Bir fonksiyonun çizgilerle sınırlanan alanı. Çift katlı integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Çift katlı integralin gerçek hesaplama sürecini düşünmeye ve onun geometrik anlamını tanımaya başlıyoruz.

Çift katlı integral sayısal olarak düzlem şeklinin alanına (integrasyon bölgesi) eşittir. Bu, iki değişkenli fonksiyonun bire eşit olduğu çift katlı integralin en basit şeklidir: .

Öncelikle soruna genel haliyle bakalım. Artık her şeyin gerçekte ne kadar basit olduğuna şaşıracaksınız! Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını hesaplayalım. Kesinlik sağlamak için segmentte olduğunu varsayıyoruz. Bu rakamın alanı sayısal olarak şuna eşittir:

Çizimdeki alanı gösterelim:

Alanı geçmenin ilk yolunu seçelim:

Böylece:

Ve hemen önemli bir teknik püf noktası: tekrarlanan integraller ayrı ayrı hesaplanabilir. Önce iç integral, sonra dış integral. Bu yöntemi konuya yeni başlayanlara şiddetle tavsiye ediyorum.

1) İç integrali hesaplayalım ve integral “y” değişkeni üzerinden gerçekleştirilsin:

Buradaki belirsiz integral en basit olanıdır ve daha sonra banal Newton-Leibniz formülü kullanılır, tek fark, entegrasyonun sınırlarının sayılar değil işlevler olmasıdır. Önce üst limiti “y”nin (antitürev fonksiyonu) yerine koyduk, ardından alt limiti koyduk

2) Birinci paragrafta elde edilen sonuç dış integralde değiştirilmelidir:

Tüm çözümün daha kompakt bir temsili şuna benzer:

Ortaya çıkan formül "sıradan" belirli integrali kullanarak bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için tam olarak çalışan formüldür! Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama dersine bakın, her adımda oradadır!

Yani, çift katlı integrali kullanarak alanı hesaplama problemi pek farklı değil belirli bir integral kullanarak alanı bulma probleminden!

Aslında aynı şey!

Buna göre hiçbir zorluk ortaya çıkmamalı! Aslında bu görevle defalarca karşılaştığınız için çok fazla örneğe bakmayacağım.

Örnek 9

Çözüm: Alanı çizimde gösterelim:

Alanın geçiş sırasını aşağıdaki şekilde seçelim:

İlk paragrafta çok detaylı açıklamalar verildiği için burada ve bundan sonra bölgeyi nasıl geçeceğim üzerinde durmayacağım.

Daha önce de belirttiğim gibi, yeni başlayanlar için yinelenen integralleri ayrı ayrı hesaplamak daha iyidir ve ben de aynı yönteme sadık kalacağım:

1) Öncelikle Newton-Leibniz formülünü kullanarak iç integrali ele alıyoruz:

2) Birinci adımda elde edilen sonuç dış integralde yerine konulur:

2. nokta aslında belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanını bulmaktır.

Cevap:

Bu çok aptalca ve naif bir görev.

Bağımsız bir çözüm için ilginç bir örnek:

Örnek 10

Çift katlı bir integral kullanarak, , , çizgileriyle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın

Dersin sonunda nihai çözümün yaklaşık bir örneği.

Örnek 9-10'da, alanı geçmenin ilk yöntemini kullanmak çok daha karlı; bu arada meraklı okuyucular, geçiş sırasını değiştirebilir ve ikinci yöntemi kullanarak alanları hesaplayabilir. Hata yapmazsanız doğal olarak aynı alan değerlerini elde edersiniz.

Ancak bazı durumlarda alanı geçmenin ikinci yöntemi daha etkilidir ve genç ineğin kursunun sonunda bu konuyla ilgili birkaç örneğe daha bakalım:

Örnek 11

Çift katlı integral kullanarak çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın,

Çözüm: Yanlarında tuhaf bir çizgi bulunan iki parabolün olmasını sabırsızlıkla bekliyoruz. Gülümsemeye gerek yok; benzer şeyler çoklu integrallerde oldukça sık görülür.

Çizim yapmanın en kolay yolu nedir?

İki fonksiyon biçiminde bir parabol düşünelim:
– üst dal ve – alt dal.

Benzer şekilde üst ve alt şeklinde bir parabol hayal edin dallar.

