Bir vektörün bir eksene izdüşümünün temel özellikleri. Bir vektörün bir eksene izdüşümü (geometrik, cebirsel)

İki vektör olsun ve uzayda verilsin. Keyfi bir noktadan erteleyelim O vektörler ve . Açı Vektörler arasındaki açıya açıların en küçüğü denir. Belirlenmiş .

Ekseni düşünün ben ve üzerine bir birim vektör (yani uzunluğu bire eşit olan bir vektör) çizin.

Vektör ile eksen arasında bir açıda ben ve vektörleri arasındaki açıyı anlayın.

Öyleyse izin ver ben bir eksendir ve bir vektördür.

ile belirtelim 1 Ve B1 eksen üzerine projeksiyonlar ben sırasıyla puan A Ve B. Diyelim ki 1 bir koordinatı var x 1, A B1– koordinat x 2 eksende ben.

Daha sonra projeksiyon eksen başına vektör ben fark denir x 1 – x 2 vektörün sonu ve başlangıcının bu eksen üzerindeki çıkıntılarının koordinatları arasında.

Vektörün eksene izdüşümü ben belirteceğiz.

Vektör ile eksen arasındaki açının eğer olduğu açıktır. ben o zaman baharatlı x 2> x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1> 0; eğer bu açı genişse, o zaman x 2< x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ben, O x 2= x 1 Ve x 2– x 1=0.

Böylece vektörün eksene izdüşümü ben segmentin uzunluğu bir 1 B 1, belirli bir işaretle alınır. Bu nedenle vektörün eksene izdüşümü bir sayı veya skalerdir.

Bir vektörün diğerine izdüşümü de benzer şekilde belirlenir. Bu durumda bu vektörün uçlarının 2. vektörün bulunduğu doğruya izdüşümleri bulunur.

Bazı temel bilgilere bakalım projeksiyonların özellikleri.

DOĞRUSAL BAĞIMLI VE DOĞRUSAL BAĞIMSIZ VEKTÖR SİSTEMLER

Birkaç vektörü ele alalım.

Doğrusal kombinasyon Bu vektörlerden herhangi biri, bazı sayıların yer aldığı formdaki herhangi bir vektördür. Sayılara doğrusal kombinasyon katsayıları denir. Ayrıca bu durumda bu vektörler aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini de söylüyorlar, yani. onlardan doğrusal eylemler kullanılarak elde edilir.

Örneğin, üç vektör verilirse, aşağıdaki vektörler bunların doğrusal birleşimi olarak düşünülebilir:

Bir vektör bazı vektörlerin doğrusal birleşimi olarak temsil ediliyorsa buna şöyle denir: ortaya konuldu bu vektörler boyunca.

Vektörler denir doğrusal bağımlı, eğer sayıların tümü sıfıra eşit değilse, öyle ki . Bu vektörlerden herhangi biri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, verilen vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olacağı açıktır.

Aksi takdirde, yani oran ne zaman yalnızca şu durumlarda gerçekleştirilir: , bu vektörlere denir doğrusal bağımsız.

Teorem 1. Herhangi iki vektör ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt:

Aşağıdaki teorem benzer şekilde kanıtlanabilir.

Teorem 2.Üç vektör ancak ve ancak aynı düzlemde olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

TEMEL

Temel sıfır olmayan doğrusal bağımsız vektörlerin bir koleksiyonudur. Temelin unsurlarını ile göstereceğiz.

Önceki paragrafta bir düzlem üzerinde doğrusal olmayan iki vektörün doğrusal olarak bağımsız olduğunu gördük. Bu nedenle, önceki paragraftaki Teorem 1'e göre, bir düzlemin temeli, bu düzlem üzerindeki doğrusal olmayan herhangi iki vektördür.

Benzer şekilde, aynı düzlemde olmayan herhangi üç vektör uzayda doğrusal olarak bağımsızdır. Sonuç olarak, aynı düzlemde olmayan üç vektöre uzayda taban diyoruz.

Aşağıdaki ifade doğrudur.

Teorem. Uzayda bir temel verilsin. O zaman herhangi bir vektör doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir , Nerede X, sen, z- bazı sayılar. Bu tek ayrışmadır.

Kanıt.

Böylece, temel, her vektörün benzersiz bir şekilde üçlü sayılarla ilişkilendirilmesine olanak tanır - bu vektörün temel vektörlere genişleme katsayıları: . Her üç sayı için de bunun tersi doğrudur x, y, z temeli kullanarak, doğrusal bir kombinasyon yaparsanız vektörü karşılaştırabilirsiniz .

Eğer temeli ve , ardından sayılar x, y, z denir koordinatlar belirli bir temelde vektör. Vektör koordinatları ile gösterilir.

