Çözmemiz gereken problemler ne olursa olsun, matematik ders kitaplarını hazırlayanların hayal gücü gerçekten tükenmez. Örneğin bir yamuğun çevresini nasıl bulabilirim? İlk önce yamuğun ne olduğunu bulalım. Bu rakamdan korkmayın. Bu sadece iki tarafın her zaman birbirine paralel olduğu ve taban olarak adlandırıldığı, geri kalanının kenar olarak adlandırıldığı ve farklı olabileceği bir dikdörtgendir. Yamuğun kenarları eşitse buna ikizkenar denir. Ayrıca, kenarlardan birinin yamuğun tabanına dik açıyla bağlandığı dikdörtgen bir yamuk kavramı da vardır.

Yamuğun çevresi nasıl bulunur

Çevre nedir? Çevre, yamuğun da doğrudan ilişkili olduğu dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır. Bazı niceliklerin bilinmediği diğer tüm problemler de, tüm bilinmeyenler bulunduktan sonra tarafların toplanmasına indirgenir.

Peki ya tüm taraflar eşitse? Size çözmeniz gereken bir problem verilirse, a b c d yamuğunun tüm kenarları verilir, o zaman hepsini bir araya toplamanız yeterlidir, ortaya çıkan sonuç çevre olacaktır. Dikdörtgen bir yamuğun çevresi. Diyelim ki bize, alt tabanını AD=a, dik olmayan kenarını CD=d ve Alfa açısını bildiğimiz dikdörtgen bir yamuk veriliyor.

Nasıl karar verilir? C köşesinden yamuğumuzu hemen ABCE dikdörtgenine ve ECD üçgenine bölen bir yükseklik çiziyoruz. Elimizde düz bir üçgen var ve onun hipotenüsü CD'sinin d'ye eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi CE = CD*sin(ADC) ve ED = CD*cos(ADC) formüllerini kullanarak üçgenin bacaklarını buluyoruz. Artık neredeyse her şeyi biliyoruz. BC = AD-ED ve AB tarafı buna karşılık olarak daha önce bulunan CE ayağına eşittir. Artık geriye kalan tek şey bulunan tüm tarafları toplamaktır ve cevap hazırdır.

Bir ikizkenar yamuğun çevresi

Yan taraflar ve orta hat bilinmektedir. Yalnızca AB ve CD yanal eşit kenarlarını ve EF orta hattını biliyorsanız, ikizkenar yamuğun çevresini nasıl bulursunuz? Bilindiği gibi yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve bu tabanların toplamının yarısına eşittir. Tabanların uzunluğunu bulmak için orta çizginin uzunluğunu iki katına çıkarmamız yeterli. Bu verilere dayanarak çözüm şu şekildedir: P=2EF+2AB
Tabanı ve yüksekliği bilinmektedir. Problemde sadece taban uzunlukları ve yamuğun yüksekliği bilinebilmektedir. Yükseklik bir dik üçgen oluşturur ve iki eşit üçgen vardır. Alt bacağın yeri çok basit: (AD-BC)/2. Artık her iki tarafı da biliyoruz, geriye kalan tek şey Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulmak. Hipotenüsümüz bacakların karelerinin toplamının köküne eşittir.
Yani yamuğun yan tarafını bulduk, iki tane var ve eşitler, başlangıçta tabanları biliyoruz, yani şimdi tek yapmamız gereken her şeyi toplamak ve istenen çevreyi elde etmek. Dolayısıyla bir yamuğun çevresini bulmak hiç de zor değil. Bu konudaki asıl ve öncelikli şey, özelliklerini bilmek ve o zaman yamuklarla ilgili problemleri çözmekte asla sorun yaşamayacaksınız. Bu nedenle hesaplamalara başlamadan önce küçük bir teorinin zararı olmaz.

Yamuk, 2 tabanı paralel olan ve geri kalan kenarları birbirine paralel olmayan bir dörtgendir. Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, dikdörtgen bir yamuğun bir dik açısı vardır.

Adım 1. Dikdörtgen bir yamuğun çevresini hesaplamak için formül

Dikdörtgen bir yamuğun çevresi, tüm kenarların uzunluklarının toplanmasıyla hesaplanır ki bu çok mantıklıdır. Burada diğer figürlerden hiçbir farkı yok:

Adım 2. Dikdörtgen bir yamuğun çevresini belirleme problemlerini çözme

Görev No.1

Tüm kenarların uzunlukları verildiğinde dikdörtgen bir yamuğun çevresini bulmamız gerekir. Burada her şey basit. 4 değerin tümünü ekleyin ve işiniz bitti. Bu çevreyi bulmak için en kolay seçenektir. Sonunda kalan görevler hala ona bağlı, ancak diğer seçenekleri de dikkate almamız gerekiyor, bu ilginç!

Görev No.2

Aynı dikdörtgen yamuğun çevresini bulmamız gerekiyor ama bu durumda alt tabanın uzunluğunu biliyoruz reklam, eşittir A. Taraflardan biri CD ona dik olmayan şuna eşittir: D. Bu taban ile kenar arasındaki açı eşittir Alfa.

2 numaralı sorunun çözümü

Bacaklar aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: CE = CD*sin(ADC), sırayla ED = CD*cos(ADC). Üst taban şu şekilde hesaplanır: BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Alfa). Dik tarafın uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır: AB = CE = d*sin(Alfa). Bu adımlardan sonra yamuğun tüm kenarlarının uzunluğu hakkında değerli bilgilere sahip olacaksınız.

Görev No.3

Taban uzunlukları verildiğinde yamuğun çevresini bulmanız gerekir. AD = bir, BC=c. Dik kenarın uzunluğunu da biliyoruz AB, eşittir B. Dik olmayan taraftaki dar açı şuna eşittir: Alfa.

