1. Eksenel bölüm silindir, silindirin ekseninden geçen bir düzlemin kesitidir. Silindirin eksenel kesiti dikdörtgen.
2. Tabana paralel bir düzleme sahip bir silindirin kesiti.
Bu durumda kesit tabana eşit ve paralel bir dairedir.
Koni
Koni, bir daireden oluşan geometrik bir cisimdir - zemin koni, bu dairenin düzleminde olmayan bir nokta, - zirveler koni ve koninin tepesini tabanın noktalarına bağlayan tüm bölümler.
Koninin tepe noktasını taban çemberinin noktalarına bağlayan doğru parçasına ne ad verilir? şekillendirme koni
Koni denir doğrudan koninin tepesini tabanın merkezine bağlayan düz çizgi taban düzlemine dik ise.
Açık pirinç. A) düz koni, B) eğimli koni.
Aşağıda sadece düz bir koniyi ele alacağız!
S- koninin tepesi.
Merkezleri olan daire HAKKINDA– koninin tabanı.
S.A.,C.B., SC– koni oluşturma.
Yükseklik Bir koninin tepe noktasından taban düzlemine inen dikine denir.
Eksen Bir koninin yüksekliğini içeren düz bir çizgidir ( BU YÜZDEN).
Koni özellikleri:
Koninin jeneratörleri eşittir.
Koni, dik bir üçgenin kendi kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir.
Bir koninin en basit bölümleri.
1. Eksenel bölüm koni, koninin ekseninden geçen bir düzlemin kesitidir. Koninin eksenel bölümü üçgen.
2. Tabana paralel bir düzleme sahip bir koninin kesiti.
Bu durumda kesit tabana benzer ve paralel bir dairedir.
Top, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan uzaydaki tüm noktalardan oluşan geometrik bir cisimdir.
Bu nokta ( HAKKINDA) denir merkez top ve bu mesafe yarıçap top.
Topun sınırına denir küresel yüzey veya küre.
Bir topun merkezini küresel yüzey üzerindeki bir noktaya bağlayan herhangi bir parçaya ne ad verilir? yarıçap top ( Aşırı doz, doğum günü, OA).
Top çapı küresel bir yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren ve topun merkezinden geçen bir segmenttir ( AB).
Top özellikleri:
Topun yarıçapları eşittir;
Topun çapları eşittir.
Bir top, çapı etrafında yarım daire döndürülerek elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir.
Bir topun en basit bölümleri
1. Bir topun merkezinden geçen bir düzlemle kesiti. Bu durumda bölüm büyük daire.
2. Topun düzlemle kesiti Olumsuz merkezinden geçiyor. Bu durumda bölüm daire.
Silindir (düz dairesel silindir) paralel öteleme ile birleştirilmiş iki daireden (bir silindirin tabanları) ve paralel öteleme sırasında bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir gövdedir. Taban dairelerinin karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlere silindirin jeneratörleri denir.
İşte başka bir tanım:
Silindir- kapalı bir kılavuza sahip silindirik bir yüzey ve bu yüzeyin genatrislerini kesen iki paralel düzlem ile sınırlanan bir gövde.
Silindirik yüzey- Düz bir çizginin belirli bir eğri boyunca hareket etmesiyle oluşan bir yüzey. Düz çizgiye silindirik yüzeyin generatrisi, eğri çizgiye ise silindirik yüzeyin kılavuzu denir.
Silindirin yan yüzeyi- silindirik bir yüzeyin paralel düzlemlerle sınırlanan kısmı.
Silindir tabanları- silindirin yan yüzeyi tarafından kesilen paralel düzlemlerin parçaları.
Şekil 1 mini
Silindir denir doğrudan(Santimetre. Şekil 1), eğer jeneratörleri tabanların düzlemlerine dik ise. Aksi takdirde silindir çağrılır eğimli.
Dairesel silindir-tabanları daire olan silindir.
Sağ dairesel silindir (sadece bir silindir) Bir dikdörtgenin bir kenarından birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cisimdir. Santimetre. Şekil 1.
