldık

cos x(sin x - cos x)= 0, yani cos x=0 veya sin x - cos x= 0.

Cevap: x =+ πn, x= + πn.

ÖRNEK 3. 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (üç sinüs kare iki x eksi iki kat sinüs iki x çarpı kosinüs iki x artı üç kosinüs kare iki x) denklemini çözün ve bunun köklerini bulun. aralık (- π;

Çözüm. Bu denklem homojen değil o yüzden bazı dönüşümler yapalım. Denklemin sağ tarafındaki 2 sayısını 2 1 çarpımı ile değiştiririz

Temel trigonometrik özdeşliğe göre sin 2 x + cos 2 x =1 olduğundan, o zaman

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = parantezleri açtığınızda şunu elde ederiz: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Bu, 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 denkleminin şu formu alacağı anlamına gelir:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

günah 2 2x - 2 günah 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem elde ettik. Cos 2 2x'e göre terim terim bölme yöntemini uygulayalım:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Yeni bir değişken z= tan2x tanıtalım.

Elimizde z 2 - 2 z + 1 = 0 var. Bu ikinci dereceden bir denklemdir. Sol taraftaki kısaltılmış çarpma formülüne - farkın karesine () dikkat ederek (z - 1) 2 = 0 elde ederiz, yani. z = 1. Ters yerine koyma işlemine dönelim:

Denklemi tg t = a formuna indirdik; burada t= 2x, a =1. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan x a + πn ise denklemimizin çözümü şöyle olacaktır:

2х= arktan1 + πn,

x = + , (x, pi çarpı sekiz ve pi en çarpı ikinin toplamına eşittir).

Tek yapmamız gereken aralığın içerdiği x değerlerini bulmak

(- π; π), yani. çifte eşitsizliği karşılayın - π x π. Çünkü

x= +, sonra - π + π. Bu eşitsizliğin tüm kısımlarını π'ye bölüp 8 ile çarparsak şunu elde ederiz:

işareti eksi bir olarak değiştirerek birini sağa ve sola hareket ettirin

dörde bölerek elde ederiz,

Kolaylık sağlamak için tüm parçaları kesirlere ayırıyoruz

-

Bu eşitsizlik aşağıdaki n tamsayısıyla karşılanır: -2, -1, 0, 1

Son ayrıntı, matematikte Birleşik Devlet Sınavından C1 görevlerinin nasıl çözüleceği - Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü. Bu son dersimizde bunları nasıl çözeceğinizi anlatacağız.

Bu denklemler nelerdir? Bunları genel hatlarıyla yazalım.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

burada 'a' ve 'b' bazı sabitlerdir. Bu denkleme birinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir.

Birinci dereceden homojen trigonometrik denklem

Böyle bir denklemi çözmek için onu \cos x'e bölmeniz gerekir. Daha sonra forma girecek

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Böyle bir denklemin cevabı arktanjant kullanılarak kolaylıkla yazılabilir.

'\cos x ≠0' olduğuna dikkat edin. Bunu doğrulamak için denklemde kosinüs yerine sıfır koyarız ve sinüsün de sıfıra eşit olması gerektiğini buluruz. Ancak aynı anda sıfıra eşit olamazlar, bu da kosinüsün sıfır olmadığı anlamına gelir.

Bu yılın gerçek sınavındaki bazı sorular homojen bir trigonometrik denklem içeriyordu. bağlantısını takip edin. Sorunun biraz basitleştirilmiş bir versiyonunu ele alacağız.

İlk örnek. Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$\sin x + \cos x = 0,$$

"\cos x"e bölün.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Tekrar ediyorum, Birleşik Devlet Sınavında da benzer bir görev vardı :) elbette yine de kökleri seçmeniz gerekiyor ama bu da herhangi bir özel zorluğa neden olmamalı.

Şimdi bir sonraki denklem türüne geçelim.

İkinci derecenin homojen trigonometrik denklemi

Genel olarak şöyle görünür:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

burada 'a, b, c' bazı sabitlerdir.

Bu tür denklemler "\cos^2 x" (yine sıfır değildir) ile bölünerek çözülür. Hemen bir örneğe bakalım.

İkinci örnek. İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

"\cos^2 x"'e bölün.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

't = \tg x'i değiştirelim.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Ters değiştirme

$$\tg x = 3, \text( veya ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( veya ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Cevap alındı.

Üçüncü örnek. İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Her şey yoluna girecek ama bu denklem homojen değil - sağ taraftaki '-2' bize engel oluyor. Ne yapalım? Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım ve onu kullanarak '-2' yazalım.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

"\cos^2 x"'e bölün.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Değiştirme 't= \tg x'.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Ters değiştirmeyi gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( veya ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Bu, bu eğitimdeki son örnektir.