3 numaralı sorunun çözümü

Başlamak için yamuğun yüksekliğini daha büyük bir tabana çizin; bunun başlangıcı üst C. Bu muhteşem aksiyondan sonra CE bölümü ve yamuğu 2 rakama bölün: dikdörtgen ABCE, Ve üçgen EÇG(dikdörtgen). Bizim durumumuzda üçgenin hipotenüsü bildiğimiz taraf olacaktır. CD Bacaklardan biri yamuğumuzun dik kenarına eşit olacaktır (paralel kenarların eşit olduğu dikdörtgen kuralına güveniyoruz). Diğer parçanın uzunluğu yamuğun tabanları arasındaki farka eşit olacaktır. Ve yine her şey basit görünüyor.

Başlangıç olarak tekrar gerçekleştiriyoruz dikey CE ve biz de alıyoruz ABCE dikdörtgeni birlikte üçgen CED. Geriye kalan üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulmaktır; bunu rahatlıkla söyleyebiliriz; CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alfa). Yine tüm kenar uzunluklarını bulduk. Geriye kalan tek şey onları katlamak. Bunu biz olmadan da yapabileceğinizi umuyoruz.

Yamuk, iki tabanı paralel ve paralel olmayan kenarları olan bir dörtgendir. Dikdörtgen yamuk bir tarafta dik açıya sahiptir.

Talimatlar

1. Çevre dikdörtgen yamuklar 2 tabanın ve 2 kenarın uzunluklarının toplamına eşittir. Görev 1. Bir dikdörtgenin çevresini bulun yamuklar Eğer tüm kenarlarının uzunlukları biliniyorsa. Bunu yapmak için dört değeri de toplayın: P (çevre) = a + b + c + d Bu, çevreyi bulmak için en ilkel seçenektir; diğer başlangıç verileriyle ilgili sorunlar, nihai sonuçta buna indirgenir. Seçeneklere bakalım.

2. Görev 2. Bir dikdörtgenin çevresini bulun yamuklar, eğer alt taban AD = a biliniyorsa, ona dik olmayan kenar CD = d ve bu kenardaki açı ADC'ye eşitse Çözüm Yüksekliği çizin. yamuklar C köşesinden daha büyük bir tabana doğru CE segmentini elde ederiz, yamuk iki şekle bölünmüştür - ABCE dikdörtgeni ve ECD dik üçgeni. Bir üçgenin hipotenüsü bildiğimiz kenardır yamuklar CD, bacaklardan biri dik tarafa eşittir yamuklar(dikdörtgen kuralına göre iki paralel kenar eşittir - AB = CE), diğeri uzunluğu tabanların farkına eşit olan bir segmenttir yamuklar ED = AD – M.Ö.

3. Üçgenin bacaklarını bulun: verilen formülleri kullanarak CE = CD*sin(ADC) ve ED = CD*cos(ADC) Şimdi üst tabanı hesaplayın – BC = AD – ED = a – CD*cos(ADC) = a – d*cos (Alfa) Dik kenarın uzunluğunu bulun - AB = CE = d*sin (Alfa) Dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarını elde ettiğiniz ortaya çıktı. yamuklar .

4. Ortaya çıkan değerleri toplayın, bu dikdörtgenin çevresi olacaktır. yamuklar😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alfa) + (a – d*cos(Alfa)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alfa) – cos(Alfa) + 1 ).

5. Görev 3. Bir dikdörtgenin çevresini bulun yamuklar Tabanlarının uzunluklarını AD = a, BC = c, dik kenarın uzunluğunu AB = b ve diğer kenardaki dar açıyı biliyorsak ADC = Alfa Çözüm Bir CE dik çizin, bir ABCE dikdörtgeni elde edin. bir CED üçgeni Şimdi CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alfa) üçgeninin hipotenüsünün uzunluğunu bulun.

6. Ortaya çıkan değerleri ekleyin: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

Her birimiz ilkokulda çevrenin ne olduğunu öğrendik. Çevresi bilinen bir karenin kenarlarını bulmak, okuldan uzun süre önce mezun olmuş ve matematik dersini unutmuş olanlar için bile genellikle mümkün değildir. Ancak herkes dikdörtgen veya dik üçgenle ilgili benzer bir sorunu sormadan çözemez.

Talimatlar

1. Sadece çevre ve açıların verildiği bir geometri problemi nasıl çözülür? Elbette dar bir üçgen veya çokgenden bahsediyorsak, kenarlardan birinin uzunluğunu bilmeden böyle bir sorunu çözmek imkansızdır. Ancak dik bir üçgen veya dikdörtgenden bahsediyorsak, belirli bir çevre boyunca onun kenarlarını tespit etmek mümkündür. Dikdörtgen var uzunluk Ve Genişlik. Bir dikdörtgenin köşegenini çizerseniz, bunun dikdörtgeni iki dik üçgene böldüğünü görebilirsiniz. Köşegen hipotenüs olup uzunluk ve genişlik bu üçgenlerin bacaklarıdır. Dikdörtgenin özel bir durumu olan karenin, dik ikizkenar üçgenin hipotenüsü olan bir köşegeni vardır.

2. Kenarlarından a, b ve c olan, açılarından biri 30, ikincisi 60 olan bir dik üçgen olduğunu düşünelim. Şekil a = c*sin? ve b = c*cos? olduğunu göstermektedir. Üçgen de dahil olmak üzere herhangi bir şeklin çevresinin tüm kenarlarının toplamına eşit olduğunu bilerek şunu elde ederiz:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pBu ifadeden alışılmadık olanı tespit edebiliriz. c tarafı, bir üçgenin hipotenüsüdür. Çünkü açı? = 30, düzeltmeden sonra şunu elde ederiz: c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=p Buradan c=2p/Buna göre a = c çıkar. *sin ?= p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Yukarıda belirtildiği gibi, bir dikdörtgenin köşegeni onu 30 ve 60 derecelik açılarla iki dik üçgene böler. Dikdörtgenin çevresi p=2(a + b) olduğundan, Genişlik bir ve uzunluk Bir dikdörtgenin b köşegeninin dik üçgenin hipotenüsü olduğu gerçeğine dayanarak bulunabilir:a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Bu iki denklem şu şekilde ifade edilir: dikdörtgenin çevresi. Onlardan, bu dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği, köşegenini çizerken ortaya çıkan açılar dikkate alınarak hesaplanır.

