Düzgün fonksiyonun tanımı. Pürüzsüz fonksiyon

Tüm tanımlar kümesinde. Çok sık altında düz fonksiyonlar, tüm mertebelerden sürekli türevleri olan fonksiyonlar anlamına gelir.

Temel bilgiler[ | ]

Daha yüksek mertebeden pürüzsüz fonksiyonlar da dikkate alınır, yani bir fonksiyon pürüzsüzlük sırası r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) kadar tüm mertebelerin sürekli türevleri vardır r (\displaystyle r) kapsayıcı (sıfırıncı dereceden türev, fonksiyonun kendisidir). Bu tür işlevler denir r (\displaystyle r)-düz. Birçok r (\displaystyle r)- tanım kümesinde tanımlanan düzgün işlevler şu şekilde gösterilir: C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Kayıt f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty)(\Omega)) bu demek oluyor f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\C^(r)(\Omega)) herkes için r (\displaystyle r), bu tür işlevler denir sonsuza kadar-düz(bazen altında pürüzsüz işlevler sonsuz pürüzsüzlük anlamına gelir). Bazen gösterim de kullanılır f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\C^(\omega)(\Omega)) veya f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\C^(a)(\Omega)), bu şu anlama geliyor f (\displaystyle f)- analitik.

Örneğin, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- bir dizi sürekli Ω (\displaystyle \Omega ) işlevler ve C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- sürekli türevlenebilir bir dizi Ω (\displaystyle \Omega ) fonksiyonlar yani bu bölgedeki her noktada sürekli türevi olan fonksiyonlar.

Düzgünlük sırası belirtilmezse, mevcut akıl yürütme sırasında işlev üzerinde gerçekleştirilen tüm eylemlerin anlamlı olması için genellikle yeterli olduğu varsayılır.

Analitik fonksiyonlara göre yaklaşım[ | ]

Bırakın alan Ω (\displaystyle \Omega ) açık R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Ve f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty). İzin vermek ( K p ) (\displaystyle $K_(p)$)- kompakt alt kümelerin dizisi Ω (\displaystyle \Omega )Öyle ki K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\altküme K_(p+1)) Ve ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). İzin vermek ( n p ) (\displaystyle $n_(p)$)- pozitif tam sayıların rastgele bir dizisi ve m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Son olarak izin ver ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- keyfi sıra pozitif sayılar. Sonra gerçek analitik bir fonksiyon var g (\displaystyle g), içinde tanımlanmış Ω (\displaystyle \Omega )öyle ki herkes için p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) eşitsizlik tatmin edildi

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Nerede ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\ters eğik çizgi K_(p))) )) normların maksimumunu belirtir (üniform yakınsaklık anlamında, yani setteki modülün maksimumu) K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\ters eğik çizgi K_(p)))) fonksiyonun türevleri f − g (\displaystyle f-g) sıfırdan tüm siparişler m p (\displaystyle (m_(p))) dahil.

Farklılaştığı noktalar üzerinde yoğundur ve bir sürekliliğe sahiptir. Sayı doğrusunda düzgün olan ve türevi alınamayan sürekli fonksiyonlar vardır. G. f. Yerel ekstremun her noktasında bir türevi vardır ve bu nedenle diferansiyel hesabın temel teoremleri düzgün sürekli fonksiyonlar için geçerli kalır - Rolle, Lagrange, Cauchy teoremleri,

Darboux ve diğerleri.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Diğer sözlüklerde "DÜZGÜN FONKSİYON" un ne olduğuna bakın: Veya sürekli türevlenebilir bir fonksiyon, tüm tanım kümesinde sürekli bir türevi olan bir fonksiyondur. Temel bilgiler Daha yüksek dereceli pürüzsüz fonksiyonlar da dikkate alınır, yani düzgünlük derecesine sahip bir fonksiyon ... ... Vikipedi

Pürüzsüz fonksiyon- r mertebesine kadar tüm kısmi türevleri sürekli olan bir fonksiyon. Bu "r mertebesinin düzgünlüğü" anlamına gelir. ... pürüzsüz fonksiyon

- r mertebesine kadar kısmi türevleri sürekli olan bir fonksiyon. Bu "r mertebesinin düzgünlüğü" anlamına gelir.

