Teorem. Bir üçgenin alanı, kenarının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir:
Kanıt çok basit. Bu üçgen ABC(Şekil 1.15) hadi bunu bir paralelkenar haline getirelim ABDC. Üçgenler ABC Ve DCBÜç tarafı eşit olduğundan alanları da eşittir. Yani üçgenin alanı ABC paralelkenarın alanının yarısına eşit ABDC yani
Ancak burada şu soru ortaya çıkıyor: Herhangi bir üçgen için taban ve yüksekliğin olası üç yarı çarpımı neden aynı? Ancak bunu ortak bir dar açıya sahip dikdörtgenlerin benzerliğinden kanıtlamak kolaydır. Bir üçgen düşünün ABC(Şekil 1.16):
Ve bu nedenle
Ancak okul kitaplarında bu yapılmaz. Aksine üç yarı ürünün eşitliği, tüm bu yarı ürünlerin üçgenin alanını ifade etmesi esasına göre kurulur. Böylece tek bir işlevin varlığından dolaylı olarak yararlanılır. Ancak burada matematiksel modelleme örneğini göstermek için uygun ve öğretici bir fırsat geliyor. Aslında alan kavramının arkasında fiziksel bir gerçeklik vardır ancak üç yarı çarpımın eşitliğinin doğrudan doğrulanması, bu kavramın matematik diline çevrilmesindeki kaliteyi göstermektedir.
Yukarıdaki üçgen alan teoremini kullanarak iki üçgenin alanlarını karşılaştırmak genellikle uygundur. Aşağıda teoremin bazı açık fakat önemli sonuçlarını sunuyoruz.
Sonuç 1. Bir üçgenin tepe noktası tabanına paralel bir doğru boyunca hareket ettirilirse alanı değişmez.
Şek. 1.17 üçgen ABC Ve ABD ortak bir zemine sahip olmak AB ve düz bir çizgi olduğundan bu tabana eşit yükseklikler indirildi A köşeleri içeren İLE Ve D tabana paralel AB ve dolayısıyla bu üçgenlerin alanları eşittir.
Sonuç 1 aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir.
Sonuç 1?. Bir bölüm verilsin AB. Birçok puan Möyle ki üçgenin alanı AMV belirtilen değere eşit S, doğru parçasına paralel iki çizgi var AB ve ondan uzakta bulunanlar (Şekil 1.18)
Sonuç 2. Belirli bir açıya bitişik bir üçgenin kenarlarından biri artırılırsa k kez, o zaman alanı da artacaktır k bir kere.
Şek. 1.19 üçgenler ABC Ve ABD ortak bir yüksekliğe sahip olmak BH dolayısıyla alanlarının oranı bazların oranına eşittir
Sonuç 2'den önemli özel durumlar takip edilmektedir:
1. Medyan üçgeni iki küçük parçaya böler.
2. Kenarları arasına alınmış bir üçgenin açıortayı A Ve B, alanları şu şekilde ilişkili olan iki üçgene böler: A : B.
Sonuç 3. İki üçgenin ortak bir açısı varsa, alanları bu açıyı çevreleyen kenarların çarpımı ile orantılıdır.
Bu şu gerçeğin sonucudur (Şekil 1.19)
Özellikle aşağıdaki ifade geçerlidir:
İki üçgen benzerse ve bunlardan birinin kenarı eşitse k diğerinin karşılık gelen kenarlarından kat daha büyükse alanı k Saniyenin alanının 2 katı.
Heron'un üçgenin alanı formülünü aşağıdaki iki yolla türetiyoruz. İlkinde kosinüs teoremini kullanıyoruz:
burada a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır, r ise c kenarının karşısındaki açıdır.
(1.3)’ten buluyoruz.
Bunu fark etmek
üçgenin yarı çevresi nerede, anlıyoruz.
Bu 8. sınıf geometri video dersi, öğrencilerin üçgenin alanını bulma konusunu öğrenmelerine yardımcı olacaktır. Konu, bir üçgenin alanını hesaplamak için hangi yöntemin mevcut olduğunu tartışıyor, iki sonuç veriyor ve üçgenlerin alanlarının oranına ilişkin bir teorem veriyor.
Dersin başında konunun tartışılmasını kolaylaştırmak için bazı hükümlerin ana hatlarını çizeceğiz. Örnek olarak ABC üçgenini ele alalım. Çoğu zaman kolaylık sağlamak için üçgenin kenarlarından biri taban olarak alınır. O zaman söz konusu yükseklik tabana çizilen yükseklik olacaktır.
