Üçgen tanımı, eş üçgenler, üçgen çeşitleri. Farklı üçgen türleriyle ilgili problemler

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Geometrik şekilleri düşünün ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir.

Noktalara denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Üçgenin temel özellikleri şunlardır üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse, dar açılı olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşit çeşit üçgen, üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba dağıtın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Göreve ilişkin örnek

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
“Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
Sİ. Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. Cümleleri tamamlayın.

a) Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan ...lardan oluşan bir şekildir.

b) Noktalara denir … , segmentler - onun … . Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….

c) Açının büyüklüğüne göre üçgenler ... , ... , ... dir.

d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler ... , ... , ... şeklindedir.

2. Beraberlik

a) dik üçgen;

b) dar üçgen;

c) geniş üçgen;

d) eşkenar üçgen;

e) çeşitkenar üçgen;

e) ikizkenar üçgen.

3. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.

Okulda incelenen en basit çokgen bir üçgendir. Öğrenciler için daha anlaşılır ve daha az zorlukla karşılaşılır. Özel özelliklere sahip farklı üçgen türleri olmasına rağmen.

Hangi şekle üçgen denir?

Üç nokta ve parçadan oluşur. Birincisine köşeler, ikincisine kenarlar denir. Ayrıca, üç bölümün de aralarında açı oluşacak şekilde bağlanması gerekir. Dolayısıyla “üçgen” figürünün adı.

Köşelerdeki adlardaki farklılıklar

Dar, geniş ve düz olabildikleri için üçgenlerin türleri bu isimlerle belirlenir. Buna göre bu tür figürlerin üç grubu vardır.

Birinci. Bir üçgenin tüm açıları dar ise buna dar denir. Her şey mantıklı.

Saniye. Açılardan biri geniş, yani üçgen geniş. Daha basit olamazdı.

Üçüncü. 90 dereceye eşit bir açı vardır ve buna dik açı denir. Üçgen dikdörtgen olur.

Yanlardaki isim farklılıkları

Kenarların özelliklerine bağlı olarak aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

genel durum, tüm kenarların keyfi uzunlukta olduğu eşkenar dörtgendir;

iki tarafı aynı sayısal değerlere sahip olan ikizkenarlar;

eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarlarının uzunlukları aynıdır.

Sorun belirli bir üçgen türünü belirtmiyorsa, keyfi bir tane çizmeniz gerekir. Tüm köşelerin keskin olduğu ve kenarların farklı uzunluklarda olduğu.

Tüm üçgenlerde ortak olan özellikler

Bir üçgenin tüm açılarını toplarsanız 180 dereceye eşit bir sayı elde edersiniz. Ve ne tür olduğu önemli değil. Bu kural her zaman geçerlidir.
Bir üçgenin herhangi bir kenarının sayısal değeri diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Üstelik aralarındaki farktan daha büyük.
Her dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplanmasıyla elde edilen bir değeri vardır. Üstelik her zaman yanındaki iç mekandan daha büyüktür.
En küçük açı her zaman üçgenin küçük tarafının karşısındadır. Ve tam tersi, eğer kenar büyükse, açı en büyük olacaktır.

Problemlerde ne tür üçgenler dikkate alınırsa alınsın bu özellikler her zaman geçerlidir. Geri kalan her şey belirli özelliklerden kaynaklanır.

İkizkenar üçgenin özellikleri

Tabana bitişik açılar eşittir.
Tabana çizilen yükseklik aynı zamanda ortanca ve açıortaydır.
Üçgenin yan kenarlarına inşa edilen yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar sırasıyla birbirine eşittir.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Böyle bir rakam varsa, yukarıda biraz anlatılan tüm özellikler doğru olacaktır. Çünkü eşkenar her zaman ikizkenar olacaktır. Ancak bunun tersi geçerli değildir; ikizkenar üçgenin mutlaka eşkenar olması gerekmez.

Bütün açıları birbirine eşit olup değeri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin herhangi bir medyanı onun yüksekliği ve açıortayıdır. Üstelik hepsi birbirine eşittir. Değerlerini belirlemek için, tarafın çarpımı ve 3'ün karekökünün 2'ye bölünmesinden oluşan bir formül vardır.

