Yeni bir temele geçiş. Logaritma formülleri

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bugün bunun hakkında konuşacağız logaritma formülleri ve gösterge verin çözüm örnekleri.

Logaritmanın temel özelliklerine göre çözüm modellerini kendileri ima ederler. Logaritmik formülleri çözüme uygulamadan önce size tüm özellikleri hatırlatalım:

Şimdi bu formüllere (özelliklere) dayanarak şunu göstereceğiz: logaritma çözme örnekleri.

Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.

Logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b ile gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 olmak üzere b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken bir üstür.

Tanıma göre log a b = x, bu da a x = b'ye eşdeğerdir, dolayısıyla log a a x = x.

Logaritmalar, örnekler:

log 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8

log 7 49 = 2, çünkü 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5

Ondalık logaritma- bu, tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg olarak gösterilir.

log 10 100 = 2, çünkü 10 2 = 100

Doğal logaritma- aynı zamanda sıradan bir logaritma logaritma, ancak e tabanıyla (e = 2,71828... - irrasyonel bir sayı). ln olarak gösterilir.

Logaritmanın formüllerini veya özelliklerini ezberlemeniz tavsiye edilir, çünkü daha sonra logaritma, logaritmik denklemler ve eşitsizlikleri çözerken bunlara ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formülü tekrar inceleyelim.

Temel logaritmik kimlik
a günlüğü a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir
log a (bc) = log a b + log a c
günlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4
Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir
log a (b/c) = log a b - log a c
9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81
Logaritmik bir sayının kuvvetinin ve logaritmanın tabanının özellikleri
Logaritmik sayının üssü log a b m = mlog a b

Logaritmanın tabanının üssü log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

eğer m = n ise log a n b n = log a b elde ederiz

günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3
Yeni bir temele geçiş
log a b = log c b/log c a,
c = b ise log b b = 1 elde ederiz

o zaman log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Artık logaritmik çözüm örneklerine baktıktan sonra logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerine şu makalede daha ayrıntılı olarak bakacağız: "". Kaçırma!

Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.

Not: Seçenek olarak farklı bir sınıf eğitim almaya ve yurtdışında eğitim almaya karar verdik.

Toplum geliştikçe ve üretim karmaşıklaştıkça matematik de gelişti. Basitten karmaşığa doğru hareket. Toplama ve çıkarma yöntemini kullanan sıradan muhasebeden, tekrar tekrar tekrarlanarak çarpma ve bölme kavramına geldik. Tekrarlanan çarpma işleminin azaltılması, üstel alma kavramı haline geldi. Sayıların tabana bağımlılığı ve üstel sayılarla ilgili ilk tablolar 8. yüzyılda Hintli matematikçi Varasena tarafından derlendi. Onlardan logaritmanın oluşma zamanını sayabilirsiniz.

Tarihsel eskiz

16. yüzyılda Avrupa'nın yeniden canlanması mekaniğin gelişimini de teşvik etti. T büyük miktarda hesaplama gerektiriyorduÇok basamaklı sayıların çarpımı ve bölümü ile ilgili. Antik masalar büyük hizmet veriyordu. Karmaşık işlemleri daha basit olanlarla (toplama ve çıkarma) değiştirmeyi mümkün kıldılar. İleriye doğru büyük bir adım, matematikçi Michael Stiefel'in 1544'te yayınlanan ve birçok matematikçinin fikrini hayata geçirdiği çalışmasıydı. Bu, tabloların yalnızca asal sayılar biçimindeki kuvvetler için değil, aynı zamanda keyfi rasyonel olanlar için de kullanılmasını mümkün kıldı.

Bu fikirleri geliştiren İskoçyalı John Napier, 1614 yılında ilk kez yeni bir terim olan “bir sayının logaritması”nı ortaya attı. Sinüs ve kosinüslerin yanı sıra teğetlerin logaritmasını hesaplamak için yeni karmaşık tablolar derlendi. Bu, gökbilimcilerin çalışmalarını büyük ölçüde azalttı.