Her zamanki gibi şunu hatırlatayım: Eğitim bizim için her şeydir. Bir kişi ne kadar zeki olursa olsun, eğitim olmadan beceriler gelişmeyecektir. Sınav sırasında bu durum kaygı, hata ve zaman kaybıyla doludur (bu listeye kendiniz devam edin). Mutlaka çalışın!

Eğitim görevleri

Denklemleri çözün:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Bu, gerçek Birleşik Devlet Sınavı 2013'ün bir görevidir. Hiç kimse derecelerin özelliklerine ilişkin bilgiyi iptal etmedi, ancak unutursanız bir göz atın;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Yedinci dersteki formül işinize yarayacak.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Hepsi bu. Ve her zamanki gibi, son olarak: Yorumlarda sorular sorun, videoları izleyin, Birleşik Devlet Sınavının nasıl çözüleceğini öğrenin.

Bugün homojen trigonometrik denklemleri inceleyeceğiz. Öncelikle terminolojiye bakalım: Homojen trigonometrik denklem nedir? Aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. birkaç terim içermelidir;
2. tüm terimler aynı dereceye sahip olmalıdır;
3. homojen bir trigonometrik özdeşliğe dahil olan tüm fonksiyonların zorunlu olarak aynı argümana sahip olması gerekir.

Çözüm algoritması

Şartları seçelim

Ve eğer ilk noktada her şey açıksa, o zaman ikincisinden daha ayrıntılı olarak bahsetmeye değer. Aynı derecedeki terimlere sahip olmak ne anlama gelir? İlk soruna bakalım:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Bu denklemdeki ilk terim 3cosx 3\çünkü x. Lütfen burada yalnızca bir trigonometrik fonksiyonun olduğunu unutmayın - cosx\cos x - ve burada başka trigonometrik fonksiyon mevcut olmadığından bu terimin derecesi 1'dir. İkinci terim için de aynısı - 5sinx 5\sin x - burada yalnızca sinüs vardır, yani bu terimin derecesi de bire eşittir. Yani önümüzde, her biri bir trigonometrik fonksiyon içeren ve yalnızca bir tane olan iki öğeden oluşan bir kimlik var. Bu birinci dereceden bir denklemdir.

Gelelim ikinci ifadeye:

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Bu yapının ilk elemanı 4günah2 X 4((\sin )^(2))x.

Artık aşağıdaki çözümü yazabiliriz:

günah2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Yani birinci terim iki trigonometrik fonksiyon içerir, yani derecesi ikidir. Gelelim ikinci unsura: günah2x\sin 2x. Bu formülü hatırlayalım - çift açı formülü:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Ve yine, ortaya çıkan formülde iki trigonometrik fonksiyonumuz var - sinüs ve kosinüs. Böylece bu yapım teriminin güç değeri de ikiye eşit olur.

Üçüncü öğeye geçelim - 3. Lise matematik dersinden herhangi bir sayının 1 ile çarpılabileceğini hatırlıyoruz ve bunu yazıyoruz:

˜ 3=3⋅1

Ve birim, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak aşağıdaki biçimde yazılabilir:

1=günah2 x⋅ çünkü2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Bu nedenle 3'ü şu şekilde yeniden yazabiliriz:

3=3(günah2 x⋅ çünkü2 X)=3günah2 x+3 çünkü2 X

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \çünkü )^(2))x

Böylece 3. terimimiz her biri homojen ve ikinci dereceden olan iki elemente bölünmüş olur. Birinci terimdeki sinüs iki kez oluşur, ikinci terimdeki kosinüs de iki kez oluşur. Dolayısıyla 3, üssü iki olan bir terim olarak da temsil edilebilir.

Üçüncü ifadeyle aynı şey:

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

Görelim. İlk terim günah3 X((\sin )^(3))x üçüncü dereceden trigonometrik bir fonksiyondur. İkinci unsur - günah2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

günah2 ((\sin )^(2)) güç değerinin iki ile çarpıldığı bir bağlantıdır cosx\çünkü x ilk terimdir. Toplamda üçüncü terimin güç değeri de üçtür. Son olarak sağ tarafta başka bir bağlantı var - 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x üçüncü dereceden bir elemandır. Böylece önümüzde üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem var.

Farklı derecelerde yazılı üç kimliğimiz var. İkinci ifadeye tekrar dikkat edin. Orijinal kayıtta üyelerden birinin bir tartışması var 2x 2x. Bu argümandan çift açılı sinüs formülünü kullanarak dönüştürerek kurtulmak zorunda kalıyoruz çünkü kimliğimizde yer alan tüm fonksiyonların mutlaka aynı argümana sahip olması gerekiyor. Bu da homojen trigonometrik denklemlerin bir gereğidir.