Silindir yarıçapı tabanının yarıçapıdır.
Silindirin jeneratörü- silindirik bir yüzeyin generatrisi.
Silindir yüksekliği taban düzlemleri arasındaki mesafeye denir. Silindir ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz çizgiye denir. Silindirin ekseninden geçen düzleme göre silindirin kesitine ne ad verilir? eksenel bölüm.
Silindirin ekseni generatrisine paraleldir ve silindirin simetri eksenidir.
Düz bir silindirin genatrisinden geçen ve bu generatriks boyunca çizilen eksenel kesite dik olan düzleme denir silindirin teğet düzlemi. Santimetre. Şekil 2.
Silindirin yan yüzeyinin gelişimi- kenarları silindirin yüksekliğine ve tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgen.
Silindir yan yüzey alanı- yan yüzeyin gelişim alanı. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ , burada H silindirin yüksekliği ve R– tabanın yarıçapı.
Bir silindirin toplam yüzey alanı- silindirin iki tabanının ve yan yüzeyinin alanlarının toplamına eşit olan alan, yani. şu formülle ifade edilir: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , burada H silindirin yüksekliği ve R– tabanın yarıçapı.
Herhangi bir silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir: $$V = S\cdot h$$ Yuvarlak bir silindirin hacmi: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , burada ( R- taban yarıçapı).
Prizma, özel bir silindir türüdür (generatrisler yan kaburgalara paraleldir; kılavuz, tabanda uzanan bir çokgendir). Öte yandan, rastgele bir silindir, çok sayıda çok dar yüze sahip dejenere ("düzleştirilmiş") bir prizma olarak düşünülebilir. Pratikte silindiri böyle bir prizmadan ayırt etmek mümkün değildir. Prizmanın tüm özellikleri silindirde korunur.
Silindirik yüzey m Bir eğri boyunca hareket eden bir düz çizgi m silindirik bir yüzeyi tanımlar. Bu eğri kapalıysa kapalı silindirik bir yüzey tanımlanır. Kapalı bir eğri daire şeklindeyse, dairesel bir silindir tanımlanır. Düz çizgi m, eğri düzlemine dik ise, bu durumda dik dairesel bir silindir tanımlanır. SİLİNDİR TİPLERİ Eliptik silindir SİLİNDİR TİPLERİ Hiperbolik silindir SİLİNDİR TİPLERİ Parabolik silindir 26.07.2014 6 Silindirin tanımı. Silindir, aynı düzlemde yer almayan ve paralel ötelemeyle birleştirilen iki daireden ve bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm parçalardan oluşan bir cisimdir. Silindir Bir silindir, bir dikdörtgenin, silindirin herhangi bir elemanını içeren düz bir çizgi etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir. Bir silindirin yarıçapı tabanının yarıçapıdır. Bir silindirin yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir. Silindirin ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz bir çizgidir. Silindirin özellikleri. 1) Tabanlar eşit ve paraleldir. 2) Silindirin tüm cinsleri birbirine paralel ve eşittir Silindirin gelişimi Silindirin yan yüzeyi, bir tarafı silindirin yüksekliği, diğer tarafı taban uzunluğu olan bir dikdörtgen şeklinde geliştirilmiştir. Çevre Eşkenar silindir, eksenel kesiti silindirin kare kesiti olan bir silindirdir. Düzlemi eksenine paralel olan silindirin kesiti dikdörtgendir. İki tarafı silindirin generatrikleridir, diğer ikisi ise tabanların paralel akorlarıdır. Silindirin silindir ekseninden geçen bölümüne eksenel bölüm denir ve aynı zamanda bir dikdörtgendir. Silindirin taban düzlemine paralel bir düzlem, yan yüzeyini tabanın çevresine eşit bir daire boyunca keser. Teğet düzlem Bir düzlemin yan yüzeyi ile ortak bir düz çizgisi varsa bu düzleme teğet düzlem denir. Teğet çizgisi silindirin tam ve yan yüzeyleridir. Silindirin yan yüzeyi bir tarafı silindirin yüksekliği, diğer tarafı çevresi olan bir dikdörtgendir. Silindirin yarıçapı, yüksekliği, generatrisi ve ekseni nedir?
