Top (küre)
Küresel yüzey. Top (küre). Top bölümleri: daireler.
Arşimet teoremi. Topun parçaları: küresel segment,
küresel katman, küresel kemer, küresel sektör.
Küresel yüzey - Bu noktaların yeri(onlar. birçoktüm noktaların sayısı)uzayda bir noktadan eşit uzaklıkta Ö küresel yüzeyin merkezi olarak adlandırılan (Şek.90). Yarıçap AOi çap AB çemberde olduğu gibi tanımlanır.
Top (küre) - Bu küresel bir yüzeyle sınırlanmış bir cisim. Olabilmek yarım daireyi döndürerek topu alın ( veya daire ) çapın etrafında. Topun tüm düzlemsel bölümleri daireler (Şekil 90 ). En büyük daire topun merkezinden geçen bölümde bulunur ve buna denir. büyük daire. Yarıçapı topun yarıçapına eşittir. Herhangi iki büyük daire topun çapı boyunca kesişir ( AB, şekil 91 ).Bu çap aynı zamanda kesişen büyük dairelerin çapıdır. Aynı çapın uçlarında bulunan küresel bir yüzeyin iki noktasından(A ve B, Şekil 91 ), sayısız büyük daire çizebilirsiniz. Örneğin Dünya'nın kutuplarından sonsuz sayıda meridyen çizilebilir.
Kürenin hacmi, etrafını çevreleyen silindirin hacminden bir buçuk kat daha azdır. (Şek.92 ), A topun yüzeyi aynı silindirin toplam yüzeyinden bir buçuk kat daha azdır ( Arşimet teoremi):
Burada S top Ve V top - sırasıyla topun yüzeyi ve hacmi;
S silindir Ve V silindir - çevrelenen silindirin toplam yüzeyi ve hacmi.
Topun parçaları. Bir topun parçası (küre) ), bir uçakla ondan kesilmiş ( ABC, Şekil 93), isminde top(küresel ) bölüm. ABC'yi daire içine alın isminde temel top bölümü. Çizgi segmenti MN merkezden çizilen dik N daire ABC küresel bir yüzeyle kesişene kadar buna denir yükseklik top bölümü. Nokta M isminde tepe top bölümü.
İki paralel düzlem arasına alınmış bir kürenin parçası ABC ve DEF küresel bir yüzeyle kesişiyor (Şekil 93), isminde küresel katman; küresel bir katmanın kavisli yüzeyine denir top kemer(alan). Çevreler ABC ve DEF – zemin top kemeri. Mesafe N.K. küresel kayışın tabanları arasında - yükseklik. Topun küresel bir parçanın kavisli yüzeyi ile sınırlanan kısmı ( AMKB, Şekil 93) ve konik yüzey OABC , tabanı segmentin tabanıdır ( ABC ) ve tepe noktası topun merkezidirÖ , isminde küresel sektör.
Bir top ve bir küre her şeyden önce geometrik şekillerdir ve eğer bir top geometrik bir cisimse, o zaman bir küre bir topun yüzeyidir. Bu rakamlar M.Ö. binlerce yıl önce ilgi çekiciydi.
Daha sonra, Dünyanın bir top ve gökyüzünün göksel bir küre olduğu keşfedildiğinde, geometride yeni ve büyüleyici bir yön geliştirildi - küre üzerinde geometri veya küresel geometri. Bir topun boyutundan ve hacminden söz edebilmek için öncelikle onu tanımlamanız gerekir.
Top
Geometride merkezi O noktasında olan R yarıçaplı bir top, uzaydaki ortak özelliğe sahip tüm noktaların oluşturduğu bir cisimdir. Bu noktalar topun yarıçapını aşmayacak bir mesafede bulunur, yani merkezinden her yönde topun yarıçapından daha az tüm alanı doldururlar. Yalnızca topun merkezine eşit uzaklıktaki noktaları dikkate alırsak, topun yüzeyini veya kabuğunu dikkate alacağız.