Ana trigonometrik özdeşlik formülünü kullanıyoruz ve nihai çözümü yazıyoruz

Şartları sıraladık, çözüme geçelim. Kuvvet üssüne bakılmaksızın, bu tür eşitliklerin çözümü her zaman iki adımda gerçekleştirilir:

1) bunu kanıtla

cosx≠0

\cos x\ne 0. Bunu yapmak için ana trigonometrik özdeşliğin formülünü hatırlamak yeterlidir. (günah2 x⋅ çünkü2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) ve bu formülü yerine koyun cosx=0\çünkü x=0. Aşağıdaki ifadeyi elde edeceğiz:

günah2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Elde edilen değerlerin değiştirilmesi, yani. cosx\çünkü x sıfırdır ve bunun yerine sinx\sin x — 1 veya -1, orijinal ifadede yanlış bir sayısal eşitlik elde edeceğiz. Gerekçesi bu

cosx≠0

2) ikinci adım mantıksal olarak birinci adımdan sonra gelir. Çünkü

cosx≠0

\cos x\ne 0, yapının her iki tarafını da şuna böleriz: çünküN X((\cos )^(n))x, burada N n, homojen bir trigonometrik denklemin kuvvet üssünün kendisidir. Bu bize ne veriyor:

\[\begin(array)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(dizi)\]

Bu sayede hantal ilk yapımımız denkleme indirgenmiştir. N Teğete göre n derece, çözümü değişken değişikliği kullanılarak kolayca yazılabilir. Bütün algoritma bu. Pratikte nasıl çalıştığını görelim.

Gerçek sorunları çözüyoruz

Görev No.1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Bunun güç üssü bire eşit olan homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten öğrenmiştik. Bu nedenle öncelikle şunu öğrenelim cosx≠0\cos x\ne 0. Bunun tersini varsayalım:

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Ortaya çıkan değeri ifademizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Buna dayanarak şunu söyleyebiliriz cosx≠0\cos x\ne 0. Denklemimizi şuna bölelim: cosx\cos x çünkü tüm ifademizin kuvvet değeri birdir. Şunu elde ederiz:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(hizala)

Bu bir tablo değeri değil, dolayısıyla cevap şunları içerecektir: arktgx arkgx:

x=arktg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text() n,n\in Z

Çünkü arktg arctg arctg tek bir fonksiyondur, argümandaki “eksi”yi çıkarıp arctg'nin önüne koyabiliriz. Son cevabı alıyoruz:

x=−arktg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Görev No.2

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Hatırlayacağınız gibi çözmeye başlamadan önce bazı dönüşümler yapmanız gerekiyor. Dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

4günah2 x+2sinxcosx−3 (günah2 x+ çünkü2 X)=0 4günah2 x+2sinxcosx−3 günah2 x−3 çünkü2 x=0günah2 x+2sinxcosx−3 çünkü2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \sağ)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (hizala)

Üç unsurdan oluşan bir yapı elde ettik. İlk dönemde görüyoruz günah2 ((\sin )^(2)) yani güç değeri ikidir. İkinci dönemde görüyoruz sinx\sin x ve cosx\cos x - yine iki fonksiyon var, bunlar çarpılıyor, yani toplam derece yine iki oluyor. Üçüncü bağlantıda görüyoruz çünkü2 X((\cos )^(2))x - ilk değere benzer.

Hadi bunu kanıtlayalım cosx=0\cos x=0 bu yapıya bir çözüm değildir. Bunu yapmak için tam tersini varsayalım:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\bitiş(dizi)\]

Bunu kanıtladık cosx=0\cos x=0 bir çözüm olamaz. İkinci adıma geçelim; tüm ifademizi şuna bölelim: çünkü2 X((\cos )^(2))x. Neden kare? Çünkü bu homojen denklemin kuvvet üssü ikiye eşittir:

günah2 Xçünkü2 X+2Sinxcosxçünkü2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Bu ifadeyi diskriminant kullanarak çözmek mümkün mü? Elbette yapabilirsin. Ancak Vieta teoreminin tersi olan teoremi hatırlamayı öneriyorum ve bu polinomu iki basit polinom biçiminde temsil edebileceğimizi anlıyoruz:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Pek çok öğrenci, kimliklerin her çözüm grubu için ayrı katsayılar yazmaya mı yoksa zahmet etmemeye ve her yere aynı katsayıları yazmaya değer mi diye soruyor. Şahsen ben farklı harfleri kullanmanın daha iyi ve daha güvenilir olduğuna inanıyorum, böylece matematikte ek sınavlarla ciddi bir teknik üniversiteye girerseniz sınav görevlileri cevapta hata bulamazlar.