Dik üçgenin özellikleri

İki dar açının toplamı 90°'ye eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyüktür.
Hipotenüse çizilen medyanın sayısal değeri yarısına eşittir.
Bacak 30°'lik bir açının karşısında yer alırsa aynı değere eşittir.
Tepe noktasından 90° değeriyle çizilen yüksekliğin bacaklara belirli bir matematiksel bağımlılığı vardır: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Burada: a, b - bacaklar, n - yükseklik.

Farklı üçgen türleriyle ilgili problemler

1 numara. Bir ikizkenar üçgen verildiğinde. Çevresi biliniyor ve 90 cm'ye eşit. Kenarlarını bulmamız gerekiyor. Ek bir koşul olarak: yan taraf tabandan 1,2 kat daha küçüktür.

Çevrenin değeri doğrudan bulunması gereken miktarlara bağlıdır. Üç tarafın toplamı 90 cm verecektir. Şimdi ikizkenar olan üçgenin işaretini hatırlamanız gerekiyor. Yani iki taraf eşittir. İki bilinmeyenli bir denklem oluşturabilirsiniz: 2a + b = 90. Burada a kenar, b ise tabandır.

Şimdi sıra ek bir şarta geldi. Bunu takiben ikinci denklem elde edilir: b = 1.2a. Bu ifadeyi ilkinin yerine koyabilirsiniz. Görünüşe göre: 2a + 1,2a = 90. Dönüşümlerden sonra: 3,2a = 90. Dolayısıyla a = 28,125 (cm). Artık temelini bulmak çok kolay. Bu en iyi şekilde ikinci koşuldan yapılır: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Kontrol etmek için üç değer ekleyebilirsiniz: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Bu doğru.

Cevap: Üçgenin kenarları 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm'dir.

2 numara. Eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu 12 cm'dir. Yüksekliğini hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Cevabı bulmak için üçgenin özelliklerinin anlatıldığı ana dönmek yeterli. Bu, bir eşkenar üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını bulma formülüdür.

n = a * √3 / 2, burada n yükseklik ve a kenardır.

Değiştirme ve hesaplama şu sonucu verir: n = 6 √3 (cm).

Bu formülü ezberlemenize gerek yok. Yüksekliğin üçgeni iki dikdörtgene böldüğünü hatırlamak yeterlidir. Üstelik bir bacak olduğu ortaya çıkıyor ve içindeki hipotenüs orijinalinin kenarı, ikinci bacak ise bilinen tarafın yarısı. Şimdi Pisagor teoremini yazmanız ve yükseklik için bir formül türetmeniz gerekiyor.

Cevap: Yükseklik 6 √3 cm'dir.

Numara 3. MKR, K açısının 90 derece olduğu bir üçgen olduğu için MR ve KR kenarları sırasıyla 30 ve 15 cm'ye eşittir.

Çözüm. Çizim yaparsanız MR'ın hipotenüs olduğu anlaşılır. Üstelik KR'nin yan tarafından iki kat daha büyük. Yine özelliklere dönmeniz gerekiyor. Bunlardan biri açılarla ilgilidir. Buradan KMR açısının 30° olduğu açıktır. Bu, istenen açı P'nin 60°'ye eşit olacağı anlamına gelir. Bu, iki dar açının toplamının 90°'ye eşit olması gerektiğini belirten başka bir özellikten kaynaklanmaktadır.

Cevap: P açısı 60°'dir.

4 numara. Bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulmamız gerekiyor. Tabandaki açıdan dış açının 110° olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Yalnızca dış açı verildiği için kullanmanız gereken şey budur. İç kısımla açılmamış bir açı oluşturur. Bu, toplamda 180 derece verecekleri anlamına gelir. Yani üçgenin tabanındaki açı 70 dereceye eşit olacaktır. İkizkenar olduğundan ikinci açının değeri aynıdır. Geriye üçüncü açıyı hesaplamak kalıyor. Tüm üçgenlerde ortak olan bir özelliğe göre açıların toplamı 180°'dir. Bu da üçüncünün 180° - 70° - 70° = 40° olarak tanımlanacağı anlamına gelir.