Bilim adamları tarafından üç yüzyıldır başarıyla kullanılan yeni tablolar ortaya çıkmaya başladı. Cebirdeki yeni işlemin bitmiş halini alması için çok zaman geçti. Logaritmanın tanımı verilmiş ve özellikleri incelenmiştir.

Ancak 20. yüzyılda hesap makinesinin ve bilgisayarın ortaya çıkışıyla insanlık, 13. yüzyıl boyunca başarılı bir şekilde işleyen eski tabloları terk etti.

Bugün a'nın b'yi oluşturma kuvveti olan b'nin logaritmasını a sayısına x diyoruz. Bu bir formül olarak yazılır: x = log a(b).

Örneğin, log 3(9) 2'ye eşit olacaktır. Tanımı izlerseniz bu açıkça görülür. 3'ün 2'inci üssünü çıkarırsak 9 elde ederiz.

Dolayısıyla, formüle edilen tanım yalnızca bir kısıtlama getirmektedir: a ve b sayıları gerçek olmalıdır.

Logaritma türleri

Klasik tanıma gerçek logaritma denir ve aslında a x = b denkleminin çözümüdür. Seçenek a = 1 sınırdadır ve ilgi çekici değildir. Dikkat: 1'in herhangi bir kuvveti 1'e eşittir.

Logaritmanın gerçek değeri yalnızca taban ve argüman 0'dan büyük olduğunda tanımlanır ve taban 1'e eşit olmamalıdır.

Matematik alanında özel yeri tabanlarının boyutuna göre adlandırılacak olan logaritmalarla oynayın:

Kurallar ve kısıtlamalar

Logaritmanın temel özelliği kuraldır: Bir ürünün logaritması, logaritmik toplama eşittir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadenin bir çeşidi olarak şöyle olacaktır: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bölüm fonksiyonu, fonksiyonların farkına eşittir.

Önceki iki kuraldan şunu görmek kolaydır: log a(b p) = p * log a(b).

Diğer özellikler şunları içerir:

Yorum. Yaygın bir hata yapmayın; bir toplamın logaritması logaritmaların toplamına eşit değildir.

Yüzyıllar boyunca logaritma bulma işlemi oldukça zaman alıcı bir işti. Matematikçiler polinom genişlemesinin logaritmik teorisinin iyi bilinen formülünü kullandılar:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), burada n, hesaplamanın doğruluğunu belirleyen, 1'den büyük bir doğal sayıdır.

Diğer bazlarla logaritmalar, bir bazdan diğerine geçiş teoremi ve çarpımın logaritmasının özelliği kullanılarak hesaplandı.

Bu yöntem çok emek yoğun olduğundan pratik problemleri çözerken uygulanması zor olduğundan, tüm işi önemli ölçüde hızlandıran önceden derlenmiş logaritma tabloları kullandık.

Bazı durumlarda, daha az doğruluk sağlayan, ancak istenen değerin aranmasını önemli ölçüde hızlandıran özel olarak derlenmiş logaritma grafikleri kullanıldı. Y = log a(x) fonksiyonunun birkaç nokta üzerinden oluşturulan eğrisi, fonksiyonun değerini başka herhangi bir noktada bulmak için normal bir cetvel kullanmanıza olanak tanır. Mühendisler uzun bir süre bu amaçlar için grafik kağıdı olarak adlandırılan kağıdı kullandılar.

17. yüzyılda, 19. yüzyılda tam bir form kazanan ilk yardımcı analog hesaplama koşulları ortaya çıktı. En başarılı cihaza slayt kuralı adı verildi. Cihazın sadeliğine rağmen, görünümü tüm mühendislik hesaplamalarının sürecini önemli ölçüde hızlandırdı ve bunu abartmak zor. Şu anda çok az kişi bu cihaza aşinadır.

Hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkışı, diğer cihazların kullanımını anlamsız hale getirdi.

