Pisagor üçlüleri. Modern yüksek teknoloji Pisagor sayı üçlüsü

Daha sonra etkili Pisagor üçlüleri oluşturmak için bilinen yöntemleri ele alacağız. Pisagor'un öğrencileri, parçaları Pisagor üçlüsünü temsil eden bir formül kullanarak Pisagor üçlüleri oluşturmanın basit bir yolunu icat eden ilk kişilerdi:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Nerede M- eşleştirilmemiş, M>2. Gerçekten mi,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Benzer bir formül antik Yunan filozofu Platon tarafından da önerildi:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Nerede M- herhangi bir sayı. İçin M= 2,3,4,5 aşağıdaki üçlüler oluşturulur:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Gördüğümüz gibi bu formüller mümkün olan tüm ilkel üçlüleri veremez.

Polinomların toplamına genişletilebilen aşağıdaki polinomu düşünün:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Dolayısıyla ilkel üçlüleri elde etmek için aşağıdaki formüller:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Bu formüller, ortalama sayının en büyük sayıdan tam olarak bir farklı olduğu üçlüler oluşturur; yani tüm olası üçlüler de oluşturulmaz. Burada ilk üçler eşittir: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Tüm ilkel üçlülerin nasıl oluşturulacağını belirlemek için bunların özelliklerinin incelenmesi gerekir. Öncelikle eğer ( ABC) ilkel bir üçlüdür, o halde A Ve B, B Ve C, A Ve C- nispeten basit olmalı. İzin vermek A Ve B bölünmüştür D. Daha sonra A 2 + B 2 - ayrıca bölünebilir D. Sırasıyla, C 2 ve Cşuna bölünmelidir: D. Yani bu ilkel bir üçlü değil.

İkincisi, rakamlar arasında A, B birinin eşleştirilmesi, diğerinin eşleşmemesi gerekir. Gerçekten eğer A Ve B- eşleştirildi, ardından İle eşleşecek ve sayılar en az 2'ye bölünebilecek. Her ikisi de eşlenmemişse 2 olarak gösterilebilir. k+1 ve 2 ben+1, nerede k,ben- bazı sayılar. Daha sonra A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4ben 2 +4ben+1 yani İle 2, gibi A 2 + B 2'nin 4'e bölümünden kalan 2 olur.

İzin vermek İle- herhangi bir sayı, yani İle = 4k+Ben (Ben=0,…,3). Daha sonra İle 2 = (4k+Ben) 2'nin kalanı 0 veya 1'dir ve kalan 2 olamaz. Dolayısıyla, A Ve B eşleşmesi kaldırılamaz, yani A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4ben 2 +4ben+1 ve bölümün geri kalanı İle 2'ye 4, 1 olmalıdır, bu da şu anlama gelir: İle eşleştirilmemiş olmalıdır.

Pisagor üçlüsünün unsurları için bu tür gereksinimler aşağıdaki sayılarla karşılanır:

A = 2milyon, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Nerede M Ve N- farklı eşleşmelerle nispeten asal. Bu bağımlılıklar ilk olarak 2300 yılında yaşayan Öklid'in çalışmalarından tanındı. geri.

Bağımlılıkların geçerliliğini kanıtlayalım (2). İzin vermek A- eşleştirildi, ardından B Ve C- eşleştirilmemiş. Daha sonra C + B Ben C − B- eşleştirilmiş. Şu şekilde temsil edilebilirler: C + B = 2sen Ve C − B = 2v, Nerede sen,v- bazı tamsayılar. Bu yüzden

A 2 = İle 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2sen·2 v = 4UV

Ve bu nedenle ( A/2) 2 = UV.

Çelişkiyle kanıtlanabilir ki sen Ve v- karşılıklı olarak basit. İzin vermek sen Ve v- bölünmüş D. Daha sonra ( C + B) Ve ( C − B) bölünmüştür D. Ve bu yüzden C Ve Bşuna bölünmelidir: D ve bu Pisagor üçlüsünün koşuluyla çelişiyor.

Çünkü UV = (A/2) 2 ve sen Ve v göreceli olarak asaldır, bunu kanıtlamak kolaydır sen Ve v bazı sayıların kareleri olmalıdır.

Yani pozitif tamsayılar var M Ve Nöyle ki sen = M 2 ve v = N 2. Daha sonra

A 2 = 4UV = 4M 2 N 2 yani
A = 2milyon; B = sen − v = M 2 − N 2 ; C = sen + v = M 2 + N 2 .

Çünkü B> 0 ise M > N.

Bunu göstermek için kalır M Ve N farklı eşleşmeler var. Eğer M Ve N- eşleştirildi, ardından sen Ve v eşleştirilmesi gerekir, ancak bu imkansızdır çünkü bunlar göreceli olarak asaldır. Eğer M Ve N- eşleştirilmemişse B = M 2 − N 2 ve C = M 2 + N 2 eşleşecektir ki bu imkansızdır çünkü C Ve B- karşılıklı olarak basit.

Dolayısıyla herhangi bir ilkel Pisagor üçlüsü koşulları (2) karşılamalıdır. Aynı zamanda rakamlar M Ve N denir sayı üretmek ilkel üçüzler. Örneğin, ilkel bir Pisagor üçlüsüne (120,119,169) sahip olalım. Bu durumda

A= 120 = 2·12·5, B= 119 = 144 − 25 ve C = 144+25=169,

Nerede M = 12, N= 5 — sayı üretme, 12 > 5; 12 ve 5 aralarında asaldır ve farklı çiftlerdendir.

Tam tersini kanıtlayabilirsiniz; sayılar M, N(2) formülünü kullanarak ilkel bir Pisagor üçlüsü (a,b,c) verirler. Gerçekten mi,

A 2 + B 2 = (2milyon) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

yani ( A,B,C) bir Pisagor üçlüsüdür. Bu durumda şunu kanıtlayalım A,B,Cçelişki nedeniyle karşılıklı asal sayılardır. Bu sayılar bölünebilir olsun P> 1. O zamandan beri M Ve N farklı eşleşmeler var, o zaman B Ve C- eşleştirilmemiş, yani P≠ 2. O zamandan beri R böler B Ve C, O R 2'ye bölmek lazım M 2 ve 2 N 2 ama bu imkansız çünkü P≠ 2. Bu nedenle M, N- karşılıklı asal ve A,B,C- aynı zamanda nispeten basittir.

Tablo 1, aşağıdaki formüller (2) kullanılarak oluşturulan tüm ilkel Pisagor üçlülerini göstermektedir: M≤10.

Tablo 1. İlkel Pisagor üçlüleri M≤10

Bu tablonun analizi aşağıdaki model serilerinin varlığını göstermektedir:

• veya A, veya B 3'e bölünebilir;
• rakamlardan biri A,B,C 5'e bölünebilir;
• sayı A 4'e bölünebilir;
• iş A· B 12'ye bölünebilir.

1971'de Amerikalı matematikçiler Teigan ve Hedwin, bir dik üçgenin üçüz oluşturacak yüksekliği gibi az bilinen parametrelerini önerdiler. H = C− b ve fazlalık (başarı) e = A + B − C. Şekil 1'de. bu miktarlar belirli bir dik üçgen üzerinde gösterilir.

Şekil 1. Sağ üçgen ve büyümesi ve fazlalığı

"Fazlalık" adı, üçgenin bacakları boyunca bir köşeden diğerine, eğer köşegeni boyunca gitmiyorsa geçilmesi gereken ek mesafe olmasından kaynaklanmaktadır.

Pisagor üçgeninin kenarlarının fazlalığı ve büyümesi sayesinde şu şekilde ifade edilebilir:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Tüm kombinasyonlar değil H Ve e Pisagor üçgenlerine karşılık gelebilir. Belirli bir şey için H olası değerler e belirli bir sayıdaki ürünlerdir D. Bu numara D büyüme adını taşır ve şu anlama gelir: H aşağıdaki gibi: D karesi 2'ye bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır H. Çünkü eçoklu D, o zaman şu şekilde yazılır e = kd, Nerede k pozitif bir tamsayıdır.

Çiftleri kullanma ( k,H) ilkel olmayan ve genelleştirilmiş olanlar da dahil olmak üzere tüm Pisagor üçgenlerini aşağıdaki gibi oluşturabilirsiniz:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Dahası, eğer üçlü ilkeldir k Ve H nispeten asaldır ve eğer H =± Q 2'de Q- eşleştirilmemiş.
Üstelik bu tam olarak bir Pisagor üçlüsü olacaktır, eğer k> √2· H/D Ve H > 0.

Bulmak için k Ve H itibaren ( A,B,C), aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin:

• H = C − B;
• yaz H Nasıl H = pq 2 nerede P> 0 ve kare olmayan bir şey;
• D = 2pq Eğer P- eşleştirilmemiş ve D = pq, eğer p eşleştirilmişse;
• k = (A − H)/D.

Örneğin, (8,15,17) üçlüsü için elimizde H= 17−15 = 2 1, yani P= 2 ve Q = 1, D= 2 ve k= (8 − 2)/2 = 3. Yani bu üçlü ( k,H) = (3,2).

Üçlü (459,1260,1341) için elimizde H= 1341 − 1260 = 81, yani P = 1, Q= 9 ve D= 18, buradan k= (459 − 81)/18 = 21 olduğuna göre bu üçlünün kodu ( k,H) = (21, 81).

Kullanarak üçüzleri ayarlama H Ve k bir dizi ilginç özelliğe sahiptir. Parametre k eşittir

k = 4S/(dP), (5)

Nerede S = ab/2 üçgenin alanıdır ve P = A + B + C- çevresi. Bu eşitlikten kaynaklanır eP = 4S Pisagor teoreminden çıkan sonuç.

Bir dik üçgen için eüçgenin içine yazılan dairenin çapına eşittir. Bu, hipotenüsün İle = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Nerede R- dairenin yarıçapı. Buradan H = C − B = A − 2R Ve e = A − H = 2R.

İçin H> 0 ve k > 0, küçüzlerin sıra sayısıdır A-B-C artan Pisagor üçgenleri dizisinde H. Çiftler tarafından oluşturulan üçlüler için çeşitli seçenekler sunan Tablo 2'den H, k arttıkça açıkça görülüyor ki küçgenin kenarlarının boyutları artar. Böylece klasik numaralandırmadan farklı olarak çiftler halinde numaralandırma H, küçlü dizilerde daha büyük bir sıralamaya sahiptir.

Tablo 2. h, k çiftleri tarafından oluşturulan Pisagor üçlüleri.

İçin H > 0, D 2√ eşitsizliğini karşılar H ≤ D ≤ 2H alt sınıra ulaşıldığı yer P= 1 ve en üstteki - Q= 1. Bu nedenle değer D 2√'ye göre H bir sayının ne kadar olduğunun bir ölçüsüdür H belirli bir sayının karesinden uzaktır.

Özellikler

Denklem'den beri. X 2 + sen 2 = z 2 çoğalırken homojen X , sen Ve z aynı sayı için başka bir Pisagor üçlüsü elde edersiniz. Pisagor üçlüsü denir ilkel bu şekilde elde edilemiyorsa yani eş asal sayılar.

Örnekler

Bazı Pisagor üçlüleri (maksimum sayıya göre artan şekilde sıralanmıştır, ilkel olanlar vurgulanmıştır):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Fibonacci sayılarının özelliklerine dayanarak, örneğin aşağıdaki Pisagor üçlülerini oluşturmak mümkündür:

Hikaye

Pisagor üçlüleri çok uzun zamandır bilinmektedir. Antik Mezopotamya mezar taşlarının mimarisinde, kenarları 9, 12 ve 15 arşın olan iki dikdörtgenden oluşan bir ikizkenar üçgen bulunur. Firavun Snofru'nun piramitleri (MÖ XXVII. Yüzyıl), kenarları 20, 21 ve 29 olan üçgenlerin yanı sıra 18, 24 ve 30'luk Mısır arşınları kullanılarak inşa edildi.

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

• E. A. Gorin Pisagor üçlülerinde asal sayıların kuvvetleri // Matematik eğitimi. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Pisagor sayıları” nın neler olduğuna bakın: Örneğin, kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgenin dikdörtgen olduğu doğal sayıların üçlüleri. sayıların üçlüsü: 3, 4, 5...

Büyük Ansiklopedik Sözlük Doğal sayıların üçlüleri, öyle ki kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgen olur, örneğin sayıların üçlüsü: 3, 4, 5. * * * PİSAGOR SAYILARI PİSAGOR SAYILARI, gibi doğal sayıların üçlüleri O... ...

Ansiklopedik Sözlük

Doğal sayıların üçlüleri, öyle ki, kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgendir. Pisagor teoreminin tersi olan teoreme göre (bkz. Pisagor teoremi), bunun için yeterli olmaları yeterlidir... ... x2+y 2=z2 denklemini sağlayan x, y, z pozitif tamsayılarının üçlüleri. Bu denklemin tüm çözümleri ve dolayısıyla tüm kısmi sayılar x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 formülleriyle ifade edilir; burada a ve b keyfi pozitif tamsayılardır (a>b). P.h...

Matematik Ansiklopedisi Örneğin, kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgenin dikdörtgen olduğu doğal sayıların üçlüleri. sayıların üçlüsü: 3, 4, 5...

Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Matematikte, Pisagor sayıları (Pisagor üçlüsü), Pisagor ilişkisini sağlayan üç tam sayıdan oluşan bir demettir: x2 + y2 = z2. İçindekiler 1 Özellikler 2 Örnekler ... Vikipedi

Şekilli sayılar, belirli bir geometrik şekille ilişkilendirilen sayıların genel adıdır. Bu tarihsel anlayışın kökeni Pisagorculara kadar uzanmaktadır. Muhtemelen “kareye veya küpe” ifadesi figürlü sayılardan doğmuştur. İçindekiler... ...Wikipedia

Şekilli sayılar, belirli bir geometrik şekille ilişkilendirilen sayıların genel adıdır. Bu tarihsel anlayışın kökeni Pisagorculara kadar uzanır. Aşağıdaki figürlü sayı türleri ayırt edilir: Doğrusal sayılar, çarpanlarına ayrılamayan sayılardır, yani... ... Vikipedi

- (Yunanca aritmetika, aritmi sayısından) sayılar bilimi, öncelikle doğal (pozitif tamsayılar) sayılar ve (rasyonel) kesirler ve bunlarla ilgili işlemler. Yeterince gelişmiş doğal sayılar kavramına sahip olma ve... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitaplar

• Arşimed Yazı veya Genç Matematikçiler Topluluğunun Tarihi. İkili sayı sistemi, Bobrov Sergey Pavlovich. İkili sayı sistemi, Hanoi Kulesi, şövalye hamlesi, sihirli kareler, aritmetik üçgen, rakamlı sayılar, kombinasyonlar, olasılık kavramı, Mobius şeridi ve Klein şişesi…

Pisagor sayı üçlüleri

Yaratıcı çalışma

öğrenci 8 "A" sınıf

MAOU "1 Numaralı Spor Salonu"

Saratov'un Oktyabrsky bölgesi

Panfilov Vladimir

Baş – en yüksek kategorideki matematik öğretmeni

Grishina Irina Vladimirovna

İçerik

Giriş…………………………………………………………………………………3

Çalışmanın teorik kısmı

Temel Pisagor üçgenini bulma

(eski Hinduların formülleri)………………………………………………………………4

İşin pratik kısmı

Pisagor üçlülerini çeşitli şekillerde oluşturmak…………………………..6

Pisagor üçgenlerinin önemli bir özelliği…………………………………………………………8

Sonuç………………………………………………………………………………………9

Edebiyat….…………………………………………………………………………………………10

giriiş

Bu okul yılında matematik derslerinde geometrinin en popüler teoremlerinden biri olan Pisagor teoremini inceledik. Pisagor teoremi geometrinin her aşamasında kullanılır; pratikte ve günlük yaşamda geniş uygulama alanı bulmuştur. Ancak teoremin kendisine ek olarak Pisagor teoreminin tersi olan teoremi de inceledik. Bu teoremin incelenmesiyle bağlantılı olarak Pisagor sayı üçlüleri ile tanıştık, yani. 3 doğal sayı kümesiyleA , B VeC ilişkinin geçerli olduğu durum: = + . Bu tür kümeler örneğin aşağıdaki üçlüleri içerir:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Hemen sorularım vardı: Kaç tane Pisagor üçlüsü bulabilirsin? Bunları nasıl oluşturabilirsiniz?

Geometri ders kitabımızda Pisagor teoreminin tersi olan teoremi sunduktan sonra önemli bir açıklama yapıldı: bacakların olduğu kanıtlanabilir.A VeB ve hipotenüsİle Kenar uzunlukları doğal sayılarla ifade edilen dik üçgenler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

A = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Neredek , M , N – herhangi bir doğal sayı veM > N .

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bu formüller nasıl kanıtlanır? Pisagor üçlüleri yalnızca bu formüller kullanılarak mı oluşturulabilir?

Çalışmamda içimde oluşan sorulara cevap vermeye çalıştım.

Çalışmanın teorik kısmı

Temel Pisagor üçgenini bulma (eski Hindu formülleri)

İlk önce formülleri (1) kanıtlıyoruz:

Bacakların uzunluklarını şu şekilde gösterelim:X Veen ve hipotenüsün uzunluğuz . Pisagor teoremine göre eşitliğimiz var:+ = .(2)

Bu denkleme Pisagor denklemi denir. Pisagor üçgenlerinin incelenmesi, denklem (2)'nin doğal sayılarla çözülmesine indirgenir.

Belirli bir Pisagor üçgeninin her bir kenarı aynı sayıda artırılırsa, kenarları doğal sayılarla ifade edilen buna benzer yeni bir dik üçgen elde ederiz; yine Pisagor üçgeni.

Tüm benzer üçgenler arasında en küçüğü vardır, bunun kenarları eşit olan bir üçgen olacağını tahmin etmek kolaydır.X Veen karşılıklı asal sayılarla ifade edilir

(GCD (x,y )=1).

Buna Pisagor üçgeni diyelimana .

Temel Pisagor üçgenlerini bulma.

Üçgen olsun (X , sen , z ) temel Pisagor üçgenidir. SayılarX Veen göreli olarak asaldırlar ve bu nedenle her ikisi de çift olamaz. Her ikisinin de tek olamayacağını kanıtlayalım. Bunu yapmak için şunu unutmayınTek sayının karesi 8'e bölündüğünde 1 kalanını verir. Aslında herhangi bir tek doğal sayı şu şekilde temsil edilebilir:2 k -1 , Neredek aitN .

Buradan: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Sayılar( k -1) Vek – ardışık, bunlardan biri zorunlu olarak çifttir. Daha sonra ifadek ( k -1) bölünmüş2 , 4 k ( k -1) 8'e bölünebilen sayı anlamına gelir 8'e bölündüğünde kalan 1'dir.

İki tek sayının kareleri toplamı 8'e bölündüğünde 2 kalanını verir, dolayısıyla iki tek sayının kareleri toplamı çift sayıdır ancak 4'ün katı değildir ve dolayısıyla bu sayıbir doğal sayının karesi olamaz.

Dolayısıyla eşitlik (2) şu durumda gerçekleşemez:X Veen ikisi de tuhaf.

Böylece, eğer bir Pisagor üçgeni (x, y, z ) - temel, ardından sayılar arasındaX Veen biri çift diğeri tek olmalıdır. y sayısı çift olsun. SayılarX Vez tuhaf (tekz eşitlikten (2) çıkar.

Denklemden.+ = bunu anladık= ( z + X )( z - X ) (3).

Sayılarz + X Vez - X iki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı olduğundan (4):

z + X = 2 A , z - X = 2 B , NeredeA VeB ait olmakN .

z + X =2 A , z - X = 2 B ,

z = a+b , X = A - B. (5)

Bu eşitliklerden şu sonuç çıkıyor:A VeB karşılıklı asal sayılardır.

Bunu çelişkiyle tartışarak kanıtlayalım.

GCD'ye izin verin (A , B )= D , NeredeD >1 .

Daha sonraD z VeX ve dolayısıyla sayılarz + X Vez - X . Daha sonra eşitlik esas alınarak (3) sayının böleni olacak . bu durumdaD sayıların ortak böleni olurduen VeX ama sayılaren VeX nispeten asal olmalıdır.

Sayıen bilindiği gibi çifttir, dolayısıylay = 2c , Neredeİle – doğal sayı. Eşitlik (4)'e dayalı eşitlik (3) aşağıdaki formu alır: =2a*2 B , veya =ab.

Aritmetikten biliniyor kigöreli olarak asal iki sayının çarpımı bir doğal sayının karesi ise, bu sayıların her biri aynı zamanda bir doğal sayının karesidir.

Araç,bir = VeB = , NeredeM VeN nispeten asal sayılardır, çünkü bunlar eş asal sayıların bölenleridirA VeB .

Eşitliğe (5) dayanarak elimizde:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = milyon

Daha sonray = 2 milyon .

SayılarM VeN , Çünkü göreli olarak asaldırlar ve aynı anda çift olamazlar. Ama aynı zamanda tuhaf olamazlar çünkü bu durumdax = - eşit olurdu ki bu imkansızdır. Yani sayılardan biriM veyaN çift, diğeri tektir. Açıkça,y = 2 milyon 4'e bölünebilir. Sonuç olarak, her temel Pisagor üçgeninin bacaklarından en az biri 4'e bölünebilir. Bundan, tüm kenarları asal sayı olan Pisagor üçgeni olmadığı sonucu çıkar.

Elde edilen sonuçlar aşağıdaki teorem formunda ifade edilebilir:

İçinde bulunan tüm temel üçgenleren formülden elde edilen bir çift sayıdır

x = - , sen =2 milyon , z = + ( M > N ), NeredeM VeN – biri çift, diğeri tek olan tüm eş asal sayı çiftleri (hangisi olduğu önemli değil). Her temel Pisagor üçlüsü (x, y, z ), Neredeen – hatta bu şekilde açıkça belirlenir.

SayılarM VeN ikisi de çift veya her ikisi de tek olamaz çünkü bu durumlarda

x = eşit olurdu ki bu imkansızdır. Yani sayılardan biriM veyaN çift ​​ve diğeri tektir (sen = 2 milyon 4'e bölünebilir).

İşin pratik kısmı

Pisagor üçlülerini çeşitli şekillerde oluşturmak

Hinduların formüllerindeM VeN – nispeten asaldırlar, ancak keyfi eşlik sayıları da olabilir ve bunları kullanarak Pisagor üçlüleri oluşturmak oldukça zordur. Bu nedenle Pisagor üçlülerini oluşturmaya farklı bir yaklaşım bulmaya çalışalım.

= - = ( z - sen )( z + sen ), NeredeX - garip,sen - eşit,z - garip

v = z - sen , sen = z + sen

= UV , Neredesen - garip,v – tek (karşılıklı asal)

Çünkü iki tek asal sayının çarpımı bir doğal sayının karesidir, o zamansen = , v = , Neredek Veben – nispeten asal, tek sayılar.

z - sen = z + sen = k 2 , dolayısıyla eşitlikleri toplayıp diğerini birinden çıkardığımızda şunu elde ederiz:

2 z = + 2 sen = - yani

z = y = x = kl

k

ben

X

sen

z

37

9

1

9

40

41 (Ssıfırlar)*(100…0 (Ssıfırlar) +1)+1 =200…0 (s-1sıfırlar) 200…0 (s-1sıfırlar) 1

Pisagor üçgenlerinin önemli özelliği

Teorem

Temel Pisagor üçgeninde bacaklardan birinin 4'e, bacaklardan birinin 3'e bölünebilmesi ve Pisagor üçgeninin alanının 6'nın katı olması gerekir.

Kanıt

Bildiğimiz gibi her Pisagor üçgeninde bacaklardan en az biri 4'e bölünebilir.

Bacaklardan birinin de 3'e bölünebildiğini kanıtlayalım.

Bunu kanıtlamak için, bir Pisagor üçgeninde (X , sen , z X veyasen 3'ün katı.

Şimdi Pisagor üçgeninin alanının 6'ya bölünebileceğini kanıtlıyoruz.

Her Pisagor üçgeninin 6'ya bölünebilen bir doğal sayıyla ifade edilen bir alanı vardır. Bu, bacaklardan en az birinin 3'e ve en az birinin 4'e bölünebildiği gerçeğinden kaynaklanır. Üçgenin alanı Bacakların yarı çarpımı ile belirlenen 6'ya bölünebilen bir sayı ile ifade edilmelidir.

Çözüm

Devam etmekte

- eski Hinduların formülleri kanıtlandı

- Pisagor üçlülerinin sayısı üzerine bir çalışma yapıldı (bunlardan sonsuz sayıda var)

- Pisagor üçlülerini bulma yöntemleri belirtilmiştir

- Pisagor üçgenlerinin bazı özellikleri incelendi

Bu benim için çok ilginç bir konuydu ve sorularıma cevap bulmak çok ilginç bir aktiviteye dönüştü. Gelecekte Pisagor üçlülerinin Fibonacci dizisi ve Fermat teoremi ile bağlantısını ele almayı ve Pisagor üçgenlerinin daha birçok özelliğini öğrenmeyi planlıyorum.

Edebiyat

L.S. Atanasyan “Geometri 7-9. Sınıflar” M.: Eğitim, 2012.

V. Sierpinsky “Pisagor üçgenleri” M.: Üçpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı

II. Yeni malzemenin açıklaması

Öğretmen: Pisagor üçlülerinin çekici gücünün gizemi uzun zamandır insanlığı endişelendiriyor. Pisagor üçlülerinin benzersiz özellikleri doğa, müzik ve matematikteki özel rollerini açıklamaktadır. Pisagor büyüsü, Pisagor teoremi milyarlarca olmasa da milyonlarca insanın beyninde kalıyor. Bu, her okul çocuğunun ezberlemek zorunda olduğu temel bir teoremdir. Pisagor teoremi on yaşındaki çocuklar tarafından anlaşılabilse de, matematik tarihindeki en büyük beyinlerin çözemediği bir problem olan Fermat teoremi için ilham verici bir başlangıçtır. Samos adasından Pisagor (bkz. Ek 1 , slayt 4) matematikteki en etkili ve bir o kadar da gizemli figürlerden biriydi. Hayatı ve çalışmaları hakkında güvenilir bilgiler günümüze ulaşmadığı için hayatı mit ve efsanelerle örtülmüştür ve tarihçiler gerçeği kurgudan ayırmakta zorlanabilirler. Ancak sayıların mantığı fikrini Pisagor'un geliştirdiğine ve matematiğin ilk altın çağını ona borçlu olduğumuza şüphe yoktur. Onun dehası sayesinde sayılar, yalnızca sayma ve hesaplamalarda kullanılmaya son verildi ve ilk kez takdir edildi. Pisagor, belirli sayı sınıflarının özelliklerini, aralarındaki ilişkileri ve sayıları oluşturan şekilleri inceledi. Pisagor, sayıların maddi dünyadan bağımsız olarak var olduğunu ve bu nedenle sayıların incelenmesinin duyularımızın yanlışlığından etkilenmediğini fark etti. Bu, Pisagor'un başkalarının görüşlerinden veya önyargılarından bağımsız olarak gerçekleri keşfetme yeteneğini kazandığı anlamına geliyordu. Gerçekler, önceki tüm bilgilerden daha mutlaktır. Pisagor üçlüleriyle ilgili incelenen literatüre dayanarak, Pisagor üçlülerini trigonometri problemlerinin çözümünde kullanma olasılığıyla ilgileneceğiz. Bu nedenle kendimize bir hedef belirleyeceğiz: bir dizi Pisagor üçlüsünü incelemek, kullanımları için bir algoritma geliştirmek, kullanımları hakkında bir not derlemek ve bunların çeşitli durumlarda kullanımları üzerine araştırma yapmak.

Üçgen ( slayt 14 Kenarları Pisagor sayılarına eşit olan dikdörtgendir. Üstelik böyle herhangi bir üçgen Heroniyen'dir, yani. tüm kenarların ve alanın tam sayı olduğu bir sayı. Bunlardan en basiti kenarları olan Mısır üçgenidir (3, 4, 5).

(3, 4, 5) sayılarını 2, 3, 4 ile çarparak bir dizi Pisagor üçlüsü oluşturalım. Bir dizi Pisagor üçlüsü elde edeceğiz, bunları maksimum sayıya göre artan şekilde sıralayacağız ve ilkel olanları seçeceğiz. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Ders ilerlemesi

1. Görevlerin etrafında dönelim:

1) Aynı argümanın trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişkileri kullanarak, olup olmadığını bulun.

öyle olduğu biliniyor.

2) Aşağıdakiler biliniyorsa, açının trigonometrik fonksiyonlarının değerini bulun:

3) “Ekleme formülleri” konulu eğitim görevleri sistemi

sin = 8/17, cos = 4/5 ve ilk çeyreğin açıları olduğunu bilerek, ifadenin değerini bulun:

ve ikinci çeyreğin açıları olduğunu bilerek, sin = 4/5, cos = – 15/17, bulun: .

4) “Çift açılı formüller” konulu eğitim görevleri sistemi

a) İkinci çeyreğin açısı sin = 5/13 olsun. sin2, cos2, tg2, ctg2'yi bulun.

b) tg olduğu biliniyor mu? = 3/4, – üçüncü çeyrek açısı. sin2, cos2, tan2, ctg2'yi bulun.

c) 0 olduğu biliniyor< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Bilindiği gibi , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 olduğu biliniyorsa tan( + )'yı bulun; burada ve ilk çeyreğin açılarıdır.

f) Bul , – üçüncü çeyrek açı.

Sorunu temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak geleneksel yöntemle çözüyoruz, ardından aynı sorunları daha rasyonel bir şekilde çözüyoruz. Bunu yapmak için Pisagor üçlülerini kullanarak problemleri çözmek için bir algoritma kullanıyoruz. Pisagor üçlülerini kullanarak problemleri çözmek için bir rehber oluşturalım. Bunu yapmak için, sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımını, dik üçgenin dar açısını hatırlıyoruz, çiziyoruz, problemin koşullarına bağlı olarak Pisagor üçlülerini sağ üçgenin kenarlarına doğru şekilde yerleştiriyoruz ( pirinç. 1). Oranı yazıp işaretleri yerleştiriyoruz. Algoritma geliştirildi.

Şekil 1

Sorunları çözmek için algoritma

Teorik materyali gözden geçirin (inceleyin).

İlkel Pisagor üçlülerini ezbere bilin ve gerekirse yenilerini oluşturabilirsiniz.

Rasyonel koordinatlara sahip noktalar için Pisagor teoremini uygulayın.

Bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını bilir, bir dik üçgen çizebilir ve problemin koşullarına bağlı olarak Pisagor üçlülerini üçgenin kenarlarına doğru şekilde yerleştirebilir.

Koordinat düzlemindeki konumlarına bağlı olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın işaretlerini bilir.

Gerekli gereksinimler:

1. Koordinat düzleminin her çeyreğinde sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantın hangi işaretlere sahip olduğunu bilmek;
2. bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını bilir;
3. Pisagor teoremini bilmek ve uygulayabilmek;
4. temel trigonometrik özdeşlikleri, toplama formüllerini, çift açı formüllerini, yarım argüman formüllerini bilir;
5. İndirgeme formüllerini bilir.

Yukarıdakileri dikkate alarak tabloyu dolduralım ( tablo 1). Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları takip edilerek veya rasyonel koordinatlara sahip noktalar için Pisagor teoremi kullanılarak doldurulmalıdır. Bu durumda koordinat düzlemindeki konumlarına bağlı olarak sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant işaretlerini her zaman hatırlamak gerekir.

Tablo 1

		Üçlü sayılar		günah	çünkü	tg	ctg
		(3, 4, 5)	ben saat
		(6, 8, 10)	Bölüm II			-	-
		(5, 12, 13)	Bölüm III	-	-
		(8, 15, 17)	IV saat	-		-	-
		(9, 40, 41)	ben saat

Başarılı bir çalışma için Pisagor üçlülerini kullanma talimatlarını kullanabilirsiniz.

Tablo 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Birlikte karar verelim.

1) Problem: eğer sin = 5/13 ise cos, tg ve ctg'yi, eğer - ikinci çeyreğin açısını bulun.

Haritacıların yere dik çizgiler çizmek için kullandıkları kullanışlı ve çok doğru bir yöntem aşağıdaki gibidir. A noktasından MN düz çizgisine dik bir çizgi çizmek gerekli olsun (Şekil 13). A'dan AM yönünde bir miktar a mesafesini üç kez geciktirin. Daha sonra ipin üzerine aralarında 4a ve 5a mesafe olacak şekilde üç düğüm atılır. En uç düğümleri A ve B noktalarına bağladıktan sonra ipi orta düğümden çekin. Kordon, A açısının dik açı olduğu bir üçgen şeklinde düzenlenecektir.

Binlerce yıl önce Mısır piramitlerini inşa edenler tarafından kullanıldığı anlaşılan bu eski yöntem, ünlü Pisagor teoremine göre kenarları 3:4:5 oranında olan her üçgenin dikdörtgen olduğu gerçeğine dayanmaktadır. o zamandan beri

3 2 + 4 2 = 5 2 .

3, 4, 5 sayılarına ek olarak, bilindiği gibi, ilişkiyi sağlayan sonsuz sayıda pozitif tam sayı a, b, c vardır.

A 2 + b 2 = c 2.

Bunlara Pisagor sayıları denir. Pisagor teoremine göre bu tür sayılar, belirli bir dik üçgenin kenarlarının uzunlukları olarak işlev görebilir; bu nedenle a ve b'ye "bacaklar", c'ye ise "hipotenüs" adı verilir.

Eğer a, b, c Pisagor sayılarının üçlüsüyse, o zaman p'nin bir tamsayı çarpanı olduğu pa, pb, pc'nin Pisagor sayıları olduğu açıktır. Tersine, eğer Pisagor sayıları ortak bir faktöre sahipse, o zaman hepsi bu ortak faktör tarafından azaltılabilir ve yine Pisagor sayılarının üçlüsünü elde edersiniz. Bu nedenle, ilk önce yalnızca eş asal Pisagor sayılarının üçlülerini inceleyeceğiz (geri kalanı onlardan bir p tamsayı faktörü ile çarpılarak elde edilir).

Bu a, b, c üçlülerinin her birinde “bacaklardan” birinin çift, diğerinin tek olması gerektiğini gösterelim. Çelişkilerle tartışalım. Eğer a ve b'nin her iki "bacakları" da çift ise, o zaman a 2 + b 2 sayısı ve dolayısıyla "hipotenüs" çift olacaktır. Ancak bu, üç çift sayının ortak çarpanı 2 olduğundan, a, b, c sayılarının ortak çarpanlarının olmadığı gerçeğiyle çelişir. Dolayısıyla, a, b "bacaklarından" en az biri tektir.

Geriye bir olasılık daha kalıyor: her iki "bacak" da tek, "hipotenüs" ise çift. Bunun olamayacağını kanıtlamak zor değil. Nitekim: “bacaklar” forma sahipse

2x + 1 ve 2y + 1,

o zaman karelerinin toplamı eşittir

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yani 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren bir sayıdır. Bu arada herhangi bir çift sayının karesi 4'e kalansız bölünebilmelidir. Bu, iki tek sayının karelerinin toplamının bir çift sayının karesi olamayacağı anlamına gelir; başka bir deyişle, üç sayımız Pisagor değil.

Yani a, b “bacaklarından” biri çift, diğeri tektir. Bu nedenle a 2 + b 2 sayısı tektir, bu da "hipotenüs" c'nin de tek olduğu anlamına gelir.

Kesinlik için a tarafının tek, b tarafının çift olduğunu varsayalım. Eşitlikten

a 2 + b 2 = c 2

kolayca şunu elde ederiz:

A 2 = c 2 - b 2 = (c + b)(c - b).

Sağ taraftaki c + b ve c - b faktörleri aralarında asaldır. Aslında bu sayıların birden farklı ortak asal çarpanı olsaydı, toplam bu çarpana bölünürdü.

(c + b) + (c - b) = 2c,

ve fark

(c + b) - (c - b) = 2b,

ve çalışmak

(c + b)(c - b) = a 2,

yani 2c, 2b ve a sayılarının ortak çarpanı olacaktır. a tek olduğundan, bu faktör ikiden farklıdır ve bu nedenle a, b, c sayıları aynı ortak faktöre sahiptir, ancak bu olamaz. Ortaya çıkan çelişki, c + b ve c - b sayılarının aralarında asal olduğunu göstermektedir.

Ancak göreceli asal sayıların çarpımı tam kare ise, o zaman her biri bir karedir, yani.

Bu sistemi çözdüğümüzde şunu buluyoruz:

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b)(c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Dolayısıyla, söz konusu Pisagor sayıları şu şekildedir:

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

burada m ve n nispeten asal tek sayılardır. Okuyucu bunun tersini kolayca doğrulayabilir: herhangi bir tek tip için yazılı formüller üç Pisagor sayısını a, b, c verir.

Farklı türlerle elde edilen Pisagor sayılarının birkaç üçlüsü:

m = 3 için, m = 5 için n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, m = 7 için n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, m = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 m için = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2, m = 11 ile, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2, m = 13 ile, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2, m = 5 ile , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, m = 7 için, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, m = 11 için, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, m = 13 için, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 m = 7 için, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 m = 9 için, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 m = 11 için, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2, m = 13 ile, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2, m = 9 ile, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2, m = 11 ile, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Pisagor sayılarının diğer tüm üçlüleri ya ortak çarpanlara sahiptir ya da yüzden büyük sayılar içerir.)