Görev No.3

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Bunun üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten biliyoruz, hiçbir özel formüle gerek yok ve bizden tek gereken terimi hareket ettirmek. 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x sola. Tekrar yazalım:

günah3 x+ günah2 xcosx−2 çünkü3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Her elemanın üç trigonometrik fonksiyon içerdiğini görüyoruz, dolayısıyla bu denklemin güç değeri üçtür. Hadi çözelim. Öncelikle bunu kanıtlamamız gerekiyor. cosx=0\cos x=0 bir kök değil:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Bu sayıları orijinal yapımızda yerine koyalım:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(hizala)

Buradan, cosx=0\cos x=0 bir çözüm değil. Bunu kanıtladık cosx≠0\cos x\ne 0. Artık bunu kanıtladığımıza göre, orijinal denklemimizi şuna bölelim: çünkü3 X((\cos )^(3))x. Neden bir küpün içinde? Çünkü az önce orijinal denklemimizin üçüncü kuvvetinin olduğunu kanıtladık:

günah3 Xçünkü3 X+günah2 xcosxçünkü3 X−2=0 T G3 x+t G2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ çünkü x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(hizala)

Yeni bir değişken tanıtalım:

tgx=t

Yapıyı yeniden yazalım:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Kübik bir denklemimiz var. Nasıl çözülür? Başlangıçta, bu video eğitimini hazırlarken, ilk olarak polinomları çarpanlara ayırma ve diğer teknikler hakkında konuşmayı planladım. Ancak bu durumda her şey çok daha basittir. En yüksek dereceye sahip terimin 1 değerinde olduğu verilen özdeşliğimize bir bakın. Ayrıca tüm katsayılar tam sayıdır. Bu, tüm köklerin -2 sayısının, yani serbest terimin bölenleri olduğunu belirten Bezout teoreminden bir sonuç çıkarabileceğimiz anlamına gelir.

Şu soru ortaya çıkıyor: -2 neye bölünür? 2 asal sayı olduğu için fazla seçenek yok. Bunlar aşağıdaki sayılar olabilir: 1; 2; -1; -2. Negatif kökler hemen kaybolur. Neden? Her ikisinin de mutlak değeri 0'dan büyük olduğundan T3 ((t)^(3)) modülü şundan daha büyük olacaktır: T2 ((t)^(2)) Küp tek bir fonksiyon olduğundan küpün içindeki sayı negatif olacaktır ve T2 ((t)^(2)) - pozitif ve tüm bu yapı, t=−1 t=-1 ve t=−2 t=-2, 0'dan büyük olmayacak. Bundan -2 çıkarın ve 0'dan küçük olduğu kesin olan bir sayı elde edin. Geriye sadece 1 ve 2 kalıyor. Bu sayıların yerine koyalım:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text() )1+1-2=0\to 0=0

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Buradan, t=1 t=1 köktür.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 bir kök değildir.

Sonuç olarak ve aynı Bezout teoremine göre, kökü olan herhangi bir polinom X0 ((x)_(0))), onu şu biçimde temsil edin:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Bizim durumumuzda, rolde X x bir değişkendir T t ve rolde X0 ((x)_(0)) 1'e eşit bir köktür. Şunu elde ederiz:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Bir polinom nasıl bulunur P (T) P\sol(t\sağ)? Açıkçası, aşağıdakileri yapmanız gerekir:

P(t)= T3 +T2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

yerine koyalım:

T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Yani orijinal polinomumuz kalansız olarak bölünüyor. Böylece orijinal eşitliğimizi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

(t−1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. İlk çarpanı zaten dikkate aldık. İkinciye bakalım:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Deneyimli öğrenciler muhtemelen bu yapının köklerinin olmadığını fark etmişlerdir, ancak yine de diskriminantı hesaplayalım.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Diskriminant 0'dan küçük olduğundan ifadenin kökü yoktur. Toplamda, devasa inşaat olağan eşitliğe indirgendi:

\[\begin(array)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Sonuç olarak, son göreve ilişkin birkaç yorum eklemek istiyorum:

1. koşul her zaman sağlanacak mı? cosx≠0\cos x\ne 0 ve bu kontrolü yapmaya değer mi? Elbette her zaman değil. Aşağıdaki durumlarda cosx=0\cos x=0 eşitliğimizin bir çözümüdür, bunu parantezlerden çıkarmalıyız ve sonra tam teşekküllü homojen bir denklem parantez içinde kalacaktır.
2. Bir polinomu bir polinomla bölmek nedir? Nitekim çoğu okulda bu konu üzerinde çalışılmıyor ve öğrenciler böyle bir tasarımı ilk kez gördüklerinde hafif bir şok yaşıyorlar. Ancak aslında bu, yüksek dereceli denklemlerin çözümünü büyük ölçüde kolaylaştıran basit ve güzel bir tekniktir. Elbette buna ayrı bir video eğitimi ayrılacak ve yakın gelecekte yayınlayacağım.