Konuyla ilgili video

Not!
Çevresi ve genişliği biliniyorsa dikdörtgenin uzunluğu nasıl bulunur? Çevreden genişliğin iki katını çıkarırsak uzunluğun iki katını buluruz. Daha sonra uzunluğunu bulmak için ikiye bölüyoruz.

Yararlı tavsiye
İlkokuldan beri çoğu kişi herhangi bir geometrik şeklin çevresini nasıl bulacağını hatırlıyor: tüm kenarlarının uzunluğunu bulmak ve toplamlarını bulmak yeterlidir. Dikdörtgen gibi bir şeklin çiftler halinde kenar uzunluklarının eşit olduğu bilinmektedir. Bir dikdörtgenin genişliği ve yüksekliği aynı uzunlukta ise buna kare denir. Genellikle bir dikdörtgenin uzunluğuna kenarların en büyüğü, genişliği ise en küçüğü denir.

Çevre(P) şeklin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır ve dörtgende bunlardan dördü bulunur. Bu, bir dörtgenin çevresini bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını kolayca toplamanın gerekli olduğu anlamına gelir. Ancak dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen gibi şekilleri yani pozitif dörtgenleri biliyoruz. Çevreleri özel yöntemlerle belirlenir.

Talimatlar

1. Bu şekil bir dikdörtgen (veya paralelkenar) ABCD ise, aşağıdaki özelliklere sahiptir: paralel kenarlar çiftler halinde eşittir (şekle bakın). AB = SD ve AC = VD. Bu şekildeki kenarların oranını bilerek çevreyi elde etmek mümkündür. dikdörtgen(ve paralelkenar): P = AB + SD + AC + VD. Bazı kenarlar a sayısına, diğerleri b sayısına eşit olsun, o zaman P = a + a + b + b = 2*a = 2* b = 2*(a + b). Örnek 1. Bir ABCD dikdörtgeninin kenarları AB = CD = 7 cm ve AC = WD = 3 cm'ye eşittir. Böyle bir dikdörtgenin çevresini bulun. Çözüm: P = 2*(a + b). P = 2*(7 +3) = 20 cm.

2. Kare veya eşkenar dörtgen adı verilen bir şeklin kenar uzunluklarının toplamını içeren problemleri çözerken, biraz değiştirilmiş bir çevre formülü kullanmalısınız. Kare ve eşkenar dörtgen, dört kenarı aynı olan şekillerdir. Çevrenin tanımına göre, P = AB + SD + AC + VD ve uzunluğun a harfiyle belirtilmesine izin verilirse P = a + a + a + a = 4*a olur. Örnek 2. Bir eşkenar dörtgenin kenar uzunluğu 2 cm'dir. Çevresini bulun. Çözüm: 4*2 cm = 8 cm.

3. Verilen dörtgen bir yamuk ise, bu durumda dört kenarının uzunluklarını eklemek kolaydır. P = AB + SD + AC + VD. Örnek 3. Kenarları eşitse ABCD yamuğunun çevresini bulun: AB = 1 cm, CD = 3 cm, AC = 4 cm, VD = 2 cm Çözüm: P = AB + CD + AC + VD = 1 cm. + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 10 cm Yamuk ikizkenar olabilir (iki tarafı eşittir), o zaman çevresi şu formüle indirgenebilir: P = AB + CD + AC+ VD = a + b + a + c = 2*a + b + c. Örnek 4. Yan yüzleri 4 cm, tabanları 2 cm ve 6 cm olan ikizkenar yamuğun çevresini bulun. Çözüm: P = 2*a + b + c = 2 *4cm + 2 cm + 6 cm = 16 cm.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye
Türetilmiş formülleri uygulamadan, hiç kimse sizi bir dörtgenin (ve herhangi bir şeklin) çevresini kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak bulmakla rahatsız etmez. Kolaylık ve hesaplama kolaylığı için sağlanmıştır. Çözüm yöntemi bir gözden kaçırma değildir; önemli olan doğru sonuç ve matematiksel terminolojiyi kullanabilme becerisidir.

İpucu 4: Dikdörtgen bir yamuğun tabanları nasıl tespit edilir

Dört köşeli bir matematik şekline, karşı taraflarından bir çifti paralel ise diğer çifti paralel değilse yamuk denir. Paralel kenarlara denir sebepler yamuklar diğer ikisi yanaldır. Dikdörtgen şeklinde yamuklar yandaki açılardan biri düzdür.

Talimatlar

1. Görev 1. Dikdörtgenin BC ve AD tabanlarını bulun yamuklar, eğer bilinen köşegen uzunluk AC = f ise; Kenar uzunluğu CD = c ve açısı ADC = ?. Çözüm: CED dik üçgenine bakın. Ünlü hipotenüs c ve hipotenüs ile EDC kenarı arasındaki açı. CE ve ED kenarlarının uzunluklarını bulun: CE = CD*sin(ADC) açı formülünü kullanarak; ED = CD*cos(ADC). Şu ortaya çıkıyor: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

2. ACE sağ üçgenine bakın. Hipotenüs AC ve CE kenarı sizin tarafınızdan biliniyor, sağ üçgen kuralını kullanarak AE kenarını bulun: bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Şu ortaya çıkıyor: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sin?. Denklemin sağ tarafının karekökünü hesaplayın. Dikdörtgenin üst tabanını keşfettiniz yamuklar .

3. AD tabanının uzunluğu, AE ve ED olmak üzere 2 parçanın uzunluklarının toplamıdır. AE = karekök(f(2) – c*sin?); ED = c*cos?).Görünen o ki: AD = karekök(f(2) – c*sin?) + c*cos?.Dikdörtgenin alt tabanını keşfettiniz. yamuklar .

