Newton-Leibniz formülünü kullanan belirli integral. Belirli integralin hesaplanması

Ox ekseninin belirli bir bölümünde sürekli bir f fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun tüm parça boyunca işaretinin değişmediğini varsayalım.

Eğer f, belirli bir segment üzerinde sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyonsa ve F, bunun bu segment üzerindeki bir türevi ise, o zaman eğrisel yamuk S'nin alanı, bu segment üzerindeki antiderivatifin artışına eşittir.

Bu teorem şu şekilde yazılabilir:

S = F(b) - F(a)

f(x) fonksiyonunun a'dan b'ye integrali S'ye eşit olacaktır. Burada ve ayrıca, a'dan b'ye integral limitleriyle birlikte bir f(x) fonksiyonunun belirli integralini belirtmek için, şu ifadeyi kullanacağız: (a;b)∫f( x) gösterimini takip ediyoruz. Aşağıda nasıl görüneceğine dair bir örnek verilmiştir.

Newton-Leibniz formülü

Bu, bu iki sonucu eşitleyebileceğimiz anlamına gelir. F'nin f fonksiyonunun ters türevi olması koşuluyla, (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a)'yı elde ederiz. Bu formül denir Newton - Leibniz formülleri. Bir aralıktaki herhangi bir sürekli f fonksiyonu için bu doğru olacaktır.

İntegralleri hesaplamak için Newton-Leibniz formülü kullanılır. Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1: integrali hesaplayın. İntegral fonksiyonu x 2'nin ters türevini bulun. Terstürevlerden biri (x 3)/3 fonksiyonu olacaktır.

Şimdi Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Cevap: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Örnek 2: (0;pi)∫sin(x)dx integralini hesaplayın.

Sin(x) integral fonksiyonunun terstürevini bulun. Terstürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Newton-Leibniz formülünü kullanalım:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Cevap: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Bazen, kaydetmenin basitliği ve rahatlığı için, (F(b)-F(a)) segmentindeki F fonksiyonunun artışı şu şekilde yazılır:

Artış için bu gösterimi kullanarak Newton-Leibniz formülü aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

Yukarıda belirtildiği gibi, bu yalnızca kayıt kolaylığının kısaltmasıdır; bu kayıt başka hiçbir şeyi etkilemez. Bu gösterim ve (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) formülü eşdeğer olacaktır.

Belirli bir integralle sürekli bir fonksiyondan F(X) son segmentte [ A, B] (burada ) bu segmentteki bazı antitürevlerinin artışıdır. (Genel olarak belirsiz integral konusunu tekrarlarsanız anlaşılması daha kolay olacaktır) Bu durumda notasyon kullanılır

Aşağıdaki grafiklerde görülebileceği gibi (antiderivatif fonksiyonun artışı ile gösterilmiştir), Belirli bir integral pozitif ya da negatif bir sayı olabilir(Anttürevin üst limitteki değeri ile alt limitteki değeri arasındaki fark olarak hesaplanır; F(B) - F(A)).

Sayılar A Ve B sırasıyla entegrasyonun alt ve üst sınırları olarak adlandırılır ve segment [ A, B] – entegrasyon segmenti.

Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatif fonksiyonlar F(X), o zaman tanıma göre,

(38)

Eşitlik (38) denir Newton-Leibniz formülü . Fark F(B) – F(A) kısaca şu şekilde yazılır:

Bu nedenle Newton-Leibniz formülünü şu şekilde yazacağız:

(39)

Belirli integralin, hesaplanırken integralin hangi antitürevinin alındığına bağlı olmadığını kanıtlayalım. İzin vermek F(X) ve F( X) integralin keyfi antitürevleridir. Bunlar aynı fonksiyonun ters türevleri olduğundan sabit bir terimle farklılık gösterirler: Ф( X) = F(X) + C. Bu yüzden

Bu, segmentte şunu belirler: [ A, B] fonksiyonun tüm ters türevlerinin artışları F(X) kibrit.