Konular: ekonomi TR düzgün fonksiyon…

Teknik Çevirmen Kılavuzu Parçalı düzgün bir fonksiyon, tanım kümesini oluşturan aralıkların her birinde türevi alınabilen, gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur. Biçimsel tanım Formüllerin değişim noktaları verilsin. Her şey parça parça olduğu gibi... ... Vikipedi

Parçalı verilen bir fonksiyon, tanım alanını oluşturan aralıkların her birinde ayrı bir formülle tanımlanan, gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur. Biçimsel tanım ve atama Formüllerin değiştirildiği noktalar verilsin... Vikipedi

1) P. f. trigonometrik seriler teorisinde, B. Riemann (B. Riemann, 1851) (bkz.) tarafından trigonometrik bir fonksiyonun temsil edilebilirliği konusunu incelemek için tanıtılan bir fonksiyon. yakın. Sınırlı bir seri (*) verilsin... ... Parçalı düzgün bir fonksiyon, tanım kümesini oluşturan aralıkların her birinde türevi alınabilen, gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur. Biçimsel tanım Formüllerin değişim noktaları verilsin. Her şey parça parça olduğu gibi... ... Vikipedi

Düzgün, dışbükey, parçalı doğrusal fonksiyonları içeren düzgün fonksiyon kavramının bir genellemesi. Tanım Her noktada, herhangi bir dizi için doğrusal operatörlerin bir alt kümesi varsa, bir fonksiyona yarı düzgün denir.

Spline işlevi- zaman serilerini hizalamak için kullanılan parçalı düzgünleştirme işlevi. S.f.'nin uygulanması. alışılagelmiş trend fonksiyonları yerine, analiz edilen dönem içerisinde serinin trendi ve yönü değiştiğinde etkilidir. S. f. yardımcı olur... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

Tüm tanımlar kümesinde.

Temel bilgiler

Daha yüksek mertebeden pürüzsüz fonksiyonlar da dikkate alınır, yani bir fonksiyon pürüzsüzlük sırası $R$ mertebenin sürekli bir türevi vardır $R$ . Bu tür birçok fonksiyon bu alanda tanımlanmıştır. $\Omega$ ile gösterilir $C^r(\Omega)$ . $f\in C^\infty(\Omega)$ bu demek oluyor $f\in C^r(\Omega)$ herkes için $R$ , A $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ bu demek oluyor $F$ - analitik.

Örneğin, $C^0(\Omega)$ - bir dizi sürekli $\Omega$ işlevler ve $C^1(\Omega)$ - sürekli türevlenebilir bir dizi $\Omega$ işlevler, yani Bu bölgenin her noktasında sürekli bir türevi olan fonksiyonlar.

Düzgünlük sırası belirtilmezse, mevcut akıl yürütme sırasında işlev üzerinde gerçekleştirilen tüm eylemlerin anlamlı olması için genellikle yeterli olduğu varsayılır.

Türevlenebilir fonksiyon sınıflarının incelikli bir analizi için bu kavram da tanıtılmıştır. bir noktada kesirli düzgünlük veya yukarıdaki pürüzsüzlük kavramlarının tümünü genelleştiren Hölder üssü.

İşlev $F$ sınıfa ait $C^(r,\;\alfa)$ , Nerede $R$ negatif olmayan bir tam sayıdır ve $0<\alpha\leqslant 1$ siparişe göre türevleri varsa $R$ kapsayıcı ve $Fr))$ Üslü Hölder'dir $\alfa$ .

Çeviri literatürde “Hölder üssü” terimiyle birlikte “Lipschitz üssü” terimi de kullanılmaktadır.