4. Görev 2. Dikdörtgenin BC ve AD tabanlarını bulun yamuklar, eğer bilinen köşegen uzunluk BD = f ise; Kenar uzunluğu CD = c ve açısı ADC = ?. Çözüm: CED dik üçgenine bakın. CE ve ED kenarlarının uzunluklarını bulun: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. ABCE dikdörtgenine bakın. Dikdörtgenin özelliğine göre AB = CE = c*sin?. ABD dik üçgenine bakın. Dik üçgenin özelliğine göre hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Sonuç olarak AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?. Dikdörtgenin alt tabanını keşfettiniz. yamuklar AD = karekök(f(2) – c*sin?).

6. Dikdörtgen kuralına göre BC = AE = AD – ED = karekök(f(2) – c*sin?) – c*cos?. Dikdörtgenin üst tabanını keşfettiniz. yamuklar .

Yamuk, iki paralel ve iki paralel olmayan kenarı olan bir dörtgendir. Çevresini hesaplamak için yamuğun tüm kenarlarının boyutlarını bilmeniz gerekir. Ancak görevlerdeki veriler farklı olabilir.

İhtiyacın olacak

- hesap makinesi;
– sinüs, kosinüs ve teğet tabloları;
- kağıt;
– çizim aksesuarları.

Talimatlar

1. Sorunun en ilkel versiyonu yamuğun tüm kenarlarının verilmesidir. Bu durumda kolayca katlanmaları gerekir. Aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: p=a+b+c+d, burada p çevredir ve a, b, c ve d harfleri karşılık gelen büyük harflerle gösterilen açıların karşısındaki kenarları belirtir.

2. Bir ikizkenar yamuk verildiğinde, iki tabanını katlayın ve onlara kenarın iki katı büyüklüğünde ekleyin. Yani, bu durumda çevre şu formülle hesaplanır: p=a+c+2b, burada b yamuğun kenarı ve c tabandır.

3. Taraflardan birinin hesaplanması gerekiyorsa hesaplamalar biraz daha uzun sürecektir. Diyelim ki uzun bir taban, ona bitişik açılar ve yükseklik var. Kısa tabanı ve kenarı hesaplamanız gerekir. Bunu yapmak için bir ABCD yamuğu çizin ve B üst köşesinden BE yüksekliğini çizin. ABE üçgenini alacaksınız. Size A açısını söylüyoruz, böylece sinüsünü bilirsiniz. Sorun verileri aynı zamanda dik üçgenin bildiğiniz açının karşısındaki kenarı olan BE yüksekliğini de gösterir. Aynı zamanda yamuğun bir tarafı olan AB hipotenüsünü bulmak için BE'yi sinA'ya bölmeniz yeterlidir. 2. tarafın uzunluğunu da doğru şekilde bulun. Bunu yapmak için yüksekliği başka bir üst köşeden yani CF'den çizmeniz gerekir. Artık daha büyük sebebi ve tarafları biliyorsunuz. Çevreyi hesaplamak için bu yeterli değildir; ayrıca daha küçük bir tabanın boyutuna da ihtiyacınız vardır. Buna göre yamuğun içinde oluşan 2 üçgende AE ve DF segmentlerinin boyutlarını bulmanız gerekiyor. Bu, örneğin A ve D açılarının kosinüsleri aracılığıyla yapılabilir. Kosinüs, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Bacağını bulmak için hipotenüsü kosinüs ile çarpmanız gerekir. Daha sonra, ilk adımdaki formülün aynısını kullanarak, yani tüm kenarları toplayarak çevreyi hesaplayın.

4. Başka bir seçenek: iki taban, bir yükseklik ve kenarlardan biri verildiğinde ikinci tarafı bulmanız gerekir. Bu aynı zamanda trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak daha iyi yapılır. Bunu yapmak için bir yamuk çizin. AD ve BC tabanlarını, AB kenarını ve BF yüksekliğini bilmeniz mümkündür. Bu verileri kullanarak, A açısını (sinüs boyunca, yani yüksekliğin bilinen tarafa oranı), AF segmentini (açı zaten bildiğiniz için kosinüs veya teğet yoluyla) bulabilirsiniz. bir yamuğun açılarının özellikleri - bir kenara bitişik açıların toplamı 180°'dir. CF yüksekliğini çizin. İçinde CD hipotenüsünü ve DF kenarını bulmanız gereken başka bir dik üçgeniniz var. Bacaktan üsttekinin uzunluğunu alttan çıkarın ve sonuçtan bildiğiniz parçanın uzunluğunu çıkarın. Şimdi CFD dik üçgeninde iki bacağı biliyorsunuz, yani teğetini bulabilirsiniz. D açısı ve ondan - açının kendisi. Daha sonra, yukarıda açıklandığı gibi, aynı açının sinüsü boyunca yan CD'yi hesaplamak kalır.

Konuyla ilgili video

İçerik:

Yamuk, iki paralel kenarı olan bir dörtgendir. Bir yamuğun çevresini bulmak için dört kenarın uzunluğunu toplamanız gerekir. Çoğu zaman problemlerde bazı kenarların uzunlukları verilmez, ancak diğer miktarlar bilinir; örneğin bir yamuğun yüksekliği veya açısı. Bilinen miktarların yanı sıra geometrik ve trigonometrik kuralları kullanarak yamuğun bilinmeyen taraflarını bulabilirsiniz.