Bu nedenle, belirli bir integrali hesaplamak için integralin herhangi bir antitürevini bulmak gerekir; İlk önce belirsiz integrali bulmanız gerekir. Devamlı İLE sonraki hesaplamalara dahil edilmemiştir. Daha sonra Newton-Leibniz formülü uygulanır: üst limitin değeri ters türev fonksiyonuna yerleştirilir B , ayrıca - alt sınırın değeri A ve fark hesaplanır F(b) - F(a) . Ortaya çıkan sayı belirli bir integral olacaktır..

Şu tarihte: A = B tanım gereği kabul edildi

Örnek 1.

Çözüm. İlk önce belirsiz integrali bulalım:

Newton-Leibniz formülünün antiderivatife uygulanması

(saatte İLE= 0), şunu elde ederiz

Ancak belirli bir integral hesaplanırken antiderivatifi ayrı ayrı bulmak değil, integrali hemen (39) formuna yazmak daha iyidir.

Örnek 2. Belirli integrali hesaplayın

Çözüm. Formülü kullanma

Belirli integralin özellikleri

Teorem 2.Belirli integralin değeri, integral değişkeninin tanımına bağlı değildir yani

(40)

İzin vermek F(X) – için antiderivatif F(X). İçin F(T) antiderivatif aynı fonksiyondur F(T), burada bağımsız değişken yalnızca farklı şekilde belirtilir. Buradan,

Formül (39)'a göre son eşitlik, integrallerin eşitliği anlamına gelir.

Teorem 3.Sabit faktör belirli integralin işaretinden çıkarılabilir yani

(41)

Teorem 4.Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir yani

(42)

Teorem 5.Bir integral parçası parçalara ayrılırsa, parçanın tamamı üzerindeki belirli integral, parçaları üzerindeki belirli integrallerin toplamına eşittir yani Eğer

(43)

Teorem 6.İntegral limitleri yeniden düzenlenirken belirli integralin mutlak değeri değişmez, yalnızca işareti değişir yani

(44)

Teorem 7(ortalama değer teoremi). Belirli bir integral, integral parçasının uzunluğu ile integralin içindeki bir noktadaki değerinin çarpımına eşittir. yani

(45)

Teorem 8.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve integral negatif değilse (pozitif), o zaman belirli integral de negatif değildir (pozitif), yani. Eğer

Teorem 9.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve fonksiyonlar sürekli ise eşitsizlik

dönem dönem entegre edilebilir yani

(46)

Belirli integralin özellikleri, integrallerin doğrudan hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

Örnek 5. Belirli integrali hesaplayın

Teorem 4 ve 3'ü kullanarak ve antitürevleri - tablo integralleri (7) ve (6) bulurken, şunu elde ederiz:

Değişken üst limitli belirli integral

İzin vermek F(X) – segmentte sürekli [ A, B] işlevi ve F(X) onun terstürevidir. Belirli integrali düşünün

(47)

ve aracılığıyla T entegrasyon değişkeni üst sınırla karıştırılmayacak şekilde belirlenir. Değiştirirken X belirli integral (47) de değişir, yani. entegrasyonun üst sınırının bir fonksiyonudur X ile gösterdiğimiz F(X), yani.

(48)

Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım F(X) için bir ters türevdir F(X) = F(T). Aslında farklılaşan F(X), elde ederiz

Çünkü F(X) – için antiderivatif F(X), A F(A) sabit bir değerdir.

İşlev F(X) – sonsuz sayıda antiderivatiften biri F(X), yani X = A sıfıra gider. Bu ifade, (48) eşitliğini koyarsak elde edilir. X = A ve önceki paragraftaki Teorem 1'i kullanın.

Belirli integrallerin parçalara göre entegrasyon yöntemi ve değişken değişimi yöntemiyle hesaplanması

tanım gereği nerede, F(X) – için antiderivatif F(X). İntegraldeki değişkeni değiştirirsek

o zaman formül (16)'ya uygun olarak şunu yazabiliriz:

Bu ifadede

için antiderivatif fonksiyon

Aslında ona göre onun türevi karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralı, eşittir

α ve β değişkenin değerleri olsun T, bunun için fonksiyon

değerleri buna göre alır A Ve B yani

Ancak Newton-Leibniz formülüne göre fark F(B) – F(A) Orada

Newton-Leibniz formülü

Analizin ana teoremi veya Newton - Leibniz formülü iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak

Formülasyon

Fonksiyonun integralini düşünün sen = F(X) sabit bir sayı dahilinde A sayıya kadar X değişken olarak ele alacağız. İntegrali aşağıdaki biçimde yazalım:

Bu tip integrale üst limiti değişken olan integral denir. Belirli bir integralde ortalama değer teoremini kullanarak bu fonksiyonun sürekli ve türevlenebilir olduğunu göstermek kolaydır. Ayrıca belirli bir fonksiyonun x noktasındaki türevi, integrallenebilir fonksiyonun kendisine eşittir. Bundan, herhangi bir sürekli fonksiyonun karesel formda bir ters türevi olduğu sonucu çıkar: . Ve f fonksiyonunun antiderivatif fonksiyonlarının sınıfı bir sabite göre farklılık gösterdiğinden, şunu göstermek kolaydır: f fonksiyonunun belirli integrali, b ve a noktalarındaki antitürevlerin değerlerindeki farka eşittir.

Wikimedia Vakfı.

• 2010.
• Toplam Olasılık Formülü

Rayleigh-Jeans formülü

Diğer sözlüklerde “Newton-Leibniz formülünün” ne olduğuna bakın: Newton-Leibniz formülü

- Analizin ana teoremi veya Newton'un Leibniz formülü iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak. Formülasyon y = f(x) fonksiyonunun sabit bir sayı aralığındaki integralini ele alalım. .. ... Vikipedi Sonlu Artış Formülü

- Bu terimin başka anlamları da var, bkz. Lagrange Teoremi. Sonlu artış formülü veya Lagrange'ın ortalama değer teoremi, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta sürekli olması durumunda... Vikipedi Stokes formülü

- Stokes teoremi, çeşitli analiz teoremlerini genelleştiren, diferansiyel geometri ve diferansiyel formların entegrasyonuna ilişkin matematiksel analizin ana teoremlerinden biridir. Adını J. G. Stokes'tan almıştır. İçindekiler 1 Genel formülasyon 2… … Vikipedi NEWTON - LEIBNITZ FORMÜLÜ - belirli bir fonksiyon f'nin belirli bir integralinin değerini, bu fonksiyonun herhangi bir antiderivatif F'sinin segmentinin uçlarındaki değerler arasındaki fark şeklinde ifade eden bir formül. I. Newton ve G'den sonra adlandırılır. Leibniz, çünkü kural … …

Matematik Ansiklopedisi NEWTON-LEIBNITZ FORMÜLÜ - İntegral hesabının temel formülü. Bir f(x) fonksiyonunun belirli bir integrali ile onun herhangi bir antitürevi F(x) arasındaki bağlantıyı ifade eder ...

Büyük Ansiklopedik Sözlük- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Leibniz'in adını taşıyan nesnelerin listesi. Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Leibniz Formülü (anlamlar). İntegral hesabında Leibniz formülü kuraldır... ... Vikipedi

Newton-Leibniz formülü- Newton Leibniz formülü, integral hesabının temel formülü. f(x) fonksiyonunun belirli integrali ile onun herhangi bir antitürevi F(x) arasındaki bağlantıyı ifade eder. . * * * NEWTON LEIBNITZ FORMÜLÜ NEWTON LEIBNITZ FORMÜLÜ, temel formül... ... Ansiklopedik Sözlük

Dikdörtgen formülü

Yamuk formülü- Bir şeklin alanı olarak belirli integral Sayısal integral (tarihsel adı: kareleme), integralin değerinin sayısal olarak alana eşit olduğu gerçeğine dayanarak belirli bir integralin değerinin (genellikle yaklaşık olarak) hesaplanması. ... Vikipedi

Newton teoremi- Newton'un Leibniz formülü veya temel analiz teoremi iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak. Eğer bir doğru parçası üzerinde sürekli ise ve onun bu parça üzerindeki herhangi bir terstürevi ... Vikipedi

Sorun 1(kavisli bir yamuğun alanının hesaplanması hakkında).

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni, düz çizgiler x = a, x = b (eğri bir yamuk) ile sınırlanan bir şekil verilir (şekle bakın). Kavisli yamuğun alanının hesaplanması gerekir.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki mantıkla gerekli alanın yalnızca yaklaşık değerini bulabiliriz.