Teoreme bakalım: Bir üçgenin alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımının ikiye bölünmesiyle hesaplanabilir. İfade kanıt gerektirir. Diyelim ki bize, alanı S değeriyle ifade edilen bir ACB üçgeni veriliyor. AB tarafının üçgenin tabanı olduğunu varsayacağız. CH'ye dik bir çizelim. S = 0,5 x AB x CH olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Aşağıdaki yöntemi kullanacağız: ACB üçgenini temel alarak şekilde gösterildiği gibi bir ABCD paralelkenarı çizin. ACB ve CBD üçgenlerini düşünün. CB ortak kenarlarıdır, BA kenarı DC'ye eşittir, CA kenarı DB'ye eşittir, çünkü bunlar paralelkenarın karşıt kenarlarıdır. ACB ve CBD üçgenleri eştir çünkü üç kenarı eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden alanlarının eşit olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, ACB üçgeninin alanı ABCD paralelkenarının ikiye bölünmüş alanına eşittir. Paralelkenarın alanının tabanı yükseklikle çarparak hesaplanabileceğini biliyoruz: S ABCD = AB x CH. Bu, üçgenin alanının S = 0,5 x AB x CH olduğu anlamına gelir ve bunun kanıtlanması gerekir.
Teoremden çeşitli ifadeler gelir.
İlk sonuç. Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının 2'ye bölünmesiyle bulunur.
İkinci sonuç. İki üçgenin yükseklikleri eşitse üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.
İkinci sonuç, açılarından birinin eşit olması durumunda üçgenlerin alanlarının oranına ilişkin teoremi kanıtlarken uygulanabilir.
Bu teorem, iki üçgende açılardan birinin eşit olması durumunda bu üçgenlerin alanlarının oranının, eşit açıları çevreleyen kenarların çarpımının oranına eşit olacağını söylüyor.
Kanıta bakalım. Alanları sırasıyla S ve S 1'e eşit olan iki ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgeni verilsin. A açısının A 1 açısına eşit olduğu bilinmektedir. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 ifadesinin doğru olduğunu kanıtlayalım, yani. Bu üçgenlerin alanları, eşit açıları çevreleyen kenarların çarpımı olarak birbiriyle ilişkilidir.
Daha sonra, iki üçgeni, A tepe noktası A 1 tepe noktasıyla çakışacak ve A 1 B 1 ve A 1 C 1 kenarları AB ve AC ışınlarıyla çakışacak şekilde birleştirin. ABC ve AB 1 C üçgenlerinin (şekilde renkli olarak vurgulanmıştır) ortak bir noktası vardır. yükseklik CH . Bu üçgenlerin alanlarını yazalım. ABC üçgeninin alanı 0,5 x AB x CH'dir. AB 1 C üçgeninin alanı 0,5 x AB 1 x CH'dir. Daha sonra alanlar birbirleriyle (0,5 x AB x CH) / (0,5 x AB 1 x CH) veya AB / AB 1 şeklinde ilişkilendirilir. Benzer şekilde, AB 1 C ve AB 1 C 1 üçgenlerinin de ortak B 1 H 1 yüksekliği vardır (şekilde işaretlenmiştir). AB 1 C 1 üçgeninin alanı 0,5 x A 1 C 1 x BH 1'dir ve AB 1 C üçgeninin alanı 0,5 x AC x BH 1 şeklinde farklı şekilde yazılabilir.
O halde AB 1 C ve AB 1 C 1 üçgenlerinin alanları birbiriyle (0,5 x AC x BH 1) / (0,5 x A 1 C 1 x BH 1) veya AC / AC 1 şeklinde ilişkilidir. Elde edilen eşitlikleri çarptığımızda ABC ve AB 1 C 1 üçgenlerinin alanlarının birbirleriyle (AB x AC) / (AB 1 x AC 1) olarak ilişkili olduğunu buluruz. Onlar. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 . Teoremi kanıtladık.
Soruların cevaplarını hatırlayalım 1. Geometrik bir şeklin alanı kavramını formüle edin 2. Geometrik şekillerin alanlarının temel özelliklerini formüle edin 3. Bir dikdörtgenin ve paralelkenarın alanını nasıl hesaplayabilirsiniz?
Geometrik bir şeklin alanı Geometrik bir şeklin alanı, belirli bir şeklin boyutunu karakterize eden bir miktardır.
Geometrik şekillerin alanlarının temel özellikleri 1. Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. 2. Bu alan tek bölgedir. 3. Herhangi bir geometrik şeklin alanı pozitif sayı olarak ifade edilir. 4. Bir kenarı bire eşit olan karenin alanı bire eşittir. 5. Bir şeklin alanı, bölündüğü parçaların alanlarının toplamına eşittir.