Stereometri, uzaydaki şekillerin incelendiği bir geometri dalıdır. Uzaydaki ana şekiller bir nokta, bir düz çizgi ve bir düzlemdir. Stereometride, yeni bir tür göreceli çizgi düzenlemesi ortaya çıkar: kesişen çizgiler. Bu, stereometri ile planimetri arasındaki birkaç önemli farktan biridir, çünkü çoğu durumda stereometrideki problemler, planimetrik yasaların karşılandığı çeşitli düzlemler dikkate alınarak çözülür.
Çevremizdeki doğada bu figürün fiziksel modeli olan birçok nesne vardır. Örneğin, birçok makine parçası silindir şeklindedir veya bunların bir kombinasyonudur ve tapınakların ve katedrallerin silindir şeklinde yapılmış görkemli sütunları bunların uyumunu ve güzelliğini vurgular.
Yunan - kilindros. Eski bir terim. Günlük yaşamda - bir papirüs kaydırma, bir rulo, bir rulo (fiil - bükmek, yuvarlamak).
Öklid için bir dikdörtgenin döndürülmesiyle bir silindir elde edilir. Cavalieri'de - generatrix'in hareketiyle (keyfi bir kılavuzla - bir "silindir").
Bu makalenin amacı geometrik bir cismi, yani silindiri ele almaktır.
Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri dikkate almak gerekir:
- Silindirin tanımlarını verin;
- Silindirin elemanlarını göz önünde bulundurun;
- silindirin özelliklerini inceleyin;
- Silindir bölümlerinin türlerini göz önünde bulundurun;
− silindirin alanı için formülü türetin;
- silindirin hacminin formülünü türetin;
- Silindir kullanarak problemleri çözün.
1.1. Silindirin tanımı
Bir α düzleminde yer alan bir l çizgisini (eğri, kırık veya karışık) ve bu düzlemle kesişen bir S düz çizgisini ele alalım. Belirli bir l çizgisinin tüm noktalarından S düz çizgisine paralel düz çizgiler çizeriz; bu düz çizgilerin oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey adı verilir. l çizgisine bu yüzeyin kılavuzu denir, s 1, s 2, s 3,... çizgileri onun jeneratörleridir.
Kılavuz kırılırsa, böyle bir silindirik yüzey, paralel düz çizgi çiftleri arasına alınmış bir dizi düz şeritten oluşur ve prizmatik yüzey olarak adlandırılır. Kılavuz kırık çizginin köşelerinden geçen generatriklere prizmatik yüzeyin kenarları, aralarındaki düz şeritlere ise yüzleri denir.
Herhangi bir silindirik yüzeyi jeneratörlerine paralel olmayan rastgele bir düzlemle kesersek, bu yüzey için de kılavuz olarak alınabilecek bir çizgi elde ederiz. Kılavuzlar arasında öne çıkanı, yüzeyin generatrislerine dik bir düzlemde kesilmesiyle elde edilen kılavuzdur. Böyle bir bölüme normal bölüm denir ve karşılık gelen kılavuza normal kılavuz denir.
Kılavuz kapalı (dışbükey) bir çizgi (kırık veya kavisli) ise, karşılık gelen yüzeye kapalı (dışbükey) prizmatik veya silindirik yüzey adı verilir. Silindirik yüzeylerin en basitinde normal kılavuz olarak bir daire bulunur. Birbirine paralel fakat jeneratörlere paralel olmayan iki düzleme sahip kapalı dışbükey prizmatik bir yüzeyi inceleyelim.
Bölümlerde dışbükey çokgenler elde ediyoruz. Şimdi prizmatik yüzeyin α ve α" düzlemleri arasında kalan kısmı ve bu düzlemlerde oluşturulan iki çokgen plaka, prizmatik cisim - prizma adı verilen bir cismi sınırlar.