Önemli Noktalar

Homojen trigonometrik denklemler her türlü testte favori konudur. Çok basit bir şekilde çözülebilirler; sadece bir kez pratik yapın. Neyden bahsettiğimizi netleştirmek için yeni bir tanım getirelim.

Homojen bir trigonometrik denklem, sıfır olmayan her terimin aynı sayıda trigonometrik faktörden oluştuğu bir denklemdir. Bunlar sinüsler, kosinüsler veya bunların kombinasyonları olabilir; çözüm yöntemi her zaman aynıdır.

Homojen bir trigonometrik denklemin derecesi, sıfır olmayan terimlerin içerdiği trigonometrik faktörlerin sayısıdır. Örnekler:

sinx+15 çünkü x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1. derecenin kimliği;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. derece;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. derece;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - ve bu denklem homojen değildir, çünkü sağda bir birim vardır - içinde trigonometrik faktörlerin bulunmadığı sıfır olmayan bir terim;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 da homojen olmayan bir denklemdir. Öğe günah2x\sin 2x ikinci derecedendir (çünkü temsil edilebilir)

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x birincidir ve içinde sinüs veya kosinüs olmadığından 3 terimi genellikle sıfırdır.

Genel çözüm şeması

Çözüm şeması her zaman aynıdır:

Diyelim ki cosx=0\çünkü x=0. Daha sonra sinx=±1\sin x=\pm 1 - bu ana kimlikten kaynaklanır. Hadi değiştirelim sinx\sin x ve cosx\cos x'i orijinal ifadeye ekleyin ve sonuç anlamsızsa (örneğin, ifade 5=0 5=0), ikinci noktaya gidin;

Her şeyi kosinüsün kuvvetine bölüyoruz: cosx, cos2x, cos3x... - denklemin güç değerine bağlıdır. Tgx=t'yi değiştirdikten sonra güvenli bir şekilde çözülebilen teğetlerle olağan eşitliği elde ederiz.

tgx=tBulunan kökler orijinal ifadenin cevabı olacaktır.

Tyva Cumhuriyeti Teeli köyündeki devlet bütçeli profesyonel eğitim kurumu

Matematik dersinin geliştirilmesi

Ders konusu:

"Homojen trigonometrik denklemler"

Öğretmen: Oorzhak

Ailana Mihaylovna

Ders konusu : “Homojen trigonometrik denklemler”(A.G. Mordkovich'in ders kitabına göre)

Grup : Bitki Yetiştirme Yüksek Lisansı, 1. Sınıf

Ders türü: Yeni materyal öğrenme konusunda bir ders.

Ders hedefleri:

2. Mantıksal düşünmeyi, sonuç çıkarma yeteneğini, gerçekleştirilen eylemlerin sonuçlarını değerlendirme yeteneğini geliştirin

3. Öğrencilere doğruluk, sorumluluk duygusu ve öğrenme için olumlu motivasyonların geliştirilmesini aşılamak

Ders ekipmanları: dizüstü bilgisayar, projektör, ekran, kartlar, trigonometri posterleri: trigonometrik fonksiyonların anlamları, temel trigonometri formülleri.

Ders süresi: 45 dakika.

Ders yapısı:

Dersin ilerleyişi.

1. Organizasyon anı (1 dk)

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edin, görevli grubu dinleyin.

2. Temel bilgilerin güncellenmesi (3 dk)

2.1. Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

Üç öğrenci 18.8 (c, d) numaralı tahtada çözer; 18.19. Öğrencilerin geri kalanı akran değerlendirmesi yapar.

3. Yeni materyalleri öğrenmek (13 dk)

3.1. Öğrencilerin motivasyonu.

Öğrencilerden bildikleri ve çözebilecekleri denklemleri isimlendirmeleri istenir (slayt 1)

1) 3 çünkü 2 x – 3 çünkü x = 0;

2) çünkü (x – 1) = ;

3) 2 günah 2 x + 3 günah x = 0;

4) 6 günah 2 x – 5 çünkü x + 5 = 0; 1 2

5) sin x cos x + cos²x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x – 3cos x = 0;

8) günah 2 x + cos 2 x = 0;

9) sin²х – 3sinх çünkü x+2cos²х = 0.

Öğrenciler 7-9 numaralı denklemlerin çözümünü isimlendiremeyeceklerdir.