Cevap: Açılar 70°, 70°, 40°'dir.

Numara 5. İkizkenar üçgende tabanın karşısındaki açının 90° olduğu bilinmektedir. Tabanda işaretlenmiş bir nokta var. Onu dik açıya bağlayan parça onu 1'e 4 oranında böler. Küçük üçgenin tüm açılarını bulmanız gerekir.

Çözüm. Açılardan biri hemen belirlenebilir. Üçgen dik açılı ve ikizkenar olduğundan tabanındakilerin her biri 45° yani 90°/2 olacaktır.

İkincisi, durumda bilinen ilişkiyi bulmanıza yardımcı olacaktır. 1'e 4'e eşit olduğundan bölündüğü kısımlar yalnızca 5'tir. Bu, bir üçgenin daha küçük açısını bulmak için 90°/5 = 18°'ye ihtiyacınız olduğu anlamına gelir. Üçüncüyü bulmaya devam ediyor. Bunu yapmak için 180°'den (üçgenin tüm açılarının toplamı) 45° ve 18°'yi çıkarmanız gerekir. Hesaplamalar basittir ve şunu elde edersiniz: 117°.

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Geometrik şekilleri düşünün ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir.

Noktalara denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Üçgenin temel özellikleri şunlardır üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse, dar açılı olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşit çeşit üçgen, üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba dağıtın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Göreve ilişkin örnek

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
“Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
Sİ. Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. Cümleleri tamamlayın.

a) Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan ...lardan oluşan bir şekildir.

b) Noktalara denir … , segmentler - onun … . Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….

c) Açının büyüklüğüne göre üçgenler ... , ... , ... dir.

d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler ... , ... , ... şeklindedir.

2. Beraberlik

a) dik üçgen;

b) dar üçgen;

c) geniş üçgen;

d) eşkenar üçgen;

e) çeşitkenar üçgen;

e) ikizkenar üçgen.

3. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.

üçgenler

Üçgen aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç doğru parçasından oluşan şekildir. Noktalara denir zirvelerüçgen ve parçalar onun partiler.

Üçgen türleri

Üçgen denir ikizkenar, eğer iki tarafı eşitse. Bu eşit kenarlara denir yanlar, ve üçüncü taraf çağrılır temelüçgen.

Bütün kenarları eşit olan üçgene denir eşkenar veya doğru.

Üçgen denir dikdörtgen, eğer dik bir açısı varsa, o zaman 90°'lik bir açı vardır. Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs, diğer iki tarafa denir bacaklar.

Üçgen denir dar açılı, eğer açılarının üçü de dar ise, yani 90°'den küçükse.

Üçgen denir geniş, açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse.

Üçgenin temel çizgileri

Medyan

Medyan Bir üçgenin tepe noktası ile bu üçgenin karşı tarafının ortasını birleştiren doğru parçasına üçgen denir.

Üçgen medyanlarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkeziüçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Açıortay tepesinden çıkan, kenarları arasından geçen ve belirli bir açıyı ikiye bölen bir ışındır. Bir üçgenin açıortayı Bir üçgenin köşe noktasını bu üçgenin karşı tarafındaki bir noktaya bağlayan açının açıortay parçasına denir.

Üçgen ortayların özellikleri

Yükseklik

Yükseklik Bir üçgenin tepe noktasından bu üçgenin karşı kenarını içeren çizgiye çizilen dikmedir.

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

İÇİNDE dik üçgen Bir dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik onu iki üçgene böler, benzer orijinal.

İÇİNDE dar üçgen ondan iki yüksekliği kesilmiş benzerüçgenler.

Ortanca dik

Kendisine dik olan bir doğru parçasının ortasından geçen doğruya ne denir dik açıortay segmente .

Bir üçgenin dik açıortaylarının özellikleri

Bir parçanın dik açıortayının her noktası, o parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersi de doğrudur: Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik açıortay üzerinde yer alır.

