Matematiksel beklenti. Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken X sonlu sayıda değer alarak XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:
Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):
(6B)
Yanlış integral (6 B) kesinlikle yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylerler) M(X) mevcut değil). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.
Matematiksel beklentinin özellikleri:
Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:
Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:
(9)
Burada M = M(X).
Dispersiyon özellikleri:
Standart sapma:
(11)
Standart sapma rastgele bir değişkenle aynı boyuta sahip olduğundan, varyanstan ziyade dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları, rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için daha genel bir kavramın özel durumlarıdır - dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:
(12)
Birinci dereceden başlangıç momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:
(13)
Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M denir merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:
(14)
(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar:
Merkezi momentler, sabit bir değerle kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:
Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:
(17)
değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü dereceden merkezi moment sıfıra eşit olacaktır (tek dereceli tüm merkezi momentler gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:
(18)
Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol taraftaki asimetriyi gösterir (Şekil 2).
Pirinç. 2. Dağılım asimetrisi türleri.
Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:
(19)
sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı normal dağılım eğrisine göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (zirve) derecesini belirler. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:
(20)
Şek. Şekil 3'te farklı basıklık değerlerine sahip dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, daha düz tepeli olanların ise negatif basıklığı vardır.
Pirinç. 3. Değişken derecelerde dikliğe (basıklık) sahip dağılım eğrileri.
Yüksek dereceli momentler genellikle matematiksel istatistiğin mühendislik uygulamalarında kullanılmaz.
Moda
ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.
Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.
Dağıtım yasası tarafından verilen ayrık bir rastgele değişkeni ele alalım:
Beklenti eşittir:
çok daha fazla olduğunu görüyoruz. Bu, değerin şu şekilde açıklanmasıyla açıklanabilir: X= –150, diğer değerlerden çok farklı olarak karesi alındığında keskin bir şekilde arttı; bu değerin olasılığı düşüktür (0,02). Böylece, geçiş M(X)İle M(X2) Mutlak değeri büyük olan rastgele bir değişkenin bu tür değerlerinin matematiksel beklentisi üzerindeki etkisini daha iyi hesaba katmayı mümkün kıldı, ancak bunların oluşma olasılığı düşüktür. Tabii ki, miktarın birkaç büyük ve olası olmayan değeri varsa, o zaman miktara geçiş X 2 ve hatta daha fazlası miktarlara , vb., bu büyük ancak olası olmayan değerlerin "rolünü daha da güçlendirmemize" olanak tanıyacaktır. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin tamsayı pozitif kuvvetinin matematiksel beklentisinin yalnızca ayrık değil aynı zamanda sürekli olarak dikkate alınması tavsiye edilebilir.
Tanım 6.10. Bir rastgele değişkenin inci mertebesinin başlangıç momenti miktarın matematiksel beklentisidir:
Özellikle:
Bu noktaları kullanarak varyansı hesaplama formülü farklı şekilde yazılabilir.
Rastgele bir değişkenin momentlerine ek olarak sapma momentlerinin de dikkate alınması tavsiye edilir.
Tanım 6.11. Rastgele bir değişkenin üçüncü mertebesinin merkezi momenti miktarın matematiksel beklentisidir.
(6.23)
özellikle,
Başlangıç ve merkezi anları birbirine bağlayan ilişkiler kolayca türetilir. Yani (6.22) ile (6.24)'ü karşılaştırırsak şunu elde ederiz:
Aşağıdaki ilişkileri kanıtlamak zor değildir:
Aynı şekilde:
Daha yüksek dereceli momentler nadiren kullanılır. Merkezi momentlerin belirlenmesinde, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden (merkezinden) sapmaları kullanılır. Bu yüzden anlara denir merkezi.
Başlangıç momentlerinin belirlenmesinde bir rastgele değişkenin sapmaları da kullanılır, ancak matematiksel beklentiden değil, koordinatların orijini olan apsisi sıfıra eşit olan noktadan sapmalar. Bu yüzden anlara denir ilk.
Sürekli bir rastgele değişken durumunda, 1. dereceden başlangıç momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
(6.27)
Sürekli bir rastgele değişkenin inci mertebesinin merkezi momenti aşağıdaki formülle hesaplanır:
(6.28)
Rastgele değişkenin dağılımının matematiksel beklentiye göre simetrik olduğunu varsayalım. O zaman tek sıranın tüm merkezi momentleri sıfıra eşittir. Bu, miktarın her pozitif değeri için şu şekilde açıklanabilir: X-M(X) var (dağılımın simetrisinden dolayı) M(X)) mutlak değer olarak bu miktarın negatif değerine eşittir ve olasılıkları aynı olacaktır.