3.2. Yeni bir konunun açıklanması.

Öğretmen: Çözemediğiniz denklemler pratikte oldukça yaygındır. Bunlara homojen trigonometrik denklemler denir. Dersin konusunu yazın: “Homojen trigonometrik denklemler.” (2 numaralı slayt)

Projektör ekranında homojen denklemlerin belirlenmesi. (3 numaralı slayt)

Homojen trigonometrik denklemleri çözmek için bir yöntem düşünün (slayt No. 4, 5)

Örneklerin çözümlerini analiz edin

Örnek 1. 2sin denklemini çöz x – 3cos x = 0; (6 numaralı slayt)

Bu birinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklem teriminin her iki tarafını cos'a bölelim x'i elde ederiz:

2tg x – 3 = 0

tg x =

x = arktan + πn , nZ.

Cevap: x = arktan + π n, n Z.

Örnek 2 . Sin 2 denklemini çözün x + cos 2 x = 0; (7 numaralı slayt)

Bu birinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklem teriminin her iki tarafını cos 2'ye bölelim x'i elde ederiz:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arktan (-1)+ πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + nZ.

Cevap: x = - + , n Z.

Örnek 3 . Sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0 denklemini çözün. (8 numaralı slayt)

Denklemdeki her terim aynı dereceye sahiptir. Bu ikinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını terime göre cos'a bölelim 2 x ≠ 0, şunu elde ederiz:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Yeni bir z = tan x değişkeni tanıtalım, şunu elde ederiz:

z 2 – 3z + 2 =0

z1 = 1, z2 = 2

bu ya tg x = 1 ya da tg x = 2 anlamına gelir

4. Çalışılan materyalin konsolidasyonu (10 dk)

Öğretmen tahtada zayıf öğrencilerle örnekleri ayrıntılı olarak analiz eder, güçlü öğrenciler not defterlerinde bağımsız olarak çözer.

5. Farklılaştırılmış bağımsız çalışma (15 dk)

Öğretmen üç düzeyde görev içeren kartlar verir: temel (A), orta (B), ileri (C). Öğrenciler hangi seviyedeki örnekleri çözeceklerini kendileri seçerler.

6. Özetleme. Sınıftaki öğrenme aktivitelerinin yansıması (2 dk)

Soruları cevapla:

Ne tür trigonometrik denklemleri öğrendik?

Birinci dereceden homojen bir denklem nasıl çözülür?

İkinci dereceden homojen bir denklem nasıl çözülür?

öğrendim...

Öğrendim...

Bireysel öğrencilerin dersteki iyi çalışmalarını takdir edin ve not verin.

7. Ödev. (1 dakika)

Öğrencilere ödevleri hakkında bilgi verin ve ödevin nasıl tamamlanacağına dair kısa talimatlar verin.

18.12 (c, d), Sayı 18.24 (c, d), Sayı 18.27 (a)

Kullanılan literatür:

Slayt 2

"Homojen trigonometrik denklemler"

1. a sin x + b cos x = 0 biçimindeki bir denkleme, burada a ≠0, b ≠0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir. 2. a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 biçimindeki bir denkleme, burada a ≠0, b ≠0, c ≠0 ikinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir. Tanım:

I derece a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Denklemin her iki tarafını da terime göre cosx ≠ 0'a bölelim. Şunu elde ederiz: a tanx + b = 0 tgx = -b /a en basit trigonometrik denklem Homojen bir denklem a sinx + b cosx = 0'ı cos x ≠ ile bölerken 0 ise bu denklemin kökleri kaybolmaz. Homojen trigonometrik denklemleri çözme yöntemi

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) a ≠ 0 ise, denklem teriminin her iki tarafını da cos ² x ≠0'a bölün. Şunu elde ederiz: a tan ² x + b tanx + c = 0, tanıtarak çözeriz yeni bir değişken z = tgx 2) a = 0 ise şunu elde ederiz: b sinx cosx + c cos ² x =0, çarpanlara ayırma yöntemiyle çöz / Homojen denklemi bölerken a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0'a göre cos 2 x ≠ 0 bu denklemin kökleri kaybolmaz. II derece

Bu birinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını da cos x'e bölersek şunu elde ederiz: Örnek 1. 2 sin x – 3 cos x = 0 denklemini çözün.

Bu birinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklem teriminin her iki tarafını da cos 2 x'e bölersek şunu elde ederiz: Örnek 2. Denklemi çözün sin 2 x + cos 2 x = 0

Denklemdeki her terim aynı dereceye sahiptir. Bu ikinci dereceden homojen bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını da os 2 x ≠ 0 olacak şekilde terime bölersek şunu elde ederiz: Örnek 3. Sin ² x – 3 sin x cos x+2 cos ² x = 0 denklemini çözün

Soruları cevaplayın: - Ne tür trigonometrik denklemleri inceledik? -Birinci dereceden homojen bir denklem nasıl çözülür? - İkinci dereceden homojen bir denklem nasıl çözülür? Özetlemek

Öğrendim... - Öğrendim... Yansıma

No. 18.12 (c, d), No. 18.24 (c, d), No. 18.27 (a) Ödev.