Üçgenin kenarlarına çizilen dik açıortayların kesişme noktası merkezdir bu üçgenin çevrel çemberi.

orta hat

Üçgenin orta çizgisi iki tarafının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına denir.

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği

Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.

Formüller ve oranlar

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

İki üçgen sırasıyla eşitse eşittir:

iki kenar ve aralarındaki açı;

iki köşe ve onlara bitişik olan taraf;

üç taraf.

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

İki dik üçgen sırasıyla eşitse eşittir:

hipotenüs ve dar bir açı;

bacak ve karşı açı;

bacak ve komşu açı;

iki bacak;

hipotenüs Ve bacak.

Üçgenlerin benzerliği

İki üçgen benzer aşağıdaki koşullardan biri denirse benzerlik işaretleri:

bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşittir;

bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıdır ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşittir;

Bir üçgenin üç kenarı diğer üçgenin üç kenarıyla sırasıyla orantılıdır.

Benzer üçgenlerde karşılık gelen çizgiler ( yükseklikler, medyanlar, bisektörler vb.) orantılıdır.

Sinüs teoremi

Bir üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır ve orantı katsayısı şuna eşittir: çap üçgenin sınırlı çemberi:

Kosinüs teoremi

Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir:

A 2 = B 2 + C 2 - 2M.Öçünkü

Üçgen alan formülleri

Serbest Üçgen

a, b, c - taraflar; - kenarlar arasındaki açı A Ve B;- yarı çevre; R- sınırlı daire yarıçapı; R- yazılı dairenin yarıçapı; S- kare; H A - yan tarafa çekilen yükseklik A.

Standart tanımlamalar

Köşeleri olan üçgen A, B Ve C(şekle bakınız) olarak belirlenmiştir. Bir üçgenin üç tarafı vardır:

Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları küçük Latin harfleriyle (a, b, c) gösterilir:

Bir üçgen aşağıdaki açılara sahiptir:

İlgili köşelerdeki açı değerleri geleneksel olarak Yunan harfleriyle (α, β, γ) gösterilir.

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Öklid düzlemindeki bir üçgen, aşağıdaki temel element üçlüsüyle benzersiz bir şekilde (uyumluluğa kadar) belirlenebilir:

a, b, γ (iki tarafta eşitlik ve aralarındaki açı);
a, β, γ (yanda eşitlik ve iki bitişik açı);
a, b, c (üç tarafta eşitlik).

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

bacak ve hipotenüs boyunca;
iki ayak üzerinde;
bacak boyunca ve dar açı;
hipotenüs ve dar açı boyunca.

Üçgenin bazı noktaları “eşleşmiştir”. Örneğin, tüm kenarların ya 60° açıyla ya da 120° açıyla görülebildiği iki nokta vardır. Onlar aranmaktadır Torricelli noktaları. Ayrıca kenarlara doğru çıkıntıları düzgün bir üçgenin köşelerinde bulunan iki nokta vardır. Bu - Apollonius noktaları. Puan ve buna benzer şeyler denir Brocard puanları.

Doğrudan

Herhangi bir üçgende ağırlık merkezi, diklik merkezi ve çevrel çemberin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler çizgisi.

Çevrel dairenin merkezinden ve Lemoine noktasından geçen düz çizgiye denir. Brocard ekseni. Apollonius noktaları onun üzerindedir. Torricelli'nin noktaları ve Lemoine'in noktası da aynı doğru üzerindedir. Bir üçgenin açılarının dış açıortaylarının tabanları aynı düz çizgi üzerinde bulunur. dış açıortayların ekseni. Bir dik üçgenin kenarlarını içeren doğruların üçgenin kenarlarını içeren doğrularla kesişme noktaları da aynı doğru üzerindedir. Bu çizgiye denir ortosentrik eksen Euler düz çizgisine diktir.

Bir üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir nokta alırsak, üçgenin kenarlarına olan izdüşümleri aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır. Simson heteroseksüel bu nokta. Simson'un taban tabana zıt noktalardan oluşan çizgileri diktir.