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ

Uzayda bir nokta verilsin O ve üç eş düzlemli olmayan vektör.

Kartezyen koordinat sistemi uzayda (düzlemde) bir nokta ve bir tabanın toplanmasıdır, yani. bir nokta ve bu noktadan çıkan üç eş düzlemli olmayan vektörden (doğrusal olmayan 2 vektör) oluşan bir dizi.

Nokta O kökeni denir; Koordinatların kökeninden temel vektörler yönünde geçen düz çizgilere koordinat eksenleri denir - apsis, ordinat ve uygulama ekseni. Koordinat eksenlerinden geçen düzlemlere koordinat düzlemleri denir.

Seçilen koordinat sisteminde rastgele bir noktayı düşünün M. Nokta koordinatları kavramını tanıtalım M. Orijini bir noktaya bağlayan vektör M. isminde yarıçap vektörü puan M.

Seçilen tabandaki bir vektör, üçlü sayılarla (koordinatları) ilişkilendirilebilir: .

Noktanın yarıçap vektörünün koordinatları M. denir M noktasının koordinatları. Söz konusu koordinat sisteminde. M(x,y,z). İlk koordinata apsis, ikincisine ordinat, üçüncüsüne ise aplike denir.

Düzlemdeki kartezyen koordinatlar da benzer şekilde belirlenir. Burada noktanın yalnızca iki koordinatı vardır - apsis ve ordinat.

Belirli bir koordinat sistemi için her noktanın belirli koordinatlara sahip olduğunu görmek kolaydır. Öte yandan, her bir sayı üçlüsü için bu sayıların koordinatları olan benzersiz bir nokta vardır.

Seçilen koordinat sisteminde esas alınan vektörler birim uzunlukta ve ikili dik ise koordinat sistemi denir. Kartezyen dikdörtgen.

Bunu göstermek kolaydır.

Bir vektörün yön kosinüsleri onun yönünü tamamen belirler, ancak uzunluğu hakkında hiçbir şey söylemez.

1°. Belirlemek için vektör miktarı, Sayısal değerinin yanı sıra yönünü de bilmek gerekir. Bu niceliklere örnek olarak hız ve ivme, yani bir cisim hareket ettiğinde bir noktanın yer değiştirmesi gösterilebilir. Tanım.Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür, yani başı ve sonu olan bir bölümdür. Bir vektörün orijinine uygulama noktası denir; dümdüz ben Vektörün bulunduğu yere eylem çizgisi denir. Tanım.Bir vektörün modülü uzunluğudur. Vektörün büyüklüğü |A¯B sembolüyle gösterilir.| veya|a¯|.

Tanım.Bir vektörün bir eksene izdüşümü, bu eksen boyunca vektör bileşeninin modülüne eşit bir skaler olup, bileşenin yönü eksenin yönü ile çakışıyorsa artı işaretiyle ve bu yönler çakışıyorsa eksi işaretiyle alınır. zıttır. Bir vektör eksene dik ise izdüşümü sıfırdır.Bir eksene vektör projeksiyonunun özellikleri:

1. Vektörün eksene izdüşümü, vektörlerin paralel aktarımı nedeniyle değişmez. halkla ilişkiler l AB = pr l A 1 B 1

2. Projeksiyonun toplanabilirliği. Vektörlerin toplamının belirli bir eksene izdüşümü, bu vektörlerin bu eksene izdüşümlerinin toplamına eşittir. pr l (a 1 +a 2 +a 3) = pr l a 1 + pr l a 2 + pr l a 3 3. Projeksiyonun tekdüzeliği. Skaler faktör, eksen üzerindeki vektör projeksiyonunun işaretinin ötesine alınabilir. 4. Eşit eksende doğrudan vektör. ürün. mod vektörü, vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsüne göre. pr l а‾ = /а‾/ * çünküφ - eğer açı φ akut – pozitif projeksiyon

- eğer açı φ geniş – negatif projeksiyon

6. Vektörlerin skaler çarpımı kavramı. İLE calar miktar bu miktarın bir ölçü birimine oranını ifade eden tek bir sayı ile belirlenir. Bu tür niceliklere örnek olarak sıcaklık, hacim, kütle verilebilir. İki vektörün skaler çarpımına, bu vektörlerin modülleri ile aralarındaki açının cos çarpımına eşit bir skaler denir. Örnek:çözüm olup olmadığını bulun:

Skaler çarpımın mekanik anlamı: Maddesel bir noktanın kuvvetin (yer değiştirme vektörü) etkisi altında düz bir çizgide B noktasından C noktasına hareket etmesine izin verin. Bilindiği gibi bu durumda A işi gerçekleştirilir,

Skaler yer değiştirme Malzeme noktası değişkense. Bir kuvvetin etkisi altında doğrusal olarak hareket ederse, kuvvetin ve yer değiştirme vektörünün skaler çarpımı = yapılan iş. Nokta çarpımın özellikleri:

1) Değişmeli (değişmeli yasa)

2) ilişkisel (birleştirici) h.