Ders için teşekkürler! Tebrikler!

Önizleme:

Öğretmen Oorzhak A.M.'nin matematik dersinin kendi kendine analizi.

Grup : Bitki Yetiştirme Yüksek Lisansı, 1.sınıf.

Ders konusu : Homojen trigonometrik denklemler.

Ders türü : Yeni materyal öğrenme dersi.

Ders hedefleri:

1. Öğrencilerin homojen trigonometrik denklemleri çözme becerilerini geliştirmek, temel ve ileri karmaşıklık düzeyindeki homojen denklemleri çözme yöntemlerini dikkate almak.

2. Mantıksal düşünmeyi, sonuç çıkarma yeteneğini ve gerçekleştirilen eylemlerin sonuçlarını değerlendirme yeteneğini geliştirin.

3. Öğrencilere doğruluk, sorumluluk duygusu ve öğrenme için olumlu motivasyonların geliştirilmesini aşılamak.

Ders tematik planlamaya göre işlendi. Dersin konusu dersin teorik ve uygulamalı kısımlarını yansıtmakta ve öğrencilerin anlayabileceği niteliktedir. Dersin tüm aşamaları grubun özellikleri dikkate alınarak bu hedeflere ulaşmaya yönelikti.

Ders yapısı.

1. Organizasyon anı, grubun ön organizasyonunu, dersin harekete geçirici başlangıcını, psikolojik rahatlığın yaratılmasını ve öğrencilerin yeni materyalin aktif ve bilinçli asimilasyonuna hazırlanmasını içeriyordu. Grubun ve her öğrencinin hazırlığı tarafımdan görsel olarak kontrol edildi. Sahnenin didaktik görevi: PDerse karşı olumlu tutum.

2. Bir sonraki aşama öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesidir. Bu aşamanın ana görevi: yeni materyali öğrenmek için gerekli bilgilerin öğrencilerin hafızasında restorasyonu. Güncelleme, kurulda ödev kontrolü şeklinde gerçekleştirildi.

3. (Dersin ana aşaması) Yeni bilginin oluşumu. Bu aşamada, aşağıdaki didaktik görevler uygulandı: Çalışmanın nesnesindeki bilgi ve eylem yöntemleri, bağlantılar ve ilişkilerin algılanmasını, anlaşılmasını ve birincil ezberlenmesini sağlamak.

Bu, şu şekilde kolaylaştırılmıştır: bir problem durumunun yaratılması, konuşma yönteminin BİT kullanımıyla birlikte kullanılması. Öğrencilerin yeni bilgiyi özümsemesinin etkinliğinin bir göstergesi, cevapların doğruluğu, bağımsız çalışma ve öğrencilerin çalışmaya aktif katılımıdır.

4. Bir sonraki aşama malzemenin birincil konsolidasyonudur. Amacı, yeni materyalin anlaşılma derecesi, bütünlüğü, asimilasyonunun doğruluğu ve tespit edilen hataların zamanında düzeltilmesi hakkında bilgi edinmek için geri bildirim oluşturmaktır. Bunun için şunu kullandım: basit homojen trigonometrik denklemlerin çözümü. Burada ders kitabındaki gerekli öğrenme çıktılarına karşılık gelen görevler kullanıldı. Malzemenin ilk konsolidasyonu iyi niyet ve işbirliği atmosferinde gerçekleştirildi. Bu aşamada zayıf öğrencilerle çalıştım, geri kalanı kendi kendine karar verdi ve ardından kurul tarafından kendi kendine test yapıldı.

5. Dersin bir sonraki anı bilginin birincil kontrolüydü. Aşamanın didaktik görevi: Bilgi ve eylem yöntemlerindeki ustalığın kalitesini ve düzeyini belirlemek, bunların düzeltilmesini sağlamak. Burada öğrenmeye farklı bir yaklaşım uyguladı ve çocuklara üç düzeyde görev seçeneği sundu: temel (A), orta (B) ve ileri (C). Bir tur yaptım ve temel seviyeyi seçen öğrencileri not ettim. Bu öğrenciler çalışmaları öğretmenin gözetiminde gerçekleştirdiler.

6. Bir sonraki aşamada - özetleme, hedefe ulaşma başarısını analiz etme ve değerlendirme görevleri çözüldü. Dersi özetlerken, aynı anda öğrenme etkinliği üzerine de düşündüm. Öğrenciler homojen trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını öğrendiler. Dereceler verildi.