Denklemler ve eşitsizlikler

Logaritma kullanarak çeşitli denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki formüller kullanılır:

Bir tabandan diğerine geçiş: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Önceki seçeneğin bir sonucu olarak: log a(b) = 1 / log b(a).

Eşitsizlikleri çözmek için şunları bilmek faydalıdır:

Logaritmanın değeri yalnızca taban ve argümanın her ikisinin de birden büyük veya küçük olması durumunda pozitif olacaktır; en az bir koşulun ihlal edilmesi durumunda logaritma değeri negatif olacaktır.
Bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına logaritma fonksiyonu uygulanırsa ve logaritmanın tabanı birden büyükse eşitsizliğin işareti korunur; aksi takdirde değişir.

Örnek problemler

Logaritmaları ve özelliklerini kullanmak için çeşitli seçenekleri ele alalım. Denklem çözme örnekleri:

Logaritmayı bir kuvvete yerleştirme seçeneğini düşünün:

Problem 3. 25^log 5(3)'ü hesaplayın. Çözüm: Sorunun koşullarında, giriş aşağıdaki (5^2)^log5(3) veya 5^(2 * log 5(3))'e benzer. Farklı yazalım: 5^log 5(3*2) veya fonksiyon argümanı olarak bir sayının karesi, fonksiyonun kendisinin karesi (5^log 5(3))^2 olarak yazılabilir. Logaritmanın özelliklerini kullanarak bu ifade 3^2'ye eşittir. Cevap: Hesaplama sonucunda 9 elde ederiz.

Pratik kullanım

Tamamen matematiksel bir araç olan logaritmanın, gerçek dünyadaki nesneleri tanımlamak için birdenbire büyük önem kazanması, gerçek hayattan çok uzak görünüyor. Kullanılmayan bilim bulmak zordur. Bu tamamen yalnızca doğal değil, aynı zamanda insani bilgi alanları için de geçerlidir.

Logaritmik bağımlılıklar

Sayısal bağımlılıklara bazı örnekler:

Mekanik ve fizik

Tarihsel olarak, mekanik ve fizik her zaman matematiksel araştırma yöntemleri kullanılarak gelişmiş ve aynı zamanda logaritmalar da dahil olmak üzere matematiğin gelişimi için bir teşvik görevi görmüştür. Çoğu fizik kanununun teorisi matematik dilinde yazılmıştır. Logaritmayı kullanarak fizik yasalarını açıklamaya yalnızca iki örnek verelim.

Bir roketin hızı gibi karmaşık bir miktarın hesaplanması sorunu, uzay araştırmaları teorisinin temelini oluşturan Tsiolkovsky formülü kullanılarak çözülebilir:

V = I * ln (M1/M2), burada

V uçağın son hızıdır.
I – motorun spesifik dürtüsü.
M 1 – roketin başlangıç kütlesi.
M 2 – son kütle.

Bir diğer önemli örnek- bu, termodinamikte denge durumunu değerlendirmeye yarayan başka bir büyük bilim adamı Max Planck'ın formülünde kullanılır.

S = k * ln (Ω), burada

S – termodinamik özellik.
k – Boltzmann sabiti.
Ω farklı durumların istatistiksel ağırlığıdır.

Kimya

Kimyada logaritma oranını içeren formüllerin kullanılması daha az belirgindir. Sadece iki örnek verelim:

Nernst denklemi, maddelerin aktivitesine ve denge sabitine bağlı olarak ortamın redoks potansiyelinin durumu.
Otoliz indeksi ve çözeltinin asitliği gibi sabitlerin hesaplanması da fonksiyonumuz olmadan yapılamaz.

Psikoloji ve biyoloji

Ve psikolojinin bununla ne ilgisi olduğu hiç de açık değil. Duyusal gücün, uyaran yoğunluk değerinin düşük yoğunluk değerine ters oranı olarak bu fonksiyon tarafından iyi tanımlandığı ortaya çıktı.

Yukarıdaki örneklerden sonra logaritma konusunun biyolojide yaygın olarak kullanılması artık şaşırtıcı değil. Logaritmik spirallere karşılık gelen biyolojik formlar hakkında ciltler dolusu yazı yazılabilir.