Silindirik gövde - silindir prizmaya benzer şekilde tanımlanır:
Silindir, yanlardan kapalı (dışbükey) silindirik bir yüzeyle ve uçlarından iki düz paralel tabanla sınırlanan bir gövdedir. Silindirin her iki tabanı da eşittir ve silindiri oluşturan tüm bileşenler de eşittir; tabanların düzlemleri arasındaki silindirik bir yüzeyin generatrislerinin bölümleri.
Bir silindir (daha kesin olarak dairesel bir silindir), aynı düzlemde yer almayan ve paralel öteleme ile birleştirilen iki daireden ve bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan geometrik bir gövdedir (Şekil 1) .
Dairelere silindirin tabanları denir ve dairelerin çevrelerinin karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlere silindirin jeneratörleri denir.
Paralel öteleme hareket olduğundan silindirin tabanları eşittir.
Paralel öteleme sırasında düzlem paralel bir düzleme (veya kendine) dönüştüğünden, silindirin tabanları paralel düzlemlerde bulunur.
Paralel öteleme sırasında noktalar paralel (veya çakışan) çizgiler boyunca aynı mesafe kadar kaydırıldığından, silindirin jeneratörleri paralel ve eşittir.
Silindirin yüzeyi taban ve yan yüzeyden oluşur. Yan yüzey generatrislerden oluşur.
Jeneratörleri taban düzlemlerine dik ise silindire düz denir.
Düz bir silindir, bir eksen olarak kendi tarafı etrafında döndürüldüğünde bir dikdörtgeni tanımlayan geometrik bir gövde olarak görsel olarak hayal edilebilir (Şekil 2).
Pirinç. 2 − Düz silindir
Aşağıda sadece düz silindiri ele alacağız ve onu kısaca silindir olarak adlandıracağız.
Bir silindirin yarıçapı tabanının yarıçapıdır. Bir silindirin yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir. Silindirin ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz bir çizgidir. Jeneratörlere paraleldir.
Yüksekliği tabanın çapına eşitse silindire eşkenar silindir denir.
Silindirin tabanları düzse (ve dolayısıyla bunları içeren düzlemler paralelse), o zaman silindirin bir düzlem üzerinde durduğu söylenir. Bir düzlem üzerinde duran bir silindirin tabanları generatrise dik ise, o zaman silindire düz denir.
Özellikle, bir düzlem üzerinde duran bir silindirin tabanı bir daire ise, o zaman dairesel (dairesel) bir silindirden bahsediyoruz; eğer bir elipsse, o zaman eliptiktir.
1. 3. Silindirin bölümleri
Eksenine paralel bir düzleme sahip bir silindirin kesiti bir dikdörtgendir (Şekil 3, a). İki tarafı silindirin jeneratörleridir ve diğer ikisi tabanların paralel akorlarıdır.
A) 
B)
V) G)
Pirinç. 3 – Silindirin bölümleri
Özellikle dikdörtgen eksenel bölümdür. Bu, ekseninden geçen bir düzleme sahip bir silindirin kesitidir (Şekil 3, b).
Tabana paralel bir düzleme sahip silindirin kesiti bir dairedir (Şekil 3, c).
Tabana paralel olmayan bir düzleme ve eksenine sahip bir silindirin kesiti ovaldir (Şekil 3d).
Teorem 1. Silindirin taban düzlemine paralel bir düzlem, yan yüzeyini tabanın çevresine eşit bir daire boyunca keser.
Kanıt. β silindirin taban düzlemine paralel bir düzlem olsun. β düzlemini silindirin taban düzlemi ile birleştiren silindir ekseni yönünde paralel öteleme, yan yüzeyin β düzlemine göre kesitini tabanın çevresi ile birleştirir. Teorem kanıtlandı.
Silindirin yan yüzey alanı.
Silindirin yan yüzeyinin alanı, bu prizmanın tabanının kenar sayısı süresiz olarak arttığında, silindire yazılan düzenli bir prizmanın yan yüzeyinin alanının yöneldiği sınır olarak alınır.
Teorem 2. Bir silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanının çevresi ve yüksekliğinin çarpımına eşittir (S tarafı.c = 2πRH, burada R, silindir tabanının yarıçapıdır, H, silindirin yüksekliği).