3) Dağıtıcı (dağıtacak) h.

Faktörleri koordinatlara göre hesaplamak için formül:a‾ vektörünün koordinatları, koordinat eksenleri üzerindeki a x, a y ve z izdüşümleridir.İki vektörün vektör çarpımı = üçüncü dereceden bir çarpım; burada birinci satır vektörleri içerir, ikinci satır birinci vektörün koordinatlarını içerir ve üçüncü satır ikinci vektörün koordinatlarını içerir.

örnek:, çözüm:

Cevap:

TEORMEK

1. Mukavemet, grafostatiğin unsurları.

Cisimlerin mekanik etkileşiminin bir ölçüsü, yani. dinlenme veya hareket durumlarını etkileyen etkileşim kuvvetle karakterize edilir. Güç şu şekilde belirlenir:

Dolayısıyla kuvvet vektörel bir büyüklüktür.

Kuvvet sistemi incelenen bir cisme etki eden kuvvetler kümesini adlandıracağız. Yakınsak, paralel ve rastgele konumlanmış kuvvet sistemleri vardır.

Belirli bir kuvvetler sistemi bir kuvvete eşitse, bu kuvvete denir. sonuç bu kuvvetler sisteminin

Herhangi bir sistemin kuvvetlerinin geometrik toplamına eşit olan niceliğe ne ad verilir? ana vektör bu kuvvetler sistemi. Geometrik toplam zengin Herhangi bir kuvvet sisteminin , (ana vektörü), sistemin kuvvetlerinin paralelkenar (veya üçgen) kuralına göre sıralı olarak eklenmesiyle veya bir kuvvet çokgeninin oluşturulmasıyla belirlenir.

Yakınsak kuvvetler sisteminin sonucu doğrudan kuvvetlerin paralelkenar kanunu kullanılarak bulunur. Tüm kuvvetleri tek bir noktaya aktarmanın bir yolunu bulursak, keyfi bir kuvvet sistemi için benzer bir sorun çözülebilir. Bu olasılık mevcuttur. Gücü aktaralım F A noktasından B noktasına.

Sonuçta ortaya çıkan üç kuvvet sistemi kuvvettir F1 = F, ancak B noktasına uygulandı ve bir çift F,F2.(Bir kuvvet çifti, kesinlikle katı bir cisme etki eden, büyüklükleri eşit, paralel ve zıt yönlerde yönlendirilmiş iki kuvvetten oluşan bir sistemdir). Dolayısıyla, keyfi olarak konumlanmış kuvvetlerden oluşan bir sistem, keyfi olarak seçilen bir merkeze getirildiğinde, indirgeme merkezine uygulanan bir kuvvet R gl'ye (temel vektör) ve bir çift M gl'ye (temel moment) eşdeğerdir.

R kuvvetine dikkat edin. ch bileşke bir kuvvetler sistemi değildir, çünkü kuvvetler sisteminin yerini tek başına değil, bir çift M ile alır ch .

Herhangi bir kuvvet sisteminin dengesi için R gerekli ve yeterlidir. ch=0 ve M ch =0.

2. Kırılganlık ve süneklik Kırılganlık- malzemenin önemsiz derecede çökme yeteneği. kalan deformasyonlar. Plastik- önemli bakiyeler alma yeteneği. Çökmeden deformasyon. Bina yapılarını tasarlarken, malzemelerin mukavemet ve deformasyon özelliklerini karakterize eden büyüklüklerin değerlerini belirlemek gerekir. Metallerin mekanik özellikleri hakkında en fazla bilgi statik çekme testlerinden elde edilebilir. Özel bir cihaz kullanılarak kaydedilen gerilim diyagramları (yani çekme kuvveti arasındaki ilişkinin grafikleri) F ve numune uzaması ∆l)şu forma sahip:

İlk diyagram plastik malzemeler (düşük karbonlu çelik) için tipiktir. Diyagramın bir dizi karakteristik bölümü vardır: OA - elastik bölge, yük deformasyonla orantılıdır;

AB - B noktasına kadar malzeme hiçbir plastik (kalan) deformasyon belirtisi göstermiyor;

CD - akma platosu, deformasyonlar yükü artırmadan pratik olarak artar;

BD genel akışkanlığın olduğu bir bölgedir; bu bölgede plastik deformasyonlar önemli ölçüde gelişir.