Sürekli türevlenebilir fonksiyonların analitik fonksiyonlarla yaklaşımı

İzin vermek $\Omega$ açık $\R^n$ Ve $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . İzin vermek $$K_p$$ - kompakt alt kümelerin dizisi $\Omega$ Öyle ki $K_0=\varhiçbir şey$ , $K_p\altküme K_(p+1)$ Ve $\bigcup K_p=\Omega$ . İzin vermek $$n_p$$ - pozitif tam sayıların rastgele bir dizisi ve $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Son olarak izin ver $$\varepsilon_p$$ - pozitif sayıların rastgele bir dizisi. Sonra var $\R$ -analitik fonksiyon $G$ V $\Omega$ öyle ki herkes için $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\ters eğik çizgi K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

Ayrıca bakınız

"Pürüzsüz fonksiyon" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Pürüzsüzleştirme işlevini karakterize eden bir alıntı

Nikolushka götürüldüğünde Prenses Marya tekrar kardeşinin yanına gitti, onu öptü ve daha fazla dayanamayıp ağlamaya başladı.
Ona dikkatle baktı.
- Nikolushka'dan mı bahsediyorsun? - dedi.
Ağlayan Prenses Marya olumlu bir şekilde başını eğdi.
“Marie, Evan'ı tanıyorsun...” ama aniden sustu.
-Sen ne diyorsun?
- Hiç bir şey. Burada ağlamana gerek yok,” dedi aynı soğuk bakışla ona bakarak.

Prenses Marya ağlamaya başladığında Nikolushka'nın babasız kalacağı için ağladığını fark etti. Büyük bir çabayla hayata dönmeye çalıştı ve onların bakış açısına taşındı.
“Evet, bunu acıklı buluyor olmalılar! - diye düşündü. “Ne kadar basit!”
Kendi kendine, "Gökteki kuşlar ne eker ne de biçer, ama onları baban besler" dedi ve aynısını prensese de söylemek istedi. “Ama hayır, bunu kendi yöntemleriyle anlayacaklar, anlamayacaklar! Anlayamadıkları şey, değer verdikleri tüm bu duyguların hepsinin bizim olduğu, bizim için çok önemli görünen tüm bu düşüncelerin onlara ihtiyaç olmadığıdır. Birbirimizi anlayamıyoruz." - Ve sustu.

Prens Andrei'nin küçük oğlu yedi yaşındaydı. Zar zor okuyabiliyordu, hiçbir şey bilmiyordu. O günden sonra pek çok şey yaşadı, bilgi edindi, gözlemledi, deneyim kazandı; ancak daha sonra edindiği tüm bu yeteneklere sahip olsaydı, babası Prenses Marya ile Natasha arasında gördüğü o sahnenin tam anlamını şimdi anladığından daha iyi, daha derin anlayamazdı. Her şeyi anladı ve ağlamadan odadan çıktı, sessizce onu takip eden Natasha'ya yaklaştı ve ona düşünceli, güzel gözlerle utanarak baktı; kalkık, pembe üst dudağı titredi, başını ona yasladı ve ağlamaya başladı.
O günden sonra Desalles'ten uzak durdu, kendisini okşayan kontestan uzak durdu ve ya tek başına oturdu ya da teyzesinden daha çok sevdiği görünen Prenses Marya ve Natasha'nın yanına çekinerek yaklaştı ve onları sessizce ve utangaç bir şekilde okşadı.
Prens Andrei'den ayrılan Prenses Marya, Natasha'nın yüzünün ona söylediği her şeyi tam olarak anladı. Artık Natasha ile hayatını kurtarma umudu hakkında konuşmuyordu. Kendisiyle birlikte kanepede dönüşümlü olarak oturuyordu ve artık ağlamadı, ancak durmadan dua etti, ruhunu, varlığı artık ölmekte olan adamın üzerinde çok hissedilen o sonsuz, anlaşılmaz şeye dönüştürdü.

Prens Andrei sadece öleceğini bilmekle kalmadı, aynı zamanda öldüğünü, zaten yarı ölü olduğunu da hissetti. Dünyevi her şeye karşı bir yabancılaşma bilinci ve varoluşun neşeli ve tuhaf bir hafifliğini yaşadı. Acele etmeden ve endişe etmeden, kendisini bekleyen şeyi bekliyordu. Varlığını tüm hayatı boyunca hissetmeyi bıraktığı o ebedi, bilinmeyen ve uzak tehditkar, artık ona yakındı ve - deneyimlediği varoluşun tuhaf hafifliği nedeniyle - neredeyse anlaşılır ve hissediliyordu.