Diğer alanlar

Öyle görünüyor ki, bu fonksiyonla bağlantısı olmadan dünyanın varlığı imkânsızdır ve o, tüm kanunları yönetmektedir. Özellikle doğa kanunları geometrik ilerlemeyle ilişkilendirildiğinde. MatProfi web sitesine dönmeye değer ve aşağıdaki faaliyet alanlarında buna benzer birçok örnek var:

Liste sonsuz olabilir. Bu işlevin temel ilkelerine hakim olduktan sonra sonsuz bilgelik dünyasına dalabilirsiniz.

Logaritmik denklem örneklerine bakalım.

Örnek 1: Denklemi çözün

Bunu çözmek için potansiyelleştirme yöntemini kullanıyoruz. Eşitsizlikler >0 ve >0 denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirleyecektir. >0 eşitsizliği x'in herhangi bir değeri için geçerlidir, çünkü 5x>0 yalnızca x'in pozitif değerleri için geçerlidir. Bu, ODZ denkleminin sıfırdan artı sonsuza kadar bir sayı kümesi olduğu anlamına gelir. Denklem ikinci dereceden bir denkleme eşdeğerdir. Bu denklemin kökleri 2 ve 3 sayılarıdır, çünkü bu sayıların çarpımı 6'ya eşittir ve bu sayıların toplamı 5'e eşittir - b katsayısının zıt değeri? Bu sayıların her ikisi de aralıkta yer alır, bu da onların bu denklemin kökleri olduğu anlamına gelir. Bu denklemi kolayca çözdüğümüzü unutmayın.

Örnek 2: Denklemi çözün

(on x eksi dokuz ifadesinin üç tabanına göre logaritması, x'in üçte bir tabanına göre logaritmasına eşittir)

Bu denklem, logaritmaların farklı tabanlara sahip olması nedeniyle öncekinden farklıdır. Ve denklemi çözmek için dikkate alınan yöntem artık burada kullanılamaz, ancak kabul edilebilir değerler aralığını bulabilir ve denklemi fonksiyonel bir grafik yöntemi kullanarak çözmeye çalışabilirsiniz. Eşitsizlikler >0 ve X>0 denklemin izin verilen değerlerinin aralığını belirler, yani. Bu denklemin grafiksel gösterimine bakalım. Bunu yapmak için, ve fonksiyonunun nokta nokta grafiğini oluşturalım. Sadece bu denklemin tek kökü olduğunu, pozitif olduğunu ve 1 ile 2 aralığında olduğunu söyleyebiliriz. Kökün tam değerini vermek mümkün değildir.

Elbette bu denklem farklı tabanlara sahip logaritmaları içeren tek denklem değildir. Bu tür denklemler ancak yeni bir logaritma tabanına geçilerek çözülebilir. Farklı tabanların logaritmaları ile ilgili zorluklarla diğer görev türlerinde de karşılaşılabilir. Örneğin, sayıları karşılaştırırken ve.

Bu tür problemleri çözmede yardımcı teoremdir

Teorem: Eğer a,b,c pozitif sayılarsa ve a ile c 1'den farklıysa eşitlik geçerlidir

Bu formüle yeni bir tabana geçme formülü denir)

Böylece, ve daha fazlası. Çünkü yeni bir tabana geçme formülüne göre eşit ve eşit

Logaritmanın yeni tabanına geçişle ilgili teoremi kanıtlayalım.

Bunu kanıtlamak için = notasyonunu tanıtıyoruz. M, =N, =k(BE sayısının a tabanına göre logaritması em'e, BE sayısının CE tabanına göre logaritması en'ye, a sayısının CE tabanına göre logaritması ka'ya eşittir). logaritmanın tanımı: b sayısının a üzeri m'si, b sayısının c üzeri n'si, a sayısının c üzeri k'sidir. Yani, bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken değerini yerine koyalım, kuvvetlerin üsleri çarpılır, bunu = elde ederiz, ancak bu nedenle =, eğer derecenin tabanları eşitse, o zaman verilen derecenin üsleri eşittir =. O halde = ters yerine koyma işlemine dönelim: (BE sayısının a tabanına göre logaritması, BE sayısının CE tabanına göre logaritmasının a sayısının CE tabanına göre logaritmasına oranına eşittir)

Bu teoremin iki sonucunu ele alalım.