DE - sertleşme bölgesi; numune üzerindeki maksimum (veya biraz daha az) kuvvette, en zayıf noktada bir daralma meydana gelir; - "boyun";

EK lokal akışkanlık bölgesidir, “boyun” bölgesinde K noktasındaki kopmaya kadar deformasyonlar meydana gelir.

İkinci diyagram kırılgan bir malzeme (dökme demir) için tipiktir. Diyagramda belirgin bir başlangıç ​​düz bölümü yoktur. Kırılgan metallerden yapılmış numunelerin kopması çok hafif bir uzamayla ve boyun verme olmadan gerçekleşir.

Diyagram F = f (∆l) numunenin boyutuna bağlı olduğundan gerilim-gerinim koordinatlarında yeniden düzenlenir. Gerilme, söz konusu bölümün belirli bir noktasında birim alan başına iç kuvvettir σ =F/A . L çubuğunun başlangıç ​​uzunluğundaki ∆l değişimine mutlak uzama denir. Mutlak uzama oranının orijinal uzunluğa oranı ε = ∆ LL bağıl uzama veya deformasyon denir. Elastik deformasyonlar için deformasyonlar ve gerilimler arasındaki ilişki doğrusaldır ve Hooke yasasıyla tanımlanır: σ = E* ε burada E elastik modüldür.

3. Sistemin serbestlik derecesi.

Serbestlik derecesi sistemler, sistem yere göre hareket ettiğinde birbirinden bağımsız olarak değişebilen en az sayıda geometrik parametreyi (noktaların koordinatları, sistem elemanlarının dönme açıları, uzunlukları) çağırır.

W = 3D-2SH-3ZH-Coperasyon-C co 6 cm inç

W - sistemin serbestlik derecesi, D - disk sayısı,

W - menteşe sayısı, F - sabit sürücü sayısı, C op - destek çubuklarının sayısı, C sob - sistemin kendi çubuklarının sayısı.

W<0. Sistem geometrik olarak değişkendir değişmezliği sağlamak için yeterli sayıda bağlantıya sahip değildir. Bu tür sistemler inşaatlarda kullanılmaz. W> 0. Sistem, sistemin değişmezliğini sağlamak için gerekli olmayan ve "ekstra" olarak adlandırılan bağlantılara sahiptir. Statik olarak belirsiz. W< 0. Sistem geometrik olarak değişmez.

Statik belirsizlik harici veya dahili olabilir. İlk durumda mesnet tepkileri ve dolayısıyla iç kuvvetler yalnızca statik denklemler kullanılarak belirlenemez. İkinci durumda, mesnet reaksiyonları statik denklemler kullanılarak belirlenebilir ancak iç kuvvetler belirlenemez. G=0 . Sistemin gereksiz bağlantıları yoktur, statik olarak tanımlanabilir ve değişmez olabilir. Böyle bir sistemin kullanılmasının uygunluğu sorununu çözmek için yapısal analizinin yapılması gerekmektedir. Bağlantıların yanlış düzenlenmesi nedeniyle inşaatta kullanılamayan "anında" değiştirilebilir sistemler oluşturmak mümkündür.

4. SSS (gerilme-gerinim durumları)

Merkezi streç (veya merkezi sıkıştırma), kirişin kesitinde yalnızca uzunlamasına kuvvetin meydana geldiği bir deformasyon türüdür. N (gerilme veya basma) ve diğer tüm iç kuvvetler sıfırdır.

Kesitteki merkezi gerilim (sıkıştırma) sırasında yalnızca normal gerilimler ortaya çıkar σ=YOK Bölümün seçimi formüle göre yapılır.

A= N/σ. Altında bükme Kirişin kesitlerinde bükülme momentlerinin meydana geldiği bu tür gerilmeleri anlayın. Kirişin kesitlerinde yalnızca eğilme momentleri meydana gelirse, bu saf eğilme durumudur, ancak eğilme momentleri ve enine kuvvetler meydana gelirse buna enine eğilme adı verilir.

Kirişin kesitinin tüm noktalarında normal σ ve aşağıdaki formüllerle belirlenebilen teğetsel stres τ:

Kiriş kesitlerindeki gerilme diyagramları şu şekildedir:
Bükme elemanının kesiti, bükülme momentinin maksimum değerine göre seçilir. G x mpe6- bölümün gerekli direnç momenti. Burulma Şaftın kesitinde sadece Mkr torkunun oluştuğu bu tip deformasyona denir.

Gerilim durumu saf kesmedir. Enine kesitlerde sadece τ kayma gerilmeleri meydana gelir.

Bölümün seçimi aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir: Karmaşık direnç, basit gerilim durumlarının (gerilme, sıkıştırma, kesme, burulma ve bükülme) kombinasyonları anlamına gelir.