üçgenler

Tabanlarında köşeleri belirli bir noktadan çizilen üçgene denir cevian üçgeni bu nokta.
Belirli bir noktanın yanlara izdüşümlerinde köşeleri olan bir üçgene denir ot veya pedal üçgeni bu nokta.
Köşeleri, köşelerinden çizilen doğruların ve çevrelenen daire ile belirli bir noktanın kesiştiği ikinci noktada bulunan üçgene denir. çevresel üçgen. Çevresel üçgen çim üçgenine benzer.

Çevreler

Yazılı daire- üçgenin üç kenarına da dokunan bir daire. O tek kişi. Yazılı dairenin merkezine denir merkezinde.
Çevrel çember- üçgenin üç köşesinden geçen bir daire. Sınırlandırılmış daire de benzersizdir.
Dış çevre- üçgenin bir kenarına dokunan ve diğer iki kenarın devamı olan bir daire. Bir üçgende böyle üç daire var. Radikal merkezleri, medial üçgenin yazılı dairesinin merkezidir. Spiker'ın noktası.

Bir üçgenin üç tarafının orta noktaları, üç yüksekliğinin tabanları ve köşelerini diklik merkezi ile birleştiren üç parçanın orta noktaları, adı verilen bir daire üzerinde bulunur. dokuz noktalı daire veya Euler çemberi. Dokuz noktalı dairenin merkezi Euler çizgisi üzerindedir. Dokuz noktadan oluşan bir daire, yazılı bir daireye ve üç dış daireye dokunuyor. Üzerinde yazılı daire ile dokuz noktadan oluşan daire arasındaki teğet noktaya ne ad verilir? Feuerbach noktası. Üçgenin her bir köşesinden, kenarları içeren düz çizgiler üzerinde dışarı doğru uzanırsak, ortezlerin uzunluğu karşı kenarlara eşit olursa, ortaya çıkan altı nokta aynı daire üzerinde yer alır - Conway dairesi. Herhangi bir üçgene, her biri üçgenin iki kenarına ve diğer iki daireye değecek şekilde üç daire yazılabilir. Bu tür çevrelere denir Malfatti çevreleri. Üçgenin kenarortaylarla bölündüğü altı üçgenin çevrel çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır. Lamun'un çevresi.

Bir üçgende, üçgenin iki kenarına ve çevrel çembere değen üç daire bulunur. Bu tür çevrelere denir yarı yazılı veya Verrier çevreleri. Verrier dairelerinin teğet noktalarını çevrel çembere bağlayan doğrular bir noktada kesişir. Verrier'in noktası. Çevrel daireyi yazılı bir daireye dönüştüren bir homojenliğin merkezi olarak hizmet eder. Verrier dairelerinin kenarlarla temas noktaları, yazılı dairenin merkezinden geçen düz bir çizgi üzerinde yer alır.

Yazılı dairenin teğet noktalarını köşelere bağlayan doğrular, adı verilen bir noktada kesişir. Gergonne noktası ve köşeleri dış çemberlerin teğet noktalarına bağlayan bölümler Nagel noktası.

Elipsler, paraboller ve hiperboller

Yazılı konik (elips) ve perspektifi

Bir üçgenin içine sonsuz sayıda konik (elips, parabol veya hiperbol) yazılabilir. Bir üçgene rastgele bir konik yazarsak ve teğet noktalarını zıt köşelerle birleştirirsek, ortaya çıkan düz çizgiler adı verilen bir noktada kesişecektir. maden arayıcısı ranzalar. Düzlemin bir kenarında veya uzantısında yer almayan herhangi bir noktası için, bu noktada perspektifli yazılı bir konik vardır.