Topu nasıl alabilirim? Kağıttan bir daire kesip onu kendi çapı etrafında döndürmeye başlayabiliriz. Yani dairenin çapı dönme ekseni olacaktır. Oluşan şekil bir top olacak. Bu nedenle topa devrim gövdesi de denir. Çünkü düz bir şeklin (bir daire) döndürülmesiyle oluşturulabilir.
Biraz uçak alalım ve onunla topumuzu keselim. Tıpkı portakalı bıçakla kestiğimiz gibi. Topdan kestiğimiz parçaya küresel parça denir.
Antik Yunanistan'da, yalnızca bir top ve küre ile geometrik şekiller olarak nasıl çalışılacağını, örneğin bunları inşaatta nasıl kullanacaklarını değil, aynı zamanda bir topun yüzey alanını ve bir topun hacmini nasıl hesaplayacaklarını da biliyorlardı.
Küre, topun yüzeyinin diğer adıdır. Küre bir cisim değildir; bir devrim cismin yüzeyidir. Ancak hem Dünya hem de birçok cisim küresel bir şekle sahip olduğundan, örneğin bir su damlası, küre içindeki geometrik ilişkilerin incelenmesi yaygınlaştı.
Örneğin, bir kürenin iki noktasını düz bir çizgiyle birbirine bağlarsak, bu düz çizgiye kiriş denir ve bu kiriş, topun merkezine denk gelen kürenin merkezinden geçerse, o zaman akor kürenin çapı olarak adlandırılır.
Küreye tek bir noktada değen düz bir çizgi çizersek bu çizgiye teğet adı verilir. Ayrıca bu noktada küreye olan bu teğet, temas noktasına çizilen kürenin yarıçapına dik olacaktır.
Akoru küreden bir yönde veya diğer yönde düz bir çizgiye uzatırsak, bu akora sekant adı verilecektir. Ya da farklı bir şekilde söyleyebiliriz; kürenin sekantı onun akorunu içerir.
Top hacmi
Bir topun hacmini hesaplamak için formül:
burada R topun yarıçapıdır.
Küresel bir parçanın hacmini bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki formülü kullanın:
V seg =πh 2 (R-h/3), h küresel parçanın yüksekliğidir.
Bir topun veya kürenin yüzey alanı
Bir kürenin alanını veya bir topun yüzey alanını hesaplamak için (bunlar aynı şeydir):
burada R kürenin yarıçapıdır.
Arşimet top ve küreye çok düşkündü, hatta mezarına bir silindirin içinde topun yazılı olduğu bir çizim bırakılmasını bile istedi. Arşimet, bir topun hacminin ve yüzeyinin, topun içinde bulunduğu silindirin hacminin ve yüzeyinin üçte ikisine eşit olduğuna inanıyordu.
2. Bölümde “yapısal geometri”ye devam edeceğiz ve en önemli mekansal figürlerin (top ve küre, silindirler ve koniler, prizmalar ve piramitler) yapısı ve özellikleri hakkında konuşacağız. İnsan eliyle yaratılan çoğu nesne (binalar, arabalar, mobilyalar, tabaklar). vb. vb. bu şekillere benzeyen parçalardan oluşur.
§ 4. KÜRE VE KÜRESEL
Düz çizgiler ve düzlemlerden sonra küre ve top, çeşitli özellikler açısından zengin, en basit ama çok önemli mekansal figürlerdir. Bir topun ve yüzeyinin (küre) geometrik özellikleri hakkında bütün kitaplar yazılmıştır. Bu özelliklerin bazıları eski Yunan geometricileri tarafından biliniyordu, bazıları ise daha yakın zamanda, son yıllarda keşfedildi. Bu özellikler (doğa bilimi yasalarıyla birlikte) örneğin gök cisimlerinin ve balık yumurtalarının neden küresel şekilli olduğunu, banyo şapkalarının ve futbol toplarının neden top şeklinde yapıldığını, bilyalı rulmanların teknolojide neden bu kadar yaygın olduğunu açıklamaktadır. vesaire. Topun yalnızca en basit özelliklerini kanıtlayabiliriz. Çok önemli olmasına rağmen diğer özelliklerin kanıtları genellikle tamamen temel olmayan yöntemlerin kullanılmasını gerektirir, ancak bu tür özelliklerin formülasyonu çok basit olabilir: örneğin, belirli bir yüzey alanına sahip tüm cisimler arasında top en büyük hacme sahiptir.