A) 
B) 
Pirinç. 4 − Silindir yan yüzey alanı
Kanıt.
P n ve H sırasıyla silindirin içine yazılan düzgün bir n-genel prizmanın tabanının çevresi ve yüksekliği olsun (Şekil 4, a). O zaman bu prizmanın yan yüzeyinin alanı S tarafıdır.c − P n H. Tabana yazılan çokgenin kenar sayısının sınırsız arttığını varsayalım (Şekil 4, b). Daha sonra P n çevresi C = 2πR çevresine yönelir; burada R, silindir tabanının yarıçapıdır ve H yüksekliği değişmez. Böylece prizmanın yan yüzeyinin alanı 2πRH sınırına doğru yönelir, yani silindirin yan yüzeyinin alanı S tarafına eşittir.c = 2πRH. Teorem kanıtlandı.
Silindirin toplam yüzey alanı.
Bir silindirin toplam yüzey alanı, yan yüzey ve iki tabanın alanlarının toplamıdır. Silindirin her tabanının alanı πR2'ye eşittir, bu nedenle silindir S'nin toplam yüzeyinin alanı S tarafı formülü ile hesaplanır.c = 2πRH+ 2πR2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Pirinç. 5 – Silindirin toplam yüzey alanı
Silindirin yan yüzeyi FT generatrix boyunca kesilirse (Şekil 5, a) ve tüm jeneratörler aynı düzlemde olacak şekilde açılırsa, sonuç olarak FTT1F1 dikdörtgenini elde ederiz, buna gelişimi denir. silindirin yan yüzeyi. Dikdörtgenin FF1 tarafı, silindir tabanının dairesinin gelişimidir, bu nedenle FF1 = 2πR ve FT tarafı, silindirin generatrisine eşittir, yani. FT = H (Şekil 5, b). Böylece silindir gelişiminin FT∙FF1=2πRH alanı yan yüzeyinin alanına eşittir.
1.5. Silindir hacmi
Geometrik bir cisim basitse, yani sonlu sayıda üçgen piramitlere bölünebiliyorsa, hacmi bu piramitlerin hacimlerinin toplamına eşittir. Keyfi bir cisim için hacim aşağıdaki gibi belirlenir.
Belirli bir cismin, onu içeren basit cisimler ve hacimleri V'den istenildiği kadar az farklı olan basit cisimler varsa, V hacmi vardır.
Taban yarıçapı R ve yüksekliği H olan bir silindirin hacmini bulmak için bu tanımı uygulayalım.
Bir dairenin alanı için formül türetirken, iki n-gon inşa edildi (biri daireyi içeren, diğeri dairenin içinde yer alan), öyle ki alanları, n'de sınırsız bir artışla, alanına yaklaştı. sınırsız daire. Silindirin tabanındaki daire için böyle çokgenler oluşturalım. P, bir daire içeren bir çokgen olsun ve P", bir dairenin içinde bulunan bir çokgen olsun (Şekil 6).
Pirinç. 7 − İçinde prizmanın tanımlandığı ve yazılı olduğu silindir
Tabanları P ve P" olan ve H yüksekliği silindirin yüksekliğine eşit olan iki düz prizma inşa edelim. Birinci prizma bir silindir içerir ve ikinci prizma bir silindirin içindedir. N'deki sınırsız bir artışla, prizmaların tabanlarının alanları S silindirinin tabanının alanına sınırsız olarak yaklaşır, ardından hacimleri süresiz olarak SH'ye yaklaşır. Tanıma göre silindirin hacmi.
V = SH = πR2H.
Yani silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Görev 1.
Silindirin eksenel kesiti alanı Q olan bir karedir.
Silindirin tabanının alanını bulun.
Verilen: silindir, silindirin kare - eksenel kesiti, S kare = Q.
Bul: S ana silindir
Meydanın kenarı. Tabanın çapına eşittir. Bu nedenle tabanın alanı 
.
Cevap: S ana silindir.
=
Görev 2.