Tanımlanan Steiner elipsi ve odaklarından geçen cevianlar

Ortadaki kenarlara değecek şekilde bir üçgenin içine bir elips yazılabilir. Böyle bir elips denir yazılı Steiner elipsi(perspektifi üçgenin merkezi olacaktır). Kenarlara paralel köşelerden geçen çizgilere değen açıklanan elips denir. Steiner elipsi tarafından tanımlanan. Bir üçgeni afin dönüşüm (“eğim”) kullanarak normal bir üçgene dönüştürürsek, o zaman onun yazılı ve sınırlı Steiner elipsi yazılı ve çevreli bir daireye dönüşecektir. Tanımlanan Steiner elipsinin (Scutin noktaları) odak noktalarından çizilen Chevian'lar eşittir (Scutin teoremi). Tanımlanan tüm elipsler arasında, tanımlanan Steiner elipsi en küçük alana sahiptir ve tüm yazılı elipsler arasında yazılı Steiner elipsi en büyük alana sahiptir.

Brocard elipsi ve perspektörü - Lemoine noktası

Odakları Brocard noktalarında olan bir elips denir Brocard elipsi. Perspektifi Lemoine noktasıdır.

Yazılı bir parabolün özellikleri

Kiepert parabolü

Yazılı parabollerin görünümleri tarif edilen Steiner elipsinde yatmaktadır. Yazılı bir parabolün odağı çevrel çember üzerinde yer alır ve direktriks ortomerkezden geçer. Bir üçgenin içine yazılan ve doğrultmanı Euler'in doğrultmanı olan bir parabole denir Kiepert parabolü. Perspektifi, çevrelenmiş daire ile sınırlı Steiner elipsinin kesiştiği dördüncü noktadır. Steiner noktası.

Kiepert'in abartısı

Tanımlanan hiperbol, yüksekliklerin kesişme noktasından geçerse, eşkenardır (yani asimptotları diktir). Bir eşkenar hiperbolün asimptotlarının kesişme noktası dokuz noktadan oluşan dairenin üzerindedir.

Dönüşümler

Köşelerden geçen çizgiler ve yanlarda olmayan bir nokta ve bunların uzantıları karşılık gelen açıortaylara göre yansıtılırsa, görüntüleri de bir noktada kesişecektir. izogonal eşlenik orijinal olan (eğer nokta çevrelenen dairenin üzerindeyse, ortaya çıkan çizgiler paralel olacaktır). Pek çok dikkate değer nokta çifti izogonal olarak eşleniktir: Çevrel merkez ve ortomerkez, ağırlık merkezi ve Lemoine noktası, Brocard noktaları. Apollonius noktaları Torricelli noktalarına izogonal olarak eşleniktir ve yazılı dairenin merkezi de kendisine izogonal olarak eşleniktir. İzogonal konjugasyonun etkisi altında, düz çizgiler çevrelenmiş koniklere, çevrelenmiş konikler ise düz çizgilere dönüşür. Böylece, Kiepert hiperbol ve Brocard ekseni, Jenzabek hiperbol ve Euler düz çizgisi, Feuerbach hiperbol ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkez çizgisi izogonal olarak eşleniktir. İzogonal eşlenik noktaların üçgenlerinin çevrel çemberleri çakışmaktadır. Yazılı elipslerin odakları izogonal olarak eşleniktir.

Simetrik bir cevian yerine tabanı orijinalin tabanı kadar kenar ortasından uzakta olan bir cevian alırsak, bu tür cevianlar da bir noktada kesişecektir. Ortaya çıkan dönüşüme denir izotomik konjugasyon. Ayrıca düz çizgileri tanımlanmış koniklere dönüştürür. Gergonne ve Nagel noktaları izotomik olarak eşleniktir. Afin dönüşümler altında izotomik olarak eşlenik noktalar, izotomik olarak eşlenik noktalara dönüştürülür. İzotomik konjugasyonla, tarif edilen Steiner elipsi sonsuzdaki çizgiye girecektir.

Üçgenin kenarlarının çevrel çemberden kestiği parçalara belli bir noktadan çizilen cevianların tabanlarına değen daireler çizer ve bu çemberlerin teğet noktalarını köşeleri zıt olan çevrel çembere bağlarsak, o zaman bu tür düz çizgiler bir noktada kesişecektir. Orijinal noktayı sonuçtaki noktayla eşleştiren düzlem dönüşümüne denir eş daire dönüşümü. İzogonal ve izotomik konjugatların bileşimi, kendisiyle eş daire şeklinde bir dönüşümün bileşimidir. Bu kompozisyon, üçgenin kenarlarını yerinde bırakan ve dış açıortayların eksenini sonsuzda düz bir çizgiye dönüştüren yansıtmalı bir dönüşümdür.