4.1. Küre ve topun tanımları.
Bir küre ve bir top uzayda, bir daire ve bir düzlemdeki daire ile tamamen aynı şekilde tanımlanır. Küre, uzaydaki belirli bir noktadan uzaktaki tüm noktalardan oluşan bir şekildir.
aynı (pozitif) mesafeye farklı noktalar.
Bu noktaya kürenin merkezi denir ve mesafe yarıçapıdır (Şekil 4.1).
O halde merkezi O ve yarıçapı R olan bir küre, uzaydaki tüm X noktalarının oluşturduğu bir şekildir.
Top, belirli bir noktadan belirli bir (pozitif) mesafeden daha büyük olmayan bir mesafede bulunan uzaydaki tüm noktaların oluşturduğu bir şekildir. Bu noktaya topun merkezi denir ve bu mesafe yarıçapıdır.
O halde merkezi O ve yarıçapı R olan bir top, uzayın tüm X noktalarından oluşan bir şekildir.
O merkezli ve R yarıçaplı bir topun bir küre oluşturduğu X noktaları. Bu kürenin belirli bir topu çevrelediğini veya onun yüzeyi olduğunu söylüyorlar.
Topun içinde bulunduğunu söyledikleri topun yaklaşık aynı X noktaları.
Bir kürenin (ve topun) yarıçapına yalnızca mesafe değil, aynı zamanda merkezi küre üzerindeki bir noktaya bağlayan herhangi bir parça da denir.
GEOMETRİ
Bölüm II. STEREOMETRİ
§22. TOP. KÜRE.
1. Top ve kürenin tanımı. Top ve kürenin elemanları.
Mermi, bir dairenin çapını içeren bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan geometrik bir cisimdir (Şekil 500).
Dönen dairenin merkezine topun merkezi, dairenin yarıçapına topun yarıçapı, dairenin çapına da topun çapı denir. Şekil 500'de O noktası topun merkezi, OA ve OB topun yarıçapıdır ve AB topun çapıdır.
Topun yüzeyine küre denir.
Bir kürenin merkezi, yarıçapı ve çapı aynı zamanda kürenin merkezi, yarıçapı ve çapıdır.
Küre üzerindeki tüm noktalar kürenin merkezinden yarıçapa eşit uzaklıkta bulunmaktadır. Topun küreye ait olmayan diğer noktalarına iç noktalar denir; bu noktalara kürenin içinde yer aldığı söylenir. Topun iç noktaları, topun merkezinden yarıçaptan daha az bir mesafede bulunur.
Böylece küre ve topun başka bir tanımına geliyoruz.
Küre, uzaydaki aynı noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktalardan oluşan bir yüzeydir. Bu noktaya kürenin merkezi denir ve kürenin merkezinden herhangi bir noktasına olan mesafe kürenin yarıçapıdır.
Mermi, belirli bir noktadan belirli bir noktadan daha büyük olmayan bir mesafede bulunan uzaydaki tüm noktalardan oluşan geometrik bir cisimdir. Bu noktaya topun merkezi, bu mesafeye de topun yarıçapı denir.
Örnek. Kürenin yarıçapı 3,5 cm'dir. A noktası kürenin merkezinden uzaksa kürenin içinde veya dışındadır: 1) cm, 2) santimetre.
Top, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan, uzaydaki tüm noktalardan oluşan bir cisimdir. Bu noktaya topun merkezi, bu mesafeye de topun yarıçapı denir. Bir topun sınırına küresel yüzey veya küre denir. Bir kürenin noktaları, topun merkezden yarıçapa eşit uzaklıkta olan tüm noktalarıdır. Bir topun merkezini küresel yüzey üzerindeki bir noktaya bağlayan herhangi bir parçaya da yarıçap denir. Topun merkezinden geçen ve küresel yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren parçaya çap denir. Herhangi bir çapın uçlarına topun taban tabana zıt noktaları denir.
Top, tıpkı koni ve silindir gibi dönen bir cisimdir. Bir yarım dairenin çapı etrafında eksen olarak döndürülmesiyle bir top elde edilir.
Topun yüzey alanı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
burada r topun yarıçapıdır, d topun çapıdır.
Topun hacmi aşağıdaki formülle bulunur:
V = 4/3 πr3,
burada r topun yarıçapıdır.
Teorem. Bir topun düzleme göre her bölümü bir dairedir. Bu dairenin merkezi, topun merkezinden kesme düzlemine çizilen dikmenin tabanıdır.
Bu teoreme göre, O merkezli ve R yarıçaplı bir topun α düzlemiyle kesişmesi durumunda kesit, r yarıçaplı ve K merkezli bir daireyle sonuçlanır. Topun kesitinin düzleme göre yarıçapı bulunabilir. formüle göre
Formülden, merkezden eşit uzaklıktaki düzlemlerin topla eşit dairelerde kesiştiği açıktır. Kesitin yarıçapı daha büyüktür, kesme düzlemi bilyenin merkezine ne kadar yakınsa, yani OK mesafesi o kadar küçüktür. En büyük yarıçap, topun merkezinden geçen bir düzlemin kesitine sahiptir. Bu dairenin yarıçapı topun yarıçapına eşittir.
Topun merkezinden geçen düzleme merkez düzlemi denir. Bir topun çap düzlemine göre kesitine büyük daire, kürenin kesitine büyük daire ve kürenin kesitine büyük daire denir.
Teorem. Bir topun herhangi bir çapsal düzlemi onun simetri düzlemidir. Topun merkezi simetri merkezidir.
Küresel yüzeyin A noktasından geçen ve A noktasına çizilen yarıçapa dik olan düzleme teğet düzlem denir. A noktasına teğet nokta denir.
Teorem. Teğet düzlemin topla tek bir ortak noktası vardır; temas noktası.
Küresel bir yüzeyin A noktasından bu noktaya çizilen yarıçapa dik olarak geçen düz çizgiye teğet denir.
Teorem. Küresel yüzey üzerindeki herhangi bir noktadan sonsuz sayıda teğet geçer ve bunların hepsi topun teğet düzleminde yer alır.
Küresel bir bölüm, bir topun kendisinden bir düzlemle kesilen kısmıdır. ABC Çemberi küresel parçanın tabanıdır. ABC dairesinin N merkezinden küresel yüzeyle kesişme noktasına çizilen MN dik parçası, küresel parçanın yüksekliğidir. M noktası küresel parçanın tepe noktasıdır.
Küresel bir segmentin yüzey alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Küresel bir parçanın hacmi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
V = πh 2 (R – 1/3h),
burada R büyük dairenin yarıçapıdır, h ise küresel parçanın yüksekliğidir.
Küresel bir segment ve bir koniden aşağıdaki gibi küresel bir sektör elde edilir. Küresel bir bölüm yarım küreden daha küçükse, o zaman küresel bölüm, tepe noktası topun merkezinde olan ve tabanı bölümün tabanı olan bir koni ile tamamlanır. Segment yarım küreden daha büyükse, belirtilen koni ondan çıkarılır.
Küresel bir sektör, küresel bir parçanın (şeklimizde bu AMCB'dir) kavisli bir yüzeyi ve tabanı kürenin tabanı olan konik bir yüzey (şeklimizde bu OABC'dir) ile sınırlanan bir topun parçasıdır. segment (ABC) ve tepe noktası O topunun merkezidir.
Küresel sektörün hacmi aşağıdaki formülle bulunur:
V = 2/3 πR2H.
Küresel katman, küresel yüzeyle kesişen iki paralel düzlem (şekilde ABC ve DEF düzlemleri) arasına alınmış bir topun parçasıdır. Küresel katmanın kavisli yüzeyine küresel kuşak (bölge) adı verilir. ABC ve DEF çemberleri küresel kuşağın tabanlarıdır. Küresel kayışın tabanları arasındaki NK mesafesi yüksekliğidir.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