İlk sonuç. Bu teoremde b tabanına gitmek istiyoruz. Daha sonra

(BE sayısının BE tabanına göre logaritmasının a sayısının BE tabanına göre logaritmasına bölümü)

bire eşitse eşittir

Bu, a ve b pozitif sayılarsa ve 1'den farklıysa eşitliğin doğru olduğu anlamına gelir

Sonuç 2. Eğer a ve b pozitif sayılar ise ve A sayı bire eşit değilse herhangi bir sayı için M, sıfıra eşit değil, eşitlik doğrudur

logaritma B dayalı A logaritmaya eşit B bir dereceye kadar M dayalı A bir dereceye kadar M.

Bu eşitliği sağdan sola doğru ispatlayalım. İfadeden (sayının logaritması üzeri em kuvveti üzeri a üssü üzeri em) tabanı ile logaritmaya geçelim A. Logaritmanın özelliği sayesinde, alt logaritmik ifadenin üssü logaritmanın önüne doğru hareket ettirilebilir. =1. Alacağız. (em payındaki kesrin tabana olan sayının logaritması ve paydadaki em ile çarpılması) m sayısı koşula göre sıfıra eşit değildir, bu da ortaya çıkan kesirin m kadar azaltılabileceği anlamına gelir. Alacağız. Q.E.D.

Bu, logaritmanın yeni tabanına geçmek için üç formülün kullanıldığı anlamına gelir

Örnek 2: Denklemi çözün

(on x eksi dokuz ifadesinin üç tabanına göre logaritması, x'in üçte bir tabanına göre logaritmasına eşittir)

Bu denklemin kabul edilebilir değer aralığını daha önce bulmuştuk. 3'ü yeni bir tabana getirelim. Bunun için bu logaritmayı kesir şeklinde yazıyoruz. Pay, x'in üç tabanına göre logaritması olacaktır ve payda, üçte bir ila üç tabanının logaritması olacaktır. eksi bire eşitse denklemin sağ tarafı eksiye eşit olacaktır

Denklemin sol tarafına taşıyıp şu şekilde yazalım: Özellik olarak logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına eşittir, yani (on x eksi dokuz ifadesinin logaritması artı üç tabanına göre logaritması) (çarpımın logaritması) şeklinde yazılabilir. on x eksi dokuz ve x'ten üç tabanına) Çarpma işlemini yapalım ve denklemin parçalarını alalım

ve üçün sıfırıncı kuvveti bir olduğundan sağ tarafa da sıfır yazacağız.

Potansiyelleştirme yöntemini kullanarak ikinci dereceden denklem =0'ı elde ederiz. a+b+c=0 katsayılarının özelliği gereği denklemin kökleri 1 ve 0,1'e eşittir.

Ancak tanım alanında tek bir kök vardır. Bu bir numara.

Örnek 3. Hesaplayın. (üç üssü dört çarpı iki üssü üç tabanının logaritması artı iki tabanı üzeri logaritması beş çarpı yirmi beş üssü dört tabanının logaritması)

Öncelikle üçün kuvvetine bakalım. Kuvvetler çarpılırsa bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesi işlemi gerçekleştirilir, böylece üçün kuvveti üç üzeri dört olarak yazılabilir. Farklı tabanlara sahip bir çarpımda logaritmalar; dört tabanlı logaritmanın beşle ilişkili tabana indirgenmesi daha uygundur. Bu nedenle yerine buna benzer bir ifade koyalım. Yeni bir üsse taşınmanın formülüne göre.