Bükülmek Bükülme momentinin hareket düzlemi ana düzlemlerden herhangi biriyle çakışmıyorsa eğik olarak adlandırılır. Eğik bir büküm, karşılıklı dik düzlemlerdeki iki düz bükümün birleşimi olarak düşünülebilir. Bir kirişin kesitlerindeki eğik bükülme sırasında genel durumda 4 iç kuvvet faktörü ortaya çıkar Q x , M x , Q y u M y .

Cevap:

Projeksiyon özellikleri:

Vektör Projeksiyon Özellikleri

Mülk 1.

İki vektörün toplamının bir eksene izdüşümü, vektörlerin aynı eksene izdüşümlerinin toplamına eşittir:

Bu özellik, bir vektör toplamının izdüşümünü, bunların izdüşümlerinin toplamıyla değiştirmenize veya bunun tersini yapmanıza olanak tanır.

Mülk 2. Bir vektör λ sayısıyla çarpılırsa, eksene izdüşümü de bu sayıyla çarpılır:

Mülk 3.

Vektörün l eksenine izdüşümü, vektörün modülü ile vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir:

Orth ekseni. Bir vektörün koordinat birim vektörlerine ayrıştırılması. Vektör koordinatları. Koordinat özellikleri

Cevap:

Eksenlerin birim vektörleri.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi (herhangi bir boyutta), koordinat eksenleriyle hizalanmış bir dizi birim vektörle de tanımlanır. Birim vektörlerin sayısı koordinat sisteminin boyutuna eşittir ve hepsi birbirine diktir.

Üç boyutlu durumda birim vektörler genellikle gösterilir

Ve Ok sembolleri de kullanılabilir.

Bu durumda, doğru koordinat sistemi durumunda birim vektörlerin vektör çarpımlarını içeren aşağıdaki formüller geçerlidir:

Bir vektörün koordinat birim vektörlerine ayrıştırılması.

Koordinat ekseninin birim vektörü ile, eksenler ile, eksenler ile gösterilir (Şekil 1)

Düzlemde yer alan herhangi bir vektör için aşağıdaki genişleme gerçekleşir:

Eğer vektör uzayda bulunuyorsa, koordinat eksenlerinin birim vektörlerindeki genişleme şu şekildedir:

Vektör koordinatları:

Bir vektörün koordinatlarını hesaplamak için, A başlangıcının koordinatlarını (x1; y1) ve B ucunun koordinatlarını (x2; y2) bilerek, başlangıcın koordinatlarını sonun koordinatlarından çıkarmanız gerekir: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinatların özellikleri.

Orijini O noktasında ve birim vektörü i olan bir koordinat çizgisi düşünün. O zaman bu doğru üzerindeki herhangi bir a vektörü için: a = eksen.

Ax sayısına a vektörünün koordinat eksenindeki koordinatı denir.

Mülk 1. Bir eksene vektörler eklenirken koordinatları da toplanır.

Mülk 2. Bir vektör bir sayıyla çarpıldığında koordinatı o sayıyla çarpılır.

Vektörlerin nokta çarpımı. Özellikler.

Cevap:

Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sayıdır

bu vektörlerin çarpımına ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Özellikler:

1. Skaler çarpımın değişme özelliği vardır: ab=ba

Koordinat birim vektörlerinin skaler çarpımı. Koordinatlarına göre belirtilen vektörlerin skaler çarpımının belirlenmesi.

Cevap:

Birim vektörlerin nokta çarpımı (×)

Koordinatlarına göre belirtilen vektörlerin skaler çarpımının belirlenmesi.

İki vektörün koordinatlarıyla verilen skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

İki vektörün çapraz çarpımı. Bir vektör çarpımının özellikleri.

Cevap:

Aynı düzlemde olmayan üç vektör, üçüncünün sonundan itibaren birinci vektörden ikinciye dönüş saat yönünün tersine yapılırsa sağ üçlü oluşturur. Saat yönünde ise sola, değilse ters yönde ( "tutamaçları" ile nasıl gösterdiğini gösterin)

Bir vektörün çapraz çarpımı A vektöre B vektör denir hangisinden:

1. Vektörlere dik A Ve B

2. Üzerinde oluşturulan paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit bir uzunluğa sahiptir A Ve B vektörler

3. Vektörler, a,b, Ve C sağ taraftaki vektörlerin üçlüsünü oluşturur

Özellikler:

1.

3.

4.

Koordinat birim vektörlerinin vektör çarpımı. Koordinatlarıyla belirtilen vektörlerin vektör çarpımının belirlenmesi.

Cevap:

Koordinat birim vektörlerinin vektör çarpımı.