7. Son aşama ödevdir. Didaktik görev: Öğrencilerin ödevi tamamlamanın içeriğini ve yöntemlerini anlamalarını sağlamak. Ödevlerin nasıl yapılacağına dair kısa talimatlar verdi.

Ders sırasında öğretim, gelişim ve eğitim hedeflerini gerçekleştirebildim. Dersin ilk dakikalarından itibaren çocukların aktivite göstermesinin bunu kolaylaştırdığını düşünüyorum. Yeni bir konuyu kabul etmeye hazırdılar. Gruptaki atmosfer psikolojik olarak olumluydu.




Bu yazıda homojen trigonometrik denklemleri çözmek için bir yönteme bakacağız.

Homojen trigonometrik denklemler, diğer türdeki homojen denklemlerle aynı yapıya sahiptir. Size ikinci dereceden homojen denklemleri çözme yöntemini hatırlatmama izin verin:

Formun homojen denklemlerini ele alalım


Homojen denklemlerin ayırt edici özellikleri:

a) tüm monomlar aynı dereceye sahiptir,

b) serbest terim sıfırdır,

c) Denklemin iki farklı tabanı olan kuvvetleri vardır.

Homojen denklemler benzer bir algoritma kullanılarak çözülür.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da (bölünebilir veya bölünebilir) ile böleriz.

Dikkat! Bir denklemin sağ ve sol taraflarını bilinmeyen içeren bir ifadeye böldüğünüzde kökleri kaybedebilirsiniz. Bu nedenle denklemin her iki tarafını da böldüğümüz ifadenin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

Eğer öyleyse, daha sonra unutmamak için bu kökü yazıyoruz ve ifadeyi buna bölüyoruz.

Genel olarak, sağ tarafında sıfır bulunan herhangi bir denklemi çözerken yapılacak ilk şey, denklemin sol tarafını mümkün olan herhangi bir şekilde çarpanlara ayırmaya çalışmaktır. Daha sonra her faktörü sıfıra eşitleyin. Bu durumda kesinlikle kökleri kaybetmeyeceğiz.

Bu nedenle, denklemin sol tarafını dikkatlice terim terim ifadesine bölün. Şunu elde ederiz:



İkinci ve üçüncü kesirlerin pay ve paydasını azaltalım:



Değiştirmeyi tanıtalım:

İkinci dereceden bir denklem elde ederiz:



İkinci dereceden denklemi çözelim, değerlerini bulalım ve sonra orijinal bilinmeyene dönelim.

Homojen trigonometrik denklemleri çözerken hatırlanması gereken birkaç önemli nokta vardır:

1. Kukla terim, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak sinüs ve kosinüs karesine dönüştürülebilir:

2. Çift argümanın sinüsü ve kosinüsü ikinci dereceden monomlardır - çift argümanın sinüsü kolayca sinüs ve kosinüs ürününe ve çift argümanın kosinüsü sinüs veya kosinüsün karesine dönüştürülebilir:



Homojen trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin birkaç örneğe bakalım.

1. Denklemi çözelim:

Bu, birinci dereceden homojen trigonometrik denklemin klasik bir örneğidir: her monomiyalin derecesi bire eşittir, kesme terimi sıfıra eşittir.

Denklemin her iki tarafını da 'ye bölmeden önce, denklemin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Şunu kontrol ediyoruz: if , ardından title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Denklemin her iki tarafını da bölelim.

Şunu elde ederiz:

, Nerede

, Nerede

Cevap: , Nerede

2. Denklemi çözelim:

Bu, ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemin bir örneğidir. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırabilirsek, bunu yapmamızın tavsiye edildiğini hatırlıyoruz. Bu denklemde şunu koyabiliriz. Hadi şunu yapalım:





İlk denklemin çözümü: , nerede

İkinci denklem birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir. Bunu çözmek için denklemin her iki tarafını da bölün. Şunu elde ederiz:



Cevap: , nerede ,

3. Denklemi çözelim:

Bu denklemi homojen hale getirmek için onu bir çarpıma dönüştürüyoruz ve 3 sayısını sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı olarak sunuyoruz:

Tüm terimleri sola taşıyıp parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım. Şunu elde ederiz:



Sol tarafı çarpanlara ayıralım ve her çarpanı sıfıra eşitleyelim:



Cevap: , nerede ,

4. Denklemi çözelim:

Parantezlerden neler çıkarabileceğimizi görüyoruz. Hadi şunu yapalım:

Her faktörü sıfıra eşitleyelim:



İlk denklemin çözümü:

İkinci popülasyon denklemi, ikinci dereceden klasik bir homojen denklemdir. Denklemin kökleri orijinal denklemin kökleri değildir, dolayısıyla denklemin her iki tarafını da şu şekilde böleriz:





İlk denklemin çözümü:

İkinci denklemin çözümü.