Bir silindirin içine düzenli bir altıgen prizma yazılmıştır. Tabanın yarıçapı silindirin yüksekliğine eşitse, yan yüzünün köşegeni ile silindirin ekseni arasındaki açıyı bulun.
Verilen: silindir, silindirin içine yazılmış düzgün altıgen prizma, taban yarıçapı = silindirin yüksekliği.
Bulunan: Yan yüzünün köşegeni ile silindirin ekseni arasındaki açı.
Çözüm: Bir daire içine yazılan düzgün altıgenin bir kenarı yarıçapına eşit olduğundan prizmanın yan yüzleri karedir.
Prizmanın kenarları silindir eksenine paralel olduğundan yüzün köşegeni ile silindir ekseni arasındaki açı, köşegen ile yan kenar arasındaki açıya eşittir. Yüzler kare olduğundan bu açı 45°'dir.
Cevap: Yan yüzünün köşegeni ile silindirin ekseni arasındaki açı = 45°.
Görev 3.
Silindirin yüksekliği 6 cm, taban yarıçapı 5 cm'dir.
Silindirin eksenine paralel olarak 4 cm uzaklıkta çizilen bölümün alanını bulun.
Verilen: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Bul: S sn.
S sn. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
OKM Üçgeni - ikizkenar (OK = OM = R = 5 cm),
OEK üçgeni dik açılıdır.
Pisagor teoremine göre OEK üçgeninden:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S sn. = 6×6 = 36 cm2.
Bu makalenin amacına ulaşılmış; silindir gibi geometrik bir cisim ele alınmıştır.
Aşağıdaki görevler dikkate alınır:
- Silindirin tanımı verilmiştir;
- Silindirin elemanları dikkate alınır;
- Silindir bölümlerinin türleri dikkate alınır;
- silindirin alanı için formül türetilmiştir;
- Bir silindirin hacmine ilişkin formül türetilir;
- silindir kullanarak problemleri çözdüm.
1. Pogorelov A.V. Geometri: Eğitim kurumlarının 10 – 11. sınıfları için ders kitabı, 1995.
2. Beşkin L.N. Stereometri. Ortaokul öğretmenleri için el kitabı, 1999.
3. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri: Eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri: genel eğitim kurumlarında 10-11. sınıflar için ders kitabı, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometri: Stereometri: 10 – 11. sınıflar: Ders kitabı ve problem kitabı, 2000.
Silindir, özellikleri lisede stereometri dersinde dikkate alınan simetrik bir uzaysal figürdür. Bunu açıklamak için tabanın yüksekliği ve yarıçapı gibi doğrusal özellikler kullanılır. Bu yazıda silindirin eksenel kesitinin ne olduğu ve şeklin temel doğrusal özellikleri aracılığıyla parametrelerinin nasıl hesaplanacağı ile ilgili soruları ele alacağız.
Geometrik şekil
Öncelikle makalede ele alınacak şekli tanımlayalım. Silindir, sabit uzunluktaki bir parçanın belirli bir eğri boyunca paralel hareketi ile oluşturulan bir yüzeydir. Bu hareketin temel koşulu, segmentin eğri düzlemine ait olmamasıdır.
Aşağıdaki şekilde eğrisi (kılavuzu) elips olan bir silindir gösterilmektedir.
Burada h uzunluğundaki bir parça onun üreteci ve yüksekliğidir.
Silindirin paralel düzlemlerde bulunan iki özdeş tabandan (bu durumda elipsler) ve bir yan yüzeyden oluştuğu görülebilir. İkincisi, şekillendirme çizgilerinin tüm noktalarına aittir.
Silindirlerin eksenel kesitini değerlendirmeye geçmeden önce size bu şekillerin ne tür olduğunu anlatacağız.
Üreten çizgi şeklin tabanlarına dik ise düz bir silindirden bahsediyoruz. Aksi takdirde silindir eğimli olacaktır. İki tabanın merkez noktalarını birleştirirseniz ortaya çıkan düz çizgiye şeklin ekseni denir. Aşağıdaki şekil düz ve eğimli silindirler arasındaki farkı göstermektedir.