Tek sıranın merkezi momenti sıfıra eşit değilse, bu durum dağılımın asimetrisini gösterir ve moment ne kadar büyük olursa asimetri de o kadar büyük olur. Bu nedenle, bazı tuhaf merkezi momentleri dağılım asimetrisinin bir özelliği olarak kabul etmek en mantıklısıdır. Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfır olduğundan, bu amaç için üçüncü dereceden merkezi momentin kullanılması tavsiye edilir.
Tanım 6.12. Asimetri katsayısı miktardır:
Asimetri katsayısı negatifse, bu, negatif sapmaların büyüklüğü üzerinde büyük bir etki olduğunu gösterir. Bu durumda dağılım eğrisi (Şekil 6.1) A) 'nin soluna doğru daha düzdür. Katsayı pozitifse, yani pozitif sapmaların etkisi baskınsa, dağılım eğrisi sağda daha düzdür.
Bilindiği gibi ikinci merkezi moment (varyans), bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki dağılımını karakterize etmeye yarar. Eğer bazı rastgele değişkenler için bu moment yeterince büyükse; Dağılım büyükse, karşılık gelen dağılım eğrisi, ikinci dereceden momenti daha küçük olan rastgele bir değişkenin dağılım eğrisinden daha düzdür. Ancak herhangi bir dağıtım için şu an bu amaca hizmet edemez. 
.
Bu durumda dördüncü dereceden merkezi moment kullanılır.
Tanım 6.13. Basıklık miktardır:
Doğadaki en yaygın normal dağılım yasası için oran . Bu nedenle, formül (6.28) ile verilen basıklık, bu dağılımı normal dağılımla karşılaştırmaya yarar (Şekil 6.1). B).
Konum özelliklerine ek olarak - rastgele bir değişkenin ortalama, tipik değerleri - her biri dağılımın bir veya başka özelliğini tanımlayan bir dizi özellik kullanılır. Sözde anlar çoğunlukla bu tür özellikler olarak kullanılır.
Moment kavramı mekanikte kütlelerin (statik momentler, eylemsizlik momentleri vb.) dağılımını tanımlamak için yaygın olarak kullanılır. Bir rastgele değişkenin dağılımının temel özelliklerini tanımlamak için olasılık teorisinde tamamen aynı teknikler kullanılır. Pratikte çoğu zaman iki tür an kullanılır: başlangıç ve merkezi.
Süreksiz bir rastgele değişkenin s. mertebesinin başlangıç momenti şu formun toplamıdır:
. (5.7.1)
Açıkçası, bu tanım, eğer kütleler apsis ekseni üzerinde noktalarda yoğunlaşmışsa, mekanikteki s mertebesinin başlangıç momentinin tanımıyla örtüşmektedir.
Sürekli bir rastgele değişken X için, s. derecenin başlangıç momentine integral adı verilir.
. (5.7.2)
Önceki numarada tanıtılan konumun ana özelliğinin (matematiksel beklenti) rastgele değişkenin ilk başlangıç anından başka bir şey olmadığını görmek kolaydır.
Matematiksel beklenti işaretini kullanarak iki formülü (5.7.1) ve (5.7.2) tek bir formülde birleştirebilirsiniz. Gerçekte, (5.7.1) ve (5.7.2) formülleri yapı olarak (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerine tamamen benzerdir; tek fark, ve yerine sırasıyla ve vardır. Bu nedenle, hem süreksiz hem de sürekli nicelikler için geçerli olan, mertebeden başlangıç momentinin genel bir tanımını yazabiliriz:
, (5.7.3)
onlar. Bir rastgele değişkenin inci mertebesinin başlangıç momenti, bu rastgele değişkenin inci derecesinin matematiksel beklentisidir.
Merkezi momenti tanımlamadan önce yeni bir “merkezli rastgele değişken” kavramını tanıtıyoruz.
Matematiksel beklentisi olan bir rastgele değişken olsun. Değere karşılık gelen merkezli bir rastgele değişken, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır:
Gelecekte, belirli bir rastgele değişkene karşılık gelen merkezi rastgele değişkeni her yerde, üstte bir sembolle aynı harfle belirtmeyi kabul edeceğiz.
Merkezi bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu doğrulamak kolaydır. Aslında süreksiz bir miktar için
sürekli bir miktar için de benzer şekilde.
Rastgele bir değişkeni ortalamak, açıkça koordinatların kökenini, apsisi matematiksel beklentiye eşit olan orta, "merkez" noktaya taşımaya eşdeğerdir.
Merkezi bir rastgele değişkenin momentlerine merkezi momentler denir. Mekanikteki ağırlık merkezi etrafındaki momentlere benzerler.
Dolayısıyla, bir rastgele değişkenin s mertebesindeki merkezi moment, karşılık gelen merkezli rastgele değişkenin inci kuvvetinin matematiksel beklentisidir:
, (5.7.6)
ve sürekli için – integrale göre
. (5.7.8)
Bundan sonra, belirli bir anın hangi rastgele değişkene ait olduğu konusunda şüphenin olmadığı durumlarda, kısaca ve yerine basitçe ve yazacağız.
Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken için birinci dereceden merkezi moment sıfıra eşittir:
, (5.7.9)
çünkü merkezli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi her zaman sıfıra eşittir.
Çeşitli düzenlerin merkezi ve başlangıç anlarını birbirine bağlayan ilişkileri türetelim. Sonucu yalnızca süreksiz miktarlar için uygulayacağız; Sonlu toplamları integrallerle ve olasılıkları olasılık öğeleriyle değiştirirsek, sürekli nicelikler için tam olarak aynı ilişkilerin geçerli olduğunu doğrulamak kolaydır.
İkinci merkezi noktayı düşünün:
Benzer şekilde üçüncü merkezi an için şunu elde ederiz:
vb. için ifadeler benzer şekilde elde edilebilir.
Dolayısıyla herhangi bir rastgele değişkenin merkezi momentleri için formüller geçerlidir:
(5.7.10)
Genel olarak konuşursak, momentler yalnızca orijine (ilk momentler) veya matematiksel beklentiye (merkezi momentler) göre değil, aynı zamanda keyfi bir noktaya göre de düşünülebilir:
. (5.7.11)
Ancak merkezi momentlerin diğerlerine göre bir avantajı vardır: Gördüğümüz gibi ilk merkezi moment her zaman sıfıra eşittir ve bir sonraki, yani ikinci merkezi moment bu referans sistemiyle minimum değere sahiptir. Hadi kanıtlayalım. Süreksiz bir rastgele değişken için formül (5.7.11) şu şekildedir:
. (5.7.12)
Bu ifadeyi dönüştürelim:
Açıkçası, bu değer minimum değerine şu durumlarda ulaşır: anın noktaya göre alındığı zaman.
Tüm momentler arasında, ilk başlangıç momenti (matematiksel beklenti) ve ikinci merkezi moment çoğunlukla rastgele bir değişkenin özellikleri olarak kullanılır.
İkinci merkezi momente rastgele değişkenin varyansı denir. Bu özelliğin son derece önemli olması nedeniyle, diğer hususların yanı sıra, ona özel bir isim veriyoruz:
Merkezi anın tanımına göre
onlar. bir X rastgele değişkeninin varyansı, karşılık gelen merkezli değişkenin karesinin matematiksel beklentisidir.
İfadedeki (5.7.13) miktarı ifadesiyle değiştirerek şunu elde ederiz:
. (5.7.14)
Varyansı doğrudan hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanın:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Buna göre süreksiz ve sürekli miktarlar için.
Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında saçılmasıdır. “Dağılım” kelimesinin kendisi “dağılım” anlamına gelir.
Dağılımın mekanik yorumuna dönersek, o zaman dağılım, belirli bir kütle dağılımının ağırlık merkezine göre atalet momentinden (matematiksel beklenti) başka bir şey değildir.
Bir rastgele değişkenin varyansı, rastgele değişkenin karesi boyutundadır; Dağılımı görsel olarak karakterize etmek için, boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşen bir miktarın kullanılması daha uygundur. Bunu yapmak için varyansın karekökünü alın. Ortaya çıkan değere rastgele değişkenin standart sapması (aksi takdirde "standart") denir. Standart sapmayı göstereceğiz:
, (5.7.17)
Gösterimleri basitleştirmek için sıklıkla standart sapma ve dağılım kısaltmalarını kullanacağız: ve. Bu özelliklerin hangi rastgele değişkene ait olduğu konusunda şüphe olmadığı durumlarda, bazen xy ve ve sembolünü atlayıp basitçe ve yazacağız. “Standart sapma” kelimeleri bazen kısaltılarak r.s.o. harfleriyle değiştirilecektir.
Pratikte, bir rastgele değişkenin ikinci başlangıç momentine (formüllerin ikincisi (5.7.10)) kadar olan dağılımını ifade eden bir formül sıklıkla kullanılır. Yeni gösterimde şöyle görünecek:
Beklenti ve varyans (veya standart sapma), bir rastgele değişkenin en yaygın kullanılan özellikleridir. Dağıtımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve saçılma derecesi. Dağıtımın daha ayrıntılı bir açıklaması için daha yüksek dereceli momentler kullanılır.
Üçüncü merkezi nokta, dağılımın asimetrisini (veya "çarpıklığını") karakterize etmeye yarar. Dağılım matematiksel beklentiye göre simetrikse (veya mekanik bir yorumda kütle, ağırlık merkezine göre simetrik olarak dağılmışsa), o zaman tüm tek sıralı momentler (varsa) sıfıra eşittir. Gerçekten de toplamda
Dağıtım yasası yasaya göre simetrik ve tek olduğunda, her pozitif terim mutlak değere eşit bir negatif terime karşılık gelir, böylece toplamın tamamı sıfıra eşit olur. Aynı durum integral için de geçerlidir
,
tek bir fonksiyonun simetrik limitlerinde bir integral olarak sıfıra eşittir.
Bu nedenle dağılım asimetrisinin bir özelliği olarak tuhaf anlardan birini seçmek doğaldır. Bunlardan en basiti üçüncü merkezi momenttir. Rastgele bir değişkenin küpü boyutundadır: boyutsuz bir karakteristik elde etmek için üçüncü moment standart sapmanın küpüne bölünür. Ortaya çıkan değere "asimetri katsayısı" veya kısaca "asimetri" adı verilir; onu belirteceğiz:
Şek. 5.7.1 iki asimetrik dağılımı göstermektedir; bunlardan biri (eğri I) pozitif bir asimetriye sahiptir (); diğeri (eğri II) negatiftir ().
Dördüncü merkezi nokta, sözde "soğukkanlılığı" karakterize etmeye yarar; tepeli veya düz tepeli dağılım. Bu dağılım özellikleri basıklık adı verilen kullanılarak açıklanmaktadır. Bir rastgele değişkenin basıklığı miktardır
3 sayısı orandan çıkarılır çünkü doğada çok önemli ve yaygın olan normal dağılım yasası (bunu daha sonra detaylı olarak öğreneceğiz) . Dolayısıyla normal bir dağılım için basıklık sıfırdır; normal eğriye göre daha sivri olan eğriler pozitif basıklığa sahiptir; Tepesi daha düz olan eğriler negatif basıklığa sahiptir.
Şek. 5.7.2 şunu gösterir: normal dağılım (eğri I), pozitif basıklık ile dağılım (eğri II) ve negatif basıklık ile dağılım (eğri III).
Yukarıda tartışılan başlangıç ve merkezi momentlere ek olarak, pratikte bazen formüllerle belirlenen mutlak momentler (başlangıç ve merkezi) kullanılır.
Açıkçası, eşit düzenlerin mutlak anları sıradan anlarla çakışmaktadır.
Mutlak momentlerden en yaygın kullanılanı ilk mutlak merkezi momenttir.
, (5.7.21)
aritmetik ortalama sapması denir. Dispersiyon ve standart sapmanın yanı sıra aritmetik ortalama sapma da bazen dispersiyonun bir özelliği olarak kullanılır.
Beklenti, mod, medyan, başlangıç ve merkezi momentler ve özellikle dağılım, standart sapma, çarpıklık ve basıklık rastgele değişkenlerin en yaygın kullanılan sayısal özellikleridir. Pek çok pratik problemde, bir rastgele değişkenin tam bir karakteristiğine (dağılım yasası) ya ihtiyaç duyulmaz ya da elde edilemez. Bu durumlarda, yardım kullanarak rastgele değişkenin yaklaşık bir tanımıyla sınırlıyız. Her biri dağılımın bazı karakteristik özelliklerini ifade eden sayısal özellikler.
Çoğu zaman sayısal özellikler, bir dağılımı yaklaşık olarak diğeriyle değiştirmek için kullanılır ve genellikle bu değiştirmeyi, birkaç önemli nokta değişmeden kalacak şekilde yapmaya çalışırlar.
Örnek 1. Olasılığı eşit olan bir olayın ortaya çıkabileceği veya görünmeyebileceği bir deney gerçekleştirilir. Rastgele bir değişken dikkate alınır - bir olayın meydana gelme sayısı (bir olayın karakteristik rastgele değişkeni). Özelliklerini belirleyin: matematiksel beklenti, dağılım, standart sapma.
Çözüm. Değer dağılım serisi şu şekildedir:
olayın gerçekleşmeme olasılığı nerede?
Formül (5.6.1)'i kullanarak değerin matematiksel beklentisini buluruz:
Değerin dağılımı formül (5.7.15) ile belirlenir:
(Okuyucunun, dağılımı ikinci başlangıç momenti cinsinden ifade ederek aynı sonucu elde etmesini öneriyoruz).
Örnek 2. Bir hedefe üç bağımsız atış yapılır; Her atışta isabet olasılığı 0,4'tür. rastgele değişken – isabet sayısı. Bir miktarın özelliklerini belirleyin - matematiksel beklenti, dağılım, r.s.d., asimetri.
Çözüm. Değer dağılım serisi şu şekildedir:
Miktarın sayısal özelliklerini hesaplıyoruz.
3.4. Rastgele bir değişkenin momentleri.
Yukarıda SV'nin kapsamlı özellikleriyle tanıştık: ayrık bir SV için dağıtım fonksiyonu ve dağılım serisi, sürekli bir SV için dağıtım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu. Bilgi içeriği açısından bu ikili eşdeğer özellikler şunlardır: işlevler ve SV'yi olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlayın. Bununla birlikte, birçok pratik durumda, bir rastgele değişkeni kapsamlı bir şekilde karakterize etmek ya imkansız ya da gereksizdir. Genellikle bir veya daha fazlasını belirtmek yeterlidir sayısal Bir dereceye kadar dağılımın ana özelliklerini tanımlayan parametreler ve bazen ayrıntılı özelliklerin bulunması, her ne kadar istense de, matematiksel olarak çok zordur ve sayısal parametrelerle çalışırken, yaklaşık fakat daha basit bir tanımla sınırlıyız. Belirtilen sayısal parametrelere denir sayısal özellikler Rastgele değişkenler ve olasılık teorisinin bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarına uygulanmasında önemli rol oynayarak problemlerin çözümünü kolaylaştırmakta ve çözüm sonuçlarının basit ve görsel bir biçimde sunulmasına olanak sağlamaktadır.
En sık kullanılan sayısal özellikler iki türe ayrılabilir: Momentler ve konum özellikleri. Birkaç tür an vardır ve bunlardan en yaygın kullanılan ikisi şunlardır: birincil ve merkezi. Diğer an türleri, ör. mutlak momentler, faktöriyel momentler, dikkate almıyoruz. İntegralin genellemesini - Stieltjes integrali olarak adlandırılan - kullanmaktan kaçınmak için, sürekli ve ayrık SV'ler için moment tanımlarını ayrı ayrı veriyoruz.
Tanımlar. 1. Başlangıç anık-th sipariş ayrık SV miktar denir
Nerede F(X) belirli bir SV'nin olasılık yoğunluğudur.
3. Merkezi ank-th sipariş ayrık SV miktar denir
Aynı anda birden fazla SV'nin değerlendirildiği durumlarda, yanlış anlaşılmaları önlemek amacıyla o anın kimliğinin belirtilmesi uygundur; bunu karşılık gelen SV'nin adını parantez içinde belirterek yapacağız, örneğin, 
, vb. Bu atama, fonksiyon gösterimi ile karıştırılmamalı ve parantez içindeki harf, fonksiyon argümanı ile karıştırılmamalıdır. Eşitliklerin (3.4.1 - 3.4.4) sağ tarafındaki toplamlar ve integraller, değere bağlı olarak yakınsak veya ıraksak olabilir k ve özel dağıtım. İlk durumda o anın olduğunu söylüyorlar mevcut değil veya farklılaşıyor, ikincisinde - ne an vardır veya yakınsar. Ayrık bir SV'nin sonlu sayıda sonlu değeri varsa ( N elbette), o zaman tüm anları sonlu düzendedir k var olmak. Sonsuza kadar N bazılarından başlayarak k ve daha yüksek dereceler için, ayrı bir SV'nin (hem başlangıç hem de merkezi) momentleri mevcut olmayabilir. Tanımlardan görülebileceği gibi sürekli bir SV'nin momentleri, belirli bir noktadan başlayarak uzaklaşabilen uygun olmayan integrallerle ifade edilir. k ve daha yüksek düzeyler için (aynı anda başlangıç ve merkezi). Sıfırıncı dereceden anlar her zaman birleşir.
Önce ilk, sonra merkezi anları daha ayrıntılı olarak ele alalım. Matematiksel açıdan bakıldığında başlangıç anı k-inci sıra “ağırlıklı ortalama”dır k-inci derece SV değerleri; ayrık bir SV durumunda ağırlıklar değerlerin olasılıklarıdır; sürekli bir SV durumunda ağırlık fonksiyonu olasılık yoğunluğudur. Bu tür işlemler mekanikte kütlelerin dağılımını (statik momentler, eylemsizlik momentleri vb.) tanımlamak için yaygın olarak kullanılır; Bu bağlamda ortaya çıkan analojiler aşağıda tartışılmaktadır.
İlk anları daha iyi anlamak için bunları ayrı ayrı ele alıyoruz. k. Olasılık teorisinde, düşük mertebelerdeki momentler en önemlisidir; k bu nedenle artan değerlere göre değerlendirme yapılmalıdır. k. Sıfır derecenin başlangıç anı eşittir
1, ayrık SV için;
=1, sürekli SV için,
onlar. herhangi bir SV için aynı değere (bir) eşittir ve bu nedenle SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.
Birinci dereceden başlangıç momenti (veya ilk başlangıç momenti) şuna eşittir:
Ayrık SV için;
, sürekli SV için.
Bu nokta, herhangi bir SV'nin en önemli sayısal özelliğidir ve bunun birbiriyle ilişkili birçok nedeni vardır. İlk olarak, Chebyshev teoremine göre (bkz. bölüm 7.4), SV üzerinde sınırsız sayıda test yapıldığında, gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalaması (bir anlamda) şuna yönelir, dolayısıyla herhangi bir SV için bu karakteristik bir sayıdır değerlerinin deneyime göre gruplandırıldığı yer. İkincisi, sürekli bir CV için sayısal olarak eşittir X Eğrinin oluşturduğu eğrisel yamuğun ağırlık merkezinin koordinatı F(X) (benzer bir özellik ayrı bir SV için de ortaya çıkar), bu nedenle bu ana "dağılımın ağırlık merkezi" adı verilebilir. Üçüncüsü, bu anın özellikle ders sırasında netleşecek dikkat çekici matematiksel özellikleri vardır, bu nedenle değeri merkezi momentlere ilişkin ifadelere dahil edilmiştir (bkz. (3.4.3) ve (3.4.4)).
Bu anın olasılık teorisinin teorik ve pratik problemleri için önemi ve dikkat çekici matematiksel özellikleri, literatürde "ilk başlangıç momenti" adlandırma ve ismine ek olarak az çok başka adlandırma ve adların da kullanılmasına yol açmıştır. kullanışlı ve bahsi geçen özellikleri yansıtıyor. En yaygın isimler şunlardır: matematiksel beklenti, ortalama değer ve notasyon: M, M[X], . Çoğunlukla “matematiksel beklenti” terimini ve gösterimi kullanacağız. M; birden fazla SV varsa matematiksel beklentinin kimliğini belirten bir alt simge kullanırız; örneğin, M X , M sen vesaire.
İkinci dereceden başlangıç momenti (veya ikinci başlangıç momenti) şuna eşittir:
Ayrık SV için;
, sürekli SV için;
bazen buna denir rastgele değişkenin ortalama karesi ve belirlenmiş M.
Üçüncü dereceden başlangıç momenti (veya üçüncü başlangıç momenti) şuna eşittir:
Ayrık SV için;
, sürekli CB için
bazen buna denir rastgele bir değişkenin ortalama küpü ve belirlenmiş M[X 3 ].
Başlangıç noktalarını listelemeye devam etmenin bir anlamı yok. Düzen anlarının önemli yorumu üzerinde duralım k>1. SV ile birlikte olsun X bir de SV var e, Ve Y=X k (k=2, 3, ...). Bu eşitlik, rastgele değişkenlerin X Ve e SV'nin olması anlamında deterministik olarak bağlantılıdır X değerini alır X, kuzeydoğu e değerini alır y=x k(gelecekte SV'nin bu bağlantısı daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır). Daha sonra (3.4.1) ve (3.4.2)'ye göre
=M sen
, k=2,
3, ...,
yani. k SV'nin başlangıç anı matematiksel beklentiye eşittir kbu rastgele değişkenin -inci kuvveti. Örneğin rastgele bir küpün kenar uzunluğunun üçüncü başlangıç momenti, küpün hacminin matematiksel beklentisine eşittir. Momentleri belirli matematiksel beklentiler olarak anlama olasılığı, matematiksel beklenti kavramının öneminin bir başka yönüdür.
Merkezi noktaları dikkate almaya devam edelim. Aşağıda açıklığa kavuşturulacağı gibi, merkezi anlar açıkça başlangıç anları aracılığıyla ifade edildiğinden ve bunun tersi de geçerli olduğundan, merkezi anlara neden ihtiyaç duyulduğu ve ilk anların neden yeterli olmadığı sorusu ortaya çıkıyor. SV'yi ele alalım X(sürekli veya ayrık) ve birincisiyle ilgili başka bir SV Y Y=X+a, Nerede A 0 rastgele olmayan bir gerçek sayıdır. Her değer X rastgele değişken X değere karşılık gelir y=x+a rastgele değişken e, dolayısıyla SV'nin dağılımı e SV dağılımıyla aynı şekle sahip olacaktır (ayrık durumda dağıtım poligonu veya sürekli durumda olasılık yoğunluğu ile ifade edilir) X, ancak x ekseni boyunca miktar kadar kaydırıldı A. Sonuç olarak, SV'nin ilk anları e SV'nin karşılık gelen anlarından farklı olacaktır X. Örneğin, görmek kolaydır M sen =m X +bir(daha yüksek düzeydeki anlar daha karmaşık ilişkilerle birbirine bağlanır). Yani bunu belirledik Başlangıç momentleri bir bütün olarak dağılımın kaymasına göre değişmez değildir. Dağılımı değil de x ekseninin başlangıcını yatay olarak bir miktar kaydırırsanız aynı sonuç elde edilecektir - A yani Eşdeğer sonuç da geçerlidir: başlangıç momentleri x ekseninin başlangıcındaki yatay kaymaya göre değişmez değildir.
Bir bütün olarak kaymalarına bağlı olmayan dağılımların özelliklerini tanımlamayı amaçlayan merkezi momentler bu dezavantajdan muaftır. Aslında (3.4.3) ve (3.4.4)'ten görülebileceği gibi, dağılım bir bütün olarak bir miktar değiştiğinde A, veya aynısı, x ekseninin başlangıcını şu miktar kadar kaydırmak - A, tüm değerler X Aynı olasılıklara sahip (ayrık durumda) veya aynı olasılık yoğunluğuna sahip (sürekli durumda), miktar kadar değişecektir A, ancak değer aynı miktarda değişecektir M yani eşitliğin sağ tarafındaki parantezlerin değerleri değişmeyecektir. Böylece, merkezi momentler bir bütün olarak dağılımın kaymasına göre değişmez, ya da aynı şey, x ekseninin başlangıcındaki yatay kaymaya göre değişmez.İlk başlangıç anının “merkez” olarak adlandırıldığı o günlerde bu anlara “merkez” adı da verildi. SV'nin merkezi anının olduğunu belirtmekte fayda var. X SV'nin karşılık gelen başlangıç momenti olarak anlaşılabilir X 0 eşit
|
X 0 =X-m X . |
kuzeydoğu X 0 denir merkezli(SV'ye göre X) ve buna yol açan işleme, yani matematiksel beklentisinin rastgele bir değişkenden çıkarılmasına denir. merkezleme. Daha sonra göreceğimiz gibi bu kavram ve bu işlem ders boyunca faydalı olacaktır. Düzenin merkezi anının k>1 matematiksel beklenti (ortalama) olarak kabul edilebilir k-merkezlenmiş SV'nin derecesi: 
.
Alt düzeylerdeki merkezi anları ayrı ayrı ele alalım. Sıfırıncı dereceden merkezi moment eşittir
, ayrık SV'ler için;
, sürekli SV için;
yani herhangi bir SV için olup bu SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.
Birinci dereceden merkezi moment (veya birinci merkezi moment) şuna eşittir:
ayrık SV için;
sürekli CB için; yani herhangi bir SV için olup bu SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.
İkinci dereceden merkezi moment (veya ikinci merkezi moment) şuna eşittir:
ayrık SV için;
, sürekli SV için.
Aşağıda açıklığa kavuşturulacağı gibi, bu nokta olasılık teorisindeki en önemli noktalardan biridir, çünkü SV değerlerinin dağılımının (veya dağılımının) ölçüsünün bir özelliği olarak kullanılır, bu nedenle sıklıkla buna denir. dağılım ve belirlenmiş D X. Bunun ortalanmış SV'nin ortalama karesi olarak anlaşılabileceğini unutmayın.
Üçüncü dereceden merkezi moment (üçüncü merkezi moment) şuna eşittir:
Seçeneklerin belirli bir serinin aritmetik ortalamasından sapmasının başlangıç değeri olarak alındığı hesaplanırken merkezi momentlere dağıtım momentleri denir.
1. Birinci dereceden merkezi momenti aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın:
2. İkinci dereceden merkezi momenti aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın:
aralıkların ortasının değeri nerede;
Bu ağırlıklı bir ortalamadır;
Fi değerlerin sayısıdır.
3. Aşağıdaki formülü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
aralıkların ortasının değeri nerede; - bu ağırlıklı ortalamadır; - fi-sayılı değerler.
4. Aşağıdaki formülü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
aralıkların ortasının değeri nerede; - bu ağırlıklı ortalamadır; - fi-sayılı değerler.
Tablo 3.2 için hesaplama
Tablo 3.4 için hesaplama
1. Formül (7.1)'i kullanarak birinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:
2. Formül (7.2)'yi kullanarak ikinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:
3. Formül (7.3)'ü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
4. Formül (7.4)'ü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
Tablo 3.6 için hesaplama
1. Formül (7.1)'i kullanarak birinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:
2. Formül (7.2)'yi kullanarak ikinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:
3. Formül (7.3)'ü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
4. Formül (7.4)'ü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:
Üç problem için 1, 2, 3, 4. derecelerin momentleri hesaplandı. Asimetriyi hesaplamak için üçüncü dereceden momentin gerekli olduğu ve basıklığı hesaplamak için dördüncü dereceden momentin gerekli olduğu yer.
DAĞITIM ASİMETRİSİNİN HESAPLANMASI
İstatistik uygulamalarında çeşitli dağılımlarla karşılaşılmaktadır. Aşağıdaki dağıtım eğrileri türleri vardır:
· tek köşeli eğriler: simetrik, orta derecede asimetrik ve son derece asimetrik;
· çoklu köşe eğrileri.
Homojen popülasyonlar, kural olarak, tek tepe dağılımlarıyla karakterize edilir. Multivertex, incelenen popülasyonun heterojenliğini gösterir. İki veya daha fazla köşenin ortaya çıkması, daha homojen grupların tanımlanması için verilerin yeniden gruplandırılmasını gerekli kılar.
Dağılımın genel niteliğini belirlemek, homojenliğinin değerlendirilmesini ve ayrıca asimetri ve basıklık göstergelerinin hesaplanmasını içerir. Simetrik dağılımlarda dağıtım merkezinin her iki yanında eşit olarak yer alan herhangi iki seçeneğin frekansları birbirine eşittir. Bu tür dağılımlar için hesaplanan ortalama, mod ve medyan da eşittir.
Farklı ölçüm birimleriyle çeşitli dağılımların asimetrisini karşılaştırmalı olarak incelerken, göreceli asimetri göstergesi () hesaplanır:
ağırlıklı ortalama nerede; Mo-moda; - kök ortalama kare ağırlıklı dağılım; Me-medyan.
Değeri pozitif ya da negatif olabilir. İlk durumda sağ taraftaki asimetriden, ikincisinde ise sol taraftaki asimetriden bahsediyoruz.
Sağ taraflı asimetri ile Mo>Me >x. En yaygın olarak kullanılan (asimetri göstergesi olarak), üçüncü dereceden merkezi momentin belirli bir serinin küp standart sapmasına oranıdır:
üçüncü dereceden merkezi moment nerede; - standart sapmanın küpü.
Bu göstergenin kullanılması, yalnızca asimetrinin büyüklüğünü belirlemeyi değil aynı zamanda genel popülasyondaki varlığını da kontrol etmeyi mümkün kılar. Genel olarak 0,5'ten büyük çarpıklığın (işaretten bağımsız olarak) anlamlı olduğu kabul edilir; 0,25'ten küçükse önemsizdir.
Anlamlılık değerlendirmesi, gözlem sayısına (n) bağlı olan ortalama kare hatası, asimetri katsayısı () temel alınarak yapılır ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
burada n gözlem sayısıdır.
Bu durumda asimetri anlamlıdır ve özelliğin popülasyondaki dağılımı asimetriktir. Aksi takdirde asimetri önemsizdir ve varlığı tesadüfi durumlardan kaynaklanabilir.
Tablo 3.2 için hesaplama Nüfusun ortalama aylık maaşa göre gruplandırılması, ovmak.
Sol tarafta belirgin asimetri.
Tablo 3.4 için hesaplama Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.
1. Formül (7.5)'i kullanarak asimetrileri belirleyelim:
Sağ tarafta belirgin asimetri.
Tablo 3.6 için hesaplama Toplu taşımacılığın navlun cirosuna göre ulaştırma organizasyonlarının gruplandırılması (milyon t.km)
1. Formül (7.5)'i kullanarak asimetrileri belirleyelim:
Sağ tarafta hafif asimetri.
DAĞITIM KURTESİNİN HESAPLANMASI
Simetrik dağılımlar için basıklık indeksi () hesaplanabilir:
dördüncü dereceden merkezi moment nerede; - dördüncü kuvvete standart sapma.
Tablo 3.2 için hesaplama Nüfusun ortalama aylık maaşa göre gruplandırılması, ovmak.
Tablo 3.4 için hesaplama Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.
Basıklık göstergesini formül (7.7) kullanarak hesaplayalım.
Tepe dağılımı.
Tablo 3.6 için hesaplama Toplu taşımacılığın navlun cirosuna göre ulaştırma organizasyonlarının gruplandırılması (milyon t.km)
Basıklık göstergesini formül (7.7) kullanarak hesaplayalım.
Düz üst dağıtım.
NÜFUSUN HOMOJENLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ
Tablo 3.2 için homojenlik değerlendirmesi Nüfusun ortalama aylık maaşa göre gruplandırılması, ovmak.
Asimetri ve basıklık göstergeleri, incelenen popülasyon içindeki özelliğin yalnızca dağılım biçimini doğrudan karakterize etse de, bunların tanımının yalnızca tanımlayıcı bir öneme sahip olmadığı unutulmamalıdır. Çoğunlukla asimetri ve basıklık, sosyo-ekonomik olayların daha ileri araştırılması için belirli göstergeler sağlar. Elde edilen sonuç, büyüklük olarak anlamlı ve negatif nitelikte bir asimetrinin varlığını göstermektedir; asimetrinin sol tarafta olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca popülasyon düz bir dağılıma sahiptir.
Tablo 3.4 için homojenlik değerlendirmesi Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.
Elde edilen sonuç, büyüklük olarak anlamlı ve pozitif nitelikte bir asimetrinin varlığına işaret etmektedir; asimetrinin sağ taraflı olduğuna dikkat edilmelidir. Ayrıca popülasyon keskin bir tepe dağılımına sahiptir.
Tablo 3.6 için homojenlik değerlendirmesi Toplu taşımacılığın navlun cirosuna göre ulaştırma organizasyonlarının gruplandırılması (milyon t.km)
Elde edilen sonuç, büyüklük olarak önemsiz ve pozitif nitelikte bir asimetrinin varlığına işaret etmektedir; asimetrinin sağ taraflı olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca popülasyon düz tepeli bir dağılıma sahiptir.