Dikdörtgenin alanı Bir dikdörtgenin alanı, S = a · olarak iki komşu kenarının çarpımına eşittir.
Paralelkenarın alanı 1. Bir paralelkenarın alanı, kenarının çarpımına ve bu tarafa indirilen yüksekliğe eşittir a S = a · h h
Paralelkenarın alanı 2. Bir paralelkenarın alanı, iki bitişik kenarın çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir a'da A B C D S= a · b · sin A
Üçgenin alanı Teoremi Bir üçgenin alanı, kenarı ile bu kenara indirilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir A B C D S= ½ AC · VD
A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC teoreminin kanıtı
Teoremden elde edilen sonuçlar Aşağıdaki teoremden elde edilen sonuçları kendiniz kanıtlamaya çalışın:
Sonuç 1 Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir A B C S= ½ BC AC
Sonuç 2 Geniş bir üçgenin alanı herhangi bir tarafının çarpımına ve bu tarafa düşen yüksekliğe eşittir A B CD
Sonuç 3 Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. A B C S= ½ AB · AC · sin A
Sonuç 4 Eşkenar üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır: burada a, üçgenin kenarıdır
Öncelikle kolay problemleri çözün: 1. Tabanı 16 cm ve yüksekliği 20 cm olan bir üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı 6 cm olan bir eşkenar üçgenin alanını bulun. kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin.
Bu kolay bulmacalar için açıklayıcı çizimler
Şimdi daha zor problemleri çözün 1. Bir ikizkenar üçgende kenar 13 cm ve taban 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı a olan bir eşkenar üçgen veriliyor. Belirli bir üçgenin orta çizgilerinden oluşan bir üçgenin alanını bulun. 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, bacaklarından biri 8 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulun.
Şimdi en zor problemleri çözün 1. İkizkenar üçgenin yan tarafı a'ya eşittir ve tabandaki açı eşittir. Üçgenin alanını bulun. 2. Eşkenar üçgenin yüksekliği h'dir. Alanını hesaplayın. 3. Bir dik üçgende hipotenüs c'ye, dar açılardan biri ise eşittir. Üçgenin alanını bulun.
Kolay problemlerin yanıtları cm cm cm 2
Daha zor problemlerin yanıtları cm cm 2
En zor soruların yanıtları Sorunların yanıtları: 1. ½ a 2 günah
Bu ilginç! Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski pratik problemlerden biridir. Bunları çözmek için doğru yaklaşım hemen bulunamadı. Alanları hesaplamanın en basit ve en erişilebilir yollarından biri Öklid tarafından keşfedildi. Alanları hesaplarken bölme yöntemi adı verilen basit bir teknik kullandı.
Örneğin, bir karenin, dikdörtgenin ve paralelkenarın alanının nasıl hesaplanacağını zaten biliyoruz, ancak rastgele bir üçgenin alanını hesaplamamız gerekiyor. Aşağıdaki algoritmayı uygulayalım:
Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir noktayı işaretleyelim. 2.Bu noktadan geçen üçgenin kenarlarına paralel düz bir çizgi çizin. 3. Düz bir çizgi bu üçgeni küçük bir üçgene ve bir yamuğa böler. 4. Paralelkenar elde etmek için küçük üçgeni yamuğa göre yeniden düzenleyin.
Orijinal üçgen ve ortaya çıkan paralelkenar, eşit bileşime sahip şekillerdir ve dolayısıyla alanları eşittir. Eşit alana sahip şekillerin eşit alanlara sahip şekiller olduğunu biliyoruz. Bu, orijinal üçgenin alanının ortaya çıkan paralelkenarın alanına eşit olduğu anlamına gelir.
Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir ve orijinal üçgenin yüksekliği, yapıya göre paralelkenarın yüksekliğinin 2 katıdır. Bu, bir üçgenin alanının tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlamına gelir!
Ve sonuç olarak... Umarım bu bilgiler bu konuyu iyi anlamanıza ve dolayısıyla sınavdan yalnızca "A" almanıza yardımcı olur! İlginiz için teşekkür ederiz!
- Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. - Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. - Bu meydan tek meydandır. - Herhangi bir geometrik şeklin alanı pozitif sayı olarak ifade edilir. - Bir kenarı bire eşit olan karenin alanı bire eşittir. - Bir şeklin alanı, bölündüğü parçaların alanlarının toplamına eşittir.
1. Tabanı 16 cm olan üçgenin alanını bulun, 1. Tabanı 16 cm olan ve bu tabanın yüksekliği 20 cm olan üçgenin alanını bulun. bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgen 3. Bacakları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin alanını bulunuz.
1. Bir ikizkenar üçgenin kenarı 13 cm, tabanı 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 1. Bir ikizkenar üçgenin kenarı 13 cm, tabanı 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı a olan bir eşkenar üçgen veriliyor. Belirli bir üçgenin orta çizgilerinden oluşan bir üçgenin alanını bulun. 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, kenarlarından biri 8 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulun.
1. İkizkenar üçgenin yan tarafı a'ya, tabandaki açı ise 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun. 1. İkizkenar üçgenin yan tarafı a'ya, tabandaki açı ise 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun. 2. Eşkenar üçgenin yüksekliği h'dir. Alanını hesaplayın. 3. Bir dik üçgende hipotenüs c'ye ve dar açılardan biri 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun.
Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski pratik problemlerden biridir.
Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski pratik problemlerden biridir.
-Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir nokta işaretleyelim. -Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir nokta işaretleyelim. -Bu noktadan bu üçgenin kenarlarına paralel bir çizgi çizin. -Düz bir çizgi bu üçgeni küçük bir üçgene ve bir yamuğa böler. -Paralelkenar elde etmek için küçük üçgeni yamuğa göre yeniden düzenleyin.
Orijinal üçgen ve ortaya çıkan paralelkenar, eşit bileşime sahip şekillerdir ve dolayısıyla alanları eşittir. Eşit alana sahip şekillerin eşit alanlara sahip şekiller olduğunu biliyoruz. Bu, orijinal üçgenin alanının ortaya çıkan paralelkenarın alanına eşit olduğu anlamına gelir.
Orijinal üçgen ve ortaya çıkan paralelkenar, eşit bileşime sahip şekillerdir ve dolayısıyla alanları eşittir. Eşit alana sahip şekillerin eşit alanlara sahip şekiller olduğunu biliyoruz. Bu, orijinal üçgenin alanının ortaya çıkan paralelkenarın alanına eşit olduğu anlamına gelir.
Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir ve orijinal üçgenin yüksekliği, yapıya göre paralelkenarın yüksekliğinin 2 katıdır. Bu, bir üçgenin alanının tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlamına gelir!
Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir ve orijinal üçgenin yüksekliği, yapıya göre paralelkenarın yüksekliğinin 2 katıdır. Bu, bir üçgenin alanının tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlamına gelir!
Umarım bu bilgiler bu konuyu iyi anlamanıza ve dolayısıyla sınavdan yalnızca “5” almanıza yardımcı olur! Umarım bu bilgiler bu konuyu iyi anlamanıza ve dolayısıyla sınavdan yalnızca “5” almanıza yardımcı olur! İlginiz için teşekkür ederiz!
“Kar tanelerinin şekli” - Gök geometrisi. Altıgen bir prizma şeklini alarak toz ve su moleküllerinden oluşan bir top büyür. Kar tanelerinin boyutu, şekli ve deseni sıcaklık ve neme bağlıdır. Amaçlar ve hedefler. Bir kar kristalinin iç yapısı onun görünümünü belirler. Kar tanesi şekillerinin dış koşullara bağımlılığı. 9 sınıfa ayrılmış 48 çeşit kar kristali vardır.
“Pi Teorisi” - Evrenin faz yarıçapı. Hangi deneysel gerçekler Teoriyi çürütebilir? Zaman okunun tek yönü vardır. Faz hacimleri. Nedensellik ilkesinin ihlali. Etkileşimlerin sonsuz yayılma hızı. K ilkesinin uygulanması (özel durum). Vücudun faz ve metrik hacimleri.
“Üçgenin alanı” - Teorem. Bir üçgenin alanı. AC temeldir. Bir üçgenin alanı, taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. BC tabanıdır. Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir. AN1 - yükseklik. İki üçgenin yükseklikleri eşitse alanları tabanları olarak ilişkilidir.
“Müzikte Geometri” - Müzik, ruhun gizemli aritmetiğidir. Müzik farkına bile varmadan hesap yapar. Gottfird Leibniz. Matematik ve Müzik Topluluğu. Maurice Cornelis Escher. Müzik quadriviumun bir disiplinidir. Müzikte geometri. Pisagor'un yansımaları. Monokor. Johann Bach. Farklı yerlerden çalınabilen tek telli bir çalgı.
Konuda toplam 42 sunum bulunmaktadır.