Adımlar

1 Bilinen kenarlara ve tabanlara göre

1 Yamuğun çevresini hesaplamak için formülü yazın. Formül: P = T + B + L + R
2 Bilinen kenar uzunluklarını formülde yerine koyun. Dört tarafın da değerleri verilmedikçe bu yöntemi kullanmayın.
- Örneğin bir yamuğun üst tabanı 2 cm, alt tabanı 3 cm ve her bir kenarı 1 cm'dir. Bu durumda formül şu şekilde görünecektir:
  P = 2 + 3 + 1 + 1 3 Kenar uzunluklarını toplayın. Bu size yamuğun çevresini verecektir.
  - Örneğimizde:
    P = 2 + 3 + 1 + 1
    2 Bilinen yüksekliğe, yanlara ve üst tabana göre
    1. 2 Her yüksekliği etiketleyin.
    2. 3 Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğundan bu kısım üst tabana (yani dikdörtgenin üst kenarına) eşittir. Üst taban için bir değer verilmedikçe bu yöntemi kullanmayın.
    3. 4 Formül: a 2 + b 2 = c 2
    4. 5 Yamuğun c yerine kenarını değiştirin 6 Bilinen değerlerin karesini alın. Daha sonra b 7 değişkenini yalnız bırakmak için çıkarma işlemini kullanın B'yi bulmak için karekökü alın.) İlk dik üçgenin tabanını bulacaksınız. Bulduğunuz değeri karşılık gelen üçgenin tabanının altına yazın.
      Örneğimizde:
      b2 = 45 8 İkinci sağ üçgenin bilinmeyen tarafını bulun. Bunu yapmak için ikinci üçgenin Pisagor teoremini yazın ve yukarıda anlatıldığı gibi ilerleyin. Kenarları eşit olan bir ikizkenar yamuk verilirse, o zaman iki dik üçgen uyumludur, yani bir üçgenin herhangi bir tarafı diğerinin karşılık gelen tarafına eşittir.
      Örneğin yamuğun ikinci tarafı 7 cm ise formül şu şekilde yazılacaktır:
      a 2 + b 2 = c 2 9 Herhangi bir çokgenin çevresi tüm kenarlarının toplamına eşittir: P = T + B + L + R
      3 Bilinen yüksekliklere, tabanlara ve alt açılara göre
      
      1 Yamuğu bir dikdörtgene ve iki dik üçgene bölün. Bunu yapmak için yamuğun her köşesinden bir yükseklik çizin.
      Yamuğun bir tarafı tabanlara dik ise iki dik üçgen elde edemezsiniz. Bu durumda tabanlara dik olan kenar yüksekliğe eşittir ve yamuk bir dikdörtgene ve bir dik üçgene bölünmüştür.
      
      2 Her yüksekliği etiketleyin. Yükseklikler dikdörtgenin karşılıklı kenarları olduğundan eşittir.
      Örneğin bir yamuğun yüksekliği 6 cm'dir.Yamuğun köşelerinden iki yükseklik çizin (alt tabana). Her yüksekliğin yanına “6 cm” yazın (tırnak işaretleri olmadan).
      
      3 Alt tabanın orta kısmını işaretleyin (bu, dikdörtgenin alt tarafıdır). Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğundan bu kısım üst tabana (yani dikdörtgenin üst kenarına) eşittir.
      Örneğin bir yamuğun üst tabanı 6 cm ise alt tabanın orta kısmı da 6 cm olur.
      
      4 Birinci dik üçgenin açısının sinüsünün fonksiyonunu (formülünü) yazınız. Fonksiyon: günah ⁡ θ = BH 5 Bilinen miktarları sinüs formülünde değiştirin. Karşı tarafı üçgenin yüksekliğiyle değiştirin. Yamuğun kenarı olan hipotenüsü bulacaksınız.
      Örneğin yamuğun alt açısı 35 derece ve üçgenin yüksekliği 6 cm ise formül şu şekilde yazılacaktır:
      günah ⁡ (35) = 6 H 6 Açının sinüsünü bulun. Bu, bilimsel bir hesap makinesi, yani SIN anahtarı kullanılarak yapılır. Bulunan değeri formülde değiştirin.
      Bir hesap makinesi kullanarak 35 derecelik bir açının sinüsünün yaklaşık 0,5738 olduğunu bulacaksınız. Böylece formül aşağıdaki formu alacaktır:
      0,5738 = 6H7 H değişkenini bulun. Bunu yapmak için denklemin (formülün) her iki tarafını H ile çarpın ve ardından denklemin her iki tarafını açının sinüsüne bölün. Veya üçgenin yüksekliğini açının sinüsüne bölün.
      Örneğimizde:
      0,5738 = 6H8 İkinci sağ üçgenin hipotenüsünü bulun.İkinci dik üçgenin açısının sinüsünün fonksiyonunu (formülünü) yazın: sin ⁡ θ = B H 9 İlk dik üçgen için Pisagor teoremini yazın. Formül: a 2 + b 2 = c 2 10 İlk üçgenin bilinen değerlerini formülde değiştirin. C 11 yerine yamuğun kenarını değiştirin b 12'yi bulun İkinci sağ üçgenin tabanını bulun. Bunu yapmak için Pisagor teoremini kullanın (a 2 + b 2 = c 2 13 Yamuğun tüm kenarlarının değerlerini toplayın. Herhangi bir çokgenin çevresi tüm kenarlarının toplamına eşittir: P = T + B + L + R veya üçgen 90-45-45) sinüs fonksiyonunu veya Pisagor fonksiyonunu kullanmadan bilinmeyen kenarları bulabileceğiniz formüller vardır teorem.
      
      Bir açının sinüsünü bulmak için açıyı girip ardından SIN tuşuna basarak bilimsel bir hesap makinesi kullanın. Veya trigonometrik tabloları kullanın.
      
      Neye ihtiyacınız olacak?
      
      Hesap makinesi
      
      Kalem
      
      Kağıt

Yamuk, dört köşesi ve yalnızca iki paralel kenarı olan iki boyutlu bir geometrik şekildir. Paralel olmayan iki tarafının uzunluğu aynıysa, yamuğa ikizkenar veya ikizkenar denir. Böyle bir çokgenin kenarlarından oluşan sınırı genellikle Yunanca "çevre" kelimesiyle gösterilir. İlk veri setine bağlı olarak çevre uzunluğu çeşitli formüller kullanılarak hesaplanmalıdır.