Koordinatlarıyla belirtilen vektörlerin vektör çarpımının belirlenmesi.

a = (x1; y1; z1) ve b = (x2; y2; z2) vektörleri O, i, j, k dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemindeki koordinatlarıyla verilsin ve i, j, k üçlüsü şöyle olur: sağ elini kullanan.

a ve b'yi temel vektörlere genişletelim:

a = x 1 ben + y 1 j + z 1 k, b = x 2 ben + y 2 j + z 2 k.

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Bulduğumuz bir vektör çarpımının tanımıyla

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = ben,

= j, = - i.

= 0.

Bu eşitlikler dikkate alınarak formül (1) şu şekilde yazılabilir:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 ben + z 1 x 2 j - z 1 y 2 ben

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) ben + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formül (2), koordinatlarıyla belirtilen iki vektörün vektör çarpımı için bir ifade verir.

Ortaya çıkan formül hantaldır. Belirleyicilerin gösterimini kullanarak bunu ezberlemeye daha uygun başka bir biçimde yazabilirsiniz:

ve bir eksende veya başka bir vektörde onun geometrik izdüşümü ve sayısal (veya cebirsel) izdüşümü kavramları vardır. Geometrik projeksiyonun sonucu bir vektör olacak ve cebirsel projeksiyonun sonucu negatif olmayan bir gerçek sayı olacaktır. Fakat bu kavramlara geçmeden önce gerekli bilgileri hatırlayalım.

Ön bilgi

Ana kavram, bir vektör kavramının kendisidir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.

Tanım 1

Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan düz bir çizginin parçasıdır.

Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.

Tanım 2

Bir vektör veya yönlendirilmiş bölüm, bölümün sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin sonu olduğu bilinen bir bölüm olacaktır.

Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).

Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).

Vektör kavramıyla ilgili birkaç kavramı daha tanıtalım.

Tanım 3

Sıfır olmayan iki vektöre aynı doğru üzerinde ya da birbirine paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa eşdoğrusal diyeceğiz (Şekil 2).

Tanım 4

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektöre eş yönlü diyeceğiz:

1. Bu vektörler doğrusaldır.
2. Bir yöne yönlendirilirlerse (Şekil 3).

Gösterim: $\overline(a)\overline(b)$

Tanım 5

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektörü zıt yönlü olarak adlandıracağız:

1. Bu vektörler doğrusaldır.
2. Farklı yönlere yönlendirilirlerse (Şekil 4).

Gösterim: $\overline(a)↓\overline(d)$

Tanım 6

$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.

Gösterim: $|\overline(a)|$

İki vektörün eşitliğini belirlemeye geçelim

Tanım 7

İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz:

1. Bunlar eş yönlüdür;
2. Uzunlukları eşittir (Şekil 5).

Geometrik projeksiyon

Daha önce de söylediğimiz gibi geometrik izdüşümün sonucu bir vektör olacaktır.

Tanım 8

$\overline(AB)$ vektörünün bir eksene geometrik izdüşümü, aşağıdaki şekilde elde edilen bir vektördür: $A$ vektörünün başlangıç ​​noktası bu eksene izdüşümü yapılır. İstenilen vektörün başlangıcı olan $A"$ noktasını elde ederiz. $B$ vektörünün bitiş noktası bu eksene yansıtılır. İstenilen vektörün sonu olan $B"$ noktasını elde ederiz. $\overline(A"B")$ vektörü istenen vektör olacaktır.

Sorunu ele alalım:

Örnek 1

Şekil 6'da gösterilen $l$ ekseni üzerine $\overline(AB)$ geometrik bir projeksiyon oluşturun.

$A$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizelim, üzerinde $A"$ noktasını elde ederiz. Sonra $B$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizeriz, $B noktasını elde ederiz. "Üzerinde $ var (Şek. 7).

Giriş…………………………………………………………………………………3

1. Vektör ve skaler değer…………………………………….4

2. Bir noktanın izdüşümü, ekseni ve koordinatının tanımı………………...5

3. Vektörün eksene izdüşümü…………………………………………………………6

4. Vektör cebirinin temel formülü……………………………..8

5. Bir vektörün modülünün izdüşümlerinden hesaplanması…………………...9

Sonuç……………………………………………………………………………………11

Edebiyat…………………………………………………………………………………12

Giriiş:

Fizik ayrılmaz bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Matematik, fiziğe, deney veya teorik araştırma sonucunda keşfedilen fiziksel nicelikler arasındaki ilişkinin genel ve kesin bir şekilde ifade edilmesi için araç ve teknikler sağlar. Sonuçta fizikteki ana araştırma yöntemi deneyseldir. Bu, bir bilim insanının ölçümleri kullanarak hesaplamaları ortaya çıkarması anlamına gelir. Çeşitli fiziksel büyüklükler arasındaki ilişkiyi belirtir. Daha sonra her şey matematik diline çevriliyor. Matematiksel bir model oluşturulur. Fizik, en basit ve aynı zamanda en genel yasaları inceleyen bir bilimdir. Fiziğin görevi, zihnimizde fiziksel dünyanın, özelliklerini en iyi şekilde yansıtan bir resmini oluşturmak ve öğeler arasında var olan modelin öğeleri arasında bu tür ilişkileri sağlamaktır.