[a; segmentini bölelim; b] (kavisli bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya bölünür; bu bölme x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı sütunların alanlarının toplamına eşittir.

K'inci sütunu ayrı ayrı ele alalım, yani. tabanı bir segment olan kavisli bir yamuk. Bunu, tabanı ve yüksekliği f(xk) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \'ye eşittir; burada \(\Delta x_k \) parçanın uzunluğudur; Ortaya çıkan ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık bir değeri olarak düşünmek doğaldır.

Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, şu sonuca ulaşacağız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - parçanın uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - parçanın uzunluğu, vb.; bu durumda yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik, n ne kadar büyük olursa o kadar doğrudur.
Tanım gereği, eğrisel bir yamuğun gerekli alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğuna inanılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sorun 2(bir noktanın taşınması hakkında)
Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir zaman periyodundaki hareketini bulun [a; B].
Çözüm. Eğer hareket tekdüze olsaydı sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı aynı fikirleri kullanmanız gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman periyodu düşünün ve bu zaman periyodu sırasında hızın tk zamanındakiyle aynı olduğunu varsayalım. Dolayısıyla v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Noktanın belirli bir zaman dilimindeki hareketinin yaklaşık değerini bulalım; bu yaklaşık değeri s k olarak göstereceğiz.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) burada
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme dizinin sınırına eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgendi. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki birçok problem, çözüm sürecinde aynı modelin kullanılmasına yol açmaktadır. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak incelenmesi gerektiği anlamına gelir.

Belirli bir integral kavramı

[a; B]:
1) [a] parçasını bölün; b] n eşit parçaya bölünür;
2) toplamı oluşturun $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$'ı hesaplayın

Matematiksel analiz sırasında bu sınırın sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda mevcut olduğu kanıtlanmıştır. Onu aradılar y = f(x) fonksiyonunun [a; parçası üzerinde belirli bir integrali; B] ve aşağıdaki gibi ifade edilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).

Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel yamuğun alanıdır. Bu Belirli bir integralin geometrik anlamı.

Problem 2'de verilen, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

Newton-Leibniz formülü

Öncelikle şu soruyu cevaplayalım: Belirli integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?

Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Öte yandan, hareketli bir noktanın koordinatı hızın ters türevidir; buna s(t) diyelim; Bu, s yer değiştirmesinin s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edildiği anlamına gelir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.

Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a; b] ise formül geçerlidir
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in terstürevidir.

Verilen formüle genellikle denir Newton-Leibniz formülü Bunu birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda alan İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna.

Uygulamada, F(b) - F(a) yazmak yerine \(\left. F(x)\right|_a^b \) gösterimini kullanırlar (buna bazen denir) çift ​​oyuncu değişikliği) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü şu biçimde yeniden yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından ikili ikame yapın.

Newton-Leibniz formülüne dayanarak belirli integralin iki özelliğini elde edebiliriz.

Mülk 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Mülk 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Belirli Bir İntegral Kullanarak Düzlem Şekillerin Alanlarını Hesaplamak

İntegrali kullanarak, yalnızca kavisli yamukların alanlarını değil, aynı zamanda daha karmaşık tipteki düzlemsel figürlerin, örneğin şekilde gösterilenin alanlarını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleriyle ve [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği geçerlidir. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için şu şekilde ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Yani, x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin S alanı, parça üzerinde süreklidir ve parçadaki herhangi bir x için öyledir [A; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (antitürevleri) tablosu

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

İntegral. Newton-Leibniz formülü. Derleyen: Devlet Eğitim Kurumu Eğitim Kurumu PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna'nın matematik öğretmeni

Dersin amacı: İntegral kavramını ve onun Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplanmasını, antitürev hakkındaki bilgileri ve hesaplama kurallarını kullanarak tanıtmak; Eğrisel bir yamuğun alanını bulma örneklerini kullanarak integralin pratik uygulamasını gösterin; Egzersizler sırasında öğrendiklerinizi pekiştirin.