Talimatlar

1. Her iki tabanın (a ve b) uzunlukları ve (c) kenarının uzunluğu biliniyorsa, bu geometrik şeklin çevresi (P) çok ilkel bir şekilde hesaplanır. Yamuk ikizkenar olduğundan kenarları aynı uzunluklara sahiptir; bu, tüm kenarların uzunluklarını bildiğiniz anlamına gelir; bunları toplamanız yeterlidir: P = a+b+2*c.

2. Yamuğun her iki tabanının uzunluğu bilinmiyorsa, ancak merkez çizgisinin (l) ve kenarın (c) uzunluğu verilmişse, bu veriler çevreyi (P) hesaplamak için yeterlidir. Orta çizgi her iki tabana paraleldir ve uzunlukları yarı toplamlarına eşittir. Bu değeri iki katına çıkarın ve buna kenar uzunluğunu da iki katına çıkarın - bu ikizkenar yamuğun çevresi olacaktır: P = 2*l+2*c.

3. Sorunun koşullarından her iki tabanın (a ve b) uzunlukları ve ikizkenar yamuğun yüksekliği (h) biliniyorsa, bu verilerin yardımıyla eksik tarafın uzunluğunu geri yüklemek mümkündür. Bunu, hipotenüsün bilinmeyen kenar, bacakların ise yükseklik ve yamuğun uzun tabanından kestiği kısa parça olduğu dik üçgene bakarak yapabilirsiniz. Bu parçanın uzunluğu, büyük ve küçük tabanların uzunlukları arasındaki farkın ikiye bölünmesiyle hesaplanabilir: (a-b)/2. Pisagor teoremine göre hipotenüsün uzunluğu (yamuk kenarı), her iki tarafın kare uzunluklarının toplamının kareköküne eşit olacaktır. İlk adımdaki formüldeki kenar uzunluğunu sonuç ifadesiyle değiştirin; çevre için aşağıdaki formülü elde edersiniz: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4).

4. Sorun koşulları, daha küçük tabanın (b) ve kenarın (c) uzunluklarının yanı sıra ikizkenar yamuğun (h) yüksekliğini veriyorsa, o zaman önceki adımdakiyle aynı yardımcı üçgeni dikkate alarak hesaplamanız gerekecektir. bacağın uzunluğu. Yine Pisagor teoremini kullanın - istenen değer, kenar uzunluğunun karesi (hipotenüs) ile yükseklik (bacak) arasındaki farkın köküne eşit olacaktır: ?(c?-h?). Yamuğun bilinmeyen tabanının bu bölümünden uzunluğunu geri yükleyebilirsiniz - bu ifadeyi iki katına çıkarın ve kısa tabanın uzunluğunu toplama ekleyin: b+2*?(c?-h?). Bu ifadeyi ilk adımdaki formülde yerine koyun ve ikizkenar yamuğun çevresini bulun: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h? )+b+c ).

İpucu 2: İkizkenar Yamuk'un Kenarları Nasıl Bulunur?

Yamuk, iki paralel kenarı olan bir dörtgendir. Bu kenarlara taban denir. Son noktaları kenar adı verilen bölümlerle birleştirilir. İkizkenar yamuk eşit kenarlara sahiptir.

İhtiyacın olacak

– ikizkenar yamuk;
– yamuğun tabanlarının uzunluğu;
– yamuğun yüksekliği;
- kağıt;
- kalem;
- cetvel.

Talimatlar

1. Sorunun koşullarına göre bir yamuk oluşturun. Size birkaç parametre verilmesi gerekir. Her zamanki gibi bunlar hem tabanlar hem de yüksekliklerdir. Ancak diğer veriler de kabul edilebilir - tabanlardan biri, yan eğimi ve yüksekliği. Yamuğu ABCD olarak etiketleyin, tabanları a ve b, yüksekliği h ve kenarları x olsun. Yamuk ikizkenar olduğundan kenarları eşittir.

2. B ve C köşelerinden alt tabana kadar yükseklikleri çizin. Kesişme noktalarını M ve N olarak belirleyin. Artık iki dik üçgeniniz var: AMB ve CND. Eşittirler çünkü problemin koşullarına göre AB ve CD hipotenüsleri ile BM ve CN kenarları eşittir. Buna göre AM ve DN segmentleri de birbirine eşittir. Uzunluklarını y olarak etiketleyin.

3. Bu parçaların toplamının uzunluğunu bulmak için b tabanının uzunluğunu a tabanının uzunluğundan çıkarmanız gerekir. 2у=a-b. Buna göre böyle bir parça tabanlar farkının 2'ye bölünmesine eşit olacaktır. y=(a-b)/2.

4. Bildiğiniz dik üçgenin hipotenüsü olan yamuğun kenar uzunluğunu bulun. Bunu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayın. Yüksekliğin kareleri ile tabanlar farkının karelerinin toplamının karekökünün 2'ye bölünmesine eşit olacaktır. Yani x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2 olur.

5. Yan tarafın tabana olan eğiminin yüksekliğini ve açısını bilerek aynı yapıları yapın. Bu durumda bazlar farkının hesaplanmasına gerek yoktur. Sinüs yasasını kullanın. Hipotenüs, bacağın uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüyle çarpımına eşittir. Bu durumda x=h*sinCDN veya x=h*sinBAM.

6. Yamuğun kenarının alt tabana değil üst tabana eğim açısı verilirse, paralel çizgilerin özelliğine göre gerekli açıyı bulun. Tabanlardan biri ile kenarlar arasındaki açıların eşit olduğu ikizkenar yamuğun özelliklerinden birini hatırlayın.

Not!
Bir ikizkenar yamuğun özelliklerini gözden geçirin. Her iki tabanını da ikiye bölerseniz ve bu noktalardan bir çizgi çizerseniz, bu geometrik şeklin ekseni olacaktır. Yüksekliği üst tabanın bir köşesinden alt kısmına indirirseniz, o zaman bu ikincisinde olursunuz. iki bölüm alacak. Diyelim ki bu durumda bunlar AM ve DM segmentleri. Bunlardan biri a ve b tabanlarının toplamının yarısına, diğeri ise farklarının yarısına eşittir.