Temel logaritmik özdeşliğe (ve kuvvete göre, bes sayısının a tabanına göre logaritması, bes sayısına eşittir)

bunun yerine ifadede tabanın karesini ve sublogaritmik ifadeyi seçiyoruz. Alacağız. Yeni bir tabana geçme formülüne göre çözümün sağına yazılır, sadece yerine ulaşırız. İkinin karekökünü iki üzeri yarım olarak yazıyoruz ve logaritmanın özelliği gereği üssü logaritmanın önüne koyuyoruz. ifadesini elde edelim. Böylece hesaplanan ifade şu şekli alacaktır...

Üstelik bu 16'dır ve çarpım bire eşittir, yani ifadenin değeri 16,5'tir.

Örnek 4. log2= olup olmadığını hesaplayın A,log3= B

Hesaplamak için logaritmanın özelliklerini ve yeni bir tabana geçiş formüllerini kullanacağız.

18'i altı ile üçün çarpımı olarak düşünelim. Ürünün logaritması logaritma faktörlerinin toplamına yani 1'e eşittir. Ondalık logaritmayı bildiğimiz için 6 tabanlı logaritmadan ondalık logaritmaya geçiyoruz, burada bir kesir elde ediyoruz. pay (üç'ün ondalık logaritması) ve payda (altı'nın ondalık logaritması). Bu durumda, onu zaten değiştirebilirsiniz. B. Altıyı iki ve üçün çarpanlarına ayıralım. Ortaya çıkan ürünü logaritmaların toplamı olarak yazıyoruz lg2 ve lg 3. Bunları sırasıyla a ve b ile değiştirin. İfade şu şekli alacaktır: . Bu ifade ortak bir paydaya indirgenerek kesre dönüştürülürse cevap şu şekilde olacaktır:

Yeni bir logaritma tabanına geçişle ilgili görevleri başarıyla tamamlamak için yeni bir logaritma tabanına geçiş formüllerini bilmeniz gerekir.

a,b,c pozitif sayılar olmak üzere, A, C
a, b pozitif sayılar olmak üzere, A, B
a,b pozitif sayılardır A, M

Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (a>0, a, 1'e eşit değildir), a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)

Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımsız olduğunu unutmayın. Ayrıca logaritmanın tabanının 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olması gerekir. Örneğin -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz ancak bu, -2 tabanının logaritmasının 4'e eşit olduğu anlamına gelmez. 2'ye.

Temel logaritmik kimlik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formülün sağ ve sol taraflarının tanım kapsamının farklı olması önemlidir. Sol taraf yalnızca b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ taraf herhangi bir b için tanımlanır ve a'ya hiçbir şekilde bağlı değildir. Bu nedenle, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması OD'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritmanın tanımının iki belirgin sonucu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Nitekim a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde aynı sayıyı, sıfır kuvvetine yükselttiğimizde ise bir elde ederiz.

Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bu formülleri düşüncesizce kullanmamaları konusunda okul çocuklarını uyarmak isterim. Bunları "soldan sağa" kullanırken ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından ürünün veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.

Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f(x) ve g(x) her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplamına dönüştürdüğümüzde, kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalırız. Kabul edilebilir değerler aralığında bir daralma vardır ve bu, çözüm kaybına yol açabileceğinden kategorik olarak kabul edilemez. Benzer bir sorun formül (6) için de mevcuttur.

Derece logaritmanın işaretinden çıkarılabilir

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ve bir kez daha dikkatli olmanızı rica ediyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Eşitliğin sol tarafı, f(x)'in sıfır hariç tüm değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Logaritmadan dereceyi çıkararak ODZ'yi tekrar daraltıyoruz. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Bütün bu açıklamalar sadece 2. kuvvet için değil aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.

Yeni bir temele geçmenin formülü

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ODZ'nin dönüşüm sırasında değişmediği nadir durum. Eğer c tabanını akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.

Yeni c tabanı olarak b sayısını seçersek, formül (8)'in önemli bir özel durumunu elde ederiz:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)