Düz bir şekil için, üretici bölümün uzunluğunun h yüksekliğinin değeriyle çakıştığı görülebilir. Eğik bir silindir için yükseklik, yani tabanlar arasındaki mesafe her zaman genetik çizginin uzunluğundan daha azdır.
Düz bir silindirin eksenel bölümü
Eksenel, silindirin eksenini içeren herhangi bir bölümüdür. Bu tanım, eksenel bölümün her zaman generatrise paralel olacağı anlamına gelir.
Düz bir silindirde eksen dairenin merkezinden geçer ve düzlemine diktir. Bu, söz konusu dairenin çapı boyunca kesişeceği anlamına gelir. Şekilde, şeklin eksenden geçen bir düzlemle kesişmesi sonucu oluşan yarım silindir gösterilmektedir.
Düz dairesel bir silindirin eksenel bölümünün dikdörtgen olduğunu anlamak zor değildir. Kenarları tabanın çapı d ve şeklin yüksekliği h'dir.
Silindirin eksenel kesit alanı ve köşegeninin h d uzunluğu için formülleri yazalım:
Bir dikdörtgenin iki köşegeni vardır, ancak her ikisi de birbirine eşittir. Tabanın yarıçapı biliniyorsa, çapın yarısı olduğu göz önüne alındığında bu formülleri yeniden yazmak zor değildir.
Eğimli bir silindirin eksenel bölümü
Yukarıdaki resim kağıttan yapılmış eğimli bir silindiri göstermektedir. Eksenel bölümünü yaparsanız, artık bir dikdörtgen değil, bir paralelkenar elde edeceksiniz. Tarafları bilinen miktarlardır. Bunlardan biri, düz bir silindirin kesitinde olduğu gibi, tabanın d çapına eşittir, diğeri ise şekillendirme bölümünün uzunluğudur. b olarak gösterelim.
Bir paralelkenarın parametrelerini kesin olarak belirlemek için kenar uzunluklarını bilmek yeterli değildir. Aralarında başka bir açıya ihtiyaç var. Kılavuz ile taban arasındaki dar açının α olduğunu varsayalım. Bu aynı zamanda paralelkenarın kenarları arasındaki açı olacaktır. Daha sonra eğimli bir silindirin eksenel kesit alanı formülü şu şekilde yazılabilir:
Eğimli bir silindirin eksenel bölümünün köşegenlerinin hesaplanması biraz daha zordur. Paralelkenarın farklı uzunluklarda iki köşegeni vardır. Bilinen kenarları ve aralarındaki dar açıyı kullanarak bir paralelkenarın köşegenlerini hesaplamamıza olanak tanıyan türetmeden ifadeler sunuyoruz:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Burada l 1 ve l 2 sırasıyla küçük ve büyük köşegenlerin uzunluklarıdır. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi getirilerek her köşegeni bir vektör olarak düşünürsek bu formüller bağımsız olarak elde edilebilir.
Düz Silindir Sorunu
Aşağıdaki problemi çözmek için edinilen bilgiyi nasıl kullanacağınızı göstereceğiz. Bize yuvarlak düz bir silindir verilsin. Silindirin eksenel kesitinin kare olduğu bilinmektedir. Şeklin tamamı 100 cm2 ise bu bölümün alanı nedir?
Gerekli alanı hesaplamak için silindir tabanının yarıçapını veya çapını bulmanız gerekir. Bunu yapmak için şeklin toplam Sf alanı formülünü kullanırız:
Eksenel kesit kare olduğundan bu, tabanın r yarıçapının h yüksekliğinin yarısı olduğu anlamına gelir. Bunu dikkate alarak yukarıdaki eşitliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Artık r yarıçapını ifade edebiliriz:
Bir kare kesitin bir kenarı şeklin tabanının çapına eşit olduğundan, S alanını hesaplamak için aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Gerekli alanın silindirin yüzey alanına göre benzersiz bir şekilde belirlendiğini görüyoruz. Verileri eşitliğe yerleştirdiğimizde şu cevaba ulaşıyoruz: S = 21,23 cm2.