İpucu 3: İkizkenar Yamuk'un Orta Hattı Nasıl Bulunur?

Yamuk, yalnızca iki paralel kenarı olan bir dörtgendir - bunlara bu şeklin tabanları denir. Diğer iki yan kenarın uzunlukları aynı ise yamuğa ikizkenar veya ikizkenar denir. Kenarların orta noktalarını birleştiren çizgiye yamuğun orta çizgisi denir ve çeşitli yöntemlerle hesaplanabilir.

Talimatlar

1. Her iki tabanın (A ve B) uzunlukları biliniyorsa, orta çizginin (L) uzunluğunu hesaplamak için bu ikizkenar yamuk elemanının ana kalitesini kullanın - bu, tabanların uzunluklarının toplamının yarısına eşittir: L = ?*(A+B). Diyelim ki taban uzunlukları 10 cm ve 20 cm olan bir yamuğun orta çizgisi ?*(10+20) = 15 cm olmalıdır.

2. Orta çizgi (L) ve ikizkenar yamuğun yüksekliği (h), bu şeklin alanını (S) hesaplamak için kullanılan formülde bir faktördür. Eğer bu iki parametre problemin başlangıç koşullarında verilmişse, merkez çizgisinin uzunluğunu hesaplamak için alanı yüksekliğe bölün: L = S/h. Diyelim ki 75 cm'lik bir alana sahip mi? 15 cm yüksekliğinde bir ikizkenar yamuğun orta çizgisi 75/15 = 5 cm uzunluğunda olmalıdır.

3. Bir ikizkenar yamuğun çevresi (P) ve kenar uzunluğu (C) göz önüne alındığında, şeklin orta hattını (L) hesaplamak da zor değildir. Kenarların iki uzunluğunu çevreden çıkarın, kalan değer tabanların uzunluklarının toplamı olacaktır - ikiye bölün ve problem çözülecektir: L = (P-2*C)/2. Diyelim ki çevresi 150cm ve kenar uzunluğu 25cm olan orta hattın uzunluğu (150-2*25)/2 = 50cm olmalıdır.

4. Çevre uzunluğunun (P) ve yüksekliğinin (h) yanı sıra ikizkenar yamuğun dar açılarından birinin (?) değerini bilerek, orta hattının uzunluğunu (L) hesaplamak da mümkündür. Bir yükseklik, bir kenar ve tabanın bir kısmından oluşan bir üçgende açılardan biri dik, diğerinin boyutu bilinmektedir. Bu, sinüs yasasını kullanarak kenarın uzunluğunu hesaplamanıza olanak tanır; yüksekliği istediğiniz açının sinüsüne bölün: h/sin(?). Bundan sonra, bu ifadeyi önceki adımdaki formülde yerine koyarsanız aşağıdaki eşitliği elde edersiniz: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). Diyelim ki referans açısı 30°, yükseklik 10cm ve çevre 150cm ise merkez çizgisinin uzunluğu şu şekilde hesaplanmalıdır: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55cm .

İpucu 4: İkizkenar Üçgenin Çevresi Nasıl Bulunur?

Çevre, çokgenin tüm kenarlarının toplamıdır. Düzenli çokgenlerde, kenarlar arasındaki kesin olarak tanımlanmış bağlantılar çevreyi bulmayı kolaylaştırır.

Talimatlar

1. Kırık bir çizginin çeşitli bölümleriyle sınırlanan rastgele bir şekilde çevre, kenarların sırayla ölçülmesi ve ölçüm sonuçlarının toplanmasıyla belirlenir. Pozitif çokgenler için çevreyi bulmak, şeklin kenarları arasındaki bağlantıları dikkate alan formüller kullanılarak hesaplanarak mümkündür.

2. Kenarları a, b, c olan rastgele bir üçgende P çevresi şu formülle hesaplanır: P = a + b + c. Bir ikizkenar üçgenin iki kenarı birbirine eşittir: a=b ve çevreyi bulma formülü P=2*a+c şeklinde basitleştirilir.

3. Bir ikizkenar üçgende, şarta göre tüm tarafların boyutları verilmiyorsa, çevreyi bulmak için üçgenin alanı, açıları, yükseklikleri, bisektörleri ve medyanları gibi bilinen diğer parametreleri kullanmak mümkündür. . Diyelim ki, bir ikizkenar üçgenin yalnızca iki eşit kenarı ve açılarının her biri biliniyorsa, o zaman sinüs teoremini kullanarak üçüncü kenarı bulun; buradan üçgenin kenarının karşı açının sinüsüne oranı sonucu çıkar. belirli bir üçgen için sürekli bir niceliktir. O zaman alışılmadık taraf ünlü olanla ifade edilebilir: a=b*SinA/SinB, burada A, bilinmeyen a tarafının karşısındaki açıdır, B ünlü b tarafının karşısındaki açıdır.

4. Bir ikizkenar üçgenin S alanı ve b tabanı biliniyorsa, S=b*h/2 üçgeninin alanını belirleme formülünden h: h=2*S/b yüksekliğini bulun. B tabanına indirilen bu yükseklik, verilen ikizkenar üçgeni iki eşit dik üçgene böler. İlk ikizkenar üçgenin yan kenarları a, dik üçgenlerin hipotenüsüdür. Pisagor teoremine göre hipotenüsün karesi b ve h kenarlarının karelerinin toplamına eşittir. Daha sonra bir ikizkenar üçgenin çevresi P şu formülle hesaplanır: P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?).

İpucu 5: İkizkenar yamuğun tabanı nasıl bulunur?

Yamuk, tabanları 2 paralel çizgi üzerinde bulunan, diğer iki tarafı paralel olmayan bir dörtgendir. İkizkenar yamuğun tabanını bulmak, hem teoriyi geçerken hem de eğitim kurumlarında problemleri çözerken ve bir dizi meslekte (mühendislik, mimarlık, tasarım) gereklidir.