Böylece fizik, etrafımızdaki dünyanın bir modelini yaratır ve onun özelliklerini inceler. Ancak herhangi bir model sınırlıdır. Belirli bir olgunun modellerini oluştururken, yalnızca belirli bir dizi olgu için gerekli olan özellikler ve bağlantılar dikkate alınır. Bu, bir bilim insanının sanatıdır; tüm çeşitlilik arasından asıl olanı seçmek.

Fiziksel modeller matematikseldir ancak matematik onların temeli değildir. Fiziksel büyüklükler arasındaki niceliksel ilişkiler; ölçümler, gözlemler ve deneysel çalışmalar sonucunda belirlenir ve yalnızca matematik dilinde ifade edilir. Ancak fiziksel teoriler oluşturmak için başka bir dil yoktur.

1. Vektör ve skalerin anlamı.

Fizik ve matematikte bir vektör, sayısal değeri ve yönü ile karakterize edilen bir niceliktir. Fizikte kuvvet, konum, hız, ivme, tork, momentum, elektrik ve manyetik alan kuvveti gibi vektörel olan birçok önemli büyüklük vardır. Kütle, hacim, basınç, sıcaklık ve yoğunluk gibi sıradan bir sayıyla tanımlanabilen diğer büyüklüklerle karşılaştırılabilirler ve "" olarak adlandırılırlar. skalerler" .

Normal yazı tipi harflerle veya rakamlarla (a, b, t, G, 5, −7....) yazılırlar. Skaler büyüklükler pozitif veya negatif olabilir. Aynı zamanda, bazı çalışma nesneleri bu tür özelliklere sahip olabilir; bunun tam bir açıklaması için, yalnızca sayısal bir ölçüm bilgisi yetersizdir; bu özelliklerin uzaydaki yönlere göre karakterize edilmesi de gereklidir; Bu tür özellikler vektör büyüklükleri (vektörler) ile karakterize edilir. Vektörler, skalerlerden farklı olarak kalın harflerle gösterilir: a, b, g, F, C....
Genellikle bir vektör normal (kalın olmayan) yazı tipindeki bir harfle gösterilir, ancak üzerinde bir ok bulunur:

Bir vektörün modülü, yani yönlendirilmiş bir düz çizgi parçasının uzunluğu, vektörün kendisiyle aynı harflerle, ancak normal (koyu olmayan) yazıyla ve üzerlerinde bir ok olmadan veya tamamen aynı şekilde gösterilir. bir vektör olarak (yani kalın veya normal, ancak okla), ancak bu durumda vektör tanımı dikey çizgiler içine alınır.
Bir vektör, aynı anda hem büyüklük hem de yön ile karakterize edilen karmaşık bir nesnedir.

Ayrıca pozitif ve negatif vektörler de yoktur. Ancak vektörler birbirine eşit olabilir. Bu, örneğin a ve b'nin aynı modüllere sahip olduğu ve aynı yöne yönlendirildiği zamandır. Bu durumda gösterim doğrudur A= b. Ayrıca, vektör sembolünün önünde bir eksi işareti olabileceği de akılda tutulmalıdır, örneğin - c, ancak bu işaret sembolik olarak -c vektörünün c vektörü ile aynı modüle sahip olduğunu ancak zıt yönde yönlendirildiğini gösterir. yön.

-c vektörüne c vektörünün zıttı (veya tersi) denir.
Fizikte, her vektör belirli bir içerikle doldurulur ve aynı türdeki vektörleri (örneğin kuvvetler) karşılaştırırken, bunların uygulanma noktaları da önemli olabilir.

2. Noktanın izdüşümünün, ekseninin ve koordinatının belirlenmesi.

Eksen- Bu, bir yön verilen düz bir çizgidir.
Bir eksen bir harfle belirtilir: X, Y, Z, s, t... Genellikle eksen üzerinde orijin adı verilen ve kural olarak O harfiyle gösterilen bir nokta (keyfi olarak) seçilir. Bu noktadan itibaren ilgimizi çeken diğer noktalara olan mesafeler ölçülür.

Bir noktanın projeksiyonu Bir eksen üzerinde, bu noktadan belirli bir eksene çizilen dikmenin tabanı bulunur. Yani bir noktanın eksene izdüşümü bir noktadır.