Belirli bir noktanın Chevian üçgeninin kenarlarını uzatırsak ve karşılık gelen kenarlarla kesişme noktalarını alırsak, ortaya çıkan kesişme noktaları, adı verilen tek bir düz çizgi üzerinde yer alacaktır. üç çizgili kutup başlangıç noktası. Ortosentrik eksen, ortosantrın üç çizgili kutbudur; yazılı dairenin merkezinin üç çizgili kutbu dış açıortayların eksenidir. Sınırlandırılmış bir konik üzerinde yer alan noktaların üç çizgili kutupları bir noktada kesişir (sınırlandırılmış bir daire için bu Lemoine noktasıdır, sınırlı bir Steiner elipsi için ağırlık merkezidir). Bir izogonal (veya izotomik) eşlenik ve bir üç çizgili polar bileşimi bir dualite dönüşümüdür (bir noktaya izogonal (izotomik olarak) eşlenik olan bir nokta, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alıyorsa, o zaman bir noktanın üç çizgili kutbu izogonal (izotomik olarak) bir noktaya eşlenik, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alır).

Küpler

Bir üçgendeki oranlar

Not: bu bölümde, , , üçgenin üç kenarının uzunluklarıdır ve , , sırasıyla bu üç kenarın karşısında yer alan açılardır (karşıt açılar).

Üçgen eşitsizliği

Dejenere olmayan bir üçgende iki kenarının uzunluklarının toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyüktür, dejenere bir üçgende eşittir. Başka bir deyişle, bir üçgenin kenar uzunlukları aşağıdaki eşitsizliklerle ilişkilidir:

Üçgen eşitsizliği metrik aksiyomlarından biridir.

Üçgen Açı Toplamı Teoremi

Sinüs teoremi

burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır. Teoremden şu sonuç çıkıyor: eğer bir< b < c, то α < β < γ.

Kosinüs teoremi

Teğet teoremi

Diğer oranlar

Bir üçgendeki metrik oranlar aşağıdakiler için verilmiştir:

Üçgenleri çözme

Bir üçgenin bilinmeyen kenarlarını ve açılarını bilinenlere dayanarak hesaplamaya tarihsel olarak "üçgenleri çözmek" adı verilmiştir. Yukarıdaki genel trigonometrik teoremler kullanılır.

Bir üçgenin alanı

Özel durumlar Notasyonu

Alan için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

Vektörleri kullanarak uzayda bir üçgenin alanını hesaplamak

Üçgenin köşeleri , , noktalarında olsun.

Alan vektörünü tanıtalım. Bu vektörün uzunluğu üçgenin alanına eşittir ve üçgenin düzlemine dik olarak yönlendirilir:

Üçgenin koordinat düzlemlerine izdüşümlerinin nerede olduğunu belirleyelim. burada

ve benzer şekilde

Üçgenin alanı.

Bir alternatif de kenarların uzunluklarını hesaplamak (Pisagor teoremini kullanarak) ve ardından Heron formülünü kullanmaktır.

Üçgen teoremleri

Desargues teoremi: iki üçgen perspektif ise (üçgenlerin karşılık gelen köşelerinden geçen çizgiler bir noktada kesişiyorsa), karşılık gelen kenarları aynı çizgide kesişir.

Sonda teoremi: iki üçgen perspektif ve ortolog ise (bir üçgenin köşelerinden üçgenin karşılık gelen köşelerinin karşısındaki kenarlara çizilen dikmeler ve bunun tersi), o zaman her iki ortoloji merkezi (bu dikmelerin kesişme noktaları) ve merkez Perspektifin perspektifi, perspektif eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde yer alır (Desargues teoreminden düz çizgi).