Talimatlar

1. Bir ikizkenar (veya ikizkenar) yamuk, paralel olmayan kenarlara ve ayrıca alt tabanı geçerken oluşan açılara eşittir.

2. Bir yamuğun iki tabanı vardır ve bunları keşfetmek için önce şekli tanımlamanız gerekir. Bize tabanları AD ve BC olan bir ikizkenar yamuk ABCD verilsin. Bu durumda gerekçelere ek olarak tüm parametreler bilinmektedir. Yan kenar AB=CD=a, yükseklik BH=h ve alan S'ye eşittir.

3. Yamuğun tabanı problemini çözmek için, birbiriyle ilişkili nicelikler aracılığıyla gerekli tabanları bulmak amacıyla bir denklem sistemi oluşturmak herkes için daha kolay olacaktır.

4. BC segmentini x ve AD segmentini y olarak etiketleyin, böylece gelecekte formülleri kullanmak ve anlamak daha rahat olacaktır. Bunu hemen yapmazsanız kafanız karışabilir.

5. Bilinen verileri kullanarak sorunun çözümünde işe yarayacak tüm formülleri yazın. İkizkenar yamuğun alanı formülü: S=((AD+BC)*h)/2. Pisagor teoremi: a*a = h*h +AH*AH.

6. İkizkenar yamuğun kalitesini hatırlayın: Yamuğun tepe noktasından çıkan yükseklikler geniş bir taban üzerinde eşit parçaları keser. Bu özellikten elde edilen formüle göre iki bazın bağlanabileceği anlaşılmaktadır: AD=BC+2AH veya y=x+2AH

7. Daha önce yazdığınız Pisagor teoremini takip ederek AH ayağını bulun. Belirli bir k sayısına eşit olsun. O zaman ikizkenar yamuğun özelliğinden elde edilen formül şu şekilde görünecektir: y=x+2k.

8. Bilinmeyen miktarı yamuk alanı cinsinden ifade edin. Şunu elde etmelisiniz: AD=2*S/h-BC veya y=2*S/h-x.

9. Daha sonra bu sayısal değerleri ortaya çıkan denklem sistemine yerleştirin ve çözün. Herhangi bir denklem sisteminin çözümü MathCAD programında mekanik olarak bulunabilir.

Yararlı tavsiye
Problem çözerken daima notasyonu ve formülleri mümkün olduğunca basitleştirmeye çalışın. Bu sayede çözüm çok daha hızlı bulunacaktır.

İhtiyacın olacak

- hesap makinesi;
– sinüs, kosinüs ve teğet tabloları;
- kağıt;
– çizim aksesuarları.

Talimatlar

1. Sorunun en ilkel versiyonu yamuğun tüm kenarlarının verilmesidir. Bu durumda ilkel olarak katlanmaları gerekir. Aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: p=a+b+c+d, burada p çevredir ve a, b, c ve d harfleri karşılık gelen büyük harflerle gösterilen açıların karşısındaki kenarları belirtir.

3. Taraflardan birinin hesaplanması gerekiyorsa hesaplamalar biraz daha uzun sürecektir. Diyelim ki uzun bir taban, bitişik açıları ve yükseklikleri meşhur. Kısa tabanı ve kenarı hesaplamanız gerekir. Bunu yapmak için bir ABCD yamuğu çizin ve B üst köşesinden BE yüksekliğini çizin. ABE üçgenini alacaksınız. A açısını biliyorsunuz, dolayısıyla sinüsünü de biliyorsunuz. Sorun verileri aynı zamanda dik üçgenin bildiğiniz açının karşısındaki kenarı olan BE yüksekliğini de gösterir. Aynı zamanda yamuğun bir tarafı olan AB hipotenüsünü bulmak için BE'yi sinA'ya bölmeniz yeterlidir. 2. tarafın uzunluğunu da doğru şekilde bulun. Bunu yapmak için yüksekliği başka bir üst köşeden yani CF'den çizmeniz gerekir. Artık daha büyük tabanı ve kenarları biliyorsunuz. Çevreyi hesaplamak için bu yeterli değildir; ayrıca daha küçük bir tabanın boyutuna da ihtiyacınız vardır. Buna göre yamuğun içinde oluşan 2 üçgende AE ve DF segmentlerinin boyutlarını bulmanız gerekiyor. Bu, örneğin A ve D açılarının kosinüsleri aracılığıyla yapılabilir. Kosinüs, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Bacağını bulmak için hipotenüsü kosinüs ile çarpmanız gerekir. Daha sonra, ilk adımdaki formülün aynısını kullanarak, yani tüm kenarları toplayarak çevreyi hesaplayın.

4. Başka bir seçenek: iki taban, bir yükseklik ve kenarlardan biri verildiğinde ikinci tarafı bulmanız gerekir. Bu aynı zamanda trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak daha iyi yapılır. Bunu yapmak için bir yamuk çizin. Belki AD ve BC tabanlarını, AB kenarını ve BF yüksekliğini biliyorsunuzdur. Bu verileri kullanarak, A açısını (sinüs boyunca, yani yüksekliğin bilinen tarafa oranı), AF segmentini (kosinüs veya teğet boyunca, hangi açıyı en iyi biliyorsanız) bulabilirsiniz. Ayrıca özelliklerini de unutmayın. bir yamuğun açıları - bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir CF yüksekliğini çizin. İçinde CD hipotenüsünü ve DF kenarını bulmanız gereken başka bir dik üçgen var. Üsttekinin uzunluğunu alttaki uzunluktan çıkarın ve sonuçtan bildiğiniz parçanın uzunluğunu çıkarın. Şimdi CFD dik üçgeninde iki bacağı biliyorsunuz, yani açının tanjantını bulabilirsiniz. D ve ondan - açının kendisi. Daha sonra, yukarıda açıklandığı gibi, aynı açının sinüsü boyunca yan CD'yi hesaplamak kalır.

Konuyla ilgili video