Nokta koordinatı belirli bir eksende, mutlak değeri, eksenin orijini ile noktanın bu eksene izdüşümü arasında bulunan eksen parçasının (seçilen ölçekte) uzunluğuna eşit olan bir sayıdır. Bu sayı, noktanın izdüşümünün orijinden itibaren eksen yönünde olması durumunda artı işaretiyle, aksi yönde olması durumunda ise eksi işaretiyle alınır.

3. Vektörün eksene izdüşümü.

Bir vektörün bir eksene izdüşümü, bir vektörün bu eksene skaler izdüşümü ile bu eksenin birim vektörünün çarpılmasıyla elde edilen bir vektördür. Örneğin, eğer bir x, a vektörünün X ekseni üzerindeki skaler izdüşümü ise, o zaman a x ·i onun bu eksen üzerindeki vektör izdüşümüdür.

Vektör izdüşümünü, vektörün kendisiyle aynı şekilde, ancak vektörün izdüşümünün yapıldığı eksenin indeksi ile gösterelim. Böylece, a vektörünün X ekseni üzerindeki vektör izdüşümünü bir x (vektörü ve eksen adının alt simgesini gösteren kalın harf) veya

Skaler projeksiyon eksen başına vektör denir sayı Mutlak değeri, vektörün başlangıç ​​noktası ile bitiş noktasının izdüşümü arasında kalan eksen parçasının (seçilen ölçekte) uzunluğuna eşittir. Genellikle ifade yerine skaler projeksiyon sadece şunu söylüyorlar - projeksiyon. Projeksiyon, yansıtılan vektörle aynı harfle (normal, kalın olmayan yazıyla) ve bu vektörün yansıtıldığı eksenin adının daha düşük bir indeksiyle (kural olarak) gösterilir. Örneğin, bir vektör X eksenine yansıtılıyorsa A, bu durumda projeksiyonu bir x ile gösterilir. Aynı vektörü başka bir eksene yansıtırken eksen Y ise izdüşümü y olarak gösterilecektir.

Projeksiyonu hesaplamak için vektör bir eksende (örneğin X ekseni), başlangıç ​​noktasının koordinatını bitiş noktasının koordinatından çıkarmak gerekir; yani

a x = x k − x n.

Bir vektörün bir eksene izdüşümü bir sayıdır. Ayrıca, x k değeri x n değerinden büyükse projeksiyon pozitif olabilir,

x k değeri x n değerinden küçükse negatif

ve eğer x k, x n'ye eşitse sıfıra eşittir.

Bir vektörün bir eksene izdüşümü, vektörün modülü ve bu eksenle yaptığı açı bilinerek de bulunabilir.

Şekilden açıkça görülüyor ki a x = a Cos α

Yani, vektörün eksene izdüşümü, vektörün modülünün çarpımına ve eksen yönü ile eksen yönü arasındaki açının kosinüsüne eşittir. vektör yönü. Açı dar ise, o zaman
Cos α > 0 ve a x > 0 ve eğer genişse, geniş açının kosinüsü negatiftir ve vektörün eksene izdüşümü de negatif olacaktır.

Eksenden saat yönünün tersine ölçülen açılar pozitif, eksen boyunca ölçülen açılar ise negatif olarak kabul edilir. Ancak kosinüs çift bir fonksiyon olduğundan, yani Cos α = Cos (− α), projeksiyonları hesaplarken açılar hem saat yönünde hem de saat yönünün tersine sayılabilir.

Bir vektörün bir eksene izdüşümünü bulmak için, bu vektörün modülü, eksen yönü ile vektör yönü arasındaki açının kosinüsü ile çarpılmalıdır.

4. Vektör cebirinin temel formülü.

A vektörünü dikdörtgen koordinat sisteminin X ve Y eksenlerine izdüşümünü alalım. a vektörünün bu eksenlerdeki vektör izdüşümlerini bulalım:

a x = a x ·i ve y = a y ·j.

Ancak vektör toplama kuralına uygun olarak

a = a x + a y.

a = a x ben + a y j.

Böylece, bir vektörü dikdörtgen koordinat sisteminin izdüşümleri ve vektörleri (veya vektör izdüşümleri) cinsinden ifade ettik.

a x ve a y vektör izdüşümlerine a vektörünün bileşenleri veya bileşenleri denir. Yaptığımız işleme, bir vektörün dikdörtgen koordinat sisteminin eksenleri boyunca ayrıştırılması denir.

Vektör uzayda verilmişse, o zaman

a = a x ben + a y j + a z k.

Bu formüle vektör cebirinin temel formülü denir. Elbette bu şekilde de yazılabilir.