Tanım: Sonlu bir [a;b] parçası üzerinde tanımlı pozitif bir f(x) fonksiyonu verilsin. Bir f(x) fonksiyonunun [ a;b ] üzerindeki integrali, eğrisel yamuğunun alanıdır. y=f(x) b a 0 x y

Gösterim:  “a'dan b'ye eff x de x'ten integral”

Tarihsel not: Leibniz integralin notasyonunu “Summa” kelimesinin ilk harfinden türetmiştir. Newton, çeşitli seçenekleri denemesine rağmen eserlerinde integral için alternatif bir sembolizm önermemiştir. İntegral terimi Jacob Bernoulli tarafından icat edildi. Özet Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler belirsiz integralin gösterimini tanıttı. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler Belirli integralin alışık olduğumuz formdaki tasarımı Fourier tarafından icat edildi.

Newton-Leibniz formülü

Örnek 1. Belirli integrali hesaplayın: = Çözüm:

Örnek 2. Belirli integralleri hesaplayın: 5 9 1

Örnek 3. S y x Çizgilerin ve x ekseninin sınırladığı şeklin alanını hesaplayın. Öncelikle fonksiyonun grafiği ile x ekseninin kesişim noktalarını bulalım. Bunu yapmak için denklemi çözelim. = Çözüm: S =

y x S A B D C Örnek 4. Doğruların sınırladığı şeklin alanını hesaplayın ve S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 denklemini çözerek bu doğruların kesişme noktalarını (apsis) bulun. örnek 1'e bakın Çözüm:

SINCWAIN KURALLARI 1 satır - senkwine teması 1 kelime 2 satır - konunun işaretlerini ve özelliklerini açıklayan 2 sıfat 3 satır - eylemin doğasını açıklayan 3 fiil 4 satır - kişisel tutumunuzu gösteren 4 kelimelik kısa bir cümle konu 5 satır - 1 kelime, eşanlamlısı veya konunun çağrıştırdığı tema.

İntegral 2. Belirli, pozitif Sayma, toplama, çarpma 4. Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplama 5. Alan

Kullanılan literatürün listesi: A.N. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı 10 - 11. sınıflar.

İlginiz için teşekkür ederiz! "YETENEK emeğin %99'u, yeteneğin %1'idir" halk bilgeliği

Örnek 1. Belirli integrali hesaplayın: = Çözüm: örnek 4

Önizleme:

Konu: matematik (cebir ve analizin başlangıcı), sınıf: 11. sınıf.

Ders konusu: "İntegral. Newton-Leibniz formülü."

Ders türü: Yeni materyal öğrenme.

Ders süresi: 45 dakika.

Ders hedefleri: Antitürev hakkındaki bilgileri ve hesaplama kurallarını kullanarak Newton-Leibniz formülünü kullanarak integral kavramını ve hesaplamasını tanıtmak; kavisli bir yamuğun alanını bulma örneklerini kullanarak integralin pratik uygulamasını göstermek; Egzersizler sırasında öğrendiklerinizi pekiştirin.

Ders hedefleri:

Eğitici:

1. İntegral kavramını oluşturur;
2. belirli bir integralin hesaplanmasında becerilerin geliştirilmesi;
3. Eğrisel bir yamuğun alanını bulmak için integralin pratik uygulamasında beceriler geliştirmek.

Eğitici:

1. öğrencilerin bilişsel ilgisini geliştirmek, matematiksel konuşmayı geliştirmek, gözlemleme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma yeteneği;
2. BİT kullanarak konuya ilgi geliştirmek.

Eğitici:

1. integrali hesaplarken ve çizim yaparken yeni bilgi edinme, doğruluk ve doğruluk geliştirme konusundaki ilgiyi yoğunlaştırmak.

Teçhizat: PC, Microsoft Windows 2000/XP işletim sistemi, MS Office 2007 programı: Power Point, Microsoft Word; multimedya projektörü, ekran.

Edebiyat: Kolmagorov A.N.'nin ders kitabı ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı 10-11. sınıflar.

Teknolojiler: BİT, bireysel eğitim.

DERSİN İLERLEMESİ

Önizleme:

“İntegral” konusuyla ilgili temel özet. Newton-Leibniz formülü."