Daha sonra, grafik kurallarının noktasal çizimi, bu tuhaf rakamla sonuçlanır:

Aşağıdaki formüle göre çift katlı integrali kullanarak şeklin alanını hesaplıyoruz:

Alanı geçmek için ilk yöntemi seçersek ne olur? Öncelikle bu alanın iki parçaya bölünmesi gerekecek. İkinci olarak da şu üzücü tabloyu izleyeceğiz: . İntegraller elbette aşırı karmaşık düzeyde değildir, ancak... eski bir matematik deyişi vardır: Köklerine yakın olanların teste ihtiyacı yoktur.

Dolayısıyla koşulda verilen yanlış anlamadan ters fonksiyonları ifade ediyoruz:

Bu örnekteki ters fonksiyonlar, hiçbir yaprak, meşe palamudu, dal ve kök olmadan parabolün tamamını tek seferde belirleme avantajına sahiptir.

İkinci yönteme göre alan geçişi şu şekilde olacaktır:

İlk paragrafta çok detaylı açıklamalar verildiği için burada ve bundan sonra bölgeyi nasıl geçeceğim üzerinde durmayacağım.

Dedikleri gibi farkı hissedin.

1) İç integralle ilgileniyoruz:

Sonucu dış integralin yerine koyarız:

“Y” değişkeni üzerinden integral almak kafa karıştırıcı olmasa gerek; eğer “zy” harfi olsaydı onun üzerinden integral almak harika olurdu. Her ne kadar Dönen cismin hacminin nasıl hesaplanacağı dersinin ikinci paragrafını okuyan herkes artık "Y" yöntemini kullanarak entegrasyon konusunda en ufak bir gariplik yaşamamaktadır.

Ayrıca ilk adıma dikkat edin: İntegral çifttir ve entegrasyon aralığı sıfıra göre simetriktir. Bu nedenle segment yarıya bölünebilir ve sonuç ikiye katlanabilir. Bu teknik, Belirli bir integralin hesaplanmasında etkili yöntemler dersinde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Ne eklenmeli... Tüm!

Cevap:

Entegrasyon tekniğinizi test etmek için hesaplamayı deneyebilirsiniz . Cevap tamamen aynı olmalıdır.

Örnek 12

Çift katlı integral kullanarak çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Alanı geçmenin ilk yöntemini kullanmaya çalışırsanız, şeklin artık ikiye değil üç parçaya bölünmesi gerekeceğini belirtmek ilginçtir! Ve buna göre üç çift tekrarlanan integral elde ederiz. Bu da olur.

Ustalık sınıfı sona erdi ve artık büyük ustalık seviyesine geçmenin zamanı geldi - Çift katlı integral nasıl hesaplanır? Çözüm örnekleri. İkinci yazımda bu kadar manyak olmamaya çalışacağım =)

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm: Alanı tasvir edelim çizimde:

Alanın geçiş sırasını seçelim:

Böylece:
Ters fonksiyonlara geçelim:


Böylece:
Cevap:

Örnek 4:Çözüm: Doğrudan işlevlere geçelim:


Çizimi yapalım:

Alanı geçme sırasını değiştirelim:

Cevap:

İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması

Alan hesaplaması

Sürekli negatif olmayan bir f(x) fonksiyonunun belirli integrali, sayısal olarak y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşittir. = b. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:

Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örneklere bakalım.

Görev No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir şekil oluşturalım.

y = x 2 + 1, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş ve parabol O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırılmış bir paraboldür (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı doğru kaydırılmıştır (Şekil 2).

Şekil 2. y = x 2 – 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2'nin katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tepe noktasının apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım:

Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla .

Yani noktalar bir parabol ile bir doğrunun kesişme noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri

y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.

Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı aşağıdaki formüle göre belirli bir integral kullanılarak bulunabilir: .

Bu koşula bağlı olarak integrali elde ederiz:

2 Dönen cismin hacminin hesaplanması

y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:

Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir resim çizelim (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

Gerekli hacim

Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları gözden geçirin

A)

Çözüm.

Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir.

Çizimi yapalım:

Denklem y=0“x” eksenini ayarlar;

- x=-2 Ve x=1- düz, eksene paralel Ah;

- y=x 2 +2 - tepe noktası (0;2) noktasında olan, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol.

Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun Ah ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözerek eksenle kesişimi bulun Ah .

Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Nokta nokta çizgiler de oluşturabilirsiniz.

[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 eksenin üstünde bulunur Öküz, Bu yüzden:

Cevap: S=9 metrekare birim

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı Ah?

b) Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birim" 1,72 metrekare birim

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.

c) Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0, entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap: S=4,5 metrekare birim

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